合肥工业大学电磁场与电磁波 孙玉发版 答案
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第四章习题解答
★【】如题图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为0U ,求槽内的电位函数。
解 根据题意,电位(,)x y ϕ满足的边界条件为
①
(0,)(,)0y a y ϕϕ==;② (,0)0x ϕ=; ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②,电位(,)x y ϕ的通解应取为
1
(,)sinh()sin()n n n y n x
x y A a a
ππϕ∞
==∑ 由条件③,有
01
sinh(
)sin()n n n b n x
U A a a
ππ∞
==∑ 两边同乘以sin()n x
a π,并从0到a 对x 积分,得到00
2sin()d sinh()a
n U n x A x a n b a a ππ=
=⎰ 0
2(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
L L , 故得到槽内的电位分布
1,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x x y n n b a a a
ππϕππ==
∑L 两平行无限大导体平面,距离为b ,其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位0U ,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平面上,从0=y 到d y =,电位线性变化,0(0,)y U y d ϕ=。
解 应用叠加原理,设板间的电位为
(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+
其中,1(,)x y ϕ为不
存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为0U )的电位,即
10(,)x y U y b ϕ=;2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导
体薄片时的电位,其边
界条件为:
22(,0)(,)0x x b ϕϕ==
① 2(,)0()x y x ϕ=→∞
②
③ 002100(0)
(0,)(0,)(0,)()
U U y y d b
y y y U U y y d y b d
b ϕϕϕ⎧
-≤≤⎪⎪=-=⎨
⎪-≤≤⎪⎩; 根据条件①和②,可设2(,)x y ϕ的通解为
21
(,)sin()e
n x b
n n n y
x y A b π
πϕ∞
-==∑;由条件③有 00100(0)
sin()()
n n U U y y d n y b A U U b y y
d y b d
b π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑
两边同乘以sin(
)n y
b
π,并从0到b 对y 积分,得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b
n d
U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰02
2sin()()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ϕ=0022
121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b
π
πππ∞-=+∑ 如题图所示的导体槽,底面保持电位0U ,其余两面电位为零,求槽内的电位的解。 解 根据题意,电位(,)x y ϕ满足的边界条件为
a
题图
题 图
(0,)(,)0y a y ϕϕ== ① (,)0()x y y ϕ→→∞ ② 0(,0)x U ϕ=
③
②,电位(,)x y ϕ的通解应取为
根据条件①和
1
(,)sin()n n n y a
n x x y A e
a ππϕ∞
-==∑;由条件③,有 01
sin()n n n x U A a π∞
==∑
sin()n x
a
π,并从0到a 对x 积分,得到002sin()d a
n U n x A x a a π==⎰ 两边同乘以
02(1cos )U n n ππ-=0
4,1,3,5,02,4,6,U n n n π
⎧=⎪
⎨⎪=⎩L L ,
;故得到01,3,5,41(,)sin()n y a n U n x
x y e n a
ππϕπ-==∑
L
★【】一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为
()sin()sin()x z
y y b a c
ππρ=- 的电荷。求体积内的电位ϕ。
解 在体积内,电位ϕ满足泊松方程
22222201()sin()sin()x z
y y b x y z a c
ϕϕϕππε∂∂∂++=--∂∂∂ (1) 长方体表面S 上,电位ϕ满足边界条件0S ϕ
=。由此设电位ϕ的通解为
111
01
(,,)sin(
)sin()sin()mnp m n p m x n y p z
x y z A a b c
πππϕε∞∞
∞
====
∑∑∑,代入泊松方程(1),可得 2
22
111
[(
)()()]mnp m n p m n p A a b c
πππ∞∞∞
===++⨯∑∑∑ sin()sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x z y y b a c
ππ-
由此可得
0mnp
A = (1m ≠或1)p ≠ ;222111
[()()()]sin()n p n n y
A a b c b ππππ∞
=++=∑()y y b - (2)
由式(2),得
2
221102[()()()]()sin()d b
n n n y A y y b y a b c b b π
πππ++=-=⎰34()(cos 1)b
n b n ππ
-=
2
381,3,5,()02,4,6,b n n n π⎧-=⎪⎨⎪=⎩
L L
; 故
2
532221,3,5,0
81(,,)sin()sin()sin()
11[()()()]
n b x n y z
x y z n a b c n a b c
πππϕπε∞
==-
++∑
L
★【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板,板间有一与z 轴平行的线电荷l q ,其位置为),0(d 。求板间的电位函数。
解 由于在(0,)d 处有一与z 轴平行的线电荷l q ,以0x
=为界将场空间分割为0x >和0x <两个区域,则这两个区域中的电位1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都满足拉普拉斯方程。而在
0x =的分界面上,可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度
0()()l y q y y σδ=-。
电位的边界条件为
11(,0)(,)0x x a ϕϕ== ,22(,0)(,)0x x a ϕϕ== ①
1(,)0x y ϕ→()x →∞,2(,)0x y ϕ→()x →-∞
② 12(0,)(0,)y y ϕϕ= , 21
(
)()l
x q y d x x
ϕϕδε=∂∂-=-
-∂∂
③
题 图
题图
a