微积分在生活中的应用论文

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微积分在生活中的应用

摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本

篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何, 经济以及我们在生活中的应用

关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导

绪论

作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。

我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学” 时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。

希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。

一、微积分在几何中的应用

微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！

1.1求平面图形的面积

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间［a,b］上的定积分等于由函数y=f(x) ，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线f x2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

2 2 2

x 2 2

23 13 7

f x dx

1

3i 3

3 3

(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a

_b 2 轴旋转一周而成的旋转体的体积为V f (x)d(x)。

a

(n )由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c

_d c 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 V g 2

(y)d(y)。

c

(III)由连续曲线y=f(x)( f (x) 0)与直线x=a 、x=b(O a

b

的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 V 2 xf (x)d(x)

a

2 2

例如：求椭圆笃 爲1所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋 a 2 b 2 转体的体积。

分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆

y x 2( a x a)，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的， 因此椭圆

a

绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

_________ 2

V y

b 2 y 2) dy - a

2

1 3\b

厂(b y y )

b b 3

b 2

i 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

V y (^碍

a

a

b^ 2 1 3、a

4 -T

(a x

x)

a

a

3

3

b 2 2

a

ab 2

C- a 2 x 2)dx

a

椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆x

y 2,( b y b),

与y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆

2 x

2

a

2

b 2

1所围成的图形

：(.b 2 y 2 )dy

a 2b

二、在几何中的应用

2.1微积分在几何学中的应用

(1)求曲线切线的斜率

由导数的几何意义可知，曲线 y=( x)在点X 。处的切线等于过该点切线的斜 率。即f (X 。)tan a ，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。

例如：求曲线y x 2在点(1，1)处的切线方程和法线方程。 分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：

k y 'x1 2x x1 2，所以，所求切线的方程为y-l=2(x 一 1)，化解得切线 方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方

1

程为y 1 (x 1)，化解得法线方程为2y+x-3=0。

⑵ 求函数值增量的近似值

由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值， 所以通过求函数的 微分可求出函数值增量的近似值。

例如：计算sin46°的近似值。

，则 f(x)=cosx ，取 X o 450， x 10,(10 )，则

180

分

的 定

义 可 知

分析：令 f(x)=sin(x) 由

微

机

sin 46° sin(45°

1) sin 45°

f(450

)面

十

子？面07194

三、微积分在经济学的应用

在我所查找到的关于微积分在经济学领域的应用中，我发现高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，是学好经济学剖析现实经济现象的基本工具。经济

学与数学是密不可分息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。

尤其我看到在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。这个对一个企业的发展至关重要！

1关于最值问题

例

设：生产x个产品的边际成本C=100+2x其固定成本为C(0)=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润

解：总成本函数为

C(x)= / x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000 ，L' =400-2x，令L' =0,得x=200,因

为L'' (200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400 X 200-200 2-1000=390009 (元)

在这里我们应用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得总大的利润。

2关于增长率问题

例：

设变量y是时间t的函数y = f (t)，贝吐匕值为函数f (t)在时间区间上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限为函数f (t)在时间点t的瞬时增长率。

对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r

增长。

这样，关系式(* )就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。

如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用( *)式来描述。因