2011年12月考试高等数学(II-2)第三次作业
高等数学(II-1) ( 第3次 )
2015年9月份考试作业高等数学（II-1）第3次
一、填空题
1.
参考答案：
2.
参考答案：
[-1,3]
3.
参考答案：
4.
参考答案：
无穷
5.
参考答案：
12
6.
参考答案：
7.
参考答案：
8.
参考答案：
9.
参考答案：
10.
参考答案：
两边同时对求导，得
,
解出，得
二、计算题
1.
参考答案：
欲使原函数有意义，必须
且,解得
且,
故，原函数的定义域为：
2.
参考答案：
解：因为，所以；
即在处切线斜率为，法线的斜率为；所以切线方程是：；
法线的方程为：。
3.
参考答案：
解：
4.
参考答案：
解：
5.
参考答案：
解：它表示以原点为圆心，半径为的圆的，故
6.
参考答案：
解：，所以在函数处函数连续，
，在处一阶导数不存在，
而在处两边取值异号，故是函数的两个拐点。
7.
参考答案：
评分标准：
8.
参考答案：
，。
三、证明题
1.
参考答案：
证明：
2.
参考答案：
证明：对方程两边取n次方，得到，移项得到，两段开n次方，
得到，反函数为，于是函数
的反函数就是它本身。
2011南京市高三第三次模拟考试数学试卷
南京市高三数学试卷2011届高三第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.命题“∀x∈R，sin x＞0”的否定是________．2.已知复数z＝4－3i(i为虚数单位)，则复数z＋5i的虚部为________．3.如图，已知集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．(第3题)4.在水平放置的长为5m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m的概率是________．5.设变量x、y满足约束条件－1≤0，＋y＋1≥0，－y＋3≥0则目标函数z＝2x＋y的最小值是________．6.右图是一个算法的流程图，则输出的值是________．(第6题)7.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)．若＝3，则________.8.已知l、m、n、β、γ①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l∥m，m⊂α，则l∥α；③若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ.其中真命题是________．(填序号)9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则AB→·AD→的值为________．(第9题)10.已知数列{a n }的前n 项和S n＝2n 2＋pn ，a 7＝11，若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．11.若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正整x 、k 的最大值为________．12.已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )2－12x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．14.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB 、CD 于点M 、N ，则当MN BN 取最小值时，CN ＝________.(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题满分14分)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE 沿DE折起，得四棱锥A—BCDE.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．2014年青奥会水上运动项目将在J地举行．截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1)B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设从2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B集团投资是否成功？在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－14.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.(ⅰ)求⊙M的方程；(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成一个公差为d n 的等差数列．(ⅰ)求证：1d 1＋1d 2＋1d 3＋…＋1d n ＜1516(n ∈N *)；(ⅱ)在数列{d n }中是否存在三项d m 、d k 、d p (其中m 、k 、p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；(2)求函数g(x)＝f(x)x－a ln x(x＞1)的单调递增区间；(3)如果存在a∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f′(x)(x∈[－3，b]在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．高三数学附加题试卷第页(共2页)2011届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修41：几何证明选讲如图，AB为⊙O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作⊙O的割线CED(E在C、D 之间)，若∠ABE＝∠BDE，求证：C为线段AB的中点．B.选修42：矩阵与变换求曲线C：xy＝1在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．C.选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cosθ和直线l：θ＝π4(ρ∈R)相交于A、B两点，求线段AB的长．D.选修45：不等式选讲已知a、b都是正实数，且a＋b＝2，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1内，若D1P⊥平面PCE，试求线段D1P的长．23.假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行．小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，第二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其他三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n(n∈N*)次爬行后小虫位于顶点A处的概率为p n.(1)求p2，p3，p4的值，并写出p n的表达式(不要求证明)；(2)设S n＝p1C1n＋p2C2n＋p3C3n＋…＋p n C n n(n∈N*)，试求S n(用含n的式子表示)．。
2011年春季学期高等数学(II-2)第二次作业
2011年春季学期高等数学（II-2）第二次作业一、单项选择题 （共6题、总分18分、得分18分）1. 设C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000，那么在f(x,y)的驻点处),(00y x 取得极大值的条件是( D ). A 、0,02>>-A AC B B 、0,02<>-A AC B C 、0,02><-A AC BD 、0,02<<-A AC B2. 设D 是矩形闭区域：d y c b x a ≤≤≤≤,,则积分⎰⎰dxdy y g x f D )()(=（ D ）A 、0B 、⎰dc dy y g )( C 、⎰ba dx x f )(D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰d c b a dy y g dx x f )()( 3. 点 ),(00y x P 是函数 z=f(x,y)的驻点，则（ D ） A 、P 是 f(x,y) 的极大值点 B 、P 是f(x,y)的极小值点C 、P 不是f(x,y)的极值点D 、不能确定P 是否为f(x,y)的极值点4. 积分⎰⎰≤++-Dy x R y x D dxay e 22)(21:,22,化为极坐标的二次积分为（ A ）A 、rdr e d R r ⎰⎰-2202πθ B 、dr e d R r ⎰⎰-202πθC 、dr e d R r ⎰⎰-2202πθ D 、dr e d R r ⎰⎰-2102θ 5. D 是由x 轴、y 轴及直线x+y=1所围成的三角形区域，则等于⎰⎰D xydxdy （ D ）A 、14B 、18C 、112D 、1246. 下列二重积分的性质不正确的是（ A ） A 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=σσσdxdy y x g dxdy y x f dxdy y x g y x f ),(),(),(),( B 、⎰⎰⎰⎰=σσdxdy y x f k dxdy y x g y x kf ),(),(),(C 、⎰⎰=σσ的面积dxdyD 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±σσσdxdy y x g y x f dxdy y x g dxdy y x f )),(),((),(),(二、填空题 （共8题、总分24分、得分0分）1. 设非均质圆形薄板的半径为 R ，其上的面密度与到圆心的距离成正比，比例系数是 K 。
绵阳市高2011级第三次诊断性考试数学(理科)
1 2
5. 已知命题 p : x R, sin x＞a ，若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围为 A. a＜1 B. a 1 C. a 1 D. a 1
数学（理科）试题第 1 页（共 4 页）
6. 已知 a [2,2] ，则函数 f ( x) x 2 2ax 1 有零点的概率为 A.
4 1 3 C4 C1 C4 4 1 P ( 1) ， ， 4 C5 5 C54 5
甲 5 3 3 9 2 0 1 9 1 7 1 2 3 4 0 7 0 7
乙 4 6 6 0
4
6
P( 0)
∴ ξ 的分布列： ξ 0 1
数学（理科）试题第 5 页（共 4 页）
P
1 5
14. 已知实数 x, y 满足 xy 1 2 x y ，且 x＞ 1 ，则 ( x 1)( y 2) 的最小值为_______. 15. 已知有限集 A a1 , a2 , a3 ...,an (n≥2).如果 A 中元素 ai (i 1,2,3,...,n) 满足
2
3 3 2 a 时，求锐二面角 D-EF-B 的余弦值. 8
1 1 p1 p2 p3 p4
（ III ） 设 hx f x x ， 对 任 意 x1 , x2 1,x1 x2 ， 证 明 ： 不 等 式
x1 x2 ＞ x1 x2 x1 x2 1 恒成立. hx1 hx2
1 2
B.
1 3
C.
1 4
D.
1 5
7. 若抛物线 C1 : y 2 4 x 的焦点 F 恰ห้องสมุดไป่ตู้是双曲线 C2 :
x2 y2 1(a＞0, b＞0) 的右焦点， a b2
2011年12月考试电工电子技术第三次作业.docx
2011年12月考试电工电子技术第三次作业.docxD3. 一个八位D/A转换器的最小输出电压增量为0.02V，当输入代码为01001101时，输出电压为多少？4. 图示电路中，已知：U S1 =70V ，U S2= 5V ，U S3 =15V ，R 1 =R6 =1 Ω，R 2 =4 Ω，R 3 = 15 Ω，R 4 = 0.5 Ω，R 5= 9.5 Ω，R 7 = 5 Ω。
用基尔霍夫定律求图示电路中的电位V A，V B 和电压U AB 。
5. 在双极型晶体管放大电路中，测得3个晶体管的各个电极电位如图所示。
判断题各晶体管的类型，并区分e、b、c三个电极。
6. 如图电路，试求IR 、IZ、IL和输出电压的平均值u0AV。
7. 某收音机的输出变压器，一次绕组的匝数为230匝，二次绕组的匝数为80匝，原配接8Ω的扬声器，现改用4Ω的扬声器。
问二次绕组的匝数应改为多少？答案：一、填空题（30分，共 15 题，每小题 2 分）1.参考答案：选频环节解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分2.参考答案：幅值、频率、初相位解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分3.参考答案：线性电路解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分4.参考答案：开启电压解题方案：开启电压是N沟道增强型绝缘栅场效应管刚产生导电沟道的栅源电压评分标准：正确则满分；错误为0分5.参考答案：常开触点解题方案：常开触点通电时闭和评分标准：正确则满分；错误为0分6.参考答案：负反馈解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分7.参考答案：8位解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分8.参考答案：交越失真解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分9.参考答案：达到最大值解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分10.参考答案：开环或正反馈解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分11.参考答案：15mA解题方案：评分标准：正确则满分；错误为0分12.参考答案：1500r/min解题方案：定子旋转磁场对定子的转速即为同步转速，n0＝50＊60/2＝1500r/min 评分标准：正确则满分；错误为0分13.参考答案：5 个解题方案：KVL方程数＝8-（4-1）＝5评分标准：正确则满分；错误为0分14.参考答案：22 欧姆解题方案：功率因数为0.707，所以，XC - XL= R评分标准：正确则满分；错误为0分15.参考答案：1500r/min解题方案：n0＝50＊60/2＝1500r/min评分标准：正确则满分；错误为0分二、计算题（70分，共 7 题，每小题 10 分）1.参考答案：4V解题方案：输出电压＝10-6＝4V（5分）评分标准：见解题过程2.参考答案：A[SEPARATOR]B解题方案：（每量2分）评分标准：见解题过程3.参考答案：输出电压为：0.02＊77＝1.54V（3分）解题方案：（01001101）B＝（77）D（3分）所以，输出电压为：0.02＊77＝1.54V（3分）评分标准：见解题过程4.参考答案：解题方案：（每式3分）评分标准：见解题过程5.参考答案：(a)NPN 型硅管① --e, ② --b, ③ --c 。
福建省四地六校2011-2012学年高二数学下学期第三次月考试题 理
“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2011-2012学年下学期第三次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．计算ii+3的值为（ ） A ．i 31+ B ．i 31-- C ．i 31- D ．i 31+－2．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）A.4B.3.15C.4.5D.33. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种 4．二项式12)2(xx +展开式中的常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项5.如图，由函数()xf x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于（ ） A ．221e e --B ．22e e - C ．22e e -D ．221e e -+6.已知222233+=，333388+=，44441515+=，。
，若66a a b b+= , （,a b ∈R ) , 则（ ）A.a =5,b =24B.a =6,b =24C.a =6,b =35D.a =5,b =357．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（ ） A ．59B ．49C ．29D ．238．函数)(x f y =的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A. )2()3()3()2(0f f f f -<'<'<B. )2()2()3()3(0f f f f '<-<'<C. )2()3()2()3(0f f f f -<'<'<D. )3()2()2()3(0f f f f '<'<-<9. 箱子里有５个黑球，４个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第４次取球之后停止的概率为 （ ）A ．315445C C C B ．354()99⨯ C ．5194⨯ D ．13454()99C ⨯⨯ 10. 如图所示，()f x 是定义在区间[, ]c c （0c ）上的奇函数，令()()g x a f x b ，并有关于函数()g x 的四个论断： ①若0a，对于[1, 1]内的任意实数, m n （mn ）， ()()0g n g m n m恒成立；②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b ；③若1a ≥，0b，则方程()0g x 必有3个实数根；④a R ∀∈，()g x 的导函数)(x g '有两个零点； 其中所有正确结论的序号是( )．A. ①②B. ①②③C. ①④D. ②③④ 二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)11．设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若 (3)(1)p p ξξ>=<，则u =12. 若X ～B (20,p)，当p=21且P(X=k)取得最大值时，k=________.13. 现有一个关于平面图形的命题,如图所示,同一个平面内有两个 边长都是a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间,有两个棱长均为a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .14. 设复数z=cos θ+i sin θ，0θπ≤≤，则1+z 的最大值为 .15. 已知数组：1()1，12(,)21，123(,,)321，1234(,,,)4321，，1231(,,,,,),1221n nn n n ---记该数组为：123456(),(,),(,,),,a a a a a a 则2012a = ．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分13分)已知甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球，所有球大小都相同，现从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球. (1)求取到的4个球全是白球的概率；(2)求取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率.17．(本题满分13分)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率.18．(本题满分13分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最大值． 19．（本小题满分13分）当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++-- ， 11111232n T n n n n=+++++++．（Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明．20．（本题满分14分） 张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为21；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为43，53． （1）若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望； （3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张 先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．21. (本小题满分14分) 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2011-2012学年下学期第三次月考 高二数学（理科）试题参考答案二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)11. 2 12. 10 13. 38a1４. 2 15．559三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分13分)解：基本事件为“从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球”，故基本事件的总数N =2255C C ⋅;………………2分 (1)设“取到的4个球全是白球”为事件A ，则事件A 中包含的基本事件数为n 1=2243C C ⋅；………………4分∴P(A)=1n 9N 50=. ………………6分 (2)设“取到的4个球中红球个数不少于白球个数”为事件B ，则事件B 中包含的基本事件数为：1111221122142342142n C C C C C C C C C 34,=++=………………10分∴P(B)=2n 17N 50= ………………13分. 17（本小题满分13分）解：17.设事件A 为“答对第一题”，事件B 为“答对第二题”，事件C 为“答对第三题”，则P(A)=0.8，P(B)=0.7,P(C)=0.6. ………………2分 (1)这名同学得300分可表示为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C). 所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))，=P(A ∩B ∩C)+P(A ∩B ∩C)=P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C) =(1-0.8)×0.7×0.6+0.8×(1-0.7)×0.6=0.228. ………………7分 (2)这名同学至少得300分包括得300分或400分. 该事件表示为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)， 所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)) =P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))+P(A ∩B ∩C) =0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.………13分 18. （本小题满分13分）解：①解： 2()663f x x ax b '=++，………………1分因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．………………3分即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．………………4分解得3a =-，4b =．………………6分 ②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．………………7分当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．………………9分 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+， 又(0)8f c =，(3)98f c =+．………………11分则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-．…13分19. （本小题满分13分） 解：(1) 1112S T ==，22712S T ==；………………2分 （2）猜想：n n S T =（*n N ∈）………………4分 证明：(1)当1n =时，11S T =； （2）假设当n k =时，k k S T =，即11111111112342121232k k k k k k -+-++-=++++-+++，………………6分 当1n k =+时111111112342122122k k k k -+-++-+--++111111()12322122k k k k k k =+++++-+++++………………8分 111111()()12223221k k k k k k =-++++++++++………………10分 111112322122k k k k k =+++++++++，即11k k S T ++=，………………12分 结合（1）（2），可知*n N ∈，n n S T =成立.………………………13分 20. （本小题满分14分）解: （Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………3分所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为21．………4分 （II ）依题意，X 的可能取值为0，1，2………………5分)0(=X p =(1-43))531(-⨯=101)531(43)1(-⨯==X P +20953)431(=⨯-2095343)2(=⨯==X P ………………7分2027220120010=⨯+⨯+⨯=EX …………9分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B ，…11分所以13322EY =⨯=． ………………13分因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ………………14分21. （本大题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分（2）由于21()ax f x x +'=．--------- 5分 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．--------- 7分 当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a =-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．------- 10分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． 令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减．又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． ------- 12分 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．----- 14分。
2011年高考数学 最后5天练第三天
FCΒιβλιοθήκη CE CFE ， 故 Rt△A1 AC ∽ Rt△FCE ， AAC 1
EF ． CFE 与 FCA1 互余．于是 AC 1 A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，
用心 爱心 专心
H E G D A F B C
所以 A1C 平面 BED ． ··························· 6 分 （Ⅱ）作 GH DE ，垂足为 H ，连结 A1 H ．由三垂线定理知 A1H DE ， 故 A1 HG 是二面角 A1 DE B 的平面角． ·················· 8 分
用心
爱心
专心
4.（满分 12 分）设函数 f ( x) 2 x 3(a 1) x 1(a 1)
3 2
（1）求 f ( x) 的单调区间； （2）讨论 f ( x) 的极值。
5． （ 满 分 12 分 ） 设 a n 使 等 差 数 列 ， bn 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且
∴函数 g ( x) 是偶函数． 3． （满分 12 分） 证明： （1）在直三棱柱 ABC A1 B1C1 ， ∵底面三边长 AC 3 ， AB 5 ， BC 4 ∴ AC BC ， 又直三棱柱 ABC A1 B1C1 中
AC CC1 ，
且 BC CC1 C ， BC，CC1 平面BCC1 B1 ∴ AC 平面BCC1 B1 ∴ AC BC1 ； （2）设 CB1 与 C1 B 的交点为 E ，连结 DE ， 而 BC1 平面BCC1 B1
12 分
3 2 301 n n， 1 ≤ n ≤ 50， 2 2 综上所述， Sn 3 n 2 299 n 7500， 51 ≤ n ≤ 100． 2 2
2011级高等数学二期末试题及解答A(少学时、经管类)
2011级本科高等数学（二）期末试题及解答A（少学时、经管类）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. [少学时]设直线方程为000:x x y y z z L m n p---==, 平面方程为:0Ax By Cz D π+++=, 若直线与平面平行或直线在平面上,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=； (B) 充要条件是:A B Cm n p==； (C) 充分但不必要条件是: 0Am Bn Cp ++=； (D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. [经管类]已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则()(),,limh f a h b f a h b h→+--=（ A ）.(A) ()b a f x ,2' ； (B) ()b a f x ,2' ； (C) ()b a f x ,' ； (D) 0 . 2．设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=所确定的隐函数, 则zx∂=∂ ( C ). (A)11z e -； (B) 21z e -； (C) 11ze--； (D)1ze -. 3．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极小值为 ( B ). (A) 1 ； (B) 1-； (C) 0； (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑必收敛；(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有lim 0n n u →∞≠；(C) 若级数1n n u ∞=∑发散, 则lim n n S →∞=∞；(D) 若lim 0n n u →∞≠, 则级数1n n u ∞=∑必发散.5．设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =⋅,令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '=( C ).(A) 3 ； (B) 6 ； (C) 9 ； (D) 12 .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.[少学时]设(1,3,2)a =，(2,,4)b y = ，且a b ⊥ ，则y =103-.[经管类]级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 0 .7.函数221(,,)u x y z z x y=-- 的间断点是22{(,,)}x y z z x y =+. 8.设函数22z x y y =+, 则dz =22(2)xydx x y dy ++. 9.微分方程0ydx xdy +=的通解是xy C = . 10.【少学时】曲线sin (0)2y x x π=≤≤与2x π=及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .【经管类】曲线x y e =与0x =、1x =及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为2π .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 11．求极限2011cos()lim1x yx y xy e→→--．解：2011cos()lim 1x y x y xy e →→--22011()2lim x y xy x y →→= （4分） 01lim2x y y →→=12=． （8分） 12．设2(,)tan()2x y f x y xy e =-，求(0,1)x f ，(0,1)y f ． 解：22sec ()4x yx f y xy xye=- （3分）222sec ()2x y y f x xy x e =- （6分） (0,1)1x f =，(0,1)0y f =． （8分）13.设223(,,)u x y z xy y z x z =++，求)1,1,1(du ．解：223x u y x z =+，22y u xy yz =+，23z u y x =+ （3分）(1,1,1)4x u =，(1,1,1)4y u =，(1,1,1)2z u = （5分） (1,1,1)442du dx dy dz =++ ． （8分）14.设(,)z f u v =而,u y v xy ==,且f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.解: '.zy f x∂=⋅∂2 （4分） ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122 （8分）15.判别正项级数122n n n ∞=+∑的敛散性. 解: lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222 （3分） lim .()n n n →∞+==<+311222（6分） 所以原级数收敛. （8分） 16.计算二重积分22xy De d σ+⎰⎰,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200 （4分）().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰222224001212（8分）四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17.[少学时]设一平面经过原点及点(6,3,2)M -且与平面428x y z -+=垂直, 求此平面方程.解: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632. （2分）则 (,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446.取 (,,)n =-223. （4分）故所求平面方程为: x y z+-=2230. （6分）[经管类]求差分方程153x x y y +-=07()3y =的特解.解：因5,3a C ==，故通解为3514x x x C y Aa A a =+=-+⋅- （2分） 又03743y A =-+=，则3712A = （4分）故所求特解为3375412x x y=-+⋅ . （6分） 18.设幂级数 11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). lim lim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111所以收敛半径.R =1 （1分）当x=1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为: (,)-11. （2分） (2). 设和函数为: ()n n S x nx ∞-==∑11. （3分）()xxx n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰1100011.x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101 （4分）故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭211111（6分）五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19.)(t f 为连续函数，求证11123001()()3x dx x f y dy t f t dt =⎰⎰⎰.证明：111220()()yxdx x f y dy dy x f y dx =⎰⎰⎰⎰ （2分）13001()3yf y x dy =⎰ （4分） 11330011()()33f y y dy t f t dt ==⎰⎰. （5分） 20.设110,0,(1,2,)n n n n n n a b a b n a b ++>>≤= ，且级数1n n b ∞=∑收敛，证明级数1n n a ∞=∑收敛.证明：由已知110,0,(1,2,)n n n n n na b a b n a b ++>>≤= 得： 1111n n n n a a ab b b ++≤≤≤ （2分） 于是 11n n a a b b ≤，1,2,n = （4分） 又级数1n n b ∞=∑收敛，所以级数1n n a ∞=∑收敛. （5分）。
YT2010-2011高数(二)练习题-20110607
A. f ( x, y ) 在 (0 , 0) 处不连续; C. f ( x, y ) 在 (0 , 0) 处不可微;
B. f x (0 , 0) = f y (0 , 0) = 0 ; D. f x ( x, y ), f y ( x, y ) 在 (0 , 0) 处连续.
(2)设 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ，则（ A . 二元函数 f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续；
高等数学(二) 练习题
一、填空题（5 题） 1．(1)直线过点 ( 0 , 2 , − 3) ，且与平面 x − y + 4 z + 1 = 0 垂直，则该直线的方程是． x − 2 y z +1 ●过点 (1,−1,−2) 且平行于直线 的直线方程为. = = 2 1 4
●直线 L :
x−7 y −4 z −5 与平面 π : 3 x − y + 2 z − 5 = 0 的交点 = = 5 1 4 x +1 y + 2 z + 3 垂直，则该平面的方程是 = = 4 1 −3
x2 + y 2 + z 2 =R2
∫∫
R 2 dxdy = R 2 ⋅ π R 2 .
(2)以下计算中错误的是 (
A.
)．
Ω
∫∫∫ Ω ( x
2
+ y 2 + z 2 ) dv = R 2 ∫∫∫
4 dv = R 2 ⋅ πR 2 , 其中 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ； 3
⎛ y⎞ ⎟ ； ⎝x⎠
2
） ．
A． ( x + y ) − ⎜ C． x
山东省实验中学2011届高三第三次诊断性测试理科数学试题(WORD版)
A. ①和②
B.②和③
C.③和④
D. ①和④
()
x2 y2 9.已知 F1 , F2 是双曲线 a2 b2 1,(a b 0) 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于
A 、 B 两点 △ ABF 2 是正三角形，那么双曲线的离心率为
()
A. 2
B. 3
C.2
D.3
10.已知 A 、 B、 C 是锐角 △ ABC 的三个内角，向量 p ( sin A,1)q (1, cosB) ，则 p与 q 的夹角是 ( )
| BM | | BN |？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。
22.(本小题满分 14 分 )
设 f ( x) a x ln x, g( x) x2 x2 3. x
(1)当 a 2 时，求曲线 y f ( x)在 x 1处的切线方程；
(2)如果存在 x1, x2 [0,2] 使得 g (x 1 ) g( x2 ) M 成立，求满足上述条件的最大整数 M ； 1
①若
,
,则 a// ；
② 若a / / ,a b, 则b ； ③若 a / /b,l , 则l b ； ④
,
,则 / /
以上命题正确的个数是
A.1
4.设 0,函数 y 2
A.
3
B.2
sin( x ) 3
4
B.
3
C.3
2 的图像向右平移 3
C.
2
D.4
4 个单位后与原图像重合，则 3
D.3
5.设 a log5 4,b (log5 3)2 , c log 4 5 ，则
()
A.{5 ， 7}
B.{2 ，4}
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2011年12月考试高等数学（II-2）第三次作业
答案：
一、填空题（30分，共 10 题，每小题 3 分）
1. 可分离量的微分方程
2.
3. 阶数
4. 发散
5. y=-x+1
6.
7.
8. 2dx+dy
9. 45 度或135度
10. 2;0
二、计算题（40分，共 5 题，每小题 8 分）
1.
2.
3.
4.
由于 ,而级数
绝对收敛，所以原级数也是绝对收敛。
5.
三、证明题（30分，共 2 题，每小题 15 分）
1.
2.