合肥工业大学电磁场与电磁波 孙玉发版 答案

第四章习题解答

★【】如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为

①

(0,)(,)0y a y ϕϕ==；② (,0)0x ϕ=； ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为

1

(,)sinh()sin()n n n y n x

x y A a a

ππϕ∞

==∑ 由条件③，有

01

sinh(

)sin()n n n b n x

U A a a

ππ∞

==∑ 两边同乘以sin()n x

a π，并从0到a 对x 积分，得到00

2sin()d sinh()a

n U n x A x a n b a a ππ=

=⎰ 0

2(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧

=⎪⎨⎪=⎩

L L ， 故得到槽内的电位分布

1,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n x x y n n b a a a

ππϕππ==

∑L 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。

解 应用叠加原理，设板间的电位为

(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+

其中，1(,)x y ϕ为不

存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即

10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导

体薄片时的电位，其边

界条件为：

22(,0)(,)0x x b ϕϕ==

① 2(,)0()x y x ϕ=→∞

②

③ 002100(0)

(0,)(0,)(0,)()

U U y y d b

y y y U U y y d y b d

b ϕϕϕ⎧

-≤≤⎪⎪=-=⎨

⎪-≤≤⎪⎩； 根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为

21

(,)sin()e

n x b

n n n y

x y A b π

πϕ∞

-==∑；由条件③有 00100(0)

sin()()

n n U U y y d n y b A U U b y y

d y b d

b π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑

两边同乘以sin(

)n y

b

π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d b

n d

U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰02

2sin()()U b n d n d b ππ 故得到 (,)x y ϕ=0022

121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d n b b

π

πππ∞-=+∑ 如题图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为

a

题图

题 图

(0,)(,)0y a y ϕϕ== ① (,)0()x y y ϕ→→∞ ② 0(,0)x U ϕ=

③

②，电位(,)x y ϕ的通解应取为

根据条件①和

1

(,)sin()n n n y a

n x x y A e

a ππϕ∞

-==∑；由条件③，有 01

sin()n n n x U A a π∞

==∑

sin()n x

a

π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d a

n U n x A x a a π==⎰ 两边同乘以

02(1cos )U n n ππ-=0

4,1,3,5,02,4,6,U n n n π

⎧=⎪

⎨⎪=⎩L L ，

；故得到01,3,5,41(,)sin()n y a n U n x

x y e n a

ππϕπ-==∑

L

★【】一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

()sin()sin()x z

y y b a c

ππρ=- 的电荷。求体积内的电位ϕ。

解 在体积内，电位ϕ满足泊松方程

22222201()sin()sin()x z

y y b x y z a c

ϕϕϕππε∂∂∂++=--∂∂∂ （1） 长方体表面S 上，电位ϕ满足边界条件0S ϕ

=。由此设电位ϕ的通解为

111

01

(,,)sin(

)sin()sin()mnp m n p m x n y p z

x y z A a b c

πππϕε∞∞

∞

====

∑∑∑，代入泊松方程（1），可得 2

22

111

[(

)()()]mnp m n p m n p A a b c

πππ∞∞∞

===++⨯∑∑∑ sin()sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x z y y b a c

ππ-

由此可得

0mnp

A = (1m ≠或1)p ≠ ；222111

[()()()]sin()n p n n y

A a b c b ππππ∞

=++=∑()y y b - （2）

由式（2），得

2

221102[()()()]()sin()d b

n n n y A y y b y a b c b b π

πππ++=-=⎰34()(cos 1)b

n b n ππ

-=

2

381,3,5,()02,4,6,b n n n π⎧-=⎪⎨⎪=⎩

L L

； 故

2

532221,3,5,0

81(,,)sin()sin()sin()

11[()()()]

n b x n y z

x y z n a b c n a b c

πππϕπε∞

==-

++∑

L

★【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z 轴平行的线电荷l q ，其位置为),0(d 。求板间的电位函数。

解 由于在(0,)d 处有一与z 轴平行的线电荷l q ，以0x

=为界将场空间分割为0x >和0x <两个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都满足拉普拉斯方程。而在

0x =的分界面上，可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度

0()()l y q y y σδ=-。

电位的边界条件为

11(,0)(,)0x x a ϕϕ== ，22(,0)(,)0x x a ϕϕ== ①

1(,)0x y ϕ→()x →∞，2(,)0x y ϕ→()x →-∞

② 12(0,)(0,)y y ϕϕ= ， 21

(

)()l

x q y d x x

ϕϕδε=∂∂-=-

-∂∂

③

题 图

题图

a