第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解
第三讲 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是过程，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x 2+2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x 2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x ，然后提取公因式法因式分解即可．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2-xy+x=x （x-y ）B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3）点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．（ ） （ ）例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）22222例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+92．（2013•佛山）分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1）B．a（a-1）2C．a（a+1）（a-1）D．（a2+a）（a-1）3．（2013•恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）A．y（x2-2xy+y2）B．x2y-y2（2x-y）C．y（x-y）2D．y（x+y）2二、填空题A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）10．（2014•漳州模拟）下列因式分解中，结果正确的是（）A．x2y﹣y3=y（x2﹣y2）B．x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+）C．x2﹣x﹣1=x（x﹣1﹣）D．1﹣（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）三．解答题（共8小题）（2）通过计算，验证等式a⊕b=b⊕a成立．29．（2014•萧山区模拟）已知三条线段a，b，c，其长度分别为a=mn，b=（m2+n2），c=（m﹣n）2（其中m，n为不相等的正数），试问a，b，c三条线段能否构成三角形？请说明理由．。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1:因式分解的四种基本方法有哪些?问题2:添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的问题3:换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为因式分解综合应用(添项拆项)(人教版)一、单选题(共10道，每道10分)1.把4x4+1因式分解，正确结果是()A.4(x+1)*8.(2x²+2x+1X2x²-2x+1)c.(x²+2x+2)(x²-2x+2)p.(2x²+1)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法2.把x⁴+2°因式分解，正确结果是()A.(x²+8)²8.(x²-4x+8)(x²+4x+8)c.(x-2)²(x+2)²D,(x²-8)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法3.把x³-1因式分解，正确结果是()A.(X+1Xx-1)8.(x-1)<2-x+1)c.(x-1(2+x+1。
.(x+1)<²-x+1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法4.把4x⁴+y⁴+3x²y²因式分解，正确结果是()A.(2x²+y³)²8.(2x²-xy+y²)(2x²+xy+y³)c.(2x+y)²(2x-y)²D.(2x+y+xy)(2x+y-xy)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法5.把α³+11a+12因式分解，正确结果是()A.(a+1)(a-1)(a-12)g.(α+1)(a+3)(a-4)c.(a- 1)a²+a- 12)D.(a+1)(a²-α+12)答案：D解题思路：法( 一):原式=a³-a+12a+12=a(a+1)(a-1)+12(a+1)=(a+1)(a²-a+12)法(二):原式=a+a²-a²+11a+12=a²(a+1)- (a²-1la-12)=a²(a+1)- (a-12)(a+1)=(a+1)(a²-a+12)故选D .试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法6.把m³-2m-1因式分解，正确结果是()A.m(m-1)²8(m+1)(m²-p2-1)c.(m+1)(m-1)²D.(m-1)(m²+m-1)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法Z .把x²-y²+2x-4y-3因式分解，正确结果是() A.(x-y- 1)²B.(x+y+1(x-y- 1)c.(x+y- 1)(x-y+3)o.(x+y+3)(x-y- 1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧--添项拆项法8.把2x³+4x²-x-3因式分解，正确结果是()A.(X- 1)(x- 1)2x+3)8.(x+1)2(2x-3)c.(x+1)(2x²+2x-3)。
第三讲 因式分解法与韦达定理
第三讲 因式分解法与韦达定理知识点一、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21，a b x x =21 ，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例题:1.用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ； (5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．3.已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．4.若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5.解方程组6.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =7.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．提升练习:1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－82.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝56.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．47.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．118.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且 10．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 11．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或12．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b a c ∆=-和完全平方式2(2)M a t b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 13．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或 14.方程t (t ＋3)＝28的解为_______．15.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．16.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．17.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．18.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．19.．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______20.．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．21．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．22．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．23．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．24．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．25．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．26．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．27．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．28．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．29．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．30．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．31．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．32．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x 。
因式分解综合应用(讲义及答案)
因式分解综合应用（讲义）课前预习1.因式分解的基本方法有______________________________．因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”．其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底．2.把下列各式因式分解．（1）224x y x -；（2）221216a a -+-；（3）222221x xy y x y -+-++；（4）42627x x --．知识点睛1._____________、__________、___________、__________是因式分解的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________．①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式．②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________．精讲精练1.把下列各式因式分解．（1）222(2)7(2)8x x x x +-+-；（2）22(42)(46)4x x x x -+-++；（3）(1)(3)(5)(7)15a a a a +++++；（4）(1)(2)(3)(4)24x x x x -----；（5）22423a b a b -+++；（6）326116x x x +++；（7）44x +；（8）31x +；（9）398x x -+；（10）376m m -+．2.基本事实：若ab =0，则0a =或0b =．对于方程220x x --=，可通过因式分解，化为(2)(1)0x x -+=，由基本事实得，20x -=或10x +=，即方程的解为2x =或1x =-．利用上述基本事实，可求得方程220x x -=的解为______________．3.若2222()(1)20x y x y ++--=，则22x y +=_____________．4.已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，且满足222166100a b c ab bc --++=，则2b a c --=____________．5.阅读下面的学习材料：已知多项式322x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值．解法：设3222(21)()x x m x x ax b -+=+++，则323222(21)(2)x x m x a x a b x b -+=+++++，比较系数得21120a a b b m +=-⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得11212a b m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴12m =．根据以上学习材料，解答下面的问题．已知多项式3245x x mx +++有因式1x +，求m 的值．6.对于多项式32510x x x -++，如果我们把2x =代入此多项式，发现多项式325100x x x -++=，这时可以断定多项式中有因式2x -（注：把x a =代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x a -），于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++．（1）式子中m =_______，n =_______；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法将多项式3221310x x x ---因式分解．7.将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，并观察这4个图形的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系．你能据此将2()x p q x pq +++因式分解吗？8.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用这样的硬纸片拼成一个新的矩形，如图2．图1图2①用两种不同的方法，计算图2中矩形的面积；②由此，你可以得到一个等式为______________________．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示，图3①请用拼图的方法推出一个完全平方式，并画出你的拼图；②请用拼图的方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，并画出你的拼图．【参考答案】课前预习1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法一提二套三分四查2.（1）2()()x y x y x +-（2）2(2)(4)a a ---（3）2(1)x y --（4）2(3)(3)(3)x x x +-+ 知识点睛1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法；基本方法1重复出现，设元2分组分解法，式子结构精讲精练1.（1）2(1)(4)(2)x x x ++-（2）4(2)x -（3）2(2)(6)(810)a a a a ++++（4）2(5)(510)x x x x --+（5）(1)(3)a b a b ++-+（6）(1)(2)(3)x x x +++（7）22(22)(22)x x x x ++-+（8）2(1)(1)x x x +-+（9）2(1)(8)x x x -+-（10）(1)(2)(3)m m m --+2.x =0或12x =3.24.05.m =86.（1）-3，-5（2）3221310(1)(2)(5)x x x x x x ---=++-7.2()()()x p q x pq x p x q +++=++，画图略8.（1）①2121s a a =++，22(1)s a =+；②22(1)21a a a +=++（2）①222()2ab a ab b +=++，拼图略；②22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++，拼图略。
第3讲_因式分解(竞赛班)答案[1]
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第三讲因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．【例1】将x4+8分解因式正确的是（）A、（x4﹣16）B、（x2+4）（x2﹣4）C、（x2+4）（x+2）（x﹣2）D、（x2+2）（x2﹣2）2考点：因式分解-运用公式法。
分析：先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．解答：解：x4+8，=（x4﹣16），=（x2﹣4）（x2+4），=（x﹣2）（x+2）（x2+4）．故选C．点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例2】20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1．考点：因式分解-运用公式法。
专题：常规题型。
分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键．【例3】分解因式x4﹣2x2+1.解：x4﹣2x2+1=（x2﹣1）2=[（x﹣1）（x+1）]2=（x﹣1）2（x+1）2.【例4】多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z）B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。
分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式．解答：解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz=（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z=（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）=（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]=（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选A．点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例5】分解因式：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）．考点：因式分解-十字相乘法等。
中考数学：第3讲《因式分解》同步练习(含答案)
课后练习3因式分解A组1. 把x2y—2y2x+ y3分解因式正确的是（）A . y（x2—2xy+ y2）2 2B . x y—y （2x—y）2C. y（x—y）D . y（x+ y）22. （2015宜宾）把代数式3x3—12x2+ 12x分解因式，结果正确的是（）2 2 2A . 3x（x —4x+ 4）B. 3x（x—4） C . 3x（x+ 2）（x—2） D . 3x（x—2）3 . （2016台湾）多项式77x2—13x—30可因式分解成（7x+ a）（bx+ c），其中a、b、c均为整数，求a+ b + c之值为何？（）A. 0B. 10C. 12D. 224. 若A = 101 X 9996X 10005, B= 10004 X 9997X 101,则A—B 之值为（）A. 101B. —101C. 808D. —80825 . （1）（2017 丽水）分解因式：m+ 2m = ________________ .⑵（2017湖州）把多项式x2—3x因式分解，正确的结果是 ______________________ .2（3）________________________________________ （2016舟山）因式分解：a —9 = .2（4）___________________________________________ （2016 台州）因式分解：x —6x+ 9 = .2 26 . （2016杭州）若整式x + ky （k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 _________________ （写出一个即可）.7.分解因式：3 2（1）（2015 黄冈）x —2x + x;(2)(2015 深圳)3a2—3b2;2 2⑶ am —4an ;o凶（2015绵阳）xy—3y（实数范围内因式分解）.& 已知：a+ b= 3, ab= 2，求下列各式的值:2 2⑴ a b+ ab ；(2) a2+ b2.B组9. 已知(19x—31)(13x—17)—(13x—17)(11x—23)可因式分解成(ax+ b)(8x+ c),其中a、b、c均为整数，则a+ b+ c=( )A . —12B . —32 C. 38 D. 7210. 已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ ab2+ bc2= b3+ a2b+ ac2,则厶ABC的形状是()A •等腰三角形B •直角三角形C •等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形11. (3x + 2)( - x6+ 3x5)+(3x + 2)( - 2x6+ x5) +(x+ 1)(3x6- 4x5)与下列哪一个式子相同( )6 5A . (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5B . (3x - 4X)(2X+ 3)6C. - (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5D . - (3x -4x )(2x+ 3)12.(2016 •湾)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数. 若甲与乙相乘为x2-4，乙与丙相乘为x2+ 15x- 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？()A . 2x+ 19 B. 2x- 19 C . 2x+ 15 D . 2x - 1513 .分解因式：(a+ 2)(a—2) + 3a= _____________________ .14 .多项式ax2—a与多项式x2—2x+ 1的公因式是___________________ .15 . (2017 •城模拟)如图，边长为(m + 3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是第15题图C组16 . (2015 杭州市下城区模拟)若z= 3x(3y- x) - (4x- 3y)(x+ 3y).(1)若x, y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；⑵若y = x+ 1,求z的最小值.参考答案课后练习3因式分解A组1. C2.D3.C4.D25. (1)m(m+ 2) (2)x(x—3) (3)(a + 3)(a—3) (4)(x—3)6. —17. (1)x(x—1)2. (2)3(a + b)(a —b). (3)a(m+ 2n)(m—2n). (4)y(x + . 3)(x —3).8. (1)6 (2)5B组9. A 10.C 11.C 12.A 13.(a—1)(a + 4)14. x—1 15.2m+ 3C组16. (1)z= 3x(3y—x)—(4x—3y)(x+ 3y) = 9xy—3x2—(4^+ 9xy—9y2)= 9xy—3x2—4x2—9xy + 9y2=—7x2+ 9y2,v x 是3 的倍数，二z 能被9 整除. (2)当y = x+ 1 时，贝U z= —7x2+ 9(x + 1)2= 2x2+ 18x+ 9 = 2 x+ 2 —63，：2 x+ 号》0,「・z 的最小值是一穿.。
7年级因式分解第三讲
知识点 1. 长除法 处理多项式除以多项式，需要用长除法进行竖式计算。 举例 (2x3 3x 4) ( x 3) （页面左边留白写板书，右边打出 步骤） 长除法的运算步骤： 1.将被除式和除式按同一字母降幂 排列，如有缺项用 0 补齐 2.列竖式计算 3．当余式的次数低于除式次数时， 计算停止。得到商式和余式
由题意， f (1) 0 ，1 3 8 11 m 0 ，解得 m 17
【例4】
一个关于 x 的二次多项式 f ( x) ，它被 ( x 1) 除余 2，它被 ( x 3) 除余 28， 它还可以被 ( x 1) 整除，求 f ( x)
【解析】设 f ( x) ax2 bx c 由题意得， f (1) a b c 2
1 3
7 9
26 2 x ) 9 9
【练习 2】已知 x2 2x 1 0 ，求 x5 8x3 8x2 5x 1 的值。
【解析】长除法得 x5 8x3 8x2 5x 1 ( x2 2x 1)( x3 2x2 3x 4) 5 故当 x2 2x 1 0 时，原式=5
【例2】
用综合除法计算下列各式的商式和余式。
(3x3 5x2 2) ( x 3) (8x2 2x x4 14) ( x 1)
【解析】商式 3x2 4x 12 ，余式-38 商式 x3 x 9x 11 ，余式-3 奥巴马老师语录：综合除法虽然简单方便，但仅适用于除式为一次因式时。若除式是 二次或更高次，则只能使用长除法。
3 2 2 3 【例 7】因式分解 3x 5x y xy y
因式分解 6x3 5x2 y 3xy 2 2 y3 【解析】原式= ( x y)(3x2 2xy y 2 ) = ( x y)2 (3x y) 原式= ( x y)(6x2 xy 2 y 2 ) = ( x y)(2x y)(3x 2 y)
因式分解的应用(含答案)
1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。
第3讲 因式分解(定)
第三讲 分解因式【基础知识】1．分解因式的概念：，叫做把这个多项式分解因式。
2．分解因式的方法：（法则：分解到不可再分）（1）提公因式法：(1) 对于系数；（2）对于字母，（3）首项是负数，则公因式符号取“－”拓展：()222222a b c ab ac ac a b c ++±±±=±±③公式的拓展：立方和（差）公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+ ； ()()3322a b a b a a b b-=-++ ④三平方，三一倍公式：222222()()()2a b b c a c a b c ab bc ac ±+±+±++±±±=（3）分组分解法：原则：分组后有公因式可提或能用公式分解，且每组之间又有公因式可提或能使用公式。
（4）十字相乘法：()2()()a b x ab x a x b +++=++方法是：拆两边，凑中间【课前热身】1、下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．9)3)(3(2-=-+a a aB ．6)2(10422++=++x x xC ．22)3(96-=+-x x x D ．)12(122xx x x x --=--2、若2249b kab a +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±12【典型例题】例1：把下列各式分解因式 提公因式法：（1）323129x x x -+- （2）3222)2(12)2(24)2(18m n m m n mn n m m -----（3）231(1)(1)(1)x x x x x x x +++++++平方差公式：（1）22(23)36(2)a b a b +-- （2）4481a b -（3）（2010成外半期）22221111(1)(1)(1)(1)234n ----，n 为正整数，且2n ≥完全平方公式：（1）224a b - （2）221222m mn n ++ （3）42167281x x -+分组分解法：（1）3223x x y xy y+--（2）2221x y y --- （3）2222a ab ab a b b -+-+-（4）224963a a b b ---+ （5）2269103025x xy y x y -+-++（6）（2010实外半期）a a b b a b ab ++--422433222十字相乘法：（1）892++x x ； （2）3x 2－11xy －14y 2 ；（3）6(x+y)2 －7(x+y)－3． （4）10x 4－23x 2y 2－5y 4（在实数范围内分解）双十字相乘：（1）()(2)453x y x y x y +++++ （2）（2010实外半期）x x y y --+-229643（3）22276x xy y x y -----例2．（换元法）分解因式()()2232712120x x xx ++++－． （abcd e +型）变式练习： (2010成外半期)分解因式：(2)(3)(1)8x x x x -+++=例3．（添项法）分解因式（1）444x y + （2）42951x x ++例4.（三平方、三一倍公式） 已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++222的值.例5．待定系数法：已知2x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n .变式:1．（08福建）若二次多项式2232k kx x -+能被1x -整除，试求k 的值为2．若二次三项式kx 2+32x –35（k ≠0）有一个因式是2x+7，求k 及另一个因式.例6.主元法：（2010实外半期）()()ab bc ca a b c abc ++++-变式练习：已知一个三角形的三边,,a b c 满足()()()2220a b c b c a c a b -+-+-=，试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。
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第三讲 因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．
(2002年全国初中数学联赛题)
思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )
A ．恒正
B ．恒负
C ．可正可负
D ．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）)
219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）2001200020001998
2000220002323-+-⨯-
思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．
(第13届“希望杯’邀请赛试题)
思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)
(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解
题突破口．
链接
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组)的基本解法有：
(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．
学历训练
1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．
2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)
3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．
4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．
(2003年四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A ．41，48
B ．45，47
C ．43，48
D ．4l ，47
6，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则x
y y x +的值是( ) A ． 2，21
2 B ．2 C ．212 D ．－2，2
12- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )
A ．一2
B ．一1
C ．0
D ． 2
8．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )
A ．1999
B ．2001
C ．2003
D ．2005
（2000年武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：)4
19)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
10．(“五城市”联赛题)若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．
11．已知a 、b 、c 满足a+b ＝5，c 2＝ab+b －9，则c ＝ ． (第15届江苏省竞赛题)
12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c ，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)
13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知01445=--+--b a a b a a ，且132=-b a ，则33b a +的值等于 ．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
15．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )
A ．x<y<z
B ． y<z<x
C ．z <x<y
D ．不能确定
16．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ． 3
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：020012=+-m p p ，020012=+-m q q ，m 是适当的整数，那么22q p +的数值是( )
A ．4004006
B ．3996005
C ．3996003
D ．4004004
18．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A ．5814
B ．5841
C ．8415
D ．845l (陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k 不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．(全国初中教学联赛题)
21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．(第37届美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．(重庆市竞赛题)。