二元一次不等式(组)与平面区域教学设计
二元一次不等式与平面区域说课稿
《二元一次不等式（组）与平面区域》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！我说的课题是人教B 版数学（必修5）第三章《二元一次不等式（组）与平面区域》. 下面我将从教材、学情、目标、教学方法、过程设计、设计说明六个方面进行阐述.一、教材分析本节课既是对前面不等式、直线方程这两部分内容的延伸和交汇，又是后面图解法解决线性规划的基础，具有承上启下的作用。
本节的内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了数形结合、化归的数学思想。
二、学情分析学生在高一学习了《一元一次方程的几何意义》，又通过上节课的《一元二次方程与一元二次不等式的关系》，初步体会了方程与不等式的联系。
初步接触了用代数方法（坐标、方程）研究图形性质的数学思想；但由于年龄特点，逻辑思维能力不强，对知识的认识不够深刻。
三、目标分析根据课标，针对教材和学情分析特制定了本节课的教学目标。
【知识与技能】：理解二元一次不等式区域的判断方法；能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
【过程与方法】：在探求的过程中，体会数形结合、归纳、化归等解决问题的思想。
【情感、态度与价值观】：体会数形结合思想的魅力，体验探究带来的乐趣。
【重点】：二元一次不等式(组)的意义（平面区域）的探求及作图方法【难点】：寻求二元一次不等式表示的平面区域四、方法分析建构主义教学理论认为数学学习不是一个“授予----吸收”的过程，而是学生自己主动地观察、思考、归纳、推理的构建过程，因此本节课采取启发探究式教学方法，通过系列问题，组织学生合作交流，引导学生尝试猜想，归纳证明，帮助学生在原有的经验上建构新知识。
并结合多媒体增强直观，提高效率。
为加强学生对知识的巩固与应用，教学中讲练有机结合五、过程设计（六个环节：情境引入、知识探究、知识运用、归纳总结、当堂检测作业设置、）第1环节 情境引入（为提高学生兴趣，我编制了一个和生活有关的问题，作为引入本节的情境） 周末，小明外出踏青，但为了保持和其他朋友们的联系，必须经常打手机，手机运营商的信号覆盖是有范围的，通过GPS 定位，以小明的出发地为原点，以如图所示的坐标系为参照，得到小明的的坐标P （x,y ），必须满足4≤x （单位km ），才有信号，请你给小明一个建议，让他在什么区域内游玩，才能保持信号畅通呢？4≤y 呢？1622≤+y x 呢？如果范围要求是42≤-y x 呢？（设计意图：将新知的生长点建立在学生熟悉的知识之上，既能提起学生的兴趣，也符合学生的认知规律，并有利于进行类比猜想。
二元一次不等式(组)与平面区域说课稿
二元一次不等式（组）与平面区域说课一、教材分析（一）、教材背景分析“二元一次不等式（组）与平面区域”在不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解法解决线性规划的基础；同时，在探求问题的过程中可以培养学生数形结合、数学建模等数学思想方法。
（二）、学情分析1、本班的大部分学生，有一定逻辑思维能力和作图能力，但依赖性较强，缺乏独立思考的能力2、在经过前一段时间的学习后，学生对不等式有一定的认识基础3、厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间。
（三）、教学目标知识与技能: 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组，能用平面区域表示二元一次不等式组。
过程与方法：通过二元一次不等式组所表示的平面区域在实际问题中的应用进一步提高学生的数学建模及数形结合能力。
情感态度与价值观：通过本节学习，过一步认识数学在实际生活中的应用，培养数学来源于生活、应用于生活的意识。
（四）、教学重点、难点的分析与突破重点：二元一次不等式组所表示的平面区域在实际问题中的应用难点：1.利用数学建模确定实际问题所满足的二元一次不等式组。
2.确定二元一次不等式组所表示的平面区域。
（五）、教学准备教师：教学课件学生：三角尺（或直尺）二、教法、学法分析教法设计：采用探索讨论，联想类比，启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透，以多媒体作为教学辅助手段。
从实际问题出发，探讨二元一次不等式组表示的平面区域学法指导：（1）引导学生仔细审题、紧紧围绕实际问题中的已知条件通过列表等方式确定实例中的变量所满足的不等式组；（2）为加深学生对知识的理解、掌握，指导学生联想类比、合作探究、动手操作的方式发现问题，解决问题，体会到在问题解决中学习、在交流中学习的乐趣。
三、教学过程（略）四、教学评价分析及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神。
二元一次不等式组与平面区域说课稿
利用平面区域解决实际问题
1
应用案例1
通过实际问题，让学生利用平面区域的概念和性质解决具体问题。
2
应用案例2
进一步挑战学生的能力，给出更复杂的实际问题，让他们运用所学知识解决。
利用二元一次不等式组和平面 区域解决实际问题
通过综合运用二元一次不等式组和平面区域的知识，解决更具挑战性的实际 问题。
二元一次不等式组和平面区域 在计算机图形学中的应用
性质
二元一次不等式组的解集可 以用平面上的区域表示，并 且具有不同的性质和图像。
例子
通过具体的例子，让学生理 解和熟悉二元一次不等式组 的定义和性质。
解二元一次不等式组的方法
1
图解法
通过绘制平面上的区域图，找到二元一次不等式组的解集。
2
代入法
将其中一个不等式的解代入另一个不等式，得到二元一次不等式组的解集。 Nhomakorabea3
消元法
通过消除未知数，得到简化的一元一次不等式，从而求解二元一次不等式组的解集。
利用二元一次不等式组解决实际问题
通过案例分析和实际问题的应用，让学生理解二元一次不等式组在现实生活中的重要性和应用。
平面直角坐标系及坐标系上的线段、角度 关系
平面直角坐标系
介绍平面直角坐标系的定义和组 成，以及如何在坐标系上表示线 段和角度。
介绍二元一次不等式组和平面区域在计算机图形学中的重要应用，如图像渲 染、碰撞检测等。
小结与思考
总结学习的重点和要点，并鼓励学生思考和探索更多与二元一次不等式组与平面区域相关的内容。
线段关系
讨论线段的长度和相互位置的关 系，以及如何利用线段比例解决 问题。
角度关系
介绍角度的测量方法和相关概念， 以及如何利用角度关系求解问题。
二元一次不等式表示的平面区域教案人教版
1.图形表示略。
2.
（1）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(0,6)和(6,0)。
（2）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(4,4)和(4,0)。
（3）解集图形为一个四边形区域，顶点为原点(0,0)、(0,4)、(3,3)和(4,0)。
3.方案一：x + y ≤ 0，表示购买商品x元，赠送y元；
再次，在巩固练习阶段，我通过随堂练习题和错题订正的方式，检查学生对二元一次不等式表示的平面区域知识的掌握情况。在实际教学中，我发现学生在解决实际问题时，往往难以将实际问题转化为二元一次不等式表示的平面区域，从而导致解题困难。因此，我需要在今后的教学中，加强对实际问题转化为二元一次不等式表示的学生的解题能力。
（2）探究方法：
学生可以利用网络资源、图书馆书籍或与同学讨论等方式，搜集与二元一次不等式表示的平面区域相关的信息，拓宽知识面。
学生可以尝试解决课本或其他资料中的拓展问题，提高自己的解题能力。
学生可以进行小组合作，共同探讨问题，培养团队合作精神。
课后作业
1.请用二元一次不等式表示下列平面区域，并画出图形：
（3）从生活实际出发，让学生通过观察、分析、归纳来找出实际问题中的不等关系，突破难点3。
教学资源
1.软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体投影仪、计算机、几何画板软件。
2.课程平台：人教版八年级上册数学教材、教学课件、练习题库。
3.信息化资源：网络搜索引擎、在线数学教学平台、数学视频讲解资源。
4.教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、几何画板演示。
最后，在拓展延伸阶段，我提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，并鼓励学生进行课后自主学习和探究。在实际教学中，我发现部分学生对拓展阅读材料缺乏兴趣，难以自主进行学习和探究。因此，我需要在今后的教学中，加强对拓展阅读材料的引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域 教案
芯衣州星海市涌泉学校3.5.1二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域教案一、教学目的：1．知识目的：能做出二元一次不等式〔组〕所表示平面区域；会把假设干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．2．才能目的：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的才能；3．情感目的：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣．二、教学重点、难点：重点：二元一次不等式〔组〕表示的平面区域难点：用二元一次不等式〔组〕表示平面区域．三、教学方法与手段本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探究、讨论交流的方式进展组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．四、教学过程〔一〕创设情景，引入新课本班方案用少于100元的钱购置单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购置方案？分析：〔1〕引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个；〔2〕把文字语言转化为数学符号语言：〔少于100元的钱购置〕⇒1002<+y x 〔1〕 〔大球数不少于10〕⇒10≥x ，N x ∈ 〔2〕 〔小球数不少于20〕⇒20≥y ，N y ∈〔3〕〔3〕抽象出数学模型：2x y 100x 10y 20,x,y N +<⎧⎪≥⎨⎪≥∈⎩〔二〕讲授新课1．二元一次不等式〔组〕的定义〔1〕二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 〔2〕二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 注意：二元一次不等式〔组〕是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．2．探究二元一次不等式〔组〕的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式〔组〕的解集所表示的图形——数轴上的区间二元一次方程表示的是什么图形？直线考虑：在直角坐标系内，二元一次不等式〔组〕的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线AxBy C 0++=分为几部分？ 两部分以x y 10+-=为例进展直观说明，引出以下概念：每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．以不等式解〔x,y 〕为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或者者不等式的图象． 如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究详细的二元一次不等式xy 10+->的解集所表示的图形． 问题二：平面内所有的点被直线xy 10+-=分成几类？ 如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线．平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线xy 10+-=上的点； 第二类：在直线x y 10+-=左下方的区域内的点；第三类：在直线x y 10+-=右上方的区域内的点．问题三：每部分中的点都有哪些特点？在直线的上方、下方取一些点：上方：〔0，2〕，〔1，3〕，〔0，5〕，〔2，2〕下方：〔-1，0〕，〔0，0〕，〔0，-2〕，〔1，-1〕分别把点的坐标代入式子xy 1+-中，会有什么结果？ 直线上方的点使的x y 10+->；直线下方的点使的x y 10+-<．猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有一样的符号？问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？x y 10+->；x y 10+-<．由学生自行归纳总结，不要求证明．结论：直线AxBy C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax By C ++的值具有一样的符号，并且两侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．概括为：“直线定界，特殊点定域〞．特别地，当0≠C时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域〞． 问题六：0≥++C y Ax B 表示的平面区域与0>++C y Ax B 表示的平面区域有何不同？如何表达这种区别？把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．〔三〕应用新知，练习稳固例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：〔1〕2x y 30-->；〔2〕3x 2y 60+-≤．设计以下几个问题:(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好学生完成，师指导．例2．画出以下不等式组表示的平面区域〔1〕2x y 10x y 10-+>⎧⎨+-≥⎩〔2〕2x 3y 202y 10x 30-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩设计以下几个问题：(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分)(2)第二小题中加上条件x,y N ∈，又会是什么图形呢？多媒体演示平面区域(是上述公一一共平面区域内的整点)例3．一个化肥厂消费甲、乙两种混料，消费1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；消费1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．假设在此根底上进展消费，设x,y分别为方案消费甲、乙两种混料的车皮数，请列出满足消费条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：x,y满足的数学关系式为：4x y10 18x15y66 x0y0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．反响练习：教材89页练习A组2〔4〕．〔四〕课堂小结知识上：1．二元一次不等式〔组〕表示平面区域2．断定方法:“直线定界，特殊点定域〞．小窍门：假设C≠0,可取(0,0)；假设C＝0,可取(1,0)或者者(0,1)．思想方法上：数形结合的数学思想方法．〔五〕布置作业教材89页练习B组1、2．大屏幕展示考虑题：〔再次回到引例〕为下一节课做准备。
21-22版：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域（步步高）
§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标 1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示.4.能够从实际问题中抽象出二次一次不等式(组)．知识点一二元一次不等式(组)的概念1．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解．4．所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．思考二元一次不等式的一般形式是什么？答案二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C>0，Ax＋By＋C<0，Ax＋By＋C≥0，Ax＋By ＋C≤0，其中A，B均不为0.知识点二二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界直线画成实线．知识点三二元一次不等式组表示的平面区域1．不等式Ax＋By＋C>0是二元一次不等式．(×)2．点(1,3)在不等式2x－y－2<0所表示的平面区域内．(√)3．不等式Ax＋By＋C<0与Ax＋By＋C≤0所表示的平面区域不同．(√)4．若点(x1，y1)和(x2，y2)在直线x＋2y－4＝0的同一侧，则必有(x1＋2y1－4)(x2＋2y2－4)>0.(√)一、二元一次不等式(组)表示的平面区域命题角度1不等式与平面区域例1(1)画出不等式x＋4y<4表示的平面区域．解先作出边界直线x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示．(2)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________．答案x＋2y－2<0解析过点(2,0)和(0,1)的直线方程为x2＋y＝1，即x＋2y－2＝0.代入(0,0)有0＋2×0－2＝－2<0.∴阴影部分表示的区域满足x＋2y－2<0.反思感悟(1)画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．(2)已知平面区域求不等式的步骤①利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程．②将平面区域内的特殊点代入直线方程两侧，判断不等号的方向．③结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式．跟踪训练1 (1)画出不等式2x －y －6≥0所表示的平面区域． 解 如图，先画出直线2x －y －6＝0，将原点O (0,0)代入2x －y －6中． ∵2×0－0－6＝－6<0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6<0，故直线2x －y －6＝0的右下方区域就是2x －y －6>0表示的平面区域．因此2x －y －6≥0表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．(2)图中的阴影部分用不等式表示为________．答案 5x －2y ＋10<0解析 易得区域边界直线的方程为y ＝52x ＋5，即5x －2y ＋10＝0，(0,0)不在区域内且边界为虚线，将原点(0,0)代入有0－0＋10>0，所以阴影部分用不等式表示为5x －2y ＋10<0. 命题角度2 不等式组与平面区域 例2 (1)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2所表示的平面区域．解 x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域；2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2，即x ＋y －2<0，表示直线x ＋y －2<0左下方的区域． 综上可知，不等式组②表示的区域如图阴影部分所示．(2)图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 答案 A解析 过点(0,1)，⎝⎛⎭⎫12，0的直线方程为2x ＋y －1＝0；过点(0,1)，(－2,0)的直线方程为x －2y ＋2＝0.取原点O (0,0)检验，满足2x ＋y －1<0，故阴影部分的点(含直线上的点)应满足2x ＋y －1≥0，排除B ，D ；点O (0,0)满足x －2y ＋2≥0，排除C.反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：(1)画线．(2)定侧．(3)求“交”．(4)表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练2 (1)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x －y ≤3表示的平面区域．解 在同一平面直角坐标系中分别画出不等式2x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x －y ≤3表示的平面区域，如图所示，其中阴影部分(含边界)就是不等式组表示的平面区域．(2)已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．试写出表示区域D 的不等式组．解 用两点式求得直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.因为原点(0,0)在区域D 内，所以表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.二、二元一次不等式组表示平面区域的应用 例3 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 C解析 满足题意的平面区域为如图所示的△ABC 及其内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)．又B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， 所以S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43. 延伸探究 若将本例中不等式组改为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，且已知其表示的平面区域的面积等于4，试求k 的值．解 如图，kx －y ＋2＝0是恒过点A (0,2)的直线，不等式组表示的平面区域是三角形，y 轴和直线x ＝2之间的距离为2，要使围成的△ABC 面积为4，则三角形底边BC 长为4，即直线kx －y ＋2＝0过点(2,4)，代入可求得k ＝1.反思感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 跟踪训练3 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________． 答案 13解析 如图，由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)．则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部．直线y ＝kx ＋1恒过点A .要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 的中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.三、用二元一次不等式(组)表示实际问题例4 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某工厂可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求． 解 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)． 反思感悟 用二元一次不等式组表示实际问题的步骤(1)先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量，并用字母表示． (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件及问题中所有量的实际意义，写出所有的不等式． (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．跟踪训练4 某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，若每日预算总成本不得超过6 000元，运费不得超过2 000元，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在平面直角坐标系中画出相应的平面区域． 解 将已知数据列成下表：原料 成本/元 运费/元 甲 1 000 500 乙1 500400设工厂每日需用甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1 000x ＋1 500y ≤6 000，500x ＋400y ≤2 000，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤12，5x ＋4y ≤20，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( )A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,2)D ．(2,0) 答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内．2．已知点(1,2)与(3,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 D解析 ∵点(1,2)与(3,1)位于直线x ＋y －a ＝0的两侧， ∴(1＋2－a )(3＋1－a )＜0，即(3－a )(4－a )＜0， 则(a －3)(a －4)＜0，即3＜a ＜4.3．下列选项中与点(1,2)位于直线2x －y ＋1＝0的同一侧的是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,0) 答案 D解析 ∵2×1－2＋1＝1>0，∴点(1,2)位于2x －y ＋1>0表示的平面区域内，而四个点(－1,1)，(0,1)，(－1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2x －y ＋1>0. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 [5,7)解析 不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5<a <7时，表示的平面区域为三角形，综上所述，当5≤a <7时，表示的平面区域为三角形．5．若点P (a ,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3>0表示的平面区域内，则点P 的坐标是________． 答案 (7,3)解析 由点到直线的距离公式得|4a －8|5＝4，解得a ＝7或a ＝－3，而点(－3,3)不满足不等式2x ＋y －3>0，点(7,3)满足不等式2x ＋y －3>0，故点P 的坐标为(7,3)．1．知识清单：(1)二元一次不等式(组)的概念．(2)二元一次不等式表示的平面区域．(3)二元一次不等式组表示的平面区域及其应用．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：(1)将所取点代错式子致错．(2)平面区域边界虚实不清而出错．(3)用二元一次不等式(组)表示实际问题要注意变量本身的范围．。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第一课时)
学习目标
1、了解二元一次不等式的几何意义 、 2、会画二元一次不等式表示的平面区域 、
创设情境
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业 元用于企业 一家银行的信贷部计划年初投入 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 元的收 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益 益，其中从企业贷款中获益 ， 10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 。那么，信贷部应该如何分配资金呢？
典例分析
画出不等式x+4y<4表示的平面区域 例1 画出不等式 表示的平面区域 分析： 分析： 画出边界 y 代特殊点确定区域
1
x+4y-4=0 4
o
x+4y<4
x
练习：课本 页第 页第1题 练习：课本86页第 题，第2题 题
典例分析
例2 用平面区域表示不等式组
y < −3 x + 12 x < 2 y
新课探究
问题3：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C >0, 问题 ：对于一般的二元一次不等式 其解集所表示什么图形，如何画出？ 其解集所表示什么图形，如何画出？ Ax+By+C>0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域，不包括边界 平面区域， Ax+By+C≥0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域， 平面区域，包括边界 画法：直线定界， 画法：直线定界，特殊点定域
《二元一次不等式(组)表示的平面区域》教学设计
二元一次不等式（组）表示的平面区域教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：（1）理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法；（2）能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
2.过程与方法目标：（1）增强学生数形结合的思想；（2）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（2）体会数学的应用价值；（3）体会由一般到特殊，由特殊到一般的思想。
二、教学重、难点重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域难点：寻求二元一次不等式（组）表示的平面区域三、教法设计本节课采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。
使用多媒体辅助教学。
四、学法设计引导学生通过主动参与、合作探讨学习知识五、教学过程设计教学过程教学内容教学活动新课引问题：营养学家指出，成人的日常饮食应该摄入至少0.075kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.06kg脂肪。
已知1kg食物A含有0.15kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.12kg脂肪；已知1kg食物B含有0.15kg碳水化合物，0.12kg蛋白质，0.06kg脂肪。
设x，y分别为每天需要食物A,B的数量（单位：千克），请列出满足营养学家日常饮食要求的数学关系式。
学生列出满足要求的数学关系式。
入教师结合学生列出的关系式给出二元一次不等式和二元一次不等式组的概念。
探求二元一次不等式解集的几何意义1.介绍开半平面和闭半平面的定义。
2.引导1：二元一次方程在直角坐标系中的图像是一条直线，那么二元一次不等式在直角坐标平面上表示什么区域？引导2：直线将平面分成两部分，这与两个二元一次不等式有什么关联？引导3：如何验证我们的猜想？3. 选择直线，在平面上选择一点，观察其在每一侧区域运动时，的正负符号。
4.证明：在直线的同一侧任取一点的坐标使式子的值具有相同的符号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域教学设计
一．教学内容分析
本节用实例抽象出二元一次不等式的定义，然后从“有序数对”的角度对“二元一次不
等式的解集”的含义作出解释，从而自然引出用“直角坐标系内点集”表示“二元一次不等
式的解集”的想法；接着用实例抽象出平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，让学生
体会数形结合思想的实质及其重要性。
二．学生学习情况分析
本节课是在一元二次不等式及解法的基础上学习的另一种不等关系的模型，通过实例一
步步引出用出用平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，在这个过程中，最重要的是数
形结合思想和“解析法”的渗透，这是学生不太熟悉的，因此，采取启发、探究结合的教学
方法，学生采用小组协作的学习方法。
三．设计思想
我根据学生已有的认知结构和教材内容的特点，在课堂活动中通过同伴合作、自主探究
培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
在教学过程中力图在培养和发展学生数学素养的
同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
四．教学目标
知识与技能：①了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）的模型过程。
②理解二元一次不等式（组）的解集的概念。
③了解二元一次不等式（组）的几何意义，理解（区域）边界的概念及实
线、虚线、边界的含义。
④会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定不等式（组）表
示的平面区域。
过程与方法：通过对二元一次不等式的几何意义的探究，渗透数形结合数学思想方法，
培养学生类比、观察、归纳、抽象概括的能力.
情感与价值：结通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析的良好思维习惯，让
学生感知从具体到抽象，从特殊到一般的认知过程
五．教学重难点
教学重点：二元一次不等式（组）表示平面区域
教学难点：准确画出二元一次不等式（组）所表示平面区域
六．教学过程
（一）创设情境，引入新课
课本实例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔
资金至少带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%。
那么，
信贷部应该如何分配资金呢？
师：如何分配资金涉及那些？这个问题涉及不等关系，该如何解决？
生： 设企业贷款为x ，个人贷款就为y ，列不等式 x+y ≤25000000, (12%)x+ (10%)y ≥30000 企业贷款和个人贷款的资金数额不能为负值，所以
教师引出二元一次不等式及二元一次不等式组的概念。
教师给出本节课题。
师：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成 的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
这些有序数还可以看成什么？
25000000,
12103000000,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
生：可以看成直角坐标平面内点的坐标。
设计意图：通过实例抽象出二元一次不等式的定义，进一步得“有序数对”与点集对应，激活学生的思维，体会数学逻辑思维，为后面运用作准备。
（二）师生互动，探究新知
（1）学生思考以下问题
我们知道，一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么直角坐标系内二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢?
我们先研究二元一次不等式x-y<6的解集表示的图形
设计意图：通过前面的学习，学生可以很快把二元一次不等式解集引到平面区域上。
充分发挥学生的自主性和作为教学主体的主动性，培养学生自己解决问题的能力。
（2）提出问题
提问：在平面直角坐标系中，x-y=6把平面分成那几个部分？
学生有的说两部分，有的说三部分。
教师肯定三部分的同学。
设计意图：从很直观的角度分析满足二元一次不等式解集表示的点在直线的一侧，让学生很容易接受，培养学生数形结合的思想以及利用数形结合思想分析问题解决问题的能力。
（3）分组活动，合作探究
设P(x,)是直线l：x-y=6上的点，选取点A(x,)使A满足不等式x-y<6
探究1：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？据此说说，直线l左上方的点的坐标与不等式x-y<6有什么关系，直线l右下方点的坐标呢?
学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6
的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；
直线x-y=6叫做这两个区域的边界。
这里我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。
强调区域边界、实线、虚线的含义。
教师由特殊的二元一次不等式x-y<6表示的平面区域推导给出一般的二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的某一侧。
探究2：Ax+By+C>0什么情况下取直线Ax+By+C=0的上方，什么情况下取下方？（左上方，右上方通称上方；左下方，右下方统称下方）
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况,教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。
设计意图:探究2是在探究1的基础上得出一般性的结论，学生要得出探究2的结论比较难，探究2要多给时间学生讨论，这也是这节课的重难点。
前面的问题和这两个探究
紧密联系，环环相扣，激发学生学习数学的兴趣和“用数学”的能力，培养学生
的合作意识，形成团队精神。
（4）交流总结
此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果。
最后教师总结结论如下：方法一：取点法。
在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．概括为直线定界，取点定域。
方法二：B值判断法.主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”。
设计意图：教师给学生讨论，学生经过思考得出结论印象更深刻，培养学生总结归纳的能力。
（三）巩固训练，提升能力
例1：画出不等式x+4y<4所表示的平面区域。
解：先作出边界x+4y=4，
因为这条线上的点都不满足x+4y<4，
所以画成虚线。
因为B=4>o,不等式小于号，
根据口诀“异号取下方”，所以取直线x+4y=4的下方。
设计意图:体会两种表示区域的方法，学会运用所学知识。
对如何确定二元一次不等式表示的平面区域的步骤有初步的认识。
例2.用平面区域表示不等式组｛的解集
解：不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；
不等式x<2y 表示直线x y 2
1 上方的区域. 取两区域重叠的部分，如图所示的阴影部分表示原不等式组的解集。
设计意图：进一步体会如何画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，让学生熟练掌握这个方法。
（四）归纳小结，提高认识
通过这两个例题的练习和讲解，教师让学生总结二元一次不等式（组）所表示的平面区域的画法。
1、画出二元一次不等式所对应的直线方程。
注意实线和虚线。
2、选取哪一侧面。
①取特殊点，若Ax+By+C=0中的常数项C 不为零，则取原点(0,0)。
②B 值判断法，利用“同上异下”
3、画出平面区域
当堂检测： 1.不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（ ）
A.右上方
B.右下方
C.左上方
D.左下方
2．画出不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域
3. 画出不等式组｛表示的平面区域
设计意图：提高学生归纳总结的能力，学会梳理知识、运用结论。
作业：课本93面A 组1、2
七．教学反思
1．本节课采用学生是主体，教师围绕着学生展开的教学。
在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。
这节课让学生从实例出发，思维一步步的很自然的引到今天的重点上，让学生在这过程中感受数学的逻辑和严谨。
2．在教学中培养学生从特殊到一般的能力及归纳总结的能力。
3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、 思考问题。
4.在探究过程中有的学生还没有积极地参与进来，思维还没有跟上，如何让学生更有兴趣或者所给的问题更能接近学生的最近发展区，让所有的学生都能积极的参与进来，是我们要努力的。