拉格朗日算子法
正则线性算子
正则线性算子
正则线性算子是一种抽象数学概念，目前在数学与计算机科学领域有着重要的应用。
它是一类函数，用来描述线性运算方法及其应用，在统计学、信号处理、高等数学等方面扮演着重要角色。
首先，概念上可以把正则线性算子理解为一类在拉格朗日乘数法中，能够描述线性运算方法及其应用的函数。
拉格朗日乘数法是一种数学方法，能够帮助解决某一函数的最大值或最小值问题，其中的乘数就是正则线性算子。
比如说，对于多变量函数f(x, y)，如果需要求其函数最值，可以通过拉格朗日乘数法，将多变量函数f(x,y)提升为（x, y）中两个变量分别乘以λ，θ，作为常数项，形成如下目标函数：
LS(x, y, λ,θ)= f(x, y) + λx +θy
因此，该正则线性算子中的乘数λ和θ就有了特殊的意义，它们可以提供额外的自由度，使得变量在求解过程中有更多的选择，也能让变量的极值在函数求最值时更加准确，从而更高效的求解函数的最大值和最小值。
正则线性算子还能够用来解决函数复杂度问题，能够帮助降低对对复杂函数的计算复杂度，减少计算机程序在计算复杂函数时的计算量。
在统计学方面，正则线性算子可以用来建立基于回归的模型，从而实现数据的分析及模型内的参数的优化等相关功能。
此外，它还在信号处理领域有着重要的应用，如信号增强和图像恢复等方面有着广泛的使用。
以上所述就是正则线性算子，它在数学与计算机领域有着重要的应用，可以用来求解各种数学方法及复杂函数，也可以用来处理各种信号处理问题。
通过它，不仅能够有效减轻计算机的计算复杂度，还能让数据分析和模型优化更加方便高效。
拉格朗日乘数法求极值原理
拉格朗日乘数法求极值原理
格朗日乘数法，即Lagrange Multiplier方法，又称约束最优化方法,一种从满足某种条件的函数的局部最优解或全局最优解中寻找变量的方法。
它是1773年由意大利数学家罗杰拉格朗日提出的，是求解非线性最优化问题的一大利器。
拉格朗日乘数法可以用来求解约束和非约束多元函数极值问题，它利用一种被称作拉格朗日乘数的概念来解决约束最优化问题，该概念是一种把约束和目标函数化简为一个单目标函数的方法，这样就可以使用标准的最优化算法求解该函数的极值。
拉格朗日乘数法的具体原理及步骤：
首先，给定一个函数及对应的约束条件；
其次，将约束条件表示为拉格朗日函数，即将原函数及其约束条件约束到拉格朗日函数中；
第三，求这个拉格朗日函数的极值，并从极值中求出原函数的极值；
最后，得出原函数的极值以及约束条件的结果，即可求出满足约束条件的函数的最优解。
拉格朗日乘数法的实践中，可以通过求和项乘以拉格朗日乘数来形成新的函数即拉格朗日函数，其中，拉格朗日乘数代表了原函数及其约束条件之间的相互影响，其值为新函数的极值点，即求出拉格朗日乘数，就可以得到原函数的极值点。
拉格朗日乘数法在优化计算领域中有着广泛应用，它可以用来求
解解析最优化问题，也可以用来求解数值最优化问题，从而得到全局最优解或局部最优解，具有广泛的应用之用。
总之，拉格朗日乘数法是一种用于求解约束及非约束多元函数极值问题的有效算法，所得结果能够更好的满足约束条件，这正是它所独特的优势所在。
它也是经典的非线性最优化方法之一，具有广泛的应用前景。
拉格朗日乘法法则
拉格朗日乘法法则
拉格朗日乘法法则(LagrangeMultiplierMethod)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
它通过引入一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数，将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题，其中变量不受任何约束。
拉格朗日乘数法可以应用于求解有约束条件的极值问题，例如在数学、物理、工程等领域中的最优化问题。
通过使用拉格朗日乘数法，可以找到在给定约束条件下函数的极值点，从而确定最优解。
拉格朗日乘数法的证明涉及偏微分、全微分或链式法则等数学工具。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘数将约束条件转换为新的未知数，从而将原问题转换为无约束优化问题。
在求解过程中，可以通过求解方程组来确定变量的值，从而找到使目标函数取得极值的点。
总之，拉格朗日乘法法则是一种数学工具，用于解决具有约束条件的优化问题，它通过引入拉格朗日乘数将约束条件转换为新的未知数，从而将问题转换为无约束优化问题。
拉格朗日法则
拉格朗日法则
拉格朗日法是描述流体运动的两种方法之一，又称随体法或跟踪法。
它是研究流体各个质点的运动参数随时间的变化规律的方法，通过综合所有流体质点运动参数的变化，得到了整个流体的运动规律。
在流体运动中，拉格朗日法常用追踪流体质点的运动来研究其运动参数的变化规律。
该法以某一个流体质点的运动作为研究对象，观察该质点在流场中由一点移动到另一点时，其运动参数的变化规律，并综合众多流体质点的运动来获得一定空间内所有流体质点的运动规律。
每周一篇paper2-分裂增广拉格朗日
本周论文阅读小结所阅读论文为：结合：IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 20, NO. 3, MARCH 2011, ” An Augmented Lagrangian Approach to the Constrained Optimization Formulation of Imaging Inverse Problems,” IEEE Trans. Image. Processing, v ol. 5, no. 2, pp. 354-379, 2011.论文研究内容介绍：论文主要介绍了增广拉格朗日方法的一些算法，以及在图像反问题中实际处理应用，主要是一些约束最优化问题，结合一些中文资料初步研究了下，我感觉增广拉格朗日法是对拉格朗日乘子法和罚函数法的综合，但是如果加上本文中的变量分裂，可能复杂些，和原问题有些不一样。
一、作者首先介绍了常见的几种反问题模型：（i）（ii）这是图像反问题的两种常见形式：第一种在时，就是常见的basis pursuit (BP) problem，比较常见。
第二种形式常出现于Wavelet-based analysis中，其中P为一个与小波变换对应的线性算子，其本身为一个正规矩阵。
对这两类问题的常用解法为：SPGL1，NESTA，ADMM（alternatingdirection method of multipliers），SALSA（split augmented Lagrangian shrinkage algorithm）。
其中ADMM和SALSA思想有些接近，其它两种方法没有看到，尚不清楚。
二、常见的算法：1、变量分裂对于问题：等价于：（2）利用二次罚函数，可以得到：交替迭代u和v，就可以得到所需结果，这种把一个变量分成两个变量，即为变量分裂。
2、增广拉格朗日法对于问题：同时施加拉格朗日乘子和二次罚函数约束，可以得到：这就是增广拉格朗日法，交替迭代z和λ，就可以得到优化结果。
拉普拉斯——精选推荐
拉普拉斯拉普拉斯易照华(南京⼤学) 拉普拉斯，P．-S．(Laplace，Pierre-Simon)1749年3⽉23⽇⽣于法国诺曼底地区的博蒙昂诺⽇；1827年3⽉5⽇卒于法国巴黎．天⽂学、数学．⽣平和事迹 拉普拉斯的⽗亲⽪埃尔·拉普拉斯(Pierre Laplace)是下诺曼底省的⼀个教区官员，兼做苹果汁⽣意．母亲玛丽-安娜(Marie-Anne)的娘家为图热维尔富有的农场主．拉普拉斯还有⼀个⽐他⼤4岁的姐姐，与母同名．近亲中未发现有名⽓的知识界⼈物，只有⼀个叔⽗路易(Louis)是未正式任命的神⽗，据说是数学家，但早在拉普拉斯10岁时就去世了．对拉普拉斯的成长影响不⼤． 拉普拉斯16岁时在家乡念完⼩学和中学．按当地习俗，孩⼦们中学毕业后⼀般去教堂或军队⼯作．⽗亲希望他到教堂任职．他在1766年考⼊卡昂⼤学艺术系，后转到神学系，准备当教⼠．⼤学⾥的教师们发现他具有特殊的数学才能，并给予启发和⿎励．其中有两位教师对他的影响最⼤，⼀位是C．伽布勒(Gabled)，另⼀位是P．勒卡吕(Lecanu)． 为了发挥⾃⼰的数学专长，拉普拉斯放弃了在卡昂⼤学取得硕⼠学位的机会，带着勒卡吕写给巴黎科学院负责⼈J．L．达朗贝尔(D’Alembert)的推荐信，于1768年到了巴黎． 第⼀次见⾯时，达朗贝尔给了拉普拉斯⼀个题⽬，要他⼀周后再来，但他⼀夜之间就完成了．达朗贝尔⼜给了他⼀个关于打结的难题，他当场就解出来了．达朗贝尔⾮常赏识他的数学才能，推荐他到巴黎科学院任职．但当时科学院内的保守势⼒强⼤，不愿接受这位没有学位的19岁青年．达朗贝尔只好介绍他暂时到军事学校教书，讲授中等数学、基础数学分析、静⼒学等课程．这样他可以继续呆在巴黎，等待进⼊科学院的机会．谁知⼀等就是五年． 拉普拉斯在21岁⽣⽇后5天(1770年3⽉28⽇)完成第⼀篇数学论⽂“曲线的极⼤和极⼩研究”(Recherches sur le maxi-ma et minima des lignes courbes)．其中除了对极值问题进⾏综合评述以外，还对当时已著名的J．L．拉格朗⽇(Lagrange)做出的有关结果提出某些改进．此后3年内共完成13篇论⽂，课题涉及到当时数学、天⽂学的最新领域：极值问题，差分⽅程，循环级数，机会对策，微分⽅程的奇异解，⾏星轨道倾⾓的变化，⽉球运动理论，卫星对⾏星运动的摄动，⾏星的⽜顿运动理论等．虽然在1773年以前只刊出4篇，但全都向巴黎科学院提出报告，逐渐受到科学界重视． 当时巴黎科学院接受研究⼈员要经过院⼠们投票决定，尽管有达朗贝尔等⼈的⽀持，但不少院⼠认为拉普拉斯太年轻，不投赞成票．结果在1771年投票时，接受了⽐拉普拉斯年长14岁的A．范德蒙(Vandermonde)；在1772年投票时⼜接受了⽐他⼤10岁的J．-A．-J．库⾟(Cousin)．达朗贝尔经这两次挫折后失去信⼼，在1773年元旦写信给柏林的普鲁⼠学院数学部主任拉格朗⽇，希望能在那⾥给拉普拉斯找⼀个职位，并在信中⽓愤地说：“巴黎科学院宁愿接受⼀个才能⽐他低得多的⼈”[参看《拉格朗⽇⽂集》第13卷，254—256页(Oeauvres de Lagrange，XⅢ，1882，254—256)]．拉普拉斯尚未接到回信，1773年2⽉J．A．de孔多塞(Condorcet)出任巴黎科学院执⾏秘书，在他的坚决⽀持下，终于在同年3⽉31⽇通过了接受拉普拉斯进⼊科学院的决议．孔多塞在给拉普拉斯的第⼀个论⽂集(即上述13篇论⽂，1774年出版)所写的序⾔中热情地说：“巴黎科学院第⼀次接受了这样年轻，并在这样短的时期内对多种难题写出重要论⽂的⼈”．由于拉普拉斯已有较⾼声望，⼀开始就成为副院⼠． 此后，拉普拉斯真正开始他的科学研究⽣涯，逐步成为当时数理学科中贡献最⼤且在科学史上最负盛名的科学家之⼀．他是天体⼒学的主要奠基者，是⾸先在科学上提出宇宙在演化的学者，是分析概率论的创始⼈，是应⽤数学的先驱，也是当时最著名的物理学家．他的⼀⽣⼤致可分为4个时期：29岁以前的青少年时期，初露锋芒，受到科学界的重视；29到40岁为⿍盛时期，完成多数重⼤成果；40到56岁为⾰命变⾰时期，主要进⾏科学组织和教育⼯作，仍继续研究和整理成果；56岁以后为晚年时期，主要总结成果和做组织管理⼯作． 拉普拉斯⼀⽣⼯作的主要单位是科学院．1773年被接受进⼊的科学院叫“在巴黎的皇家科学院”，简称巴黎科学院．当时在欧洲很多国家的⾸都都设有皇家科学院，故巴黎科学院就是法国皇家科学院，是1666年路易⼗四时代建⽴的．1793年8⽉8⽇，当时的国民议会发出解散皇家科学院的公告，拉普拉斯离开巴黎下乡．1795年，共和国政府建⽴了全国统⼀的学术⽂化机构，即历史上著名的法兰西研究院，下⾯划分为5个学院或分院．其中研究⾃然科学的分院就叫法国科学院或法兰西研究院的科学分院．此外，法兰西研究院中还有语⽂学院、伦理学和政治学院、艺术学院、⾦⽯学和⽂学院．1816年，路易⼗⼋⼜把其中的科学院改名为法兰西科学院． 拉普拉斯在1773年进⼊巴黎科学院后，实现了⾃⼰的愿望，全⼒对数学、⼒学和天⽂学进⾏研究．不仅得到科学院内学者们的⽀持和⿎励，还同在柏林的拉格朗⽇经常通信，讨论学术问题．到1780年前后，拉普拉斯的学术地位已得到公认，受到国内外学术界和政府部门的重视．特别委员会(就前⼏年的市政问题进⾏审查，提出劝告)负责⼈，巴黎市⽴⼤医院的审查委员会成员．1785年4⽉，当勒鲁⽡(Le Roy)院⼠去世⽽出现空缺时，拉普拉斯被选为巴黎科学院院⼠．1786年，拉普拉斯签署特别委员会决定：科学院每年出版⼈⼝资料，作为国家制订政策的参考． 1788年5⽉15⽇，拉普拉斯同⽐他⼩20岁的玛丽-夏洛特(Marie-Charlotte)结婚．她是贝桑松(Besancon)家族的⼥⼉．婚后⽣⼀⼦⼀⼥，在1789年⽣的⼉⼦取名夏尔-埃⽶尔(Charles-Emile)，他后来在军队⼯作成为将军，于1874年去世．⼥⼉名索菲-苏珊(Sophie-Suzanne)，后与波特(Portes)侯爵结婚，1813年死于难产，遗⼥后来同科尔贝尔-夏邦内(Colbert-Chabannais)伯爵结婚．这⼀⽀的后代为了纪念祖先，改姓为科尔贝尔-拉普拉斯(Colbert-Laplace)． 1789年7⽉14⽇，法国资产阶级⾰命开始，法国政局动荡．因巴黎科学院为皇家机构，⾰命政府于秋天就提出要求，科学院在机构和程序上都要实现⾃由原则，与制宪会议秩序⼀致．并任命拉普拉斯组织⼀个委员会，按此⽅针提出建议．拉普拉斯会同孔多塞、博尔达(Borda)等⼈⼀起商量，于1790年3⽉1⽇提出了相应建议上交．其实拉普拉斯在⾰命前⼣，即7⽉4⽇就提出科学院的“更新”建议，要求正式研究⼈员具有基本的数学物理知识(参看1789年7⽉4⽇科学院备忘录)．但在7⽉8⽇的决议中，只通过要求正式研究⼈员了解数学、物理学的课题就⾏了．当然拉普拉斯这个建议并不符合制宪会议⽅针，因⽽未包含在1790年3⽉的建议中． 1789年11⽉2⽇，⾰命政府推选拉普拉斯等15位院⼠组成⼀个“技术与职业咨询局”，取代原由拉普拉斯领导的特别委员会，作为政府的⼀般专利和技术政策的咨询机构．拉普拉斯积极主动参加活动，⾸先决定继续出版⼈⼝资料；然后为⼗进位的度量衡公制系统的实现⽽努⼒． ⾰命前不久，巴黎科学院在1789年6⽉就成⽴了以拉普拉斯和A．L．拉⽡锡(Lavoisier)为⾸的专门⼩组，研究制定公制系统．由于早有准备，故咨询局刚成⽴他们就在1790年4⽉14⽇提出了长度单位和容积、重量单位间的关系．1790年5⽉8⽇的制宪⼤会上通过了公制法．1791年3⽉25⽇，巴黎科学院任命了由院⼠拉普拉斯、拉格朗⽇(1787年从普鲁⼠到巴黎)、蒙⽇(Monge)、博尔达、孔多塞等⼈组成的“度量衡委员会”，最后确定了长度单位．他们根据从法国敦刻尔克到西班⽛巴塞罗那的⼤地测量结果，正式决定长度单位“⽶”为巴黎⼦午线全长的四千万分之⼀．这个长度单位⽐过去定义的秒摆(即摆动周期为2秒的单摆)长度要更科学可靠，因秒摆长度随时间和地点不同⽽有改变，然后⽤⼗进制确定更⼩和更⼤的长度单位，如分⽶、厘⽶、毫⽶、……、公⾥等；⾯积、体积单位⽤相应长度单位的平⽅、⽴⽅来定义；重量单位⽤相应单位体积的⽔重来定义．这就是⾄今使⽤的世界公制系统． 1793年8⽉8⽇，当时的国民议会在罗伯斯⽐尔的雅各宾派控制下，发出解散巴黎科学院的公告．拉普拉斯、拉⽡锡、博尔达、库仑(Coulomb)等⼈都被清洗．拉普拉斯早得到消息，于清洗前就携全家逃离巴黎，同妻⼦和两⼦⼥⼀起搬到巴黎东南30英⾥处的默伦．⾄1794年7⽉27⽇(热⽉9⽇)政变，罗伯斯⽐尔的雅各宾派下台以后才回到巴黎．共和国政府在1795年6⽉25⽇通过法律条⽂，决定组建法国经度局，统⼀领导全国的天⽂和航海⼯作，包括原巴黎科学院的度量衡委员会和巴黎天⽂台等单位．拉普拉斯是经度局的领导成员．1795年12⽉27⽇，在法兰西研究院中的科学院组建会上，拉普拉斯被任命为副院长，并于1796年4⽉6⽇被选为院长．同时为法兰西研究院院⼠和科学院院⼠． 拉普拉斯在此时期内对法国的⾼等教育也有重⼤贡献．1795年初成⽴的⾼等师范学校，9⽉1⽇重建改名的巴黎综合⼯科学校是法国的最⾼学府．他是这两所学校的第⼀批教授和组织者．他强调学校要系统地教授数学和物理学知识，并要严格挑选学⽣．19世纪前半期最著名的数学家、物理学家如A．M．安培(Ampère)、S．卡诺(Carnot)、A．J．菲涅⽿(Fresnel)、L．马吕(Malus)和S．-D．泊松(Poisson)等都毕业于这两所学校．在1796年出版的历史性名著《宇宙体系论》(Exposition du système du mon-de)，就是他在这些学校的讲稿． 拉普拉斯在这⼏年内还很不情愿地参加了所谓“法兰西共和历法”的制订⼯作．以1793年为共和历Ⅰ年，以热、雾、霜等为⽉名．在他再三建议下，直到拿破仑帝国的1806年初才恢复使⽤格⾥历． 拿破仑对拉普拉斯⾮常重视，他们早在1785年9⽉就认识．当时拉普拉斯是军事学校考官，⽽青年拿破仑是该校炮兵学员，参加拉普拉斯主持的数学考试．1799年10⽉，即雾⽉政变(11⽉9⽇)前3周，拉普拉斯把新出版的《天体⼒学》(Mécanique célèste)第⼀、⼆卷送给拿破仑．拿破仑⾼兴地说：“近6个⽉内较空，⼀定拜读”．还邀请他们夫妇第⼆天去吃饭．雾⽉政变后，拿破仑成为最⾼执政官，很快就提名拉普拉斯担任内政部长．当时内政部的职责是处理除经济和警务以外的全部国内事务．拉普拉斯在任期间，曾于1799年12⽉16⽇发布重组巴黎综合⼯科学校以及教育改⾰的法令．把重组后的巴黎综合⼯科学校的学制改为2年，以学基础课为主．毕业后再上专业性⼯科学校，如巴黎矿业学校、巴黎桥梁公路学校、炮兵⼯程学校等． 在担任内政部长6周后，拿破仑认为他不适宜任⾏政官员，任命⾃⼰的弟弟吕西安(Lucien)任内政部长．⼜提名拉普拉斯为上议院(元⽼院)议员，并于1803年当选为议长．给予拉普拉斯最⾼薪⾦，年收⼊超过10万法郎．拿破仑称帝后，1805年⼜提名拉普拉斯为勋级会荣誉军团成员，这是拿破仑在1802年成⽴的表彰重⼤功勋者的荣誉团体．虽然拿破仑如此重视拉普拉斯，但他们之间的私⼈交往很少，因为拉普拉斯主要精⼒仍在学术⼯作上．在动荡的⾰命变⾰时期内，尽管他参加了⼤量社会活动和组织⼯作，但仍坚持研究和整理成果．攻下巴⼠底监狱后第4天，拉普拉斯就在科学院内宣读他关于黄道倾⾓变化的论⽂还在1805年前完成了历史性名著 1806年，拿破仑帝国授予拉普拉斯伯爵衔．他在巴黎南郊阿尔克伊村购买⼟地，与物理学家C．L．贝托莱(Berthollet)为邻．以他们两⼈为核⼼，在那⾥聚集了⼀批年轻的物理学家，形成⼀个沙龙，被⼤家⾮正式地称为阿尔克伊协会．拉普拉斯晚年的天⽂学和物理学研究⼯作，都同此协会有关． 1810年以后，拉普拉斯⼜重新研究概率论，在1812年出版了历史性名著《概率分析理论》(Theorie analytique des probabilit-és)．还提出了⼀些有关应⽤数学的⽅法． 1813年，拿破仑⼜授予拉普拉斯留尼汪勋章．拿破仑下台后，1815年前后有不少⼈指责拉普拉斯在政治上⽆原则，过去讨好拿破仑，现在⼜⽀持新王朝．实际上，拉普拉斯虽然对拿破仑也很尊重，但对他称帝后的战争政策并不⽀持．1814年，他在上议院投票时⽀持波旁(Bourbon)王朝推翻拿破仑帝国．正因如此，在拿破仑复辟的百⽇期间，他被迫离开巴黎．1816年，路易⼗⼋把法兰西研究院中的科学院改名为法兰西科学院，拉普拉斯被选为院⼠，次年任院长．1817年，路易⼗⼋还晋封拉普拉斯为侯爵． 阿尔克伊协会是拉普拉斯的物理学活动中⼼，到1809年达到⾼峰，世⼈称之为拉普拉斯学派．那⾥集中了当时物理学界的精英，从事热学、电学、磁学、流体⼒学和光学⽅⾯的研究．拉普拉斯在法兰西研究院中设⽴了“竞争奖”，1816年以前，得奖者都是拉普拉斯学派的成员，论⽂中都有拉普拉斯的观点．第⼀次打破这种垄断的是⼥物理学家S．热尔曼(Germain)，她在1816年1⽉提出的“弹性表⾯理论”论⽂获奖，是对拉普拉斯学派的第⼀次挑战．拉普拉斯的弟⼦菲涅⽿在1819年发表的论⽂“光的折射理论”获竞争奖，⽀持了光的波动理论．⽽拉普拉斯是终⽣坚持光的微粒理论的．到1820年，拉普拉斯学派的⾻⼲J．B．毕奥(Biot)也发表⽀持波动理论的论⽂．⾃此以后，拉普拉斯学派在物理学界的影响逐渐由他的弟⼦们代表，⽽他本⼈已达70⾼龄，虽能坚持⼯作，但只能做些天体⼒学的补充性研究，直到去世为⽌． 根据著名数学家J．傅⾥叶(Fourier)在1829年所撰纪念⽂章中的描述(见⽂献)，拉普拉斯的记忆⼒⼀直到垂⽼时都⾮常好，虽然饮⾷很少，但不显衰弱．拉普拉斯在1827年3⽉5⽇去世，先葬于巴黎附近的⼤拉谢斯，后在1878年迁回⽼家博蒙昂诺⽇，那时他的后裔已搬⾛了．现存主要画像为1803年任上议院议长时的官⽅像，由画家P．-N．盖兰(Guérin)所绘制．由于他的学术声望，晚年还担任伦敦和格丁根皇家学会会员；俄国、丹麦、瑞⼠、普鲁⼠、意⼤利等国的科学院院⼟．各个时期的重要研究成果 拉普拉斯⼀⽣共研究了100多个课题，⼤部分在前两个时期完成；后两个时期还完成了历史性名著《天体⼒学》等． 1．青少年时期(1778以前)他在29岁以前写出了60多篇论⽂和报告，涉及到当时的数学和天⽂学最新领域，主要成果有： (1)有限差分⽅法．为了解决天体运动和概率论⽅⾯的数学问题，他把⽆穷⼩的微分概念推⼴到有限的差分；从⽽建⽴了差分⽅程及其求积⽅法．他从第⼆篇论⽂“关于有限差分的积分学的某⽤途”(Sur quelques usages du calcul intégrale appliqué auxdifferences finies)开始，得到⼀系列结果．为了解出差分⽅程，还建⽴了循环级数⽅法和多变量的循环迭代级数⽅法，⽤它们可定出展开式系数． (2)发展概率论．在17世纪由赌博产⽣的概率论，经J．伯努利(Bernoulli)和德莫⽡夫(De Moivre)等⼈的⼯作，到18世纪70年代已初具规模．拉普拉斯从1772年开始对事件的概率及机会对策进⾏深⼊研究，于1774年正式提出概率的严格定义： 如果每种情况都是等可能的，则⼀个事件的概率等于有利情况的数⽬除以所有可能情况的数⽬． 这实质上就是概率的古典定义，由此使概率论向公理化和公式化⽅向发展．此外，他还提出计算某些特殊事件概率的分析公式，为以后建⽴“分析概率论”打下了基础．在此时期内提出的各种平均值的定义和概念，不仅在天⽂学中得到应⽤，也为统计学和后来C．F．⾼斯(Gauss)建⽴“最⼩⼆乘法”创造了条件． (3)万有引⼒定律．⽜顿是万有引⼒定律的发现者，但他只讨论了质点和密度为球状对称的天体之间的吸引．拉普拉斯经过多次研究天体运动的具体情况后，逐渐对万有引⼒加深理解，于1776年提出“万有引⼒原理”(见原始⽂献)，可归纳为四条：第⼀，吸引⼒与质量成正⽐，与距离平⽅成反⽐；第⼆，⼀个物体的引⼒是它各部分引⼒的合⼒；第三，引⼒是瞬时传播的(即速度为⽆穷⼤)；第四，物体在静⽌时和在运动时，引⼒作⽤相同． 这四条原理加快了⽤万有引⼒定律研究天体运动的进展．特别是第⼆条，可⽤于研究各种形状天体的吸引问题，为后来天体⼒学的奠基、位势理论的建⽴以及地球形状和潮汐理论的发展打下了基础．第三条是拉普拉斯根据他⾃⼰的引⼒为“微粒”的观点，由⽉球平均运动的加速现象估计出来的．从当时的观测资料分析，⽉球平均约⼆千年加速⼀度，不能⽤天体之间的引⼒来解释．有⼈认为这是由于引⼒传播速度为有限所产⽣的结果．拉普拉斯根据观测到的⽉球加速数值，具体计算出万有引⼒传播速度应为光速的768万倍，因⽽可认为是⽆穷⼤．当然，从现代物理学观点看来，第三和第四条都有问题．但对于太阳系这个局部空间中的慢速运动天体⽽⾔，根据这些原理建⽴的运动理论，与当时观测结果符合得很好．道分布的论⽂(见原始⽂献)．其中根据当时63个已知轨道的彗星，统计出它们的轨道同黄道⾯的倾⾓平均值为46°6′，⼤⼤超过当时所知⼤⾏星和卫星的轨道倾⾓．拉普拉斯⽤统计⽅法试图证明，在太阳的引⼒范围内，随机地抛出⼤量质点，它们绕太阳的轨道相对某固定平⾯的倾⾓平均值应接近45°；并试图计算倾⾓在某两个界限内的概率．尽管具体结果⽆应⽤价值，但所⽤的统计⽅法和概率算法都有意义． (5)偏微分⽅程的解法．在研究天体运动时，拉普拉斯于1777年提出⼀种解线性偏微分⽅程的⼀般⽅法(见原始⽂献)，即以后⽂献中所说的级联法．拉普拉斯证明，⼀般⼆阶偏微分⽅程： 其中因变量z=z(x，y)及α，β，γ，δ，λ，T均为⾃变量x，y的函数；可找到变换使x，y变为新变量ω，θ后，相应的(1)式能简化为(2) 其中m，n，l，T为ω，θ的函数．拉普拉斯还给出了求出⽅程(2)的全积分和奇积分的⽅法． (6)常数交易法．为了讨论⼤⾏星运动中某些轨道根数的长期变化，拉普拉斯在1774—1778年间写出了⼀系列论⽂，(见原始⽂献[4—6])，与拉格朗⽇相互独⽴地建⽴了常数交易法．开始主要⽤作⾏星运动⽅程的近似解法，后来逐渐成为常微分⽅程的⼀种通⽤解法． (7)地球形状和潮汐理论．在这段时期中，拉普拉斯还⼴泛地研究了有关地球物理学的各种课题，包括⼤地测量学、流体静⼒学中均匀流体⾃转时的平衡形状、潮汐、地⾯重⼒公式等． 拉普拉斯根据18世纪前半期的多次⼤地测量结果，试图较准确地定出地⾯⼦午线⽅程．但因地⾯⾼低不平，很难实现．1776年，他在近似地假定地球是均匀旋转椭球时，给出表⾯各处的重⼒公式为：(3) 其中P′为⾚道上的重⼒⼤⼩，αm为所讨论地点的离⼼⼒与引⼒之⽐，θ为该处的余纬度(见原始⽂献)．后在1778年⼜作了改进，增加了⼀些改正项(见原始⽂献)． 拉普拉斯在⼤地测量⽅⾯的贡献还在于提出“⽅位⾓”的严密概念．为加强⼤地⽹、控制三⾓锁⽹的⽅位，使之具有同⼀等级的误差，并消除误差传播．在⼤地点上对天⽂⽅位⾓作垂线偏差影响归算后得出： 为⼤地经度，该公式为拉普拉斯导得．测有天⽂经、纬度和⽅向⾓的⼤地点称拉普拉斯点；由此⽽算出的⼤地⽅位⾓称为拉普拉斯⽅位⾓． 在同时完成的另外⼏篇论⽂中(见原始⽂献[9，10])，拉普拉斯讨论了潮汐和海流问题以及⼤⽓潮，都是开创性课题；此外，他还把潮汐同地轴在空间中的岁差和章动结合起来讨论． 青少年时期中，真正做研究⼯作的时间只有8年(1770—1778)，但研究的课题涉及到天⽂学和数学的前沿领域，得到了⼤量成果．不仅提⾼了他在科学界的声望，同时也为下⼀时期的重⼤贡献作了准备． 2．⿍盛时期(1778—1789)29岁以后的拉普拉斯已是⼀个成熟的科学家，进⼊他科学创作的⿍盛时期，具有重⼤贡献的研究成果为： (1)拉普拉斯算⼦．此时期最初完成的两篇论⽂中，⼀篇完善了微分⽅程近似解所⽤的常数变易法(见原始⽂献)；另⼀篇讨论级数理论，是他在1779年6⽉在科学院提出的报告，于1780年正式发表(见原始⽂献)，其中提出的微分算⼦，成为后来19世纪出现的“运算微积”的萌芽，他推⼴了拉格朗⽇的想法，即算⼦的正指数与微商的阶数对应，负指数与积分的重数对应．拉普拉斯提出的算⼦形式为：(4) 对任⼀函数u=u(x)，则有关系(5) 其中s，s′，…f，f′，…为与α和函数⽆关的常数，可根据⼀些具体的函数u(x)定出来． (2)概率和⼈⼝论．从1780年起，拉普拉斯进⼀步研究事件的概率和原因．特别对重复试验事件的概率问题作了深⼊讨论，并⽤于计算巴黎和伦敦的男孩和⼥孩的出⽣概率(见原始⽂献)． 拉普拉斯先作⼀般讨论．根据以前若⼲年内的记录，设共出⽣p个男孩，q个⼥孩．则过去⽣男孩的概率为p/(p+q)，但今后怎样？他⽤P表⽰今后⽣男孩的可能性在界限 之间，其中θ为⾮常⼩的量．拉普拉斯推出⽤定积分计算P值的公式，在p，q趋于⽆穷 他根据巴黎和伦敦的具体⼈⼝资料算出，巴黎每年⽣男孩的概率⽐⽣⼥孩⼤1/259，⽽伦敦则⼤1/12416． 1786年以后，拉普拉斯进⼀步研究⼈⼝统计学．他从1771—1784年的法国⼈⼝资料进⾏统计研究后表明，⼈⼝的年出⽣平均数，乘上某个因⼦后可得近似的⼈⼝总数(见原始⽂献)．抽样调查证明此因⼦为26． (3)⽣成函数．拉普拉斯在研究概率论和级数理论过程中，要⽤到⼀些特殊函数族yn(x)，⽽且需要n很⼤时的函数值．他在1782年的论⽂中(见原始⽂献)，正式提出⽣成函数的想法： “若yn(x)为x的函数族，⽽函数u(x，t)为⽆穷级数y0(x)+y1(x)t+y2(x)t2+…+yn(x)tn+… 的和，则我称u(x，t)为函数族yn(x)的⽣成函数．” ⽣成函数的提出对特殊函数的发展起了⾮常重要的作⽤，由此容易求出特殊函数的递推公式和微分关系． (4)拉普拉斯轨道计算⽅法．⾏星和彗星绕太阳运动的轨道，要由6个积分常数确定．为⽅便起见，常取空间圆锥曲线轨道的6个轨道根数：半主径a，偏⼼率e，轨道⾯对黄道⾯的倾⾓i，轨道对黄道⾯升交点(由南向北)黄经Ω，轨道近⽇点⾓距ω以及通过近⽇点的时刻t0作为轨道根数．所谓轨道计算⽅法，就是⽤地⾯上对⾏星(或彗星)的位置观测资料，算出这6个轨道根数．从理论上说，⽤3个时刻的6个球⾯坐标的观测资料，可以算出6个轨道根数．但因地球也在运动，计算相当困难．⾃⽜顿以来的100年间，只有⼀些很粗略的⽅法．拉普拉斯早期讨论彗星轨道倾⾓分布时，是靠助⼿⽤彗星的⼤量观测资料绘出视运动曲线，再从经验定出轨道倾⾓．由于彗星的轨道变化快，经常要重新计算． 1784年，拉普拉斯正式提出了⽤3个时刻的6个观测资料计算轨道根数的⽅法(见原始⽂献)．基本原理是根据运动⽅程和⼏何关系，利⽤迭代法算出彗星在第⼆个观测时刻t2时的坐标(x2，y2，z2)和速度分量(x′2，y′2，z′2)．再⽤它们容易算出6个轨道根数． 他的这种⽅法虽然存在缺点，但经过很多⼈改进后，⾄今在⼈造卫星轨道计算中还在应⽤，现在仍然称为“拉普拉斯轨道计算⽅法”． (5)椭球形天体的引⼒，拉普拉斯⽅程．由于⼤⾏星的形状都接近于椭球体，拉普拉斯从1784年起，研究椭球状天体对其外⼀质点的引⼒问题，并开始发表论⽂(见原始⽂献)．⽂中⽤积分定义出⼀个函数V：(6) 其中(a，b，c)为天体外所讨论质点的坐标，(x′，y′，z′)为天体内任⼀质点的坐标，dM为此处的体积元质量；积分符号表⽰对整个天体的体积积分，则天体对其外⼀质点的引⼒分量与偏导数(7) 成⽐例．若⾏星表⾯为椭球，满⾜⽅程x2+my2+nz2=k2，(m＞0，n＞0)(8) 则拉普拉斯得出定积分形式的结果：(9) B，C有相似的式⼦． 拉普拉斯还证明：“共焦椭球体对外⾯⼀质点的引⼒与椭球体质量成正⽐”．以后常称之为“拉普拉斯定理”． 由(6)式定义的函数，后来乘上⼀些常数因⼦，称为天体对其外⼀质点引⼒的势函数．拉普拉斯⽤勒让德多项式对它进⾏展开，具体讨论势函数的性质，成为位势理论的先驱．他还导得将椭球体的位理论变为球层位理论的定理，也称拉普拉斯定理． 拉普拉斯在1785年的另⼀篇论⽂(见原始⽂献中，讨论椭球状⾏星的引⼒时，采⽤球坐标(r，ω，θ)表⽰势函数V：(10) 其中(r，ω，θ)，(R，ω′，θ′)分别表⽰⾏星外质点及⾏星内质点的球坐标，积分是对整个⾏星体进⾏的．若令µ=cosθ，则可求出关系：(11) 此式变换成直⾓坐标后就是现在的拉普拉斯⽅程．但他当时未作此变换，只⽤此式对V的展。
拉格朗日乘数法 拉格朗日函数
拉格朗日乘数法拉格朗日函数拉格朗日乘数法和拉格朗日函数是高等数学和微积分中的重要概念，其中拉格朗日乘数法是一种求取极值的方法，而拉格朗日函数则是用来描述多元函数的一种数学工具。
下面将就这两个概念作进一步的讲解。
拉格朗日乘数法是求取多元函数的一个局部极值的一种方法，在此情况下，多元函数是具有约束条件的。
这种方法的基本思想是，将问题转化为一个不受约束条件限制的问题来求解。
比如说，我们要求取函数$f(x,y)$在满足条件$g(x,y)=0$的所有点上的极值，那么我们就可以将问题转化成求解函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$的极值，其中$\lambda$是一个未知的系数，称为拉格朗日乘子。
这种方法的根本思想是，在原问题的可行解集和$L(x,y,\lambda)$的可行解集之间建立一种等价关系，使得在新的问题中仍然能够求取目标函数的极值。
而拉格朗日函数则是用来描述多元函数中的一种数学工具。
对于具有一些约束条件的函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，我们可以构造一个类似于拉格朗日乘数法中的函数$L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)$，其中$\lambda_i$是拉格朗日乘子，而$L$则称为拉格朗日函数。
通过对这个函数的求导，我们可以得到一组方程式，其中某些方程式不受拉格朗日乘子所约束，而某些方程式则必须要满足一定的条件。
这些方程式的解就可以告诉我们原函数在约束条件下的最优解。
总的来说，拉格朗日乘数法和拉格朗日函数都是微积分学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更加高效地求取多元函数的局部最优解。
如果您对这些概念还不是很熟悉，可以从基础的微积分学开始学习，逐步掌握各种计算方法，以提高您在这方面的能力。
拉格朗日乘数法推导过程
拉格朗日乘数法推导过程拉格朗日乘数法是一种求极值问题的数学工具，它通过构造一个含有未知系数和拉格朗日乘数的函数，从而将约束条件融入到目标函数中，进而得到最优解。
其推导过程如下：首先，假设要求解的问题为：$\max f(x_1,x_2,...,x_n)$满足一些约束条件：$g_1(x_1,x_2,...,x_n)=0$$g_2(x_1,x_2,...,x_n)=0$...$g_m(x_1,x_2,...,x_n)=0$其中，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为目标函数，$g_1(x_1,x_2,...,x_n)=0,g_2(x_1,x_2,...,x_n)=0,...,g_m(x_1,x_2,...,x_n)=0$为约束条件。
其次，构造拉格朗日函数$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)$，即：$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)=f(x_1,x_2,... ,x_n)-\sum_{i=1}^m\lambda_i g_i(x_1,x_2,...,x_n)$其中，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$为拉格朗日乘数。
然后，根据极值问题的必要条件，即目标函数的一阶导数为0，得到以下方程组：$\frac{\partial L}{\partial x_1}=0$$\frac{\partial L}{\partial x_2}=0$...$\frac{\partial L}{\partial x_n}=0$$g_1(x_1,x_2,...,x_n)=0$$g_2(x_1,x_2,...,x_n)=0$...$g_m(x_1,x_2,...,x_n)=0$解这个方程组就能求出目标函数在满足约束条件的前提下的最优解。
最后，需要考虑拉格朗日函数的二阶导数是否为负定。
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拉格朗日算子法
引言
拉格朗日算子法是一种应用于数学和物理领域的重要工具。它以法国数学家拉格朗
日的名字命名，用于解决多元函数的最优化问题。本文将介绍拉格朗日算子法的原
理和应用，以及一些相关的数学概念。
拉格朗日算子法的原理
拉格朗日算子法是一种利用拉格朗日乘子对约束条件进行处理的方法。它的基本思
想是将约束问题转化为无约束问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个新的函数，
然后求解该函数的极值点。
拉格朗日乘子法的公式推导
假设我们有一个最优化问题，要求一个函数f(x)在给定约束条件下的极值。假设
约束条件为g(x)=0，那么我们可以构建一个新的函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中
λ是拉格朗日乘子。我们可以求解L(x,λ)的极值点，从而得到原问题的解。
1. 构建拉格朗日函数：L(x,λ)=f(x)+λg(x)
2. 对L(x,λ)求偏导：∂L/∂x=0，∂L/∂λ=0
3. 解方程组得到极值点：得到x和λ的值，即为问题的解
拉格朗日算子法的应用领域
拉格朗日算子法在数学和物理领域有着广泛的应用，以下是一些典型的应用领域：
1. 经济学
拉格朗日算子法可以用于解决经济学中的最优化问题，例如在生产中的资源分配问
题、边际效用最大化问题等。
2. 机器学习
在机器学习领域，拉格朗日算子法被广泛应用于支持向量机（SVM）等算法中。通
过引入拉格朗日乘子，可以将原本的凸优化问题转化为一个对偶问题，从而简化求
解过程。
3. 物理学
在物理学中，拉格朗日算子法可以用于描述粒子在给定约束条件下的运动轨迹。通
过求解拉格朗日函数的极值点，可以得到粒子的运动方程。
拉格朗日算子法的优缺点
拉格朗日算子法有着一些显著的优点和缺点，下面将分别进行介绍。
优点
• 可以很好地处理约束条件，将约束问题转化为无约束问题。
• 数学推导相对简单，易于理解和实现。
• 在凸优化问题中有非常好的效果，能够找到全局最优解。
缺点
• 对于非凸优化问题，不一定能找到全局最优解，而只能得到局部最优解。
• 收敛速度较慢，特别是对于复杂的问题，可能需要进行多次迭代才能收敛到
最优解。
• 当约束条件复杂或者变化较大时，计算量较大，求解困难。
拉格朗日算子法的数学概念
在介绍拉格朗日算子法时，我们需要了解一些相关的数学概念。以下是一些常见的
数学概念：
1. 凸优化：指求解满足一定条件下的函数最小值或者最大值的问题。在凸优化
问题中，约束条件和目标函数都是凸函数。
2. 拉格朗日函数：由目标函数和约束条件构成的一个函数，用来描述最优化问
题。
3. 拉格朗日乘子：用来对约束条件进行处理的参数，在构建拉格朗日函数时引
入。
4. 偏导数：指一个函数针对其中的某个变量求导得到的导数，用来衡量函数各
个变量的敏感程度。
总结
拉格朗日算子法是一种处理约束问题的常用方法，它可以通过引入拉格朗日乘子将
约束问题转化为无约束问题。本文介绍了拉格朗日算子法的原理、公式推导和应用
领域，同时也提到了它的优缺点和相关的数学概念。了解拉格朗日算子法可以帮助
我们更好地理解约束问题的解决方法，丰富数学和物理领域的知识。