八年级 数学 勾股定理与实数复习
八年级下册数学勾股定理的知识点
八年级下册数学勾股定理的知识点八年级下册数学勾股定理的知识点在我们上学期间，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的八年级下册数学勾股定理知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
八年级下册数学勾股定理的知识点1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;若，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形;若，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形质数和合数应用1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。
八年级上册数学总复习资料
八年级上册数学总复习资料初二数学上册总复习指导第一章勾股定理1、探索勾股定理① 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗① 如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数① 有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示② 无理数：无限不循环小数2、平方根① 算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算数平方根② 特别地，我们规定：0的算数平方根是0③ 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。
那么这个数x就叫做a 的平方根，也叫做二次方根④ 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根⑤ 正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥ 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根① 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根，也叫三次方根② 每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0;负数的立方根是负数。
③ 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算① 估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数① 实数：有理数和无理数的统称② 实数也可以分为正实数、0、负实数③ 每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式① 含义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数② =(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b0)③ 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④ 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置① 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系① 含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系② 通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
(完整)八年级数学上册知识点复习总结(北师大版),推荐文档
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
数学第一章第二章知识点
1 / 10第一章勾股定理复习专题一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；如果直角三角形两直角边分2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数 ， ， 4．直角三角形斜边上的高为------------------。
二、典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt △ABC ，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
例题2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
练习：1、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
例题3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
例题4、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？DBA2 / 10练习。
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．(1)求此时AD 的长． (2)求DE 的长。
2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4 CD ．5例题5、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
练习：1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 2．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．7.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．AC DBll 2 l 3ACBABCFEDCBA专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
初二上期末复习勾股定理与平方根
（二）勾股定理与平方根一、勾股定理、勾股数、勾股定理的应用 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
例1：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例2：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例3：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？Aa ED CB A DCBA例4：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？ 【巩固练习】1、Rt △ABC 中，∠C=900⑴如果BC=9，AC=12，那么AB= 。
⑵如果BC=8，AB =10，那么AC = 。
2、等腰三角形ABC 的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为多少？二、平方根、立方根1、平方根如果一个数的平方等于9，这个数是几？ ±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
八年级数学(上)全册教案(新人教版)
八年级数学(上)全册教案(新人教版)第一章：勾股定理1.1 勾股定理的发现导入：通过直角三角形的实际测量，让学生感受勾股定理的背景。
探究：引导学生通过实际操作，发现勾股定理，并能够用字母表示。
练习：让学生通过解决实际问题，巩固勾股定理的应用。
1.2 勾股定理的证明导入：通过回顾三角形知识，引导学生思考勾股定理的证明方法。
探究：让学生通过割补、折叠等方法，尝试证明勾股定理。
练习：让学生通过解决实际问题，加深对勾股定理证明的理解。
第二章：实数与方程2.1 实数的分类导入：通过生活中的实例，引导学生理解实数的概念。
探究：让学生通过分类讨论，理解实数的分类，包括有理数和无理数。
练习：让学生通过解决实际问题，加深对实数分类的理解。
2.2 一元一次方程导入：通过实例引入方程的概念，引导学生理解一元一次方程的特点。
探究：让学生通过解方程的方法，掌握一元一次方程的解法。
练习：让学生通过解决实际问题，巩固一元一次方程的应用。
第三章：不等式与不等式组3.1 不等式的概念导入：通过比较大小引入不等式的概念，引导学生理解不等式的表示方法。
探究：让学生通过实际操作，理解不等式的性质。
练习：让学生通过解决实际问题，加深对不等式概念的理解。
3.2 不等式的解法导入：通过实例引入不等式的解法，引导学生掌握解不等式的方法。
探究：让学生通过实际操作，掌握不等式的解法。
练习：让学生通过解决实际问题，巩固不等式的解法。
第四章：函数及其图象4.1 函数的概念导入：通过实例引入函数的概念，引导学生理解函数的表示方法。
探究：让学生通过实际操作，理解函数的性质。
练习：让学生通过解决实际问题，加深对函数概念的理解。
4.2 一次函数的图象导入：通过实例引入一次函数的图象，引导学生理解一次函数图象的特点。
探究：让学生通过实际操作，绘制一次函数的图象。
练习：让学生通过解决实际问题，巩固一次函数图象的应用。
第五章：平面图形的认识5.1 线段的性质导入：通过实例引入线段的概念，引导学生理解线段的性质。
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。
满足a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。
2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。
a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
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第一、二章复习
一、例题讲解
例1.如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
①求证：△ACE≌△BCD；②若AD=5，BD=12，求DE的长．
例2．已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长。
例3.课堂上,老师给同学们出了一道题:“有一直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻答:“第三边是10cm”你认为第三边应该是 cm。
例4.直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为。
例5．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=90°，AB=BC=4 . AD=2 , CD=6. 求∠BAD的度数.
例6.（折叠问题）如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的
长为 cm.
例7.（将军饮马）如图，一牧童家在B 出，A 、B 两地相距河岸的距离AC 、BD
的长分别是500米和700米，且C 、D 两点之间的距离为500米， 天黑前牧童从点A 将马牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童
例82440y y -+=，求xy 的值。
例9.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值。
例10.计算
（1）23
21-318++
（2） ()()()
22
12-323+++
二、课堂练习
1如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，使顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为多少cm 2.
2.如图，在4×3的正方形网格中，△ABC 与△DEC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）求证：∠BCE=90°；
（2）求∠BAC+∠CDE 的度数.
3.如图，在ABC Rt △中，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，DE 、DF 分别交AC 于点E ，交BC 于点F ，且DE ⊥DF.
（1）如果CB CA =，求证：2
2
2
EF BF AE =+.
（2）如果CB CA <，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，AC=12cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长.
5.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马
牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程。
6.如图，一个高20米，周长10米的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，
.
7.如图，在一个高为5m，长为m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（）
A.13m
B.17m
C.18m
D.25m
8.计算
（1）3072（2）
3 0
3
1
27
3
3
6
2
)
14
.3(
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
+
-
-
-π
（3）)36)(1224(+- （4）4818-5
30
20⨯+
9.比较大小
比较与的大小。
比较3121-3与的大小。
10.已知：的值。
求代数式2,211881+++-+-=x
y
y x x x y 11.10
31 (2)
313
212
11++
+++
++
+。
12.若a a a =-+-20001995，求21995-a 的值。
13.求下列方程。
（1）03612
=-x （2）()21289x += （3） ()2
932640
x +-=
（4）27)1(3-=-x （5）0322
=-+x x （6）32-x =－2
14.计算
（1）
（2(231⎛+ ⎝
（3）(()
2
771+-- （4）((
(
(
2
2
2
2
1111-
（5）1828
6
12⨯+⨯ （6） )321(++(321--)
（7）
（9(231⎛+ ⎝
1.化简 （1） (
)
2
1
6
31526-⨯- （2）
）
(3)3
12
)22(28++- (4)32)2145051183(÷-+
2.解下列方程
（1） 241)3(42
=--x （2）261)1(83
-=+-x。