正弦,余弦函数的单调性教学设计

正弦函数、余弦函数的单调性教学设计

教学目标：

知识目标：能够根据正弦函数和余弦函数的单调性比较函数值的大小；能求出求形如

的单调区间及)cos()sin(ϕωϕω+=+=x y x y 。

情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的学习品质。

能力目标： 培养学生能够灵活运用正，余弦函数图像写出单调区间，会利用单调性解决相关问题 教学重点、难点：

教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。

教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ωϕωϕωx y x y 。

学情分析：学生在前节课已经学习了正余弦函数的一些性质，因此在学习其单调性的时候不会太

难，考虑到本班学生的基础参差不齐，对问题的理解能力有不同，所以在教学中要照

顾全局，仔细分析，耐心讲解

教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法

教学过程:

一、复习引入:

前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们的性质现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。

1. 正弦函数、余弦函数的图像

2．函数的单调性定义在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。

二、新课:

（一）、正弦函数的单调性

1、探究正弦函数]23,2[sin π

π-=在x y 上的单调性

(1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象

启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。

引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。（选择区间]23,2[ππ-

） (2)让学生再观察正弦函数在区间]23,2[π

π-上的图象的升降情况.

提问：从图形中你发现了什么样的现象？

（3）总结出y=sinx 在一个周期段的区间上的单调性结论正弦函数y=sinx 在闭区间]2

,2[ππ-

上单调增,其值由-1增大到1; 在闭区间]2

3,2[ππ上单调减,其值由1减小到-1. 2、探讨正弦函数y=sinx 在整个定义域上的单调性

（1）观察y=sinx 在闭区间⋯⋯--]2

325[]25,23[ππππ，、，它们的图象是完全相同的，也一样是从左到右上升状态，这些闭区间之间的关系是相隔了整数倍的周期，引导结合正弦函数的周期性,让学生试写出它在定义域上的单调增区间

（2）得出结论:

正弦函数y=sinx 在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈+-π

ππ

π上单调增,其值由-1增大到1;

用类似方法探索出正弦函数y=sinx 在定义域上的减区间，

得到结论：

在每一个闭区间)](2

32,22[Z k k k ∈++πππ

π上单调减,其值由1减小到-1. （教师板书正弦函数的增、减区间）

强调：正弦函数在定义域R 上不单调，但在各个周期上分段单调；上面写的正弦函数的增、减区间，其实是由很多个区间组成，并不止一个，因为k 每取一个整数就有一个相应的区间，书写带 周期的单调区间时，勿忘了写上Z k ∈这一条件。

3、复述上面探索正弦函数单调性的经历：先观察正弦函数在一个周期区间上的图象升降情况，从而确定它在该周期段的区间上单调性,然后利用它的周期性推广到整个定义域上确定其单调区间.

（二）、余弦函数的单调性

1让学生参照上面的思维方法去找出余弦函数在其定义域上的单调区间.

2提问学生的判断结果，老师进行适当的修正和补充。

板书：余弦函数在定义域上的单调增区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ，单调减区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ

三、例题:

（一）、投影：例1:利用函数的单调性比较下列各组数的大小: (1) sin(-)sin(-)1810π

π

与 (2) )417cos()523cos(ππ--与 1、第1小题：

分析:比较两个正弦函数值大小，先看两个角--1810π

π

与是否在同一个增区间（或减区间）上，观察发现这两角都为锐角，结合正弦函数图象可知它在[-,]22

ππ

单调增，由其单调性易判断两值大小。

教师板书第（1）题的解题过程，并强调解题要注意书写的规范性。

2、第2小题：

分析：可先用余弦函数为偶函数先化负角为正角，最好能用诱导公式转化为在]2,0[π上的角,

4cos 417cos )417cos(,53cos 523cos )523cos(ππππππ==-==-, 即转化于比较4

cos 53cos ππ与的大小问题, πππ

<<<5340,而y=cosx 在],0[π单调减,可得)4

17cos()523cos(ππ-<-。 板书题解过程

3、归纳方法: 比较同名的弦函数值的大小,关键是看一下两个函数值的自变量取值是否在单调区间上,(如果不在,则先要通过诱导公式将两角转化为同在一个单调区间上),再用单调性判断.如果不同名通过诱导公式转化为同名在进行比较

练习:比较下面两个值的大小

（1）()00sin -320sin 700与 （2）1737cos 89

ππ与cos （3）00sin194与cos160 （4）()00sin -320sin 700与

（二）、投影：例2:求函数sin 2y x =的单调增区间

（1）分析:这个函数的角不是单个的x ，而是含x 线性表达式，不妨先设2u x =,这样就得到了外层函数u y sin =及内层函数（是个一次函数）2u x =,由复合函数的单调性知识（内外函数在公共的定义域上同增、异减）可知:关于x 的内层函数2u x =在R 递增，则外层函数u y sin =的增区间就是原函数的增区间，而u y sin =的增区间为[,]()44x k k k Z ππππ∈-

+∈。 （2）板书解题过程：

解：令2u x =，u y sin =的增区间为[2,2]()22u k k k Z ππππ∈-

+∈ 由222,()22k x k k Z π

πππ-≤≤+

∈ 得：,()44k x k k Z π

πππ-≤≤+∈

因此，sin 2y x =的单调增区间为[,]()44k k k Z ππ

ππ-+∈。

（1）分析:这个函数的角不是单个的x ，而是含x 线性表达式，不妨先设12

3u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,这样就得到了外层函数u y sin =及内层函数（是个一次函数）12

3u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由复合函数的单调性知识（内外函数在公共的定义域上同增、异减）可知:关于x 的内层函数12

3u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在R 递增，则外层函数u y sin =的增区间就是原函数的增区间，而u y sin =的增区间为[2,2]()22u k k k Z ππ

ππ∈-+∈。 （2）板书解题过程：

解：令12

3u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，u y sin =的增区间为[2,2]()22u k k k Z ππππ∈-+∈