第七章空间解析几何
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第七章 空间解析几何
在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几 何，起到了非常良好的效果．本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何．为此必须建立类 似于平面的直角坐标系的概念．
第一节
空间直角坐标系
在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标 系 xoy ，这里 x 表示 x 轴， y 表示 y 轴．O 表示 x ， y 轴的共同原点．过 o 作平面 xoy 的垂线 （ o 为垂足） ，作为新的数轴，叫做 z 轴．并与 x,y 轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空 间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴： x 轴， y 轴, z 轴，这就形成 了我们所谓的空间直角坐标系．相同的原点 O 叫做空间直角坐标系的原点． 从立体几何可以知道，x 轴与 z 轴也唯一的决定了一个平面， 称为 xoz 平面． 同样 y 轴与 z 轴也唯一的决定了一个平面,叫做 yoz 平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴 (如图 7-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部分，每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴 的正半轴的卦限叫做第一卦限， 记为I． 其余按逆时针依次叫做第二卦限， 第三卦限， 第四卦限， 第一卦限的下方为第五卦限等等．记为II，III，IV，V，VI，VII，VIII， 如图 7-1．
第二节
3
向量及其应用
对任意一个这样的有序数组 x, y, z ，唯一地表示一个以原点为起点，点 x, y, z 为终点的有向
我们知道三维空间 R 的点，对应一个有序数组 x, y, z ．反之亦然．从另外一个角度来看，
线段．反过来，任意一个以原点为起点，x, y, z 为终点的有向线段，则可以唯一地对应一个有
序数组 x, y, z ，所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应． 在力学等学科中，常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等．我们 称既有大小又有方向的量叫做向量．因此，从原点到点 x, y, z 所确定的有向线段是一个向量， 我们也把形如 x, y, z 的有序数组称为 R 的向量．为了与点的坐标相区别，我们常把向量记为
这些平面围成了一个以 M 1 M 2 为对角线的长方体（如图 7-3 ） ．长方体的三个棱长分别是
x1 x2 ， y1 y 2 ， z1 z 2 ，由长方体对角线的长度公式知：
2
M 1 M 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2
x, y, z 分别为点 M 的横坐标，纵坐标，竖坐标．常记 M 点为 x, y, z 或 M ( x, y, z ) ．
推论 1 过点 M ( x, y, z ) 分别垂直于 x, y , z 轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也分别是
( x,0,0), 0, y,0 , 0,0, z ．
上点的坐标为 0, y, z ．
推论 2 坐标面上的： xoy 面上点的坐标为 x, y,0 , xoz 面上点的坐标为 x,0, z ， yoz 面 推论３ 坐标轴上点的坐标分别是： x 轴上点的坐标是 x, 0, 0 ， y 轴上点的坐标是
0, ຫໍສະໝຸດ Baidu,0 ， z 轴上点的坐标是 0, 0, z
此向量经过平移后将点 A 置于原点， 易得此向量可表示为 x2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ， 通常记为 特别，当 A 为原点 0,0,0 时，即 OB x2 , y 2 , z 2 （这个向量叫做点 B 对于点 O 的向径，常 用 r 表示）.当已知一向量的起点和终点时，一般用上方带有箭符“ ”的小写字母表示，或用 粗体字母表示，如 a, b, ， a, b,等. 向量的大小叫做向量的模（长度） ，向量 AB 、 a 的 模等于 1 的向量叫做单位向量， 模等于零的向量叫做零向量， 记为 0 或 0 ， AB | 、| a | ， 零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的。两个非零向量 a , b 的方向相同或相 反，我们称这两个向量平行，记为 a // b ，显然，零向量平行于任何向量。以 i , j , k 分别表示 模记为 | 沿 x, y , z 轴正向的单位向量，并称它们为坐标系的基本单位向量，那么，向量 AB 也可以表示 为
3
x, y, z，称为向量的坐标表示， x, y, z 叫做向量的分量．同时，把空间 R 3 中某向量平移后所
得到的有向线段认为是同一个向量，我们称这种向量为自由向量，我们仅仅研究自由向量． 空间中起点 A( x1 , y1 , z1 ) 到终点 Bx2 , y 2 , z 2 的有向线段，当然也可以看成是一个向量，
图 7-3 设 空 间 中 两 个 点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) ， 则 两 点 M 1 M 2 的 距 离 为
( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2 ．事实上分别过 M 1 , M 2 点作三个坐标轴的垂直平面，
中三个数的数组 x, y, z 表示一个点．一般的， n 个有序数组 x1 , x 2 , x3 ,..., x n 表示 n 维空间的
n 1 2 3 点，并用 R 表示 n 维空间．特别地， R R 为实数轴． R 表示平面的二维空间． R 就是后 面主要讨论的三维空间．
这就是空间中两点的距离公式． 在实数轴上，实数 x 表示一个点．在平面中，两个数的数组 x, y 表示一个点，在三维空间
图 7-1 另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到， z 轴是由 y 轴绕原 点逆时针旋转
2
而得到的．而此时过原点 O 且垂直于 xoy 面的 z 轴，虽然仅有一条，但是 z 轴
的正方向却有两种选择．如图 7-2 的选择，称为右手系．另外一种选择得到的坐标系叫做左
1
图 7-2 手系．不失一般性我们以后仅考虑右手系．所以我们的空间中就多了直角坐标系．确定了坐标 系之后，对于空间中的任意一点 M ，作 xoy 面的垂线交 xoy 面于一点 M ，则对应于 xoy 平面 的坐标为 x, y ，这时 MM 的距离也是一定的，若当从点 M 指向点 M 时，与 z 轴正方向相 同，则记为 z MM ，否则认为是负的，记为 z MM ．所以任意一点 M 就有唯一的三 个数 x, y , z ．反之任意给定三个数 x, y , z ，当 x, y 作为面 xoy 的点时，根据 z 的正负，以上面 的逆推可以唯一得到空间一点， 因此空间的点与有序数组 x, y , z 建立了这样的一一对应关系． 称
在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几 何，起到了非常良好的效果．本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何．为此必须建立类 似于平面的直角坐标系的概念．
第一节
空间直角坐标系
在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标 系 xoy ，这里 x 表示 x 轴， y 表示 y 轴．O 表示 x ， y 轴的共同原点．过 o 作平面 xoy 的垂线 （ o 为垂足） ，作为新的数轴，叫做 z 轴．并与 x,y 轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空 间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴： x 轴， y 轴, z 轴，这就形成 了我们所谓的空间直角坐标系．相同的原点 O 叫做空间直角坐标系的原点． 从立体几何可以知道，x 轴与 z 轴也唯一的决定了一个平面， 称为 xoz 平面． 同样 y 轴与 z 轴也唯一的决定了一个平面,叫做 yoz 平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴 (如图 7-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部分，每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴 的正半轴的卦限叫做第一卦限， 记为I． 其余按逆时针依次叫做第二卦限， 第三卦限， 第四卦限， 第一卦限的下方为第五卦限等等．记为II，III，IV，V，VI，VII，VIII， 如图 7-1．
第二节
3
向量及其应用
对任意一个这样的有序数组 x, y, z ，唯一地表示一个以原点为起点，点 x, y, z 为终点的有向
我们知道三维空间 R 的点，对应一个有序数组 x, y, z ．反之亦然．从另外一个角度来看，
线段．反过来，任意一个以原点为起点，x, y, z 为终点的有向线段，则可以唯一地对应一个有
序数组 x, y, z ，所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应． 在力学等学科中，常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等．我们 称既有大小又有方向的量叫做向量．因此，从原点到点 x, y, z 所确定的有向线段是一个向量， 我们也把形如 x, y, z 的有序数组称为 R 的向量．为了与点的坐标相区别，我们常把向量记为
这些平面围成了一个以 M 1 M 2 为对角线的长方体（如图 7-3 ） ．长方体的三个棱长分别是
x1 x2 ， y1 y 2 ， z1 z 2 ，由长方体对角线的长度公式知：
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M 1 M 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2
x, y, z 分别为点 M 的横坐标，纵坐标，竖坐标．常记 M 点为 x, y, z 或 M ( x, y, z ) ．
推论 1 过点 M ( x, y, z ) 分别垂直于 x, y , z 轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也分别是
( x,0,0), 0, y,0 , 0,0, z ．
上点的坐标为 0, y, z ．
推论 2 坐标面上的： xoy 面上点的坐标为 x, y,0 , xoz 面上点的坐标为 x,0, z ， yoz 面 推论３ 坐标轴上点的坐标分别是： x 轴上点的坐标是 x, 0, 0 ， y 轴上点的坐标是
0, ຫໍສະໝຸດ Baidu,0 ， z 轴上点的坐标是 0, 0, z
此向量经过平移后将点 A 置于原点， 易得此向量可表示为 x2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ， 通常记为 特别，当 A 为原点 0,0,0 时，即 OB x2 , y 2 , z 2 （这个向量叫做点 B 对于点 O 的向径，常 用 r 表示）.当已知一向量的起点和终点时，一般用上方带有箭符“ ”的小写字母表示，或用 粗体字母表示，如 a, b, ， a, b,等. 向量的大小叫做向量的模（长度） ，向量 AB 、 a 的 模等于 1 的向量叫做单位向量， 模等于零的向量叫做零向量， 记为 0 或 0 ， AB | 、| a | ， 零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的。两个非零向量 a , b 的方向相同或相 反，我们称这两个向量平行，记为 a // b ，显然，零向量平行于任何向量。以 i , j , k 分别表示 模记为 | 沿 x, y , z 轴正向的单位向量，并称它们为坐标系的基本单位向量，那么，向量 AB 也可以表示 为
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x, y, z，称为向量的坐标表示， x, y, z 叫做向量的分量．同时，把空间 R 3 中某向量平移后所
得到的有向线段认为是同一个向量，我们称这种向量为自由向量，我们仅仅研究自由向量． 空间中起点 A( x1 , y1 , z1 ) 到终点 Bx2 , y 2 , z 2 的有向线段，当然也可以看成是一个向量，
图 7-3 设 空 间 中 两 个 点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) ， 则 两 点 M 1 M 2 的 距 离 为
( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2 ．事实上分别过 M 1 , M 2 点作三个坐标轴的垂直平面，
中三个数的数组 x, y, z 表示一个点．一般的， n 个有序数组 x1 , x 2 , x3 ,..., x n 表示 n 维空间的
n 1 2 3 点，并用 R 表示 n 维空间．特别地， R R 为实数轴． R 表示平面的二维空间． R 就是后 面主要讨论的三维空间．
这就是空间中两点的距离公式． 在实数轴上，实数 x 表示一个点．在平面中，两个数的数组 x, y 表示一个点，在三维空间
图 7-1 另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到， z 轴是由 y 轴绕原 点逆时针旋转
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而得到的．而此时过原点 O 且垂直于 xoy 面的 z 轴，虽然仅有一条，但是 z 轴
的正方向却有两种选择．如图 7-2 的选择，称为右手系．另外一种选择得到的坐标系叫做左
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图 7-2 手系．不失一般性我们以后仅考虑右手系．所以我们的空间中就多了直角坐标系．确定了坐标 系之后，对于空间中的任意一点 M ，作 xoy 面的垂线交 xoy 面于一点 M ，则对应于 xoy 平面 的坐标为 x, y ，这时 MM 的距离也是一定的，若当从点 M 指向点 M 时，与 z 轴正方向相 同，则记为 z MM ，否则认为是负的，记为 z MM ．所以任意一点 M 就有唯一的三 个数 x, y , z ．反之任意给定三个数 x, y , z ，当 x, y 作为面 xoy 的点时，根据 z 的正负，以上面 的逆推可以唯一得到空间一点， 因此空间的点与有序数组 x, y , z 建立了这样的一一对应关系． 称