学案1变化率问题
第一章 导数及其应用
学案1 变化率问题
【课标导航】
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 难点：
平均变化率的概念.
【知识导引】
1、定义：
函数)(x f y =在点0x 处的增量)()(00x f x x f -?+与引起这个增量的自变量的增
量x ?之间的比值：x
x f x x f ?-?+)
()(00称为函数)(x f y =从0x 到x x ?+0的平均变
化率.设)()(00x f x x f f -?+=?，则上式简记为：x
f
??
② 平均变化率是变化的.
③ 平均变化率的几何意义就是割线的斜率.即
x
f ??k x x f x x f =?-?+=)()(00就是
通过两点))(,(00x f x 、))(,(00x x f x x ?+?+的割线的斜率.
1.上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.
2.若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=?(这里x ?看作是对于1x 的一个“增量”可用
x x ?+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=?=?)
则平均变化率为
x
x f x x f x x x f x f ?-?+=
--)
()()()(111212
3． 则平均变化率为
=
??=??x
f
x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
??x
f
1212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB 的斜率
【自学导拨】
平均变化率：
2121()()f x f x f
x x x
-?=
-?
试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，
即
x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，
函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们的比值y
x
??，则上式就表示
为 ，此比值就称为平均变化率.
x 1
x 2
O
y
y =f (x )
f (x 1)
f (x 2) △x = x 2-x 1
△y =f (x 2)-f (x 1)
x
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
【教材导学】
例1、求332-=x y 在0x 到x x ?+0之间的平均变化率.
解：当自变量从0x 到x x ?+0之间变化时，函数的平均变化率为：
x
f
??=?-?+=x x f x x f )()(00x x x x ?---?+=]33[]3)(3[2
020
x x x
x x x ?+=??+??=36)(3602
评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 例2、已知某物体作直线运动.其运动规律方程为：t t S 432+= （单位：路程：m 时间：s ） 求：（1）物体前3s 内的平均速率；
（2）物体在2s ～3s 内的平均速率；
解；（1）1330
3903)0()3(=-=--=S S v （s m /）
（2）191
20
3923)2()3(=-=--=S S v （s m /）
评注：此题当中的平均速率其实就是)(t S （路程）的平均变化率. 总结：求函数)(x f 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量)()(00x f x x f f -?+=?； （2）计算平均变化率
x
f
??x x f x x f ?-?+=)()(00.
【变式练习】
已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y
x
??=
【思悟小结】 （由学生完成）
【基础导测】
1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3
Ｃ．4
Ｄ．5
答案：Ｂ
1、在曲线x x y +=2上取点)2,1(P 及邻近点)2,1(x x Q ?+?+，那么x
y
??= （ ） A. x ?+2 B. 2)(2x x ?+? C. 3+?x D. 2)(3x x ?+? 答案：C
2、试求曲线3123+-=x x y 的切线，使它与直线029=-+y x 平行. 答案：19+-=x y 和59+-=x y
1.质点运动规律为32
+=t s ,则在时间)3,3(t ?+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2
++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ?+?+作曲线的割线,
求出当1.0=?x 时割线的斜率.
例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率.
例2 已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,分别计算从出生到 第3个月与
第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
例2：已知函数f (x) =2x+1、g(x) =-2x, 分别计算在区间 [-3, -1]、[0, 5] f (x)及 g (x)的平均变化率．
【知能提升】1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +?
B ．9
6t t
+?+?
C ．3t +?
D ．9t +?
4.已知21
2
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ?+-?+-,则
=??x
y
． 解：)1()1(22
x x y ?+-+?+--=?+-，
∴x x
x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -?+=?，所以x
x x x x y ?-?+=??2
20)( x x x
x x x x x ?+=?-?+?+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ?+02
【数学探究】练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，
[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）