中考勾股定理折叠动态问题【课件】
勾股定理的应用(折叠和展开问题)课件
∴X+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
（3）有一个边长为50dm 的正方形洞口， 想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径 至少多长？（结果保留整数）
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
想一想
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解得x 9
B
x D14-x C 14
AD AB2 BD2 152 92 12
1
1
SABC
BC 2
AD 1412 84 2
练习1:
蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？
A 4G
3
5B
12
E
5 13
C
（小方格的边长为1厘米）
练习2:
小明在平坦无障碍物的草地上,从A地向东走 3 m ,
302 x2 202 (50 x)2 解得x 20 (尺)
30 x
20 50-x
练习&1 ☞
小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子 垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
x2 52 ( x 1)2 x2 52 x2 2x 1
在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦
苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度
和这根芦苇的长度各是多少？
D
解:设水池的深度AC为X米,
勾股定理在折叠问题中的应用讲PPT课件
.
3
C D
B
E
A
E
A
A
E
DD
F
B
F
C
C
A
.
B D
EC
CA
B
B
D E FC
4
项目一、折叠 直角三角形
例 1： 如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
.
5
练习：如图，有一张直角三角形纸片，两直 角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直 线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E， 求CD的长.
E
A
D
B
（D）
F
C
（C）
.
8
❖2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点 F.若AB=6，BC=8，
❖求:
（1）△FAC是等腰三角形
（2）求CF的长
A
E FD
（3）求△FAC的周长和面积.
.
B
9C
这节课你有哪些收获？
1、折叠的实质：轴对称． 2、选择合适的直角三角形利用勾 股定理列方程解决折叠问题．
.
6
项目二、折叠长方形
例2：如图所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在
BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CE的
长。 A
8
B
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
10
D
∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
∴在Rt△ABF中
勾股定理专题训练折叠问题PPT课件
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直线AD折 已知AB=8CM,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边A突B破上重，点且：学与生动手1.折CF叠、观2.E察C，.
AE重合，求CD的长．将变已换知中量的折和叠未A知找量到通相过等图的形线
D
A
段转换到 一个直角三角形中。
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折 痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解 和0 决转
.
4
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
.
5
说教学重难点
教学重点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
.
1
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思
四
教学程序
三 教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
.
2
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股 定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养 学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获 得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折 叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
专题：勾股定理折叠问题 PPT课件
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
人教版17.1勾股定理(4)-折叠问题课件
与B重合, 折痕为DE, 若已知AC=10cm, BC=6cm, 你能求出 CE的长吗？
B D A E C
折叠三 【例6】 三角形ABC是等腰三角形 角形 AB=AC=13, BC=10, 将
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上, 折痕CE, 求三 角形ACE的面积.
A A A
E
B
D1
D
图1
C
P
B
O
D
A
2 在四边形ABCD中 ∠BAC=900 ，对角线AC,BD交 于点E, ∠BAC=900,∠CED=450,∠DCE=300 , DE=√2,BE=2√2，求CD的长和四边形ABCD的面积。
A D E F B
C
链接中 一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工 考
厂门（上方为半圆）？卡车高3.0m，宽1.6m。 请说明你的理由。 C
17.1 折叠问题
勾 股
折叠四边 形 AB=10, BC=8,如图折叠, 【例1】现有一矩形ABCD,已知
求CE的长.
B’
6 10
D
8
B’ 4 C
8-x
D
8
10-x
E B
x
E
x
x
C
8
D
10-x
C’ x E x C
A
A
B
A
F
B
体会：(1)勾股定理的应用：a2+b2=c2 ；
(2)折叠前后图形全等：对应边相等, 对应角相等.
C
D
C
D
C
图2
图3
折叠三角形
1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求 CD的长．
勾股定理解析折叠问题含详细的答案市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
6
4
(E)
6
F
8
E
10 6
(F)
10
第15页
我感悟我收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换, 折痕就是 对称轴, 变换前后两个图形全等。
（2）在矩形折叠问题中, 若有求边长问题, 常设未知 数, 找到对应直角三角形, 用勾股定理建立方程, 利 用方程思想处理问题。
图中∠1，∠2，∠3 A
有何关系？ 你能求
出它们大小吗？
3
F
11 D
6 23
B
E
C
第13页
探究四
证实线段相等方法有证全
如图,矩形纸片ABCD中等边,，形等，A角等B=对 量6c等 线m,边 段A， 和D=平 差8c行 等m四 。,
点E、F是矩形ABCD边AB 、AD上两个点,
将△AEF沿EF折叠, 使A点落在BC边上A′
面用积一减张半直矩角形三吗角? 形说形换明,状痕理折纸两痕由边片就。图是,你形对能全称等折轴。，叠折成
若用一张任意三角形形状纸片,你还能折 叠成面积减半矩形吗?
第10页
相信你,一定行
折叠问题中,求角度
如图, a是长方形纸带, 将纸时带，往沿往EF可折经叠过成动手图b,
假如∠GEF=20°, 那么∠AE折G叠=，或将图形还14原0°。
=EF＋EC=8，A
BF AF 2 AB2 102 82 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，依据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
八年级数学上册 专题复习十四 利用勾股定理解决折叠问题课件
第九页，共十页。
内容(nèiróng)总结
专题(十四) 利用勾股定理解决折叠问题(wèntí)。A．3 B．4 C．6 D．8。2．如图，有一块直角 三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝ ____．。2≤x≤6
解：∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝
AB2－BC2＝8.由折叠知 AE＝EC＝4，易知点 D 为 AB 的中点，则 DE＝21BC＝3，BD＝12AB＝5，∴四边形 DBCE 的周长为 BD＋DE＋EC＋BC＝5＋3＋4＋6＝18
第四页，共十页。
类型二 折叠长方形 4．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 中点 C′上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A ) A．4 B．3 2 C．4.5 D．5
专题(zhuāntí)(十四) 利用勾股定理解决折叠问题
第一页，共十页。
类型(lèixíng)一 折叠直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是BC的中点，E为AB上的一点，沿DE翻 折△BDE，点B正好与点C重合，连结CE，若AE＝3，BE＝5，则边AC的长为( ) A．3 B．4 C．6 D．B 8
第六页，共十页。
6．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠(zhédié)，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知 CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
解：由折叠(zhédié)可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，故
AF＝AD，EF＝DE＝DC－CE＝8－3＝5，∴CF＝4，设 BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝x＋4.在Rt△ABF中，由勾 股定理得82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，故BC＝10，∴阴
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G
A ´
D
A
B
C
勾股定理折叠动态问题
一、三角形的折叠
1.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长。
1 2
2.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合， ①若AC=4，BC=8，求CE 的长。
②若AC=24，BC=32，求折痕DE 的长。
3．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )
A.1 cm
B.1.5 cm
C.2 cm
D.3 cm
4.如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在BC 边的中点D 处，折痕交AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则DE 的值为__________.
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，
若AB = 2，BC = 1，求AG 。
A
C
B
D C ´
B
E
B
F
C
２．如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知 AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。
３．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合， 使纸片折叠压平，设折痕为EF ，
① DF 的长；②求重叠部分△AEF 的面积；③求折痕EF 的长。
4.(2014·青岛)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )
A.4
C.4.5
D.5
5.如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6．将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，
①求线段CN 的长②求AM ③求折痕MN 的长
7、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)， 则着色部分的面积为（）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ｅ
Ｆ
Ｄ´
E
A ´
D
A C
N
M
D
8、为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动， 八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件 手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁 下了一张长
，宽的矩形纸片ABCD ，②将纸
片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，……请你根据①② 步骤解答下列问题：
（1） 找出图中∠FEC 的余角；（2）计算EC 的长．
9、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5.如图所示，折叠纸片， 使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折 痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动， 则点E 在BC 边上可移动的最大距离为.
10（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ）
11、把图一的矩形纸片ABCD 折叠，B ，C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD 的面积为___________。
12、如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点 重合，折痕是MN ，若EB ：AB=13，CE+CD=10，求△ANE 的面积．
20cm BC =16cm AB = D
A E
C
F
B
B A
C
E
P
Q
D
三、立体图形的展开问题
1、如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在
杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在
杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂
蜜的最短距离为__________cm.
2.如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是
直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最
短路程是( )
A.6 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.16 cm
10.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放
着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于
AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从
点A处到达C处需要走的最短路程是__________m（精确到
0.01 m）.
11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面
均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角
C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.
课后练习：
2．如图所示，在∆ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC 折叠，使AB 落在
直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积．
3．如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长
是多少?
4如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为．
5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长．
6.如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．(MN 的长)
7．如题，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F.
(1)试说明：AF=FC
(2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。
B'
D
C
B
A
C
D
B
A
E
8.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3cm ，BC = 5cm ，
（1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2
? （2）求EF 的长。
9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 为AB 边上中点，将Rt △ABC 绕点M 旋转，使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点N ． (1) 若∠B=25°,求∠BAE 的度数； (2) 若AC=2，BC=3，求CN 的长．
10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B'位置，AB'与CD 交于点E ． (1)求证：△AED ≌△CEB'； (2) AB ＝8，DE ＝3，点P 为线段AC 上任一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．求PG ＋PH 的值，
并说明理由．
11.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上，折痕交AE 于点G,求EG 的长。
A
B
C
E
'
A 第8题图
（'B ）
D C。