[数学]复变函数第三章
复变函数第3章
§3.1 复变函数积分的概念
主要内容
一 积分的定义 二 可积的条件及计算法 三 积分的性质
要求： 要求：
理解复变函数积分的概念， 理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质
§3.1 复变函数积分的概念
一 积分的概念
1 有向曲线： 有向曲线： 为平面上给定的一条光滑( 设 C为平面上给定的一条光滑 ( 按段光滑 ) 曲线 . 如果选 为平面上给定的一条光滑 按段光滑) 曲线. 的两个可能方向中的一个作为正方向， 定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把 的两个可能方向中的一个作为正方向 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线 理解为带有方向的曲线， 理解为带有方向的曲线 称为有向曲线
k =1
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆x k + u(ξ k ,η k )∆y k ]
k =1
n
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
1 积分存在的条件 是连续函数C是光滑曲线 若f(z)是连续函数 是光滑曲线,则积分∫ f (z)dz一定存在 是连续函数 是光滑曲线, C 【证】∑ f (ζ k ) ⋅∆z k = ∑ [u(ξ k ,η k )∆x k − v (ξ k ,η k )∆y k ]
udx − vdy + i ∫ vdx + udy
C
C
udx + ivdx + iudy − vdy
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线 的方程为 设连续函数 ，光滑曲线C的方程为
z = z(t) = x(t) + i y(t), α ≤ t ≤ β
复变函数第三章
第三章小结本章主要介绍了求解曲线积分的各种方法，另外还介绍了解析函数与调和函数的关系一、求解曲线积分()Cg z dz ⎰的步骤先利用C 的复数方程将被积函数化简情况1. C 非封闭若能找到包含C 的单连通域B 使得在B 内()g z 处处解析，在此邻域内将给定的曲线积分转化为定积分利用牛-莱公式求解，否则利用参数方程法求解例 计算1C dz z ⎰，其中C 为上半平面的圆1z =，起点为负实轴上的点，终点为正实轴上的点 解：111111C dz dz L nz z z --==⎰⎰判断上述解法的对错情况2. C 封闭1. 寻找被积函数在整个复平面上的全部奇点2. 分析这些奇点与曲线的位置关系，从而确定出曲线内奇点的个数3. 若曲线内无奇点，则由基本定理知()0Cg z dz =⎰，否则 4. 在曲线内分别做一些包围这些奇点的正向圆i C 使得这些圆互不相交互不包含且每个圆内只有()g z 的一个奇点i z ，利用复合闭路定理将计算曲线积分()Cg z dz ⎰的问题转化为计算()iC g z dz ⎰的问题5. 若()()()()n i f z g z n N z z =∈-且()f z 在C 上及C 内解析，利用高阶导公式或柯西积分公式求解，否则参数方程法二、解析函数与调和函数的关系1．解析函数的实虚部均为调和函数2. 满足一定条件的调和函数也可确定解析函数：例知调和函数v ，求解析函数u iv +不定积分法步骤(1). 将'()vvf z i y x ∂∂=+∂∂中的,x y 用z 表示：将关于y 的运算转为关于iy 的运算(2). 将'()f z 关于z 求不定积分得()f z偏积分步骤：围绕C-R 方程展开由C-R 方程中的任一个uvx y ∂∂=∂∂得1(,)()uu dx h x y g y x ∂==+∂⎰利用v ux y∂∂=-∂∂得12'()()g y g y=。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数第三章
第三章：幂级数展开1. 一致收敛的复变项级数已知复变项级数： +++++=∑∞=)()()()()(2100z w z w z w z w z w k k k ，该级数的前1+n 项和)()()()()(2100z w z w z w z w z w n nk k ++++=∑= 称为级数的部分和。
把部分和序列∑=n k k z w 0)(表示为∑∑∑===+=nk k n k k n k k y x v i y x u z w 0),(),()(，则有：∑∑∑=∞→=∞→=∞→+=nk k n n k k n n k k n y x v i y x u z w 0),(lim ),(lim )(lim这样把复变项级数的收敛问题归结为两个实变项级数。
复变项级数的收敛性和一致收敛性：任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，对于区域E （或曲线l ）上的所有点z 来说，部分和满足不等式ε<-∑=)()(0z w z w nk k ，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ，如果)(εN 只与ε有关，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
复变项级数在区域E （或曲线l ）上收敛和一致收敛的充要条件（柯西判据）： 对于区域E （或曲线l ）上的所有点z ，任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，有不等式ε<∑++=pn n k kz w1)(（其中p 为任意正整数），则级数∑∞=0)(k kz w在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ；如果)(εN 只与ε有关，则级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
绝对收敛：如果复变项级数各项的模组成的级数∑∞=0)(k k z w 收敛，则称复变项级数∑∞=0)(k kz w绝对收敛。
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数3
推论（复合闭路定理）： 推论（复合闭路定理）：
设C1 , C 2 , L , C n 为简单闭曲线 (互不包含且互不相交 ， 互不包含且互不相交)， 互不包含且互不相交
C为包含C1 , C 2 , L , C n的简单闭曲线，
D为由边界曲线 Γ = C U C U C U L U C
− 1 − 2 − n
C : z = z0 + reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ), dz = ireiθ dθ 解：
I=∫
2π
0
2π ire iθ dθ 0, n ≠ 1, 1 − i ( n −1)θ dθ = iθ n = n −1 ∫ ie (re (re ) r 0 2π i, n = 1.
dz 例如 ∫ = 2π i, z =1 z
∫
C
f (z) 2π i (n) dz = f (z0 ) n+1 (z − z0 ) n!
求下列积分的值, 其中C为正向圆周 为正向圆周: 例1 求下列积分的值 其中 为正向圆周 | z | = r >1. cosπz ez
(z +1) (z −1) C cosπz [解] 1) 函数 内的z=1处不解析 处不解析, 解 内的 处不解析 但cosπz在C内 π在 内 5 在C内的 (z −1 )
其中C为在函数 的解析区域D内围绕 其中 为在函数 f (z)的解析区域 内围绕 z0的任何一条正 的解析区域 向简单曲线, 而且它的内部全含于D. 向简单曲线 而且它的内部全含于
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 高阶导数公式的作用 不在于通过积分来求导 而在于通过求导来求积分. 而在于通过求导来求积分
第三章 复变函数的积分
§3.1 复积分的概念
复变函数-第3章
切矢不为零
并且在[a,b]上, x′(t ), y′(t ) 存在连续且不同时为零, 则称 γ 为 光滑曲线; 若 z (a) = z (b), z ′(a) = z ′(b), 则称 γ 为光滑闭曲线.
光滑弧
光滑闭曲线
(3) 若 f (z ) 和 g (z ) 沿 γ 可积, 则
∫γ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫γ f ( z )dz ± ∫γ g ( z )dz.
定理 3.1.3
连续
可积
有界
设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在逐段光滑曲线 Γ 上连续, 则
其中, l (Γ) = ∫ ds, ds =| dz |= (dx) 2 + (dy ) 2 . 特别,
∫
Γ
f ( z )dz ≤ max | f ( z ) | ⋅l (Γ).
z∈Γ
证明: (1) 设
z k = xk + iyk , Δxk = xk − xk −1 , Δyk = yk − yk −1 , ck = ξ k + iη k ,
0
∫
r3
′ z dz = ∫ z3 (t ) z3 (t )dt = ∫ [−t (1 − i )]2 [−1 − i ]dt
2 0 2 −2 −2
0
= −(1 + i )(1 − i )
2
∫
0
−2
t 2 dt = −(1 + i )(1 − i ) 2 8 . 3
r3
∫
Γ
z 2 dz = ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz = 1 (16 + 32i ). 3
第3章复变函数的积分
15
四、复积分的计算方法
函数的线 C f ( z )dz 可以通过两个二元实变 积分来计算.
C f ( z )dz {u[ x( t ), y( t )] x( t ) v[ x( t ), y( t )] y( t )}dt
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz .
C2 Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
17
例3-1 计算 C zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段.
x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,
第一节 复变函数的积分
一、复变函数积分的定义 二、复积分存在的条件及其计算法 三、复积分的基本性质
四、小结与思考
1
一、积分的定义
1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
udx vdy i vdx udy .
C C
11
三、复积分的基本性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f ( z )dz
C C C
f ( z )dz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
复积分存在的必要条件 若函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) 沿（按段）光滑曲线 z z (t ) x(t ) iy (t ) ( t ) 连续，则 f(z) 沿 C： C 可积，且成立 f ( z)dz udx vdy i vdx udy.
z
z z0 rei
z0 r
x
解：C 的方程： i z z0 re , 0 2 ,
2 i
O
2 dz ire i i 2 in C ( z z0 )n1 0 r n1ei(n1) d 0 r nein d r n 0 e d
（1）
C
—
f ( z )dz f ( z )dz;
C C C
kf ( z)dz k f ( z)dz; （3） [ f ( z ) g ( z )]dz f ( z )dz g ( z )dz;
（2） k C,
C C C
（4） f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz +
变量替换公式
C
f ( z )dz f [ z(t )]z '(t ) dt
例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：
1i
0
( x 2 iy )dz.
8
例 计算 C zdz , 其中 C 为从原点到点3+4i的直线段.
dz 例 计算 ，其中 C n 1 C (z z ) 0 为以 z0 为中心，r 为半径 的正向圆周，n 为整数.
C
f ( z )dz {u[ x(t ), y (t )]x'(t ) v[ x(t ), y(t )] y'(t )}dt
i {v[ x(t ), y(t )]x'(t ) u[ x(t ), y(t )] y'(t )}dt
(u iv)[ x'(t ) iy'(t )]dt f [ z (t )]z'(t )dt
C C1 C2
f ( z )dz，
Cn
其中 C 是由C1， C2， ， Cn 等光滑曲线段依次相互连接 所组成的按段光滑曲线;
4
（5） （积分估值） f ( z )dz f ( z ) ds Ml (C ),
C C
其中 ds dz (dx )2 (dy ) 2 表示弧长的微分.
C C C
pf：令 k k ik，zk xk iyk
f (
k 1
n
k
)zk [u ( k ,k ) iv( k ,k )](xk iyk )
n k 1 k 1
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ] i [v( k ,k )xk u ( k ,k )yk ]
1 z1
O
2zk
B=z1
x
Sn f ( k ) zk ,
k 1
n
z0=A
其中 zk zk zk 1. 当 n 趋于无穷时，不论对 C 的 分法及对 k 的取法如何，只要 max l ( zk 1 zk ) 趋于零，
若 Sn 有唯一极限，则称此极限值为 f(z) 沿 C 的积 分. 记作
注 事实上， zdz ( x iy )(dx idy )
C C
xdx ydy i ydx xdy
C C
与积分路线 C 无关，只与端点有关.
dz y 例 计算 ，其中 C n 1 C (z z ) 0 为以 z0 为中心，r 为半径 的正向圆周，n 为整数.
M
1
x
9
解：直线段 C 的方程：
x 3t ， y 4t
或
1
0 t 1
0 ≤t ≤1
2 1
z=3t+i4t,
则在 C 上 dz=(3+4i)dt，从而
1 2 zdz (3 t i 4 t )(3 4 i ) dt (3 4 i ) tdt (3 4 i ) . C 0 0 2
第三章 复变函数的积分
§1 复变函数积分的概念 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广
———复合闭路定理
§4 §5 §6 §7
原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
§1 复变函数积分的概念
1.1 积分的定义 •有向曲线
A
C
B
C
设函数 w=f(z) 定义在区域 D 内，C 为 D 内起点 为 A，终点为 B 的一条光滑的有向曲线，在 C 上从 A 到 B 依次取分点： zk k A z0 , z1 , , zn1 , zn B y 在弧 zk 1 zk (k 1,2, , n) 上 任意取一点 k , 作和式
k 1
6
n
两边关于n取极限，即得原式成立。
注 形式上看， C f ( z )dz C (u iv )(dx idy )
udx vdy i vdx udy.
C C
例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：
1i
0
( x 2 iy )dz.
7
由线积分的变量替换公式知，
y
z
z z0 rei
z0 r
O y
i
P
x
例 计算 zdz 的值，其中 C 为
C
1）沿直线段 OP : z (1 i )t , 0 t 1; 2）沿折线段 OMP，其中OM :
z t , 0 t 1; MP : z 1 it , 0 t 1. O
1 k n
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
注 若C为闭曲线，则沿C 的积分记作 C f ( z )dz; 若 C 是实轴上的闭区间，而 f(z) 是一个一元实函 数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义 是一致的.
3
复积分的基本性质