辛普森求积公式
ch4.2代数精度
(b
6
a)
(a4 +4( a+b )4 2
b4 )
左边 右边
因此辛普森公式具有3次代数精确度。
谢谢观看！ 2020
a
2
Q 梯形公式为2个节点的插值型求积公式
梯形公式至少具有1次代数精度
下面验证f (x) x2，
左边
b a
x2dx
[
x3 3
]ba
b3 3
a3 3
(b2
ab a2 ) (b a) 3
右边 [b2 a2 ] (b a) 左边 右边 2
因此梯形公式具有一次代数精确度。
2、辛普森(Simpson)公式 S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)]，
例2 确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
f (x)dx Af (0) Bf (1) Cf (3)
0
解: 要使公式具有2次代数精度，则对f (x) 1, x, x2公式准确成立，得
A BC 4
B 3C 8
B
9C
64
3
A 4 , B 4 ,C 20 93 9
4 f (x)dx 1 [4 f (0) 12 f (1) 20 f (3)]
1
3
3
解：(1)当f (x) 1,左边 1 1 dx 2, 右边 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] 2
1
2
左边 右边
当f (x) x,左边 1 xdx 0, 右边 1 [1 2 0 1] 0
1
2
左边 右边
当f (x) x2,左边
1 1
x2dx
[
x3 3
1
2
是否为插值型的？
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
复合梯形公式与复合辛普森公式对比
开始
输入区间断点 a,b 及等分数 n
求出步长 h,各节点 及相应得
各函节数点值函数值,k=1,2求,、、 与ns-u1m, k=1,2,、、n-1
输出积分值
结束
图 4-1 复合梯形公式算法流程图 4、2 复合辛普森公式算法流程图
开始
输入区间断点 a, b 及等分数 n
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY
题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比
学生姓名: 学生学号： 班 级： 学院(系)：
目录
1、 概述 .............................................................................................................. 1 2、 问题提出 ...................................................................................................... 2 3、 算法推导 ...................................................................................................... 3 4、 算法框图 ...................................................................................................... 4
图表目录
图 4-1 复合梯形公式算法流程图 ...................................................................... 4 图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 .................................................................. 5 图 6-1 MATLAB 计算结果..................................................................................6 表 2-1 函数计算结果表 .......................................................................................2
定积分近似计算方法
定积分的近似计算方法摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-⎰.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ⎰,2sin ba x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且()b a x dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()ba f x dx ⎰转化为求简单的积分值()bax dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ϕ==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++.其中1012()()()()()n n x x x x x x x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)1()()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nbbi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑⎰⎰若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i ==⎰….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+⎰, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑⎰(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--⎰⎰,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--⎰⎰.从而的求积公式()[()()]2bab a f x dx f a f b -≈+⎰. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-⎰. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----⎰⎰,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----⎰⎰.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----⎰⎰ .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--⎰10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-⎰ (8)则 ()()n i i A b a C =- (9) 于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑⎰(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξϕω+=-=+⎰⎰⎰牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+⎰为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn a f R f x dx n ξω++=+⎰ (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑⎰⎰11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑⎰（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑⎰14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b a h n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=- 2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时 记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑n S =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-⎰知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑⎰(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+⎰⎰ 此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑⎰若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑⎰⎰ 其中01()()()...(),[,]n x x x x x x x a b ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n 个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ⎰的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑⎰⎰⎰1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑⎰101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+⎰. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+⎰解 设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 111[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=⎧=++⎪⎪-⎪==⎨⎪=⎪⎪=+=⎩∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.00.80.45n =2的表格如下 n h0x1x2x0f1f 2f 2T20.250.000.250.501.000.941765 0.800.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x1x2x3x4x40.1250.000.1250.250.3750.500f1f2f3f4f4T1.000.98461540.94117650.8767120.800.462813n = 5时计算结果如下 n h0x1x2x3x4x5x50.10.00.10.20.30.40.50f1f2f3f4f5f5T1.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ⎰,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解 由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x xf x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ⎰的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196⨯≥⨯≤-e n n e 或 取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+⎰. 解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示 当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分10sin xdx x ⎰的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-⨯≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ⨯≥令10sin ()cos xf x txdt x==⎰, 则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx xdx ==⎰1cos().2k t tx kdt π=+⎰dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤⎰11.1k t d t t≤=+⎰)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=⨯⨯≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+⎰的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得 301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S.30142121516121=-=S S C (4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S,14059.31516242=-=S S C .1458.36364121=-=C C R(5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+⎰3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =⎰要求允许误差.106-=ε解 在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x -== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +⨯-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+⨯-=∑∑==j i j j x i f A G .101027.71||||56323--<⨯≈+-G G G3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =⎰，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<x <2),所以按照公式0)2(S =+-dx b a x ba . 0<n R <2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<<⨯,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯310-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y 和6.928469284.0109284.6=(2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-⨯<<n R ,纵坐标是9.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y和1877.669377.01877.621500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算作公式 .0))(()2(180)()4(45<≤≤⨯--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有55104.1||-⨯<R .实行计算到五位数字,精确到0.0000058.16.14.12.14321====x x x x 45636.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9.17.15.13.11.12927252321=====x x x x x83820.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y.20.150==x x 50000.150000.060000.150和==y y6931525.083820.345636.550000.1301=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.结 束 语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献[1] 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）[M]，北京:高等教育出版社,2001. [2] 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）[M]，北京: 清华大学出版社, 2008. [3] 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）[M]，北京: 北京大学出版社, 1999.[4] 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社, 2005. [5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）[M] ，北京: 北京大学出版社,2004. [6] 李桂成，计算方法（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社,2010.[7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 bySymmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)The Approximate Numerical Method of the Definite IntegralAbstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation。
和积法具体计算步骤
和积法具体计算步骤和积法，也叫辛普森法则或者辛普森积分法，是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
它的基本思想是将函数曲线分割成若干小的曲线段，并在每个小曲线段上使用二次多项式来逼近函数，进而计算出近似的定积分值。
和积法的计算步骤如下：1.给定需要计算的定积分区间[a,b]，其中a为下限，b为上限；同时确定将区间分割为n个小区间的数量，n必须为偶数。
2.计算每个小区间的宽度Δx=(b-a)/n。
3. 将整个区间分割为n个小区间：a = x0, x1, ..., xn-1, xn = b。
4. 对于每个小区间，计算中间点的值，即xi = (xi-1 + xi)/2，其中i为小区间的编号。
5.计算每个小区间的积分近似值，使用二次多项式来逼近函数。
在每个小区间上，使用如下公式来计算积分近似值：∫(xi-1, xi) f(x) dx ≈ Δx/6 * [f(xi-1) + 4f(xi) + f(xi+1)]这里f(xi-1), f(xi), f(xi+1)分别为小区间两个端点和中点的函数值。
6.将所有小区间的积分近似值相加，得到最终的定积分的近似值。
7.如果需要更精确的近似值，可以增加n的个数，将区间分割得更细致，然后按照上述步骤重新计算。
需要注意的是，和积法要求区间分割的数量为偶数，这是因为每个小区间需要有一个中间点用于计算函数值。
另外，和积法对于一些特殊的曲线可能不适用，比如含有锐角或折线的曲线。
以下是一个具体的例子来说明和积法的计算过程。
假设需要计算函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分。
1.给定定积分区间为[0,2]，我们选择将区间分割为6个小区间。
2.计算每个小区间的宽度Δx=(2-0)/6=0.3333.将整个区间分割为6个小区间：0,0.333,0.666,1,1.333,1.666,24.对于每个小区间，计算中间点的值：0.167,0.5,0.833,1.167,1.5,1.8335.计算每个小区间的积分近似值：∫(0, 0.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0) + 4f(0.167) +f(0.333)] = 0.333/6 * [0^2 + 4*(0.167)^2 + (0.333)^2] = 0.0184∫(0.333, 0.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.333) + 4f(0.5) + f(0.666)] = 0.333/6 * [(0.333)^2 + 4*(0.5)^2 + (0.666)^2] =0.2848∫(0.666, 1) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(0.666) + 4f(0.833) +f(1)] = 0.333/6 * [(0.666)^2 + 4*(0.833)^2 + (1)^2] = 0.7408∫(1, 1.333) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1) + 4f(1.167) +f(1.333)] = 0.333/6 * [(1)^2 + 4*(1.167)^2 + (1.333)^2] = 1.2216∫(1.333, 1.666) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.333) + 4f(1.5) + f(1.666)] = 0.333/6 * [(1.333)^2 + 4*(1.5)^2 + (1.666)^2] =1.4968∫(1.666, 2) f(x) dx ≈ 0.333/6 * [f(1.666) + 4f(1.833) +f(2)] = 0.333/6 * [(1.666)^2 + 4*(1.833)^2 + (2)^2] = 1.78726.将所有小区间的积分近似值相加：0.0184+0.2848+0.7408+1.2216+1.4968+1.7872=5.5496所以，函数f(x)=x^2在区间[0,2]的定积分的近似值为5.5496以上就是和积法的具体计算步骤。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式是通过在指定区间上将被积函数进行插值，并利用插值多项式的性质进行数值积分的方法。
常见的数值积分的插值求积公式有以下几种：
1. 矩形公式：取被积函数在每个小区间上的某个点的函数值作为近似值，将小区间的长度乘以相应的函数值进行累加，即可得到近似的积分值。
常见的矩形公式有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
2. 梯形公式：将每个小区间上的函数值进行线性插值，形成一系列的梯形，再将所有梯形的面积进行累加，即可得到近似的积分值。
3. 辛普森公式：利用三次插值多项式，将被积函数在每个小区间上近似地表示为一个二次多项式，并用该多项式的积分值代替对应小区间的积分值，再将所有小区间的积分值进行累加，即可得到近似的积分值。
这些插值求积公式的具体计算方法可以参考数值积分的相关课程教材或者算法手册。
球体体积计算-梯形公式与辛普森公式
梯形公式和辛普森公式计算球体体积题目：分别用梯形公式和辛普森公式计算半径为1的球体体积解答：计算积分值：I=梯形公式：I=(b-a)/2*[]组合梯形公式：辛普森公式：I=(b-a)/6*[] 组合辛普森公式：+*（1）梯形公式计算定义函数function y=fx(x) function T_n=fht(a,b,n)源代码：function y=fx(x)y=3.14*(1-x^2);function T_n=fht(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:nx(k+1)=a+k*h;endT_1=h/2*(fx(x(1))+fx(x(n+1)));for i=2:nF(i)=h*fx(x(i));endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;（2）辛普森公式计算定义函数function G_n=sps(a,b,n)源代码：function G_n=sps(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:nx(k+1)=a+k*hx_k(k+1)=x(k+1)+1/2*hendG_1=h/6*(fx(x(1))+fx(x(n+1)));for i=2:nF_1(i)=h/3*fx(x(i));endfor j=1:nF_2(j)=2*h/3*fx(x_k(j));endG_2=sum(F_1)+sum(F_2);G_n=G_1+G_2;结果分析：梯形公式：n=10,100,1000,T_n=fht(-1,1,10) T_n=4.1848T_n=fht(-1,1,100) T_n=4.1862T_n=fht(-1,1,1000) T_n=4.1867辛普森公式：n=10,100,1000G_n=sps(-1,1,10) G_n=4.1867G_n=sps(-1,1,10) G_n=4.1867G_n=sps(-1,1,10) G_n=4.1867通过对比，n值越大，球体体积的计算结果更加准确，并且辛普森公式计算比梯形公式更加准确V-n关系曲线梯形公式V-n曲线代码：辛普森公式V-n曲线代码：图形：。
matlab中梯形求积公式和辛普森公式命令
Matlab中梯形求积公式和辛普森公式命令概述梯形求积公式和辛普森公式是数值积分中常用的近似计算方法，在M a tl ab中有相应的函数可以方便地进行计算。
本文将介绍如何使用M a tl ab中的梯形求积公式和辛普森公式命令进行数值积分计算。
梯形求积公式梯形求积公式是一种基于梯形近似的数值积分方法，其基本思想是将曲线下的面积近似为一系列梯形的面积之和。
在M at la b中，可以使用`t ra pz`函数来计算梯形求积公式。
命令格式```m at la bI=tr ap z(x,y)```参数说明-`x`：X轴上的数据点，可以是等间隔的向量或数组。
-`y`：与`x`对应的Y轴上的数据点，大小与`x`相同。
示例假设有一组数据点`x`和相应的函数值`y`，我们需要计算曲线在`x`范围内的面积。
```m at la bx=li ns pa ce(0,2*pi,100);y=si n(x);I=tr ap z(x,y);```解读示例上述示例中，我们通过`li ns pa ce`函数创建了一个包含100个等间距数据点的向量`x`，然后计算出对应的`s in(x)`值作为函数值`y`。
最后使用`tr ap z`函数计算了梯形求积公式的结果，存储在变量`I`中。
该结果即为曲线在`x`范围内的面积近似值。
辛普森公式辛普森公式是一个更精确的数值积分方法，它使用二次多项式逼近函数曲线来计算曲线下面积。
在Ma tl ab中，可以使用`qu ad`函数来进行辛普森公式的计算。
命令格式```m at la bI=qu ad(f un,a,b)```参数说明-`fu n`：用于计算函数值的函数句柄或函数表达式。
-`a`：积分下限。
-`b`：积分上限。
示例假设有一个函数`f(x)=x^2+2x+1`，我们需要计算其在区间`[0,5]`内的面积。
```m at la bf u n=@(x)x^2+2*x+1;I=qu ad(f un,0,5);```解读示例上述示例中，我们定义了一个匿名函数`f u n`，用来表示函数`f(x)=x^2+2x+1`。
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摘要在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发目录引言 (1)第一章曲线拟合 (2)§1.1 基本思想及基本概念 (2)§1.1.1 方法思想 (2)§1.1.2几个基本概念 (2)§1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4)§1.2.1辛普森求积公式的定义 (4)§1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5)§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5)§1.2.4辛普森公式的应用 (6)第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7)§2.1 复化辛普森求积公式 (7)§2.1.1问题的提出 (7)§2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7)§2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8)§2.1.4复化辛普森公式的应用 (9)§2.2 变步长辛普森求积公式 (10)§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10)§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12)§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13)§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14)§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14)§2.2.6小结 (14)§2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (21)引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯（Cotes）和斯特林就已经得出了（包括一些更高阶的近似公式），但真正广泛地为人所知并加以应用，则是1743年辛普森重新发现之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分与我们的生活生产密切相关.所以掌握数值积分方法是学生储备知识能量的武器.数值积分的一个基本的计算策略，用易于积分的简单函数来逼近曲线)y .f(x 简单曲线下面的面积近似等于)f下面的面积.如果涉及初等函数的积分找不到其(x他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的x点上知道函数的值，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.那么就必须对定积分进行数值逼近.数值积分实现是将整个闭区间]f进行(x,[ba划分为N个小段，在每个小段上对)低阶分段多项式逼近.对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式.基本公式只涉及足够多的))f(xx对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并,(把结果相加得到复合公式，或称为扩展公式. 在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重要特性.当节点均匀分布时，所有的积分公式称为牛顿—柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常使用的方法，一直是理工科大学生必修的内容. 下面将给出具体辛普森求积公式的具体思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.第一章 辛普森求积公式的理论实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对积分dx x f I ba ⎰=)(只要找到被积函数)(x f 的原函数)(X F ,便有下列牛顿-莱布尼茨公式：⎰-=b a a F b F dx x f )()()(，但实际计算dx x f ba ⎰)(往往遇到一些困难，如: 1))(x f 的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2) 虽然找到了)(x f 的原函数, 但因表达式过于复杂而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3) )(x f 在许多实际问题中是以列表函数的形式给出, 即仅仅知道其在一些节点处的函数值， 牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.§1.1基本思想及基本概念§1.1.1 方法思想由定积分中值定理：b a a b f dx x f I b a ≤≤-==⎰ξξ),)(()(可知: 积分可以通过被积函数在ξ处的值得到. 由于积分中值定理仅仅告诉我们ξ在一定条件下是存在的, 但并没有给出确定ξ的方法. 一个很自然的想法就是利用被积函数)(x f 在节点b x x x x a n =≤≤≤= 210处函数值的加权平均来替代(近似))(ξf , 按此思想有)()(0i ni i b a x f A dx x f ∑⎰=≈ （1-1） 这就是数值求积的思想（有效地解决了本章开始提出的问题），权因子i A 和节点i x n i ,,2,1,0 =的不同确定方法就对应不同的数值求积公式.§1.1.2 几个基本概念定义1.1 称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中i A 仅节点的选择与)(x f 无关，b x x x x a n =≤≤≤= 210称为求积节点，i A （n i ,,2,1,0 =）称为求积系数.定义1.2 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,而对于1+m 次多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）.注1.1 a) m 越大近似程度越高，标志着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡量标准.b) 若机械求积公式的代数精度0≥m ，则有a b A ni i -=∑=0.c) 若机械求积公式的代数精度为m ，即当m x x x f ,,1)(=时，由（1.1）式可得，对任意次数不超过m 的k 次多项式m k x P k ≤),(有)()(0i k ni i b a k x P A dx x P ∑⎰=≡. d) 代精度的高低, 从侧面反映求积公式的精度高低.定义1.3 称求积公式∑==nk k k n x f A I 0)(为插值型求积公式，式中求积系数k A 通过插值基函数.,1,0)())(()()())(()()(110110n k x x x x x x x x x x x x x x x x x l n k k k k k k n k k k =--------=+-+- 积分求得，即 .,,1,0,)(n k dx x l A b a k k ==⎰ （1-2）定理1.1 插值型求积公式的代数精度至少为n 次.定义1.4 若节点将被积区间等分成n 等分, 即.,2,1,0,n i i na b a x i =-+=则相应的插值求积公式称为Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)求积公式. 即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式, 相应的求积系数称为Cotes 系数. 常见的几个简单求积公式( Newton-Cotes 公式)，如表1-1所示：表1-1 几种简单N-C 求积公式总结表 n 名称形式 1=n 梯形求积公式)]()([2)(b f a f a b T dx x f b a +-=≈⎰ 2=n 辛普森求积公式 )]()2(4)([6)(b f b a f a f a b S dx x f ba +++-=≈⎰4=n 柯特斯求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90)(321b f x f x f x f a f a b C dx x f b a ++++-=≈⎰其中.1,,1,,-=-=+=n k na b h kh a x k 注1.2 a ）8≥n 时，N-C 公式出现数值不稳定.b ）n 为偶数时，N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，n 为奇数时，N-C 公式的代数精度至少为n 次.定义1.5 截断误差: 由（1-3） 当1=n 时可得梯形求积公式的截断误差T R],[)(,],[,)(12)("))((2)("))((!2)("23b a C x f b a a b f dx b x a x f dx b x a x f T I R b a b a T ∈∈--=--=--=-=⎰⎰ηηηξ 类似的，可得当2=n ，4=n 时的截断误差注1.3 从截断误差公式可知，当区间长度a b -较大时，求积公式误差较大.§1.2辛普森算法基本定义及其应用§1.2.1 辛普森求积公式的定义设计积分区间],[b a 划分为n 等份，步长na b -，选取等距节点kh a x k +=构造出的插值型求积公式)()()(k n k n x f c a b I -= 为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes ）公式，式中)(n k c 称为柯特斯系数.根据插值型求积公式系数（1-2），引进变换th a x +=，则有⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=n kj j kn n n k j j n k dt j t n k n nk dt j k j t a b h c 0000)()()!(!)1( 当2=n 时，由上式有61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t c dx x n f x f A dx x f f R f I f I b a n n i n i i b a n n )()!1()()()(][][][1)1(0⎰∑⎰++=+=-==-ωξ64)1(2120)2(1=--=⎰dt t t c 61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t c 则相应的求积公式是辛普森求积公式：)]()2()([6)(b f b a f a f a b dx x f s b a ++-==⎰ （1-4） §1.2.2辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C 三点的抛物线)(x L y =代替)(x f y =所得曲边梯形面积，如图1.1所示.§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项由N-C 公式的特点知，当n 为偶数时N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，由于Simpson 求积公式为2=n 时的N-C 公式，故它的代数精度至少为3次，即3≥m将4)(x x f =代入Simpson 公式（1-4）左边5554a b dx x b a -==⎰右边≠+++-=))2(4(6444b b a a a b 左边 由此可知4)(x x f =使得Simpson 求积公式不准确成立，所以3=m 即Simpson 公式代数精度为3次由N-C 公式的余项公式（1-3）知，当2=n 时可得辛普森求积公式的截断误差 y xO0 )(x L y =a 2b a + b A BC)(x f y =图1.1 辛普森求积公式的几何意义图],[)(],,[),()2(1804)4(4b a C x f b a f a b a b R s ∈∈---=ηη （1-5） §1.2.4辛普森公式的应用例1.1 用辛普森求积公式计算积分dx x x ⎰+1024. 由积分形式可知 2,1,0===n b a用辛普森公式计算有下式)]1()21(4)0([614102f f f dx x x s ++=+=⎰其中24)(x x x f +=. 计算流程图C 语言程序代码及其运算结果详见附录A分析附录A 可知 111765.04102=+⎰dx x x开始定义函数f （x ）输入n ，a ，b 的值计算h=（b-a ）/n调用函数f （x ），计算s 的值输出s 的值结束图1.2 例1.1流程图第二章 辛普森求积公式的拓展及其应用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式，如：梯形公式或辛普森公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式，本章重点介绍复化辛普森求积公式.§2.1 复化辛普森求积公式§2.1.1问题的提出由截断误差可知，当区间长度a b -较大时，Newton-Cotes 求积公式的误差较大. 为构造更高精度的数值积分公式，可以采用分段低次多项式替代整体高次多项式，为此，利用积分关于区间具有可加性，将],[b a 区间上的积分，分成若干小区间上的积分，以此来减少积分区间长度引起的误差.这就引用了复化求积公式. 其基本思想是：先把积分区间分成一些长度较小的子区间，在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式，即利用n a b h ih a x dx x f dx x f i n i x x b a i i -=+==∑⎰⎰=-,,)()(11 并把小区间n i x x i i ,,2,1],,[1 =-上的积分dx x f ii x x ⎰-1)(用前面的方法近似求得，由此即可得到相应的复化求积公式. 最常用的是复化梯形公式和复化辛普森公式，下面学习辛普森求积公式.§2.1.2复化辛普森公式及其分析定义 2.1 将小区间n i x x i i ,,2,1],[1 =-上的积分分别用辛普森公式计算，即可得到复化辛普森公式n n i i n i i i i i b a ni S b f x f x f a f h x f x f x f h dx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121 其中221h x x i i ==-. 另一种定义形式为：用分段二次插值函数代替，记1,2,1,0,2-==m k m n 在第k 段的两个小区间上，用三个结点))(,()),(,()),(,(2222121222++++k k k k k k x f x x f x x f x 作二次插值函数)(x s k ，然后积分，求m 段之和可得整个区间上的近似积分mab h x f x f x f x f hs m k k m k k m n 2))(2)(4)()((3112101220-=+++=∑∑-=-=+ 称该求积公式为复化辛普森求积公式（抛物线公式）.定理2.1 若],,[)(4b a C x f ∈则复化辛普森公式的截断误差为b a f h a b S dx x f n b a≤≤--=-⎰ξξ),()2(180)()()4(4 且0)],()([)21(1801)("'"')4(4→-→-⎰h b f a f h S dx x f ban. 注 2.1 从误差公式可以看出当],[)(4b a C x f ∈时，n S 比n T 2的精度一般要高，但他们的计算量几乎一样.注2.2 ○1nS 属于机械型求积公式，但不属于插值型、也不属于N-C 求积公式. ○2n S 的代数精度为4次，具有稳定性和收敛性即][f I S n→（∞→n 或∞→h ）.§2.1.3复化辛普森公式计算流程图为了减少计算工作量，优化程序设计，将复化辛普森公式nni i n i i i i i b a n i S b f x f x f a f hx f x f x f hdx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121改写为])}2(])12([2{)]()([5.0[3}])12([2)2()]()([5.0{3}])12([4)2(2)()({61111111∑∑∑∑∑==-=-=-++-++--=-+++++-=-+++++-=n i n i n i n i ni n ih a f h i a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f a b S 则于此相对应的辛普森流程图为：§2.1.4 复化辛普森公式的应用例2.1 用复化辛普森公式计算正弦积分的近似值.分析该积分可知,sin )(dx xxx f =0=a ，1=b 则 125.081==-=n a b h 为步长C 语言程序代码及其运算结果详见附录B 由此可知94608.04=S开始输入A,B,NH=（B-A ）/（2*N ）S=0.5*（F （A ）- F （B ）），调用函数FS=S+2*F[A+（2*I-1*H ）]+（F （A+2*I*H ）），调用函数FS=（B-A ）/（3*N ）S输出S结束I=1,N定义函数F++I8sin 10==⎰n dxx xS n 图2.1 复化辛普森算法流程图例2.2 用复化辛普森公式计算定积分84102=+⎰n dx x x. 分析该积分可知24)(x x x f +=，0=a ，1=b 则125.081==-=n a b h 为步长 C 语言程序代码及其运算结果详见附录B. 由此可知11157.04=S在利用插值型求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径.一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积的阶数.但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必越高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止.二是采用复化公式，尽量减小每个求积小区间的长度.在实际应用时，往往将两种方法混合使用，以便提高求积的精度.§2.2 变步长辛普森求积公式在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义.为了提高精度，通过需要在复化求积公式中尽量减少各细分小区间的长度，即减少步长h .显然，如果步长h 取得太大，则精度就难以保证.但是，如果步长取得太小，则计算工作量就随之增大，并且，由于项数增加，其误差积累也就增大.因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不至于引起过多的误差积累和过大的计算工作量.在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法.§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程变步长辛普森求积公式是建立在变步长梯形公式的基础上，同时它又是龙贝格算法导出的中间过程，我们知道, 若被积函数具有一定的光滑性, 则增加节点可以降低复化求积公式的截断误差.这里需要解决的问题是增加节点后的复化求积方法能否充分利用已有的计算工作量. 譬如: 若将n T 作为⎰=ba dx x f I )(的近似精度不够, 需减少步长(增加节点数)计算相应的m T 来近似I , 当然我们想要充分利用已经求得的n T .为此, 设区间n b a ],[等分后, 利用复化梯形公式已经求得n T 这一结果, 为了得到精度更高的数值结果, 我们将原有的步长折半, 即把区间],[b a 分为n 2等分, 然后应用复化梯形公式求得n T 2.下面将会看到这样既提高了精度, 又能充分利用已经求得的n T .事实上, 我们可以建立n T 与n T 2的下述递推关系. 设nab h x f x f h T n i i i n -=+=∑-=+,)]()([211 则∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=1101011102)(221)(2)]()([4)]()(2)([4212121n i i n n k k n k k k i k k n h n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT其中nab x x h k k -=-=-1 即，∑-=+=12221n i n nh T T 新增分点的函数值 注2.3 由上述公式可知在n T 的基础上计算n T 2只需调用n 次函数即可，最大限度地节省了n T 2的计算量.加速公式的导出：由前面的误差分析，我们可以得到复化梯形公式n T 的截断误差为2)("12h f ab ξ--，即 2)("12h f ab T I n ξ--=- 类似根据复化梯形公式n T 2的截断误差为2)2)(("12hf a b η--，有 22)2)(("12hf a b T I n η-≈-两式相比可得412≈-n T I ， 其中dx x f f I I b a ⎰==)()(即)(3122n n n T T T I -≈- （2-1）注2.4 ○1公式（2-1）说明n T 2的误差可以近似地由n T 2与n T 表现， 这样就给出了复化梯形公式估计误差的事后估计法.○2由公式（2-1）还可以得到校正公式（加速公式） n n n n n T T T T T I 3134)(31222-=-+≈数值实验结果表明，在一定条件下，上式计算出来的值比原来的n T 2好得多，上述公式称为梯形公式的加速公式.梯形求积公式的实质：假设已知n T ，n T 2，则nk k k n k k k n k n k k k k k n n S x f x f x f hx f x f hx f x f hx f x f h T T =++=+-+++=-=+-=+-=-=+++∑∑∑)]()(4)([6)]()([231)]}()([4)]()([4{3431341101101012212121即n n n T T S 31342-=上式表明n T 与n T 2通过上面公式处理后，可得精度更高的n S .即复化辛普森公式，这也是加速的实质.§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程类似梯形加速公式的推导，由n S 的截断误差公式（1-5）可得][1512n n n S S S I -≈-即n n n n n S S S S S I 1511516][151222-=-+≈注2.5 ○1上述两个公式分别称为复化辛普森公式估计误差的事后估计公式及复化辛普森公式的加速公式.○2类似地可以证明： n n n S S C 15115162-=○3在求得n C ，nC 2的基础上，可以进一步加速得：龙贝格公式n n n C C R 63163642-=§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图开始 N=1，H=B-AIP=F(A)+F(B) FIC=0,X=A-H/2K=1,NX=X+HIC=IC+F(x) FI2=(4*IC+IP)*H/6N=1|I2-I|<ESPI1<=I2,IP=IP+2*ICN=N+NH=0.5*HYNNI=2I输出结束图2.2 变步长辛普森算法流程图§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码详见附录C§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用例2.3 用变步长辛普森求积公式计算定积分dx x x⎰+1024取000001.0=ε.C 语言程序代码及其运算结果详见附录C. 分析结果可知111572.04102=+⎰dx x x§2.2.6小结通过分析例1.1、2.2、2.3有下表2-1表2-1 三种算法比较 算法名称 代数精度积分形式计算结果 余项辛普森求积 3dx x x⎰+10240.111765111765.0)4ln 5(ln 21-- 复化辛普森求积 4dx x x⎰+10240.1115711157.0)4ln 5(ln 21-- 变步长辛普森求积dx x x⎰+10240.111572111572.0)4ln 5(ln 21-- 由表2-1可以得出用变步长辛普森求积公式求得的结果偏离准确值的程度最小，即其计算结果最接近准确值，其次是复化辛普森求积方法，辛普森求积方法较前述两种方法误差较大.但三种算法均具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度．在工程技术中有较为广泛的应用.§2.2.7 数值求积公式在实际工程中的应用例 2.4人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。