解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法

姜旭东

摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.

关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言

微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.

考虑一阶微分方程 (,)dy

f x y dx

= (1.1)

这里(,)f x y 是在矩形区域

00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)

上的连续函数.

函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式

1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)

对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。

定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解

()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件

00()x y ϕ=

这里min(,

)b

h a M

=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.

文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h

≤≤+来讨论,对于

00x h x x -≤≤的讨论完全一样.

分五个命题来证明这个定理:

命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件

00()x y ϕ=

的解,则()y x ϕ=是积分方程

0(,)x

x y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)

的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:

0000100()()(,())x n

n x x y x y f d x x x h

ϕϕξϕξξ-=⎧

⎪

⎨

=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)

(n=1,2,…)

命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式

0|()|n x y b ϕ-≤

命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.

命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，

00x x x h ≤≤+.

综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.

本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.

2、预备知识

定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.

定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在

δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有

12()()f t f t -＜ε

则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.

定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。 定义2.4、设X 和Y 是赋范线性空间，T 是X 到Y 的线性算子，如果对X 的任何有界子集M ，

TM 都是Y 中相对紧集，则称T 为全连续算子，亦称紧算子。

容易看出，T 为全连续算子的充要条件是：设}{n x 是X 中的有界点列，则}{n Tx 必有收敛子列。 定义2.5、设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数10,<<αα，使得对所有的X y x ∈,，成立

),,(),(y x d Ty Tx d α≤

则称T 是压缩映射。

引理2.6、完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。 引理2.7、],[b a C 是完备的度量空间，其中],[b a C 表示区间],[b a 上连续函数全体。 定理2.8、(压缩映像原理)设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程x Tx =有且只有一个解）。

定理2.9、(Banach 压缩映象原理) 设D 是Banach 空间X 的一个非空闭子集,T 是D 到其自身内的映象,对任意的D y x ∈,,有10||,||||||<≤-≤-ααy x Ty Tx ,则必存在唯一的

***x Tx D x =∈使得,即T 在D 内有唯一不动点*x .

定理 2.10、(Ascoli-Arzela 定理)设)}({t f F =是定义在βα≤≤t 上的一致有界且同等连续的实值向量函数族，则从F 中必可选取一个在βα≤≤t 上一致收敛的函数列)}({t f n ),2,1( =n 。

定理2.11、（Schauder 不动点定理）设K 是Banach 空间X 的一个有界凸闭集，而T 是K 到其自身的任一全连续映射，则T 在K 内至少有一个不动点。

3、主要证明方法

考虑方程组

),(x t f dt

dx

= （3.1）