人教版数学九年级上册 第21章 21.2.1用配方法解一元二次方程 研究课 教案
人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案
21.2.1用配方法解一元二次方程教案
第 2 页
第 3 页
教学过程教学具
体目标
教学内容
实施途径
教师学生
课前任务1、了解
配方的
过程，
并能够
通过模
仿进行
配方；
2、完成
课前学
案识别
已经能
够解决
1.看配方的微
课(洋葱数学微
课)；
2.完成课前学
案；
3.提出自己的
疑问.
教师
发布
任
务.
学生看
微课，
并完成
课前学
案.
第 4 页
的一元二次方程.
课前任务反馈培养学
生的集
体荣誉
感.
1.网上任务完
成情况；
2.学案的完成
情况.
注：给完成较好
的同学，加分；
给完成好的小组
加红旗.
教师
ppt
呈
现.
学生
看，班
长记录
加分情
况.
回顾课前任务解决学
生课前
学习的
共性问
题，归
纳总结
用配方
1.呈现课前任
务的内容，用颜
色区分课前任务
的共性问题；
2.归纳总结.
（1）配方的
规律；
教师
组
织，
引导
学生
解决
问
通过学
生回答
或小组
讨论讲
解，归
纳解题
程序.
第 5 页
法解一元二次方程的步骤.（2）用配方
法解一元二
次方程的步
骤；
（3）思想方
法.
题.
配方检测巩固落
实配
方.
（1）例
222
21(1)
x x x
++=+
（2）28
x x
++=
（3）25
x x
-+=
（4）24+
3
x x+=
（5）23
4
x x
-+=
（6）2+x x+=
教师
出示
问
题，
巡视
批
改，
表扬
完成
较好
的同
学.
学生做
题，并
板演，
给其它
小伙伴
批改，
做错的
题同学
分享错
误原
因.
第 6 页
（7）2+x px+=
我的收获知识和
方法.
1.配方；
2.数学思想.
教师
引导
学生
总
结.
学生总
结.
课堂检测
具体内容反馈目标配方法检测，用配方法解
一元二次方程.
会用配方
法解系数
为1的一
元二次方
程.
作业设计
具体内容作业目标学探诊九上第3页.会用配方法解
二次项系数为
1的一元二次
第 7 页
方程.
板书设计
21.2.1用配方法解一元二次方程
主板左侧：
配方：222
+()
22
p p
x px x
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方
例：2210
x x
--=
解：移项，得221
x x
-=
配方，得22
2
22
2+1+
22
x x
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2
(1)2
x-=
开方，得12
x-=±
12
x-=，或12
x-=-
1+2
x=，或12
x=-
第 8 页
中间：学生板演
主板右侧：
解一元二次方程的方法：
（1）直接开平方法
——特法（2）因式分解法
（3）配方法
第 9 页
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】
一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
新人教版九年级数学上册：《配方法解一元二次方程》教案设计
配方法解一元二次方程 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】 导学过程 阅读教材第31页至第34页的部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-2 1x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0 练习：
人教版数学九年级上册 第21章 21.2.1用配方法解一元二次方程 研究课 教案
人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案
21.2.1用配方法解一元二次方程教案 第 2 页
第 3 页
教学过程教学具 体目标 教学内容 实施途径 教师学生 课前任务1、了解 配方的 过程， 并能够 通过模 仿进行 配方； 2、完成 课前学 案识别 已经能 够解决 1.看配方的微 课(洋葱数学微 课)； 2.完成课前学 案； 3.提出自己的 疑问. 教师 发布 任 务. 学生看 微课， 并完成 课前学 案. 第 4 页
的一元二次方程. 课前任务反馈培养学 生的集 体荣誉 感. 1.网上任务完 成情况； 2.学案的完成 情况. 注：给完成较好 的同学，加分； 给完成好的小组 加红旗. 教师 ppt 呈 现. 学生 看，班 长记录 加分情 况. 回顾课前任务解决学 生课前 学习的 共性问 题，归 纳总结 用配方 1.呈现课前任 务的内容，用颜 色区分课前任务 的共性问题； 2.归纳总结. （1）配方的 规律； 教师 组 织， 引导 学生 解决 问 通过学 生回答 或小组 讨论讲 解，归 纳解题 程序. 第 5 页
法解一元二次方程的步骤.（2）用配方 法解一元二 次方程的步 骤； （3）思想方 法. 题. 配方检测巩固落 实配 方. （1）例 222 21(1) x x x ++=+ （2）28 x x ++= （3）25 x x -+= （4）24+ 3 x x+= （5）23 4 x x -+= （6）2+x x+= 教师 出示 问 题， 巡视 批 改， 表扬 完成 较好 的同 学. 学生做 题，并 板演， 给其它 小伙伴 批改， 做错的 题同学 分享错 误原 因. 第 6 页
九年级数学上册21.2.1配方法教案新人教版
21．2 配方法 第1课时直接开平方法 理解一元二次方程“降次”-—转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f）2＋c＝0型的一元二次方程． 重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n（n≥0）的方程，领会降次—-转化的数学思想． 难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m）2＝n（n≥0)的方程． 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空 （1)x2－8x＋________＝(x－________)2；（2）9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2;（3）x2＋px＋________＝(x＋________）2. 解：根据完全平方公式可得：(1）16 4；(2)4 2；（3)（错误!)2错误!. 问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次?怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t ＋1,即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3 即2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的两根为t1＝1，t2＝－2 例1 解方程：(1）x2＋4x＋4＝1 (2）x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x＋2）2＝1。 (2）由已知,得：（x＋3）2＝2 直接开平方，得：x＋3＝±错误! 即x＋3＝错误!,x＋3＝－错误! 所以，方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－错误! 解：略． 例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14。4 m2，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10（1＋x）；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x）＋10(1＋x）x＝10(1＋x)2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10(1＋x)2＝14。4 (1＋x）2＝1.44 直接开平方，得1＋x＝±1。2 即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2 所以，方程的两根是x1＝0。2＝20%,x2＝－2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此，x2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20％。 (学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
配方法 第1课时直接开平方法 1.了解降次将一元二次方程转化为一元一次方程. 2.能用直接开平方法解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程. 【重点难点】 会用直接开平方法解一元二次方程. 【新课导入】 1.你能求出方程x2=16中的未知数吗? 2.把方程(x-1)2=9中的x-1看作一个整体,你能转化为两个一元一次方程吗? 【课堂探究】 一、用直接开平方法解形如x2=p的一元二次方程 1.一元二次方程2x2-6=0的解为x1=,x2=-. 2.解方程4x2=9. 解:由4x2=9, 得x2=, 两边直接开平方, 得x=±, 所以原方程的解为:x1=,x2=-. 二、用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 3.解方程2(x+3)2-4=0. 解:x1=-3+,x2=-3-. 4. 解方程(2x+1)2=(x-1)2. 解:两边直接开平方, 得到2x+1=±(x-1),
即2x+1=x-1或2x+1=-(x-1), 解得x1=-2,x2=0. 1.只有二次项和常数项的方程x2=p(p≥0),方程两根为x=±. 2.方程左边是完全平方式,右边是常数的方程 (mx+n)2=p(m≠0,p≥0)方程可转化为两个一元一次方程mx+n=±p,解得x1=, x2=. 1.方程x2-4=0的根是(C) (A)x=2 (B)x=-2 (C)x1=2,x2=-2 (D)x=4 2.(2013某某)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D) (A)x-6=-4 (B)x-6=4 (C)x+6=4 (D)x+6=-4 3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(B) (A)14 (B)12 (C)12或14 (D)以上都不对 4.关于x的一元二次方程(x-k)2+k=0,当k>0时的解为(D) (A)k+ (B)k- (C)k±(D)无实数解 5.解方程:2y2=8. 解:两边同除以2, 得y2=4, 所以y1=2,y2=-2. 6.解方程:4(3x-2)2-32=0.
初中数学_21.2.1配方法解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计 1温故知新 1.什么是一元二次方程?什么是一元二次方程的解？ 2.关于X的一元二次方程的一般形式是什么？ 3、你学过的整式方程有哪些？它们是如何求解？ 2学习目标 1.会用开方法和配方法解一元二次方程。 2.掌握配方法的步骤，熟练的用配方法解一元二次方程。 3.在配方法的应用过程中体会转化思想。 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm， 由题意得：10×6x2=1500， x1=5，x2=－5. 可以验证，5和－5是方程①的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4(2) x2=0 (3) x2+1=0 探究归纳（见课本P5） 如果我们把x2=4，x2=0，x2+1=0变形为x2 = p 呢？ 1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 2）当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 （3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5. 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 典例精析 例1 解下列方程： （1）（x－1）2－4 = 0；(2) 12（3－2x）2－3 = 0 开心练一练 1、用直接开平方法解下列方程: （1）（2） 静心想一想 2、下列方程能用直接开平方法来解吗? （1）（2）X2+6X+9 = 2 问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得: X（X+6）= 16 课件演示过程 例2: 用配方法解方程 （1）（2） 跟踪练习1
人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程 教案
配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习： 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。 （2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。 问题2： 要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？ 问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会，所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。 具体解题步骤： 解：设场地宽x m，长（x +6）m。 列方程： x（x +6）=16 即： x2+6x-16=0 x2+6x=16 x2+6x+9=16+9 （x+3）2=25 x+3=±5 x+3=5 x+3=-5 x 1=2， x 2 =-8 2、配方法解一元二次方程 （1）定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法。 （2）配方法解一元二次方程一般步骤： 一化：先将常数移到方程右边，后将二次项系数化为1 二配：方程左右两端都加上一次项系数一半的平方 三成式：将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式
数学人教版九年级上册21.2.1配方(第2课时)
23x 15-=2 x 6x 92++ =2 2__)(___101+=++x x x ）（22___)(____72+=++x x x ）（2 2__) -(___123x x x =+-）（22 ___)-(____3 2 4x x x =+-）（26160x x +-=2 x 6x 92++=2 6160x x +-= 21.2.1.配方法（第2课时） 学习目标：1.理解配方法； 2.能用配方法解数字系数的一元二次方程. 教学重点：运用配方法解简单的一元二次方程. 教学难点：发现与理解配方的方法. 学习过程：一、承前回顾 启后导学 1.（1）方程 的根是______________________; （2）方程 的根是_______________________ . 注意：当p<0时，方程_______实数根. 2.完全平方公式 ___________________ ___________________ 二、创设情境 引入新知 三、师生互动 探索新知 探究一：填空 探究二：1.观察问题中的方程 与前面方程 有什么相同点、不同点？2.阅读教材第6页最下面探究至第7页例1前面的内容，尝试解方程 并且完成下面归纳. ⑴定义：像上面这样，通过配成___________来解一元二次方程的方法叫做__________.可以看出配方是为了______，把一元二次方程转化成____个____________来解. ⑵用配方法解一元二次方程的一般步骤: 移项:把_________移到方程的右边;把含_______的项移到方程的左边. 配方:方程两边都加上一次项系数_____的______; 开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程.
人教版初三数学上册用配方法解一元二次方程.2.1用配方法解一元二次方程
第2课时用配方法解一元二次方程 教学内容 教材第5至8页 教学目标 1•了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 2•经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 重点难点 1. 配方法的解题步骤（重点） 2. 灵活地运用配方法解数字系数不为1的一元二次方程（难点） 教学过程 例题导入 展示图片并提问： 丽柏专卖店ZREEO衬衫的销量为平均每天20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，专卖店决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫毎降价 元，专卖店平均每天可多售出2件，若专卖店平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多 少元？（设每件衬衫减价x元，根据题意可列方程40 -X 20 2x =1200 ,整理得2 x -30x *200 = 0，如何解这样的方程？） 请同学们独立完成下面问题： 1. 根据完全平方公式填空： ⑴ x2+ 6x+ 9 =（）2 ⑵ x2-8x+ 16=（）2
⑶ x2+ 10x+（）2=（）2 ⑷ x2- 3x +( ) 2=( 2. 解下列方程： （1）（x+ 3）2= 25;（2）12（x—2）2-9= 0. 3. 你会解方程x2+ 6x- 16= 0吗?你会将它变成（x+ m）2= n （n为非负数）的形式吗？试试看.如果是方程2x2+ 1 = 3x呢？ 同学们，如何解x2+ 6x—16= 0这样的方程，请大家思考一下 学生思考回答： 归纳导入：方程x2+ 6x—16= 0的左边不是完全平方式，不能直接用开平方法求解，解这种类型的方程需要将它变成（x+ m）2= n （n为非负数）的形式，这种解方程的方法叫做配方法，配方法的关键是什么？配方法都包括哪些步骤？今天我们就这些内容进行探究•探求新知用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 活动一：模仿教材第32页图示内容，解方程x2—8x+仁0,相互交流思考下面的问题： （1）解答过程都有哪些步骤？ 【分析点评】（1 ）移项：把常数项1移到方程的右边；（2）配方：方程两边都加上 4 的平方；（3）开方：根据平方根意义，方程两边开平方；（4）求解：解一元一次方程；（5）定解：写出原方程的解. 【分组讨论】 （1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？ （2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？ 【课堂小结】在用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的时候，进行配方时，方程的左右两边要同时加上一次项系数一半的平方（这是配方的关键做法），一次项系数的符号 决定了左边的平方式中是两数差的平方还是两数和的平方. 【针对训练】 1. 填上适当的数，使下列等式成立： x2+ 12X + =(x+ )2； x2+ 4x+ =(x+ )2； x2+ 8x+ =(x+ )2. 2.解下列方程：(1) x2+ 10x+ 9= 0； (2) x2—x—7= 0 4
人教版九年级上册数学 21.2.1 第2课时 配方法 优秀教案
第2课时配方法 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 一、情境导入 李老师让学生解一元二次方程x2－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？ 二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方 用配方法解一元二次方程x2－4x ＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的 二次项系数为1，故在方程两边都加上一次 项系数一半的平方，然后将方程左边写成完 全平方式的形式，右边化简即可．因为x2 －4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－ 2)2＝9.故选D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变 形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右 边，使方程的左边只留下二次项和一次项； (2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同 时加上一次项系数一半的平方． 【类型二】 利用配方法解一元二次方程 用配方法解方程：x－4x＋1＝0. 解析：二次项系数是1时，只要先把常 数项移到右边，然后左、右两边同时加上一 次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2 ＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2 －4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3. 解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3， x2＝2－ 3. 方法总结：用配方法解一元二次方程， 实质上就是对一元二次方程变形，转化成开 平方所需的形式． 【类型三】用配方解决求值问题 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 求 x－2y x2＋y2 的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝ 0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2 且y＝3，∴原式＝ －2－6 13 ＝－ 8 13 . 【类型四】用配方解决证明问题 (1)用配方法证明2x2－4x＋7的 值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个 恒大于零的二次三项式． 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝ 2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝ 2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋ 5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的 值恒大于零． (2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋ 8等． 【类型五】配方法与不等式知识的综合 应用 证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2 ＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二 次方程． 解析：要证明“不论m为何值时，方程 都是一元二次方程”，只需证明二次项系数 m2－8m＋17的值不等于0. 证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－ 8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0， ∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论 m为何值时，原方程都是一元二次方程． 三、板书设计
2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案 配方法(第1课时)
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 一、教学目标 【知识与技能】 1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程； 2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 【过程与方法】 通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法. 【情感态度与价值观】 在成功解决实际问题过程中,体验成功的快乐,增强数学学习的信心和乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时,共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 解形如x2=p(p≥0)的方程. 【教学难点】 把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式. 五、课前准备 课件
六、教学过程 （一）导入新课 1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2） 一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.. a(a≥0)的平方根记作:. x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知,x=. 2. 求出下列各式中x的值,并说说你的理由.（出示课件3） ⑴x2=9；⑵x2=5. 解:⑴x=±3 ；⑵x=. 思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ （二）探索新知 探究直接开平方法 一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5）教师问:设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为6x2dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2,由此你可得到方程为10×6x2=1500,你能求出它的解吗？ 学生思考后,共同解答如下:. 解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2dm2, 可列出方程: 10×6x2=1500, 由此可得x2=25.
人教版九年级数学上21.2.1《配方法(2)》名师教案
人教版九年级数学上21.2.1?配方法〔2〕?名师教案
21.2.1 配方法解一元二次方程〔王鹏鹏〕 第二课时 一、教学目标 〔一〕学习目标 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. 〔二〕学习重点 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. 〔三〕学习难点 配方法的综合应用. 二、教学设计 〔一〕课前设计 用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤： 〔1〕化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ； 〔2〕移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 〔3〕配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ； 〔4〕将原方程变成()2 x m n +=的形式； 〔5〕判断右边代数式的符号，假设0n ≥，可以直接开方求解；假设0n <原方程无解. 〔1〕()22________8+=++x x x 【知识点】配方法 【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方. 【解题过程】22 288822x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】()2 28164x x x ++=+ 1.进一步理解配方法和配方的目的. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
〔2〕()2 2________-=+-x x x 【知识点】配方法 【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方. 【解题过程】22 21122x x x --⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】2 21142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ (3)()222___82____x x x ++=+ 【知识点】配方法 【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】()()2 2228824422x x x x x ±+=±+=± 【答案】82±±， (4)()2233___3____4x x x -+=- 【知识点】配方法 【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】 【答案】132 ±±， (二)课堂设计 (1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如〔mx + n 〕2=p 〔p≥0〕的一元二次方程. (2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项前方程两边同加一次项系数的一半的平方. (3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根. 探究一：配方法解一元二次方程的规律▲ ●活动① 以旧引新
人教版九年级数学上册《21章 一元二次方程 直接开平方法》优质课教案_14
21．2.1 配方法 第1课时直接开平方法 学习目标 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣． 教学过程 一、情境导入 一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究 探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 例1、运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9； (2)(x＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x
＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x 2＝9，得x 2 ＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－ a. 【类型二】直接开平方法的应用 例2、 若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a ＝________. 解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±b a ，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a ＝4，故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 例3、 若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________． 解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.
九年级数学上册第章一元二次方程解一元二次方程配方法学案新人教
21.2.1 解一元二次方程——配方法 一、温故知新 1.解方程： (1)(x －2)2 －9＝0；(2) x 2 －6x+9=5 2.我们把形如222b ab a ++或 222b ab a +-的二次三项式称为完全平方．．．． 式．.已知下列各式均为完全平方式，请填空： （1）x 2 + 6x+ =(x+3)2 （2）x 2 -12x+ =(x- )2 二、设问导读 问题1: 怎样解方程x 2 +6x+4=0? 自学课本6页7页内容，可尝试独立完成框图 问题2：典例解下列方程： （1）0182=+-x x (2）x x 3122=+
（3）04632=+-x x 归纳1：配方法解一元二次方程的步骤： 归纳2：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n )²=p 的形式，那么就有： （1）当p>0时，方程有________实数根； （2）当p=0时，方程有________实数根； （3）当p>0时，方程________ ___. 三、巩固训练 1.用配方法解下列方程 (1) 09102=++x x (2)04 7 2 =--x x (3) 04632=-+x x （4）112942-=-+x x x （5） 128)4(+=+x x x
2..用配方法解下列方程时，配方正确的是( ) A．方程x2－6x－5＝0，可化为 (x－3)2＝4 B．方程y2－2y－5＝0，可化为 (y－1)2＝5 C．方程a2＋8a＋9＝0，可化为 (a＋4)2＝25 D．方程2x2－6x－7＝0，可化为 (x－3 2)2＝ 23 4 3.把一元二次方程x2－6x ＋4＝0化成 (x＋n)2＝m的形式时，m＋n的值为( ) A．8 B．6 C．3 D．2 4．若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是 一个完全平方式，则m等于(B) A．－2 B．－或6 C．－2或－6 D．2或－6 四、拓展延伸 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？ 并求出这个最小值.