初三中考数学第24题题型及解析

第三讲中考数学第24题专练一

1（14?长沙）．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相

交于点O．

（1）求证：△AOE≌△COD；

（2）若∠OCD=30°，AB

△AOC的面积．

2．（2015?长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．

（1）求⊙M的半径；

（2）求证：BD平分∠ABO；

（3）在线段BD的延长线上找一点E，

使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

3（2016?长沙）．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC

的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ,

DC ,

DF .

（1）求CDE ∠的度数； （2）求证：DF 是⊙O 的切线；

（3）若AC =，求tan ABD ∠的值.

4（17年长沙）．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =． （1）求证：OB OA =；

（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．

5（18*长沙）、如图，在ABC 中，AD 是边B C 上的中线，BAD CAD ，CE//AD ，CE 交B A 的延长线于点E，BC 8，A D 3。

（1）求C E 的长；

（2）求证：ABC 为等腰三角形；

（3）求ABC 的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离。

6．（19*长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似

四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上

填写“真”或“假”）．

①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）

③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）

（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，

111111

AB BC CD

A B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．

（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于

点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形

EFCD 相似，求

2

1

S S 的值．

第四讲

专练二

1．（18雅礼一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．

2．（19麓山三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．

（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan D＝，求的值．

（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

3．（长沙第三次月考）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若sin C＝，AC＝6，求⊙O的直径．

4．（长沙第三次月考）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

1.（19广益三模）如图，?ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂足为E，已知∠DBA＝

∠DBC，AB＝5．

（1）求证：四边形ABCD为菱形；

（2）若sin∠ADB＝，求线段OE的长．

2．（19中、南雅一模）如图，在矩形ABCD中，P为边CD上一点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C的对应点为C′，连接BC′与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE．

（1）若E为AD的中点，求证：△ABE≌△DEC；

（2）连接C′Q，求证：四边形C′QCP是菱形；

（3）若AB＝12，AD＝25，且DE＜AE，求菱形的边长．

第三讲答案

1（14?长沙）．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．

（1）求证：△AOE≌△COD；

（2）若∠OCD=30°，AB，求△AOC的面积．

解

2．（2015?长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D 在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．

（1）求⊙M的半径；

（2）求证：BD平分∠ABO；

（3）在线段BD的延长线上找一点E，

使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），

∴OA=，OB=，∴AB==2，

∵∠AOB=90°，∴AB是直径∴⊙M的半径为：；

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；

（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，

∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===

，

∴∠OAB=30°，

∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，

∴OC=OB?tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，

∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，

∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，

∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，

∴点E的坐标为：（，）．

3（2016?长沙）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB,DC,DF.

（1）求CDE

∠的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3

）若AC=，求tan ABD

∠的值.

解（1）对角线AC为⊙O的直径

90

ADC

∴∠=?90

CDE

∴∠=?…………………（2分）

（2）（方法一）连接,

OF OD，在Rt CDE

?中，点F为斜边CE的中点

DF FC

∴=

在DOF

?和COF

?中

DF CF

OF OF

OD OC

=

?

?

=

?

?=

?

∴DOF

?≌COF

?

∴90

ODF OCF

∠=∠=?∴DF OD

⊥∴DF是⊙O的切线……………（5分）

（方法二）证明：连接OD，

AC为⊙O的直径，CE AC

⊥

90

ADC CDE O

∴∠=∠=, 90

ACF O

∠=

又在Rt CDE

?中，点F为斜边CE的中点

,DF FC CDF DCF ∴=∠=∠

又

OD OC = ODC OCD ∴∠=∠

90ODF ODC CDF OCD DCF ∴∠=∠+∠=∠+∠=? ∴DF 是⊙O 的切线 …………………（5分） （方法三） 证明：连接OD ，

CE AC ⊥,AC 为⊙O 的直径

90ADC ADO ODC ∴∠=∠+∠=? 90DAO ACD ∠+∠=?

90ACD DCF ∠+∠=?

DAO DCF ∴∠=∠ 又

OA OD = DAO ADO ∴∠=∠ ADO DCF ∴∠=∠

又在Rt CDE ?中，点F 为斜边CE 的中点 ,DF FC CDF DCF ∴=∠=∠

ADO CDF ∴∠=∠

90ODF ODC CDF ODC ADO ∴∠=∠+∠=∠+∠=? ∴DF 是⊙O 的切线 …………………（5分）

（3） （方法一）由圆周角定理可得 ABD ACD ∠=∠

由题中条件可得 90,ADC CDE CAD ECD ∠=∠=?∠=∠,

ADC ∴?∽CDE ? ∴

AD DC

CD DE

= ∴2CD AD DE =? ………………（6分）

由于AC = 所以可令 ,,DE a AD b ==

则有,AC CD ==

在Rt ACD ?中,由勾股定理可得 222)b += 上式两边同时除以2a 并整理后得到 2()200b b a a +

-= 解之可得 4b a =或5b

a

=-（舍去） …………………（8分）

tan tan 2AD ABD ACD

DC ∴∠=∠==== …………………（9分）

（方法二）设DE x =，AD y =，AC =

易证ACD ?∽AED ? ∴2AC AD AE =?

2)()y x y =?+（ 即2220x y yx =+

2()200y y x x +-= 解得4y x

=或5y

x =-（舍去）

∴2CD x = ∴4tan tan 22x

ABD ACD x ∠=∠==

（方法三）设DE a =，tan ABD m ∠=，则

AC =，

AC m EC =，CD

m DE

=

∴AC EC m =

=，CD mDE ma == 在Rt CDE ?中222CD DE CE +=

∴222

()ma a += ∴22201m m

+= ∴222()200m m +-= ∴22(5)(4)0m m +-= ∴24m =或25m =-（舍去） ∴tan 2ABD ∠=

4（17年长沙）．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =． （1）求证：OB OA =；

（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．

5、如图，在 ABC 中，AD 是边 B C 上的中线，BAD

CAD ，CE //AD ，CE 交 B A 的延长线于点 E ，

BC 8，A D 3。

（1）求C E 的长；

（2）求证：ABC 为等腰三角形；

（3）求ABC 的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离。

6（2019*长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两

个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正

确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）

③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）

（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝

∠B 1C 1D 1，111111

AB BC CD

A B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1

相似．

（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作

EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形

EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求

2

1

S S 的值．

第四讲答案

1．（18雅礼一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连AD，OD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AC的中点，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，

∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO，

∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，