人教版数学八年级下册_名校课堂：期末复习(二)__勾股定理

期末复习（二） 勾股定理知识结构图重难点1 勾股定理的证明【例1】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB ︒∠=，求证：222a b c +=.证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-.21122ACD ABC ADCB S S Sb ab ∴=+=+四边形. 又211()22ADB DCB ADCB S S Sc a b a ∆∴=+=+-四边形， 222221111().2222b ab c a b a a b c ∴+=+-∴+=.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB ∠=，求证：222a b c +=.【解答】勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积.变式训练1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是,a b ，斜边长为c ）和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成图形的示意图（2）证明勾股定理.重难点2 勾股定理及其逆定理【例2】如图，每个小正方形的边长为1.（1）求四边形ABCD 的周长；（2）求证：90BCD ︒∠=.【思路点拨】（1）利用勾股定理求出四边形的各边长；（2）求出△BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.【解答】正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90的一种思路.本题的第（2）问还可以通过两个三角形全等来证明.变式训练2.如图，在正方形ABCD 纸片上有一点,1,2,3P PA PD PC ===.现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C 与A 重合，P 与G 重合，D 与D 重合）.求：（1）线段PG 的长；（2）APD ∠的度数.重难点3 勾股定理在实际生活中的应用【例3】如图，高速公路的同侧有,A B 两个村庄，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为11112km,4km,8km AA BB A B ===.现要在高速公路上11A B 之间设一个出口P ，使,A B 两个村庄到P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？ 思路点拨】运用“两点之间，线段最短”先确定出P 点在11A B 上的位置，再利用勾股定理求出AP BP +的长.【解答】方法指导解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P 点的位置，会构造Rt △AB E '，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.变式训练3.如图，某地方政府决定在相距50km 的,A B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使,C D 两村到E 点的距离相等，已知DA AB ⊥于点,A CB AB ⊥于点,30km,20km B DA CB ==，那么基地E 应建在离A 站多少千米的地方？思想方法 方程思想【例4】如图，在Rt △ABC 中，90,3,4B AB BC ︒∠===，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，求EB '的长.【解答】方法指导方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理构建方程求线段长度. 变式训练4.如图，在长方形ABCD 中，6,3BC CD ==，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A.3B.154C.5D.152复习自测一、选择题（每小题3分，共30分）1.在Rt △ABC 中，90,8,5C AB AC ︒∠===，则BC 的长是（ ）A.3B.C.7 2.小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2cm ，3cm4cm ；②3cm ，4cm ，5cm ；③9cm ，40cm ，41cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（ ）A.②B.①②C.①③D.②③3.下列各命题的逆命题成立的是（ ）A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C.两直线平行，同位角相等D.如果两个角都是45，那么这两个角相等4.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）A. B. C. D.5.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对6.如图，数轴上点,A B 分别对应1,2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（ ）B.7.如图，在△ABC 中，AD BC ⊥于点,17,15,6D AB BD DC ===，则AC 的长为（ ）A.11B.10C.9D.88.设,a b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ）A.1.5B.2C.2.5D.39.如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与点B 的距离是（ ）B.8C.9D.1010.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4,2AC BC ==时，则阴影部分的面积为（ ）A.4B.4πC.8πD.8二、填空题（每小题3分，共18分）11.2，那么这个三角形的最大角的度数为_____.12.小红同学先朝正东方向行进了4km ，再朝正北方向行进了8km ，此时小红离出发点的距离是____________.13.如图，在△ABC 中，5,12,13,AC BC AB CD ===是AB 边上的中线，则CD =__________.14.（2019·荆州）如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm,,,E F G 分别是1,,AB AA AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去个角后得到一个新的几何体（如图2），则图2中阴影部分的面积为__________2cm .15.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形.若2EF =，8DE =，则AB 的长为______________.16.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），90,ACB AC BC ︒∠==，从三角板的刻度可知20cm AB =，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为_____________cm.三、解答题（共52分）17.（8分）如图，已知某山的高度AC 为800米，在山上A 处与山下B 处各建一个索道口，且1500BC =米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18.（10分）在等边△ABC 中，点,D E 分别在边,BC AC 上，若2CD =，过点D 作//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，求EF 的长.19.（10分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中A ∠和DBC ∠都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示.（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积.20.（12分）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm,10cm AB BC ==，求EC 的长.21.（12分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60得到△DBE ，连接,,AD DC CE ，已知30DCB ︒∠=.①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形.11 / 12参考答案【例1】证明：连接BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF b a =-， 2111222ACB ABE ADE ACBED S S S S ab b ab ∆∆∴=++=++五边形，又 2111()222ACB ABD BDE ACBED S S S S ab c a b a ∆∆∆=++=++-五边形， 22222111111().222222ab b ab ab c a b a a b c ∴++=++-∴+=. 【例2】（1）四边形ABCD的周长为（2）证明：连接BD ，22234,BC CD DB BC CD BD ===∴+=.∴△BCD 是直角三角形，即90BCD ︒∠=.【例3】出口P 到,A B 两村庄的距离之和最短是10km.【例4】EB '的长为1.5.变式训练1.解：（1）图略.（2）证明：22221()42c b a ab b a =-+⨯=+. 2.解：（1）PG =（2）135APD ∠=.3.解：基地E 应建在离A 站20km 的地方4.B复习自测1.B2.D3.C4.D5.A6.B7.B8.D 9.D 10.A11.9012. 13.6.514. 15.1017.解：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶. 18.解：EF =19.解：（1）这个零件符合要求.2222223425,525AB AD BD +=+===，222,90AB AD BD A ︒∴+=∴∠=.又222222512169,13169BD BC DC +=+===，222.90BD BC DC DBC ∴∠+=∴=.（2）由（1）知90,90,A DBC ︒︒∠=∠=∴这个零件的面积为11345123622⨯⨯+⨯⨯=. 20.解：EC 的长为3cm.12 / 12 21.解：（1）正方形、矩形.（2）①证明：∵△ABC ≌△DBE ，.60BC BE CBE ︒∴=∠=，∴△BCE 是等边三角形.②证明：∵△ABC ≌△DBE ，AC ED ∴=.又∵△BCE 为等边三角形，,60.30,90BC CE BCE DCB DCE ︒︒︒∴=∠=∠=∴∠=.在Rt △DCE 中，222222,.DC CE DE DC BC AC +=∴+=∴四边形ABCD 是勾股四边形.。