最新高一数学必修一期中考试试题及答案(1)

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考试时间：100分钟,满分100分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.下列关系正确的是：

A...2 Q

B. {x|x2=2x}二{2}

C. {a,b}二{b,a} D? .一{(1,2)}

2.已知集合U ={1,234,5,6} , A ={2,4,5} , B ={1,3,4,5}，贝U (C u A) 一(C u B)

B . [0,4] C. [-4,4] D . [0,2]

7.函数f (x )=ln x —1的图像大致是

A. 14400 亩

B. 172800 亩

C. 17280 亩

D. 20736 亩

9.设a, b, c均为正数，且2a=log1a ,

A. a ：b c B . c b :: a

10 .已知函数f(x)=log a x ( a>0,aH1)，对于任

意的正实数x, y下列等式成立的是

&某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林3.

A . {1,2,3,6} B. {4,5} C. {1,2,3,4,5,6} {1,6}

F列函数中，图象过定点(1,0)的是

A . y =2

若log 2 3 = a,

B . y = log 2 x C. y = x2

log2 5 二b，贝V log2的值是：

B. 2a - b

2 a C .—b 2a

函数f (x) = log 3 x ? x-3的零点所在的区间是

A . ( 0, 1) C . (2, 3) (3, )

6. 已知函数f(x)=x2 ax是偶函数，则当X [-1,2]时, f (x)的值域是:

A. [1,4]

=log2c.贝U

C . c a b

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A ? f(x y)二 f(x)f(y)

B. f(x y) = f(x) f(y)

f (xy^f (x)f (y)

f(xy)二 f(x) f(y)

二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷中的横线上

用二分法求函数 y 二f (x)在区间［2,4］上零点的近似解，经验证有 f (2) f (4) ：：： 0 。

2+4

若给定精确度；=0.01，取区间的中点x 1

3，计算得f (2) f (x0 ：： 0，则此

时零点X 。乏 ___________________ (填区间)

14?已知函数f(x)=log a (a x -1 )(a>0,^1 )，有以下命题：

① 函数f(x )的图象在y

轴的一侧；

② 函数f x 为奇函数； ③函数f x 为定义域上的增函数;

定义域内有最大值，则正确的命题序号是 ______________________ 。

三、解答题：本大题共 5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. (本小题8分)

已知集合U = |1乞x 乞7 ； A =汉| 2乞x 乞5, B = 13空x 乞7 f ,

求：(1) Ap]B ; (2) (C u A)UB 16.(本小题 9 分)已知函数 f (x) = log a (1「X) log a (x 3) (0 ：： a ：：

(1) 求函数f (x)的定义域； (2) 求函数f(x)的零点；

(3) 若函数f(x)的最小值为-4，求a 的值。 17.(本小题9分)

a ，2x + a — 1 已知函数f(x)二一 .

2x +1

(1) 求证：不论a 为何实数f (x)总是为增函数;

(2) 确定a 的值，使f (x)为奇函数； (3) 当f (x)为奇函数时，求f (x)的值域.

18.(本小题8分)

某公司生产一种电子仪器的固定成本为

20 000元，每生产一台仪器需要增加投入 100

11 . 若幂

函数f (x )的图象过点 2,亏-，则f (9) = 12. 函数f X Iog 2 2x 1的定义域是

13.

R(X)=*4°°X_^X ,0兰x兰400，其中x是仪器的月产量。

元，已知总收益满足函数:

80 000, x > 400

(1)将利润y元表示为月产量X台的函数；

(2)当月产量为何

值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？(总收益=总成本+利润) 19.(本小题10分)

设函数y = f x定义在R上，对于任意实数m,n，恒有

fm n = f m fn，且当X 0 时，0 ：：： f (x) ：：： 1

(1)求证: f(0) =1 且当x ：：0时，f(x) .1

(2)求证： f (X)在R上是减函数；

(3)设集合A 二｛( x, y) I f (「x2 6x「1) f (y) = 1｝，B 二｛( x, y) | y 二a｝，

且A - B二.一，求实数a的取值范围。

参考答案及评分标准

11. - 12. [0,丘) 13. (2,3) 14. ①③—3——————

三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤?

15.(本小题8分)

已知集合U - \x 11乞x乞7 1 A - lx | 2乞x乞51, B - lx 13乞x冬71,

求：(1) ARB ; (2) (C u A)UB

15.解:(1) A「B={x|2_x_5}「{x|3_x_7} ............................................... 1分

二{x 13 空x 乞5} ................ 4 分

(2) C u A={x|1 _x :：: 2,或5 ：：：x_7} ……6 分

.(CuA)U B ={x|1 _x ：：2，或5 ：：x _7} 一. (x|3 _x _7^ ……7 分

二{x|1乞x ：： 2,或3乞x乞7}……8分

16.(本小题9分)

已知函数f (x) = log a(1 -x) log a(x 3) (0 ：： a ::: 1)

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)求函数f(x)的零点；

(3)若函数f(x)的最小值为-4，求a的值。

1 _ x > 0

16?解：(1)要使函数有意义：则有彳，解之得：-3cxc1,

l x+3>0

所以函数的定义域为：(-3, 1) ……3分

(2)函数可化为f(x) = log a(1 -x)(x 3) = log a(-x2 -2x 3)

由f (x) =0，得-x2 -2x 3 =1,

即x2 2x -2 = 0 , x = T 士「3 ...... 4分

-1 士; (-3,1) , - f (x)的零点是—14 3 ...................................... 6分

(3)函数可化为： f (x)二log a(1 -x)(x 3) = log a(~x2-2x 3) = log a[—(x 1)2 4]

则 2a xL_

2x +1

1 a . 2

2」1

f(x)=> 1

X 2 1

0.,-

2X 1

1 1

所以f (x)的值域为(，).

2 2

(3)由⑵知f (x)

丄?丄

2X 1 2X 1

1 2 1 2x 1 1,. 0 ：： 1

2x 1 1, 18.(本小题8分)

某公司生产一种电子仪器的固定成本为

20 000 元，每生产一台仪器需要增加投入 100

元，已知总收益满足函数：

R(x)= 180 000,

1 2

400x X 2,0 _X _400

2 ，其中x 是仪器的月产

量。

(1) 将利润y 元表示为月产量x 台的函数；

(2) 当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？(总收益

润)

=总成本+利

18?解：(1)依题设，总成本为 20 000

100x ,

T -3 ：：： x :: 1

0 ：：： -(x

1)2 4 _ 4

0 :：: a ：1 , log a [-(x 1)

4] _ log a 4，即 f (x)mim = log a 4

由 log a 4 = _4，得 a ，=4 , . a =4盲

17. (本小题9分)

17.解：(1)依题设f (x)的定义域为(」：「：) -

原函数即 f (x) = a x

，设 X 1 ：：： X 2,

2x +1

1 1

贝y f (xj _ f 区)=a _

——_a+ ——=一

x , 2为 +1 2卷+1 (1+2为)(1 + 2%2)

：很沐2, . 2^ -2x2 ：：：0,(1 2x1)(1 2x2) .0,. f(xJ-f(X 2)：：0,

即f(X 1)：：： f(X 2),所以不论a 为何实数f (x)总为增函数.

……3分

1 1 2X 1’

已知函数f(x)

a 2x a -1

(1) (2) (3) 2x +1

a 为何实数f(x)总是为增函数; 求证：不论确定a 的值，使f (x)为奇函数；当f (x)为奇函数时，求f (x)的值域.

2X 1 _ 2

X 2 ⑵ 7 f(x)为奇函数，.f (-X)二-f (x)，即 a x

2 +1

ntt— lx2+300x—20000,0^x^400

则y二2 ……3分

60 000-100X, x 400

1 2

(2)当0 EX E400时，y (x — 300)225000

则当x=300时，y max =25 000 ……5分

当x 400时，y =60 000 -100x是减函数，

则y ：：：60 000 -100 400 =25 000 ……7 分

所以，当x=300时，有最大利润25 000元。……8分

19.(本小题10分)

设函数y = f x定义在R上，对于任意实数m,n，恒有

fm n = f m fn，且当x 0 时，0 ：： f (x) ：： 1

(1)求证：f(0)=1且当x 0时，f(x)?1

(2)求证：f (x)在R上是减函数；

(3)设集合A二｛( x, y) I f (-x2 6x-1) f (y) =1 , B 二｛( x, y) | y = a｝,

且AB二?一，求实数a的取值范围。

19. (1)证明：幕f m ? n二f m f n , m、n为任意实数，

取m=0, n=2 ,则有f(0+2)= f(0〉f(2)

当x ：：0时，f(x) 1 ,?f(2)=0,. f(0)=1 ……1 分

当x ：：：0 时，—x .0 . 0 ::： f (_x) ：：：1,则 1

f(-X)

取m 二x, n - -x,则f x - x ［=f 0 f x f - x\=. 1

则fx-x = f0 = fx f：；：-x =1

■? 1 ..... 4^分(2)证明：由(1)及题设可知，在R上f(x) 0

设x「X2 ? R，且论：：：x2，则论—x2：：： 0 f 论—x2j >1

f X1 - f X2 i； = f X1 - X2 X2 - f X2 A f X1 - X2 f X2 - f X2

=If 为一x2［」1 I f x2 ........................... 6 分

f X1 - X2 -1 0 f X2〕，0

f 捲一f x2］，0 即f X」，f x2

所以f (x)在R上是减函数 ....................... 7分

(3)解：在集合A中f —x2，6x-1 - f y =1

由已知条件，有f-x2,6x-1，y=f0

2 2

二-x +6x —1+y=0 ,即卩y=x —6x +1 ......................................... 8 分

在集合B中，有y = a

■- A - B Y，则抛物线y = X -6X1与直线y = a无交点

■y = x _6x +1 = (x — 3) —8，「” y m m = _8 , ” ' ” a ￡—8

即a的取值范围是-：：，-8 .................. 10分