.1勾股定理与面积(导学案和课件)
勾股定理数学优秀ppt课件
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
《勾股定理》PPT(第1课时)
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
定稿勾股定理与面积问题(教案)
在小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性，但我也注意到有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对自己的观点不够自信。在今后的教学中，我需要关注这部分学生，鼓励他们勇于表达自己的看法，增强他们的自信心。
难点解释：学生需要具备较强的观察力和问题分析能力，以便在复杂问题中准确识别和应用勾股定理。
（3）直角三角形面积与其他几何知识的综合应用：将直角三角形面积的计算与其它几何知识（如平行四边形、梯形面积等）结合起来解决更复杂的问题。
难点解释：学生需要灵活运用不同几何知识，对问题进行分解和转化，这对他们的综合应用能力提出了挑战。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的理解和运用、直角三角形面积的计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理和面积问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作直角三角形的模型，并计算其面积。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《定稿勾股定理与面积问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形边长或面积的情况？”（如计算墙角到墙面的距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理与面积问题的奥秘。
定稿勾股定理与面积问题（教案）
华师版八年级数学 14.1勾股定理(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
2-1. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能
有( B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
感悟新知
知识点 2 勾股定理的证明
知2－讲
1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几 何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形， 并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
出第三边.
3. 运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解.
感悟新知
知1－练
例 1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b， c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(结果保留根号). 解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.
感悟新知
知1－练
1-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b； 解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15. ∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
图形
赵爽的“赵 爽弦图”
知2－讲
证明
∵ 大正方形的边长为c，
∴ 大正方形的面积为c2.
又∵大正方形的面积＝
4×
1 2
ab＋(a－b)2＝a2＋b2，
∴ a2＋b2＝c2
感悟新知
续表： 方法
刘徽的“青 朱出入图”
图形
知2－讲
证明
设大正方形的面积为S，则 S＝c2. 根据“出入相补， 以盈补虚”的原理，有S＝ a2＋b2，∴ a2＋b2＝c2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理导学案(同名13074)
第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。
2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。
学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。
问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系 图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ；若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144AB蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长1、2、2、求出下列各图中x 的值。
北师大八年级数学上册导学案(全套)
弦股勾1.1 探索勾股定理（1） 导学案【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
【难点】探索勾股定理。
【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题： 如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。
（小组讨论） 结论：_____________________ 3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
222ab c 或 222AC BC AB注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。
②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．， 较长的直角边称为股．，斜边称为弦．． A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积） A 、B 、C 面积关系式图1图2图3图4【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。
2、正方形A的面积为______，正方形B的面积为______。
【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。
（要求写出简单过程）（１）（２）【课堂小结】本节课有哪些收获？【课后作业】1、在△ABC中，∠C＝90°，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝；（2）若c＝15，a＝9，则b＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则直角三角形的面积为_________cm23、如图，求等腰△ABC的面积。
《勾股定理》第一课时导学案
17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案学习目标：知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明学习难点：勾股定理的证明学习过程：活动一情境导入古韵今风1、图中两个小正方形分别为A、B2直角三角形三边长度之间的关系：活动二追溯历史解密真相观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)（1）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流一下。
（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么活动三推陈出新借古鼎新已知：如图，在边长为c的正方形中，有四个两直角边分别为a、b，斜边为c全等的直角三角形，求证：222a b c+=（提示：大正小正＝SSSRt+∆4）证明：A B举一反三：勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 活动五 取其精华 古为今用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°,（1）若a = 2，b = 3, 则c = （2）若a = 1，c = 2, 则b = （3）若c = 5，b = 4, 则a = （4）若a =16，c = 20, 则b = 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、在Rt △ABC 中，∠C = 90°∠A = 30°AB = 4，则BC = _______AC = _______ 6、已知：如图，等边△ A B C 的边长是6 cm ，（1）求等边△ A B C 的高C D （2）求△ A B Cx 86135yDBA。
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课题： 勾股定理与面积 （课本第 -- 页）
【学习目标】 班级 姓名 学号
1．回顾勾股定理的发现和证明过程；体会构造法解决图形面积问题时候的。
2．体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用.
【学习重点】勾股定理的应用．
【知识巩固】
1.文字叙述勾股定理的内容 。
2．如图，已知直角三角形ABC 中，∠C=90°，则三边c b a 、、关系是 。
【热身训练】
1．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 2cm ．
2．正三角形ABC 的边长4cm ，这这个三角形的面积是 2cm ．
3．等腰三角形ABC 的腰长13cm ，底边长10cm ，则三角形ABC 的面积是 2cm ．
4．已知△ABC 中，BC =14，AB=15，AC =13，则△ABC 的面积是 ．
第1题 第2题 第3题 第4题
【合作探究】
1．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是 ． 2．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=12，则S 2的值是 ．
第2题 第3题 第4题
3．如图，在扇形OEF 中半径OE 、OF 长为77，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，∠EOF=60°，如果AB ⊥OF ，那么这个正三角形的面积为 ．
4．已知△ABC 中，∠C =120°，BC =AC ，S △ABC 32 ，则AC = ．
【例题讲解】
C A A B A B
1．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a （a ＞2）正方形ABCD 各边上分别截取AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ =∠BGM =∠GHN =∠DEP =45°时，求正方形MNPQ 的面积．
小明发现，分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交F A ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形，则这个新正方形的边长为 ；
（2）求正方形MNPQ 的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD =BE =CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ．若S △RPQ =36，则AD 的长为 ．
【巩固训练】
1．问题：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边长分别为
，求这个三角形面
积．
小亮同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 _________ ．
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC 三边的长分别为a 、（a ＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的
△ABC ，并求出它的面积是： _________ ．
（3）若△ABC 三边的长分别为2222222,16,4n m n m n m +++（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC 的面积为： _________ ．。