专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质
函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数函数是一个有序的、完整的、有目的的数学运算，可以有效地用来解决复杂的计算问题。
简而言之，函数就是将一组输入的数字和变量映射到一个特定的输出上。
本文旨在阐述函数的概念，以及介绍初等函数的基本特性。
函数的基本概念函数的本质就是将输入的数据，通过一系列的计算，映射到输出的数据上。
一般来说，函数可以分为两类：一类是初等函数，它只有一个输入变量，以及一个结果变量；另一类是非初等函数，它有多个输入变量，有多个结果变量。
无论是哪种类型的函数，它们的基本特征都是：输入的数据可以在函数的输入变量中指定，随后，函数将会根据所提供的输入，产生计算后的输出。
函数的作用函数一般用来解决复杂的计算问题，它可以将一组数据中的重复性计算抽象出来，从而有效减少重复性计算所需要的时间和空间。
通过使用函数，可以把计算过程抽象成一条函数，随后只需调用该函数，就可以获得需要的结果，从而大大简化了计算过程。
基本初等函数基本初等函数指的是一些最为基本的函数，它们在很多数学类的学科中都有着广泛的应用。
其中最基本的初等函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和椭圆函数等。
线性函数线性函数是最为常见的一种函数，它表示的是直线的函数。
一般来说，线性函数的形式为：y=ax+b，其中a和b分别表示线性函数的斜率和截距。
二次函数二次函数也是一个很常见的函数，它表示的是抛物线的函数。
一般来说，二次函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别表示二次函数的系数。
指数函数指数函数是一种基于指数定义的函数，它表示的是以充分快速增长的函数。
一般来说，指数函数的形式为：y=a^x，其中a表示指数函数的基数，x表示指数函数的指数。
对数函数对数函数是一种基于对数定义的函数，它表示的是以逐步增长的函数。
一般来说，对数函数的形式为：y=logx，其中x表示对数函数的底数。
三角函数三角函数是一种基于三角形定义的函数，它表示的是以复杂的曲线为特征的函数。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。
函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。
一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。
当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。
2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。
当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。
3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。
4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。
可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。
5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。
6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。
例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。
7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。
函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。
8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。
不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。
总结：函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
人教高中数学A必修一《函数的概念》函数的概念与性质PPT教学课件
.
(b , +∞)
。
[b , +∞)
.
(－∞,+∞) 数轴上所有的点
例题四：把下列集合用区间表示出来:
(1){x|3<x<5}; (2){x|x≤6}; (3){x|1<x<3}∪{x|7<x<8}; (4){x|x≠0}; (5){x|5≤x<7}.
20
答案 (1)(3,5); (2)(-∞,6]; (3)(1,3)∪(7,8); (4)(-∞,0)∪(0,+∞); (5)[5,7).
7
二 十 世 纪
康托尔提出了我们今天要学习的函数的概念
8
二.函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y值叫 做函数值。
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
函数的概念
我们知道的函数有哪 些？
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。
它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。
一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。
函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。
2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。
如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。
如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。
而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。
3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。
假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。
4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。
如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。
5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。
如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。
6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。
7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。
2函数与基本初等函数
2函数与基本初等函数函数是数学中的一个概念，它描述了两个集合之间的一种关系。
在数学中，函数一般表示为y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数关系。
函数在数学中有很广泛的应用，包括描述物理现象、经济模型、计算机算法等等。
函数可以分为两类：基本初等函数和非初等函数。
基本初等函数是指由常数和有限次的代数运算（加法、减法、乘法、除法）以及有限次通常交换运算（乘法的交换性和加法的交换性）得到的函数。
基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
常数函数是指输出始终是一个固定值的函数，比如f(x)=2，表示函数f(x)的输出始终是2幂函数是指自变量x的各次幂决定函数输出的函数，比如f(x)=x^2，表示函数f(x)的输出是x的平方。
指数函数是以自然常数e为底数的幂函数，比如f(x)=e^x，表示函数f(x)的输出是e的x次幂。
对数函数是指以一些正实数为底的对数运算的逆运算，比如f(x)=log(x)，表示函数f(x)的输出是x的对数。
三角函数是指以圆的四个象限上的点的坐标来定义的函数，例如正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。
反三角函数是指以三角函数为自变量的函数的逆函数，例如反正弦函数arcsin(x)和反余弦函数arccos(x)。
非初等函数则是指无法用基本初等函数表示的函数，比如指数函数的逆函数-自然对数函数ln(x)、双曲函数、贝塞尔函数等等。
基本初等函数具有很多重要的性质和应用。
例如，三角函数和反三角函数在几何中的角度度量及三角关系中起着重要作用；指数函数在描述物理现象中的增长和衰减过程中应用广泛；对数函数在描述复杂度、概率等方面有重要作用；幂函数则用来描述函数的增长速度。
总的来说，函数是数学中一个非常重要的概念，基本初等函数是一类特殊的函数，它们被广泛应用于各个数学分支和实际问题中。
对于理解和应用函数，包括基本初等函数在内的各种函数的性质和特点的研究都具有重要的意义。
函数概念与基本初等函数(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。
函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。
函数的概念及性质
函数的概念及性质函数是数学中的重要概念之一，它在数学领域和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的概念是描述一个变量与另一个变量之间关系的数学工具。
本文将对函数的概念及其基本性质进行探讨，从而帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
例如，我们可以定义一个函数f(x)=2x，其中x是实数集合中的任意一个数，f(x)表示x的两倍。
这个函数可以描述一个数与它的两倍之间的关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
函数的定义域和值域取决于函数的性质和条件。
例如，对于函数f(x)=2x，定义域是实数集合，值域也是实数集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
例如，函数f(x)=2x 是递增函数，而函数g(x)=2-x是递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴（x=0）的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
例如，函数f(x)=x^2是偶函数，函数g(x)=x^3是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在定义域内以一定的间隔重复的特性。
如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期为2π的函数。
5. 反函数：如果存在一个函数g，使得对于定义域内的任意x，有g(f(x))=x，且f(g(x))=x，则g称为f的反函数。
反函数可以将函数的输入与输出进行互换。
例如，函数f(x)=2x的反函数为g(x)=x/2。
三、函数的应用函数在数学、物理、经济学等学科中都有着重要的应用。
初中数学知识点初等函数的概念与性质
初中数学知识点初等函数的概念与性质初中数学知识点初等函数的概念与性质初等函数是初中数学学习中的一个重要概念，它在数学的各个分支中均有广泛应用。
掌握初等函数的概念及其性质，对于学习数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将从初等函数的定义、常见类型以及性质等方面进行论述。
一、初等函数的定义初等函数是指由有限次的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，以及这些函数的有限次四则运算、函数复合而成的函数。
初等函数是数学中最基本的函数之一，是许多复杂函数的基础。
二、常见类型的初等函数1. 常数函数：常数函数是指函数在定义域上的函数值全都相等的函数，例如f(x) = 2。
2. 幂函数：幂函数是指以自变量为底数，自变量的指数为指数的函数，例如f(x) = x²。
3. 指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数，自变量为指数的函数，例如f(x) = eˣ。
4. 对数函数：对数函数是指以常数e为底数，函数值为自变量的指数的函数的自变量，例如f(x) = logₑx。
5. 三角函数：三角函数是指以单位圆上的点坐标值作为函数值的函数，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三、初等函数的性质初等函数具有以下一些重要的性质：1. 定义域和值域：初等函数的定义域可以是整个实数集R，也可以是实数集上的一个区间，值域则取决于具体函数的性质。
2. 奇偶性：根据函数的定义和性质，初等函数可以具有奇函数和偶函数的特点。
3. 单调性：初等函数具有单调递增和单调递减的性质，这取决于其导数的正负性。
4. 极值点：初等函数在定义域上可能存在极值点，可以通过求导数和分析函数的增减性来确定。
5. 对称轴：初等函数可能存在对称轴，可以通过观察函数的图像或者函数表达式来确定。
6. 渐近线：初等函数的图像可能趋近于某些直线，可以是水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
7. 周期性：三角函数具有周期性，周期可以通过观察函数的图像或者函数表达式来确定。
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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲 函数的概念和性质2019 年1.（2019 江苏 4）函数 y = 的定义域是.2.（2019 全国Ⅱ理 14）已知 f (x ) 是奇函数，且当 x < 0 时， f (x ) = -e ax .若 f (ln 2) = 8 ， 则a = .3.（2019 全国Ⅲ理 11）设 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，且在(0, +∞)单调递减，则A ． f （log 1）＞ f （-3）＞ f （ - 2 ）B ． f （log 34 1）＞ f （2 2-2）＞ f （ 2 3- 3 ）34 2 32 2C ． f （ -3）＞ f （ - 2 ）＞ f （log 1）2 22334 D ． f （ - 2 ）＞ f （ - 3 ）＞ f （log 1）23223 44.（2019 北京理 13）设函数 f (x ) = e x+ a e - x(a 为常数)，若 f (x ) 为奇函数,则 a =；若 f (x ) 是R 上的增函数，则 a 的取值范围是.5.（2019 全国Ⅰ理 11）关于函数 f (x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（ π2, π ）单调递增③f (x )在[-π, π] 有 4 个零点 ④f (x )的最大值为 2A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③6.（2019 全国Ⅰ理 5）函数 f (x )=sin x + xcos x + x 2在[-π, π] 的图像大致为A ．B ．7 + 6x - x 2C．D．7.（2019 全国Ⅲ理7）函数y =2x32x + 2-x在[-6, 6]的图像大致为A．B．C．D．8.（2019 浙江6）在同一直角坐标系中，函数y = 1a x ，y=log a(x+ 1 )，(a>0 且a≠1)的图像可2能是A. B.C. D.2010-2018 年一、选择题1．(2018 全国卷Ⅱ)函数 f (x ) =e x - e - x x2的图像大致为2．(2018 全国卷Ⅲ)函数 y = -x 4 + x 2+ 2 的图像大致为3．(2018 浙江)函数 y = 2|x |sin 2x 的图象可能是A．B．C．D．4．(2018 全国卷Ⅱ)已知 f (x) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数，满足 f (1-x) = 若 f (1) = 2 ，则 f (1) +f (2) +f (3) +… +f (50) =f (1+x) ．A．-50 B．0 C．2 D．50 5．（2017 新课标Ⅰ）函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=-1，则满足-1≤f (x - 2) ≤1 的x 的取值范围是A． B． C． D．6．（2017 浙江）若函数 f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M -mA．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关7．（2017 天津）已知奇函数f (x) 在R 上是增函数，g(x)=xf(x)．若a=g(-log25.1)，b =g(20.8 ) ，c =g (3) ，则a，b，c 的大小关系为A．a <b <c B．c <b <a C．b <a <c D．b <c <a8．（2017 北京）已知函数 f (x) = 3x - (1)x ，则f (x) 3A．是奇函数，且在R 上是增函数B．是偶函数，且在R 上是增函数C．是奇函数，且在R 上是减函数D．是偶函数，且在R 上是减函数x 1 1m9．(2016 山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0 时，f (x) =x3 -1 ；当-1 ≤x ≤ 1 时，f (-x) =-f (x) ；当 x >12时，f (x +) =f (x - ) ，则f(6)=2 2A．−2B．−1C．0 D．2 10．(2016 全国I) 函数y = 2x2 -e|x| 在[–2,2]的图像大致为A． B．C． D．11．(2016 全国 II) 已知函数 f (x)(x ∈R )满足 f (-x)= 2 -f (x)，若函数y =x + 1 与y =f (x)x图像的交点为(x1 ，y1 )，(x2 ，y2 )，…，(x m ，y m )，则∑(x i+y i)=i=1A．0 B．m C．2m D．4m12．(2015 福建)下列函数为奇函数的是A．y =B． y = sin x C．y = cos x D．y =e x -e-x 13．(2015 广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y = B．y =x +1xC． y = 2x +12xD．y=x +e x14．(2015 湖南)设函数f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) ，则f (x) 是A．奇函数，且在(0,1) 上是增函数B．奇函数，且在(0,1) 上是减函数C．偶函数，且在(0,1) 上是增函数1+x2x⎨ ⎩D ．偶函数，且在(0,1) 上是减函数⎧1, 15．(2015 湖北)已知符号函数sgn x = ⎪0, ⎪-1,x > 0, x = 0, x < 0.f (x ) 是R 上的增函数，g (x ) = f (x ) -f (ax ) (a > 1) ，则A ． sgn[g (x )] = sgn x C ． sgn[g (x )] = sgn[ f (x )]16．(2015 安徽)函数 f (x ) =B ． sgn[g (x )] = - s gn x D ． sgn[g (x )] = - sgn[ f (x )]ax + b(x + c )2 的图象如图所示，则下列结论成立的是A ． a > 0 ， b > 0 ， c < 0 C ． a < 0 ， b > 0 ， c < 0B ． a < 0 ， b > 0 ， c > 0 D ． a < 0 ， b < 0 ， c < 017．(2014 新课标 1)设函数 f (x ) ， g (x ) 的定义域都为R ，且 f (x ) 是奇函数， g (x ) 是偶函数，则下列结论正确的是A ． f (x ) g (x ) 是偶函数B ． f (x ) | g (x ) |是奇函数C ．| f (x ) | g (x ) 是奇函数D ．| f (x ) g (x ) |是奇函数18．(2014 山东)函数 f (x )=1 的定义域为A ． (0 1)B ． (2，+ ∞)C ． (0 1 ) Y (2,+∞)D ． (0 1] Y [2，+ ∞)，，， 22 219．(2014 山东)对于函数 f (x ) ，若存在常数a ≠ 0 ，使得 x 取定义域内的每一个值，都有f (x ) = f (2a - x ) ，则称 f (x ) 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A ． f (x ) =B ． f (x ) = x2C ． f (x ) = tan xD ． f (x ) = cos(x +1)(log x )2-121 ] U[ , ] ] U[ , ] 20．(2014 浙江)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2+ bx + c ，且0 ≤ f (-1) = f (-2) = f (-3) ≤ 3 ，则A ． c ≤ 3B ． 3 < c ≤ 6C ． 6 < c ≤ 9D ． c > 921．(2015 北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ． y = e- xB ． y = x3C ． y = ln xD ． y = x22．(2014 湖南)已知 f (x ), g (x ) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f (x ) - f (x )= x 3+ x 2+1 ， 则f (1) + g (1) ＝ A ．－3B ．－1C ．1D ．323．(2014 江西)已知函数 f (x ) = 5|x | ， g (x ) = ax 2 - x (a ∈ R ) ，若 f [g (1)] = 1 ，则a =A ．1B ．2C ．3D ．-124．(2014 重庆)下列函数为偶函数的是A ． f (x ) = x -1B ． f (x ) = x 3+ xC ． f (x ) = 2x- 2- x⎧x 2 +1, D ． f (x ) = 2x + 2- xx > 025．(2014 福建)已知函数 f (x )= ⎨ ⎩cos x , x ≤ 0则下列结论正确的是A ． f (x )是偶函数B ． f (x )是增函数C ． f (x )是周期函数D ． f (x )的值域为[-1,+∞) ⎧ cos π x , x ∈ ⎪1[0, ] 226．(2014 辽宁)已知 f (x ) 为偶函数，当 x ≥ 0 时， f (x ) = ⎨ ，则不等式 1 ⎪2x -1, x ∈ ( , +∞)f (x -1) ≤ 的解集为2 1 2 4 7[ , ] U[ , ]4 3 3 4 1 3 4 7[ , ] U[ , ]3 4 3 4 27．(2013 辽宁)已知函数 f (x ) =⎪⎩ 2B ．[- 3 , - 1 1 2 4 3 4 3D ．[- 3 , - 1 1 3 4 3 3 4 - 3x ) +1，则 f (lg 2) + 1=A ． -1A ． C ．f (lg ) 2B．0 C．1 D．2⎩2⎧-x 2 + 2x , x ≤ 028．(2013 新课标Ⅰ)已知函数 f (x ) = ⎨ln(x +1), x > 0 ，若| f (x ) |≥ ax ，则a 的取值范围是A ． (-∞, 0]B ． (-∞,1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]29．(2013 广东)定义域为R 的四个函数 y = x 3 , y = 2x , y = x 2 +1, y = 2 sin x 中，奇函数的个数是 A ． 4B ． 3C ． 2D ．1lg(x +1)30．(2013 广东)函数 f (x ) =x -1的定义域是A ． (-1, +∞)B ．[-1, +∞)C ． (-1,1) U (1, +∞)D ．[-1,1) U (1, +∞)31．(2013 山东)已知函数 f (x ) 为奇函数，且当 x > 0 时， f (x ) = x 2+ 1x，则 f (-1)=A ．－2B ．0C ．1D ．232．(2013 福建)函数 f (x ) = ln(x 2 +1) 的图象大致是A ．B ．C ．D ．33．(2013 北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞) 上单调递减的是A ． y = 1xB ． y = e- xC ． y = -x 2+1D ． y = lg x34．(2013 湖南)已知 f (x ) 是奇函数， g (x )是偶函数，且 f (-1)+ g (1) = 2 ， f (1) + g (-1) = 4 ，则 g (1) 等于A ．4B ．3C ．2D ．135．(2013 重庆)已知函数 f (x ) = ax 3+ b sin x + 4(a , b ∈ R ) ， f (lg(log 10)) = 5 ，则 f (lg(lg 2)) =A ．-5B ． -1C ．3 D ．4 36．(2013 湖北) x 为实数，[x ] 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f (x ) = x - [x ] 在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数log 1 (2x +1) 2⎨ ⎩π37．(2013 四川)函数 y = x 3 3x -1的图像大致是AB C D38．(2012 天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为A ． y = cos 2x , x ∈ RB ． y = log 2 | x |, x ∈ R 且x ≠ 0C ． y = e x - e - x 2, x ∈ R⎧1, x > 0,D ． y = x 3+139．(2012 福建)设 f (x ) = ⎪0 , x = 0, ⎪-1, x < 0, ⎧1, x 为有理数 g (x ) = ⎨ ，则 f (g ( )) 的值为⎩0, x 为无理数 A ．1B ．0C ． -1D ． π40．(2012 山东)函数 f (x ) =1 +ln(x + 1)的定义域为 A ．[-2, 0) U (0, 2]B ． (-1, 0) U (0, 2]C ．[-2, 2]D ． (-1, 2]41．(2012 陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A y = x +1B y = - x3C y = 1xD y = x | x |42．(2011 江西)若 f (x ) =，则 f (x ) 的定义域为A ．( - 1,0)B ．( - 1 ,0]C ．( - 1, + ∞ )D ．(0, + ∞ )22243．(2011 新课标)下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是A ． y = x3B ． y = x +1C ． y = -x 2+1D ． y = 2- x44．(2011 辽宁)函数 f (x ) 的定义域为R ， f (-1) = 2 ，对任意 x ∈ R ， f '(x ) > 2 ，则 f (x ) > 2x + 4 的解集为 A ．( -1，1)B ．( -1，+ ∞ )C ．( - ∞ ， -1)D ．( - ∞ ，+ ∞ )4 - x 2⎩ 2⎩⎧2x , x > 0 45．(2011 福建)已知函数 f (x ) = ⎨x +1, x ≤ 0．若 f (a ) + f (1) = 0 ，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．346．(2011 辽宁)若函数 f (x )=x(2x + 1)(x - a )为奇函数，则a =(A)1 (B)2 (C)3 (D)123447．(2011 安徽)设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≤ 0 时， f (x ) = 2x 2- x ，则 f (1) = A ．－3B ．－1C ．1D ．348．(2011 陕西)设函数 f (x )(x ∈ R ) 满足 f (-x ) = f (x ), f (x+ 2) = f (x ), ,则 y = f (x ) 的图像可能是49．(2010 山东)函数 f (x ) = log (3x+1)的值域为A ． (0, +∞)B ． ⎡⎣0, +∞)⎧ 2x +1, C ． (1, +∞)x < 1D ． ⎡⎣1, +∞)50．(2010 年陕西)已知函数 f (x ) = ⎨x 2 + ax , x ≥ 1 ，若 f ( f (0)) =4 a ，则实数a =A ． 1 2B ． 4 5C ．2D ．951．(2010 广东)若函数 f (x ) = 3x+ 3- x与 g (x ) = 3x- 3- x的定义域均为R ，则A ． f (x ) 与 g (x ) 均为偶函数B ． f (x ) 为偶函数， g (x ) 为奇函数C ． f (x ) 与 g (x ) 均为奇函数D ． f (x ) 为奇函数， g (x ) 为偶函数52．(2010 安徽)若 f (x ) 是R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f (1) = 1, f (2) = 2 ，则 f (3) - f (4)=⎨ , ,1, 2, 3} ⎩A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题53．(2018 江苏)函数 f (x ) =的定义域为．54．(2018 江苏)函数 f (x ) 满足 f (x + 4) =⎧cos πx , 0 < x ≤ 2, f (x )(x ∈ R ) ，且在区间(-2, 2] 上，f (x ) = ⎪ 2 ⎪| x + 1⎩ 2|, -2 < x ≤ 0,则 f ( f (15)) 的值为 ．55． (2018 上海)已知α ∈{-2, -1, - 1 12 2，若幂函数 f (x ) = x α 为奇函数，且在（0，+ ∞）上递减，则α =56．(2018 北京)能说明“若 f (x ) > f (0) 对任意的 x ∈ (0, 2] 都成立，则 f (x ) 在[0, 2] 上是增函数”为假命题的一个函数是 ．⎧ x +1, x ≤ 0 157．（2017 新课标Ⅲ）设函数 f (x ) = ⎨2x ,x > 0 ，则满足 f (x ) + f (x - ) > 1 的 x 的取 2值范围是 ．58．（2017 江苏）已知函数 f (x ) = x 3- 2x + e x-1 ，其中e 是自然数对数的底数，若exf (a -1) + f (2a 2 ) ≤ 0 ，则实数a 的取值范围是．59．（2017 山东）若函数e xf (x ) (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在 f (x ) 的定义域上单调递增，则称函数 f (x ) 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是 ① f (x ) = 2- x② f (x ) = 3- x③ f (x ) = x3④ f (x ) = x 2+ 260．（2017 浙江）已知a ∈ R ，函数 f (x ) =| x + 4- a | +a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则xa 的取值范围是．61．(2016 天津)已知 f (x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间(-∞, 0) 上单调递增.若实数 a 满足 f (2a -1) > f (- 2) ，则 a 的取值范围是 .62．(2016 江苏)设 f (x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[-1,1) 上，log 2 x -1⎨( ) ⎪ ( ( )) ⎪x ⎧x + a , f (x ) = ⎪-1≤ x < 0, 其中a ∈ R ，若 f (- 5) = f ( 9) ，则 f (5a ) 的值是．x , 0 ≤ x < 1, 2 2⎩ 63．(2015 新课标Ⅰ)若函数 f (x ) = x ln(x +为偶函数，则a =⎧x + 2- 3, x ≥164．(2015 浙江)已知函数 f (x ) = ⎪x，则 f ( f (-3)) = ， f (x ) 的最小⎪⎩lg(x 2 +1), x < 1值是．65．(2015 山东)已知函数 f (x ) = a x+ b (a > 0, a ≠ 1) a + b = ．的定义域和值域都是[-1, 0] ，则⎧-x + 6, x ≤ 2, 66．(2015 福建)若函数 f x = ⎨⎩3 + log a x , x > 2,实数a 的取值范围是．( a > 0且a ≠ 1 )的值域是[4, +∞)，则67．(2014 新课标Ⅱ)偶函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = ．67．(2014 湖南)若 f (x )= ln (e 3x +1)+ ax 是偶函数，则a = ．68．(2014 四川)设 f (x )是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x ∈[-1,1)时，⎧-4x 2 + 2, -1 ≤ x < 0, 3f (x ) = ⎨⎩x ,0 ≤ x < 1, ，则 f ( ) = ． 2 70．(2014 浙江)设函数( )⎧x 2 +x , x < 0 若 f f a ≤ 2 ，则实数 的取值范围是 .f x = ⎨ ⎩- a 2 , x ≥ 0 71．(2014 湖北)设 f (x )是定义在(0,+∞)上的函数，且 f (x ) > 0 ，对任意a > 0, b > 0 ，若经过点 (a , f (a )) ， (b , - f (b )) 的直线与 x 轴的交点为 (c ,0)，则称 c 为 a , b 关于函数f (x ) 的 平 均 数 ， 记 为 M f (a , b ) ，例如 ，当 f (x )= 1(x > 0)时 ， 可 得M (a , b ) = c =a +b ，即 M f2f(a , b ) 为 a , b 的算术平均数．(Ⅰ)当 f (x )= (x > 0) 时， M f (a , b ) 为a , b 的几何平均数； (Ⅱ)当 f (x )=(x > 0) 时， M f(a , b ) 为a , b 的调和平均数 2ab；a b⎨- x - 2a , x ≥ 1 2 2 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)72．(2013 安徽)函数 y = ln(1+ 1)x⎧⎪log 1 x , 的定义域为．x ≥ 173．(2013 北京)函数 f (x ) = ⎨ 2 ⎪⎩2x,的值域为．x < 174．(2012 安徽)若函数 f (x ) =| 2x + a | 的单调递增区间是[3,+∞) ，则a =．75 ． (2012 浙江) 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数， 当 x ∈[0,1] 时，f (x ) = x +1，则3= ．f ( )2 ⎧⎪lg x x > 076．(2011 陕西)设 f (x ) = ⎨x + a 3t 2dtx … ，若 f ( f (1)) = 1 ，则a = ．⎪⎩ ⎰077．(2011 江苏)已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧2x + a , x < 1⎩，若 f (1 - a ) =f (1 + a ) ，则 a 的值为78．(2011 福建)设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射 f :V → R 满足：对任意向量a = (x 1, y 1 ) ∈V ， b= (x 2 , y 2 ) ∈V ，以及任意λ ∈R ，均有 f (λ + a (1- λ)b ) = λ f (a ) + (1- λ) f (b ),则称映射 f 具有性质 P ． 现给出如下映射：① f 1 :V → R , f 2 (m ) = x , - y , m = (x , y ) ∈V ;② f :V → R , f (m ) = x 2+ y , m = (x , y ) ∈V ;③ f 3 :V → R , f 3 (m ) = x + y +1, m = (x , y ) ∈V .其中，具有性质 P 的映射的序号为．(写出所有具有性质 P 的映射的序号)79．(2010 福建)已知定义域为（0，+ ∞）的函数 f (x ) 满足：①对任意 x ∈（0，+ ∞），恒有f (2x )=2f (x ) 成立；当 x ∈ (1, 2] 时， f (x )=2 - x ．给出如下结论：①对任意m ∈ Z ，有 f (2m)=0 ；②函数 f (x ) 的值域为[0，+ ∞）；③存在n ∈ Z ，使得f (2n +1)=9 ；④“函数f (x) 在区间(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a, b) ⊆ (2k , 2k +1 ) ”．其中所有正确结论的序号是．80．(2010 江苏)设函数f (x) =x(e x +ae-x ) ( x ∈R)是偶函数，则实数a= ．。