相似三角形的基本模型(一线三等角)

模型中的相似三角形（2）

【基本模型】

图3

图2

图1

C

B

B

C C B

A

A

A

1. 如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）

如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）

如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分

BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角

时，可构造“一线三等角”型相似。

【巩固提高】

1. 已知ABC ∆中,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点

AC E ,延长线上有一点F ，使.C

EDF ∠=∠ 已知4=BE ，则=CF

4

27

提示：,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点

∴33==CD BD 由BDE ∆∽CFD ∆

∴CF DB DC BE =

, 4

27

=CF

2. 如图，等边ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，且3:1:=DC BD ，把ABC ∆折叠，

使点A 落在BC 边上的点D 处．那么

AN

AM 的值为 75

．

A

B

C

提示：由翻折可得：A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,

设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ∆∽CND ∆，

∴

7

5

3414=++===∆∆CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折，点B 落在

边AD 上的E 点处，若AM AE 2=，那么EN

F

E

提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ∆∽EFN ∆,

∴

EF

AM

FN AE = ∵AM AE 2=

∴53,32

1

===

EN FN EF

4. 在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻

折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ，那

么

DE

N M G

G

A

A

B

E

B

E

提示：作过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、CD 于M 、N 。 ∵15=AD ，3:1:=AD DG

∴5,10====NF DG MF AG

设x DE =，由翻折可得：

x EF DE AD AF ====,15 ∵AMF ∆∽FNE ∆ ∴FN AM EN MF EF AF ==,即5

1015AM

EN x == ∴x AM x EN 75,32==，∴

53,3

2

75=+=x x x x

5. 已知△ABC ，BC AC =，︒=∠120C ，边长9=AC ，点D 在AC 上，且6=AD ，

点E 是AB 上一动点，联结DE ，将线段DE 绕点D

逆时针旋转︒30得到线段DF ，

要使点F 恰好落在BC 上，则AE 的长是

3+

A

提示：构造“一线三等角”

︒=∠=∠=∠30G FDE A ∴△ADE ≌△GFD

∴6==AD FG ，32=CF ，34=CG ∴343+=+=CG DC AE

6. 如图，已知AM ∥BN ，︒=∠=∠90B A ，4=AB ，点D 是射线AM 上的一个动

点（点D 与点A 不重合），点E 是线段AB 上的一个动点（点E 与点A 、B 不重合），联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线BN 于点C ，联结DC ．设x AE =，

y BC =．

（1）当1=AD 时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）在（1）的条件下，取线段DC 的中点F ，联结EF ，若5.2=EF ，求AE 的长； （3）如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件AB DE AD =+，那么请探究：BCE △的周长是否随着动点D 、E 的运动而发生变化？请说明理由．

A E

E 解：(1)∵︒=∠=∠=∠90DEC B A ∴ADE △∽BEC △ ∴

BC

AE

BE AD = ∴2

4x x y -=（40<

（2）过D 作BC DH ⊥，垂足为H

∵F 是线段DC 的中点，︒=∠90DEC ，1=AD ∴4=DH , 5=CD ，3=HC ，4=BC

∴442

=-x x ，2==x AE

（3）∵4==+AB DE AD 又2

2

2

x AD DE =-

∴8

162

x AD -= 又ADE △∽BEC △

∴AD BE C C ADE BCE =△△ ∴8

16442

x x

x C BCE --=+△

∴8=BCE C △

7. 如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ,2==BC AC ,O 是AB 的中点，将︒45角的顶点

置于点O ， 并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接DE . (1) 求证AOD ∆∽OED ∆；

(2) 设x AD =，试用关于x 的式子表示DE 。

C C A

B

B

A

解：（1）∵︒=∠90C ,2==BC AC

∴22=AB ,︒=∠=∠45B A ∵︒=∠45DOE

∴ADO AOD BOE ∠=∠-︒=∠135 ∴AOD ∆∽BEO ∆ ∴

EO

OD

BO AD = ∵2==OB OA

∴

OE OD AO AD =,即OE

AO

OD AD =, ∵︒=∠=∠45DOE A ∴AOD ∆∽OED ∆

（2）作AC OF ⊥于F ，DE OH ⊥于H ,BC OG ⊥于G

∵︒=∠45A ,2=OA ,AC OF ⊥

∴1=AF 同理：1=BG ∵AOD ∆∽BEO ∆ ∴

BE

OA

BO AD =