5.1 不定积分的概念与性质
不定积分概念与性质
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
(13)
a xdx
ax C; ln a
基本积分表
• ∫0dx=c • ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c • ∫1/xdx= ln|x|+ c • ∫axdx= ax/lna + c • ∫exdx= ex + c • ∫cosxdx=sinx + c • ∫sinxdx=-cosx + c
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x) 在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
求不定积分的方法
(1) 直接积分法 (2) 第一类换元法 (3) 第二类换元法 (4) 分部积分法
直接积分法
根据不定积分的性质和基本积分公式， 对于一些比较简单的函数的不定积分可以直 接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换， 再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结 果，这样的积分方法，叫做直接积分法。
y F(x) C ；
4、由F ' ( x) f ( x) 可知，在积分曲线族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点处作切线，这
不定积分的概念及其线性法则
2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,
不定积分定义
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
第15页/共29页
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x
2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
第14页/共29页
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
(2)
x
dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C
.
(4)
a
x
第10页/共29页
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
不定积分的概念
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分概念及公式
不定积分概念及公式5．1不定积分的概念⼀．原函数的概念定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在⼀个函数)(x F 对于该区间上的每⼀点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )() (=。
则：)(x F 为)(x f 的⼀个原函数。
例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的⼀个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。
即：,3,1,1333+-+x x x 。
等等也都是23x 的原函数。
即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。
所以，有下⾯定理。
定理：⼀个函数)(x f ，若有⼀个原函数)(x F ，则必有⽆穷多个。
⽽这写原函数只相差⼀个常数。
C x F +)(是)(x f 的全体原函数。
例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。
解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-，所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos +⼆．不定积分的定义定义2。
设函数)(x F 为函数)(x f 的⼀个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。
记作：?dx x f )(。
即：?dx x f )(C x F +=)(。
)(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。
存在原函数的函数为：可积函数。
求已知函数的不定积分，只要求出它的⼀个原函数，再加⼀个C （任意常数）。
例：求积分dx x ?23解：233)(x x ='∴dx x ?23C x +=3例：求积分?xdx cos解： x x cos )(sin ='∴ ?dx cos C x +=sin例：求积分dx e x ?解： x x e e =')(∴ dx e x ?C e x +=例：求积分dx x1 解： (xx 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x xx x dx x1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。
不定积分 定积分讲义
第五章不定积分学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念2．掌握不定积分的性质及基本积分表3．理解第一类换元法的基本思想4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法5．掌握凑微分的技巧和方法6．掌握第二类换元法的内容及其证明7．会用第二类换元法计算不定积分8．熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点：1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点：1．第一类换元积分法2．凑微分3．第二类换元法中的变量替换4．分部积分公式中u与dv的选取教学方法：讲授法，辅以练习计划学时：10学时新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如，x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果)(x F ，)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答：任意两个原函数相差一个常数。
高三数学原函数与不定积分的概念
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
第一节 不定积分的概念和性质
2
1 1 dx dx arctan x ln | x | C 2 1 x x
1 1 1 t 例4 cos dt (1 cos t )dt dt cos tdt 2 2 2 2
2
1 1 t sin t C 2 2
例5
1 sin2 x cos2 xdx
(k 0)
(u v w)dx udx vdx wdx
这是不定积分的加减运算法则.乘除法则无意义. 性质6 如果 f ( x )dx F ( x ) C, u为x的可微函数, 则有 f (u)du F (u) C 该性质称为积分形式不变性, 拓宽了不定积分公式应用. u可整体看作任何函数: u ( x ) , 学习换元计算时会用到. 如:
以
2xdx x 2 C为例,
y
可见 y = x2+C的图形是一簇抛物线. 因为 y =( x2+C )=2x 所以在 x0 相同的各点处, 各抛物 线切线斜率相同, 即各切线平行.
x0 x x0
x
几何意义： 不定积分图形为一积分曲线簇, 并且曲线簇中每条曲线在 任何横坐标 x 相同的各点处切线相互平行.
sin x cos x dx 2 2 sin x cos x
2 2
1 1 dx dx tan x cot x C 2 2 cos x sin x
注：本节直接积分法求解思路
利用恒等变形, 积分性质及基本积分公式进行积分
常用恒等 变形方法
被积函数拆项、展开、加一项或减一项
第四章 不定积分
主要目录
① 原函数的概念 ③ 不定积分的性质 ② 不定积分的概念 ④ 不定积分基本公式
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念在微积分学中，不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们分别代表了对函数的积分运算，但在运算方法、符号表示和应用场景上有所不同。
一、不定积分的概念不定积分，又称原函数或者积分函数，是对函数的反导数运算。
对于函数f(x)，如果它的导数为F(x)，即f'(x)=F(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
换句话说，不定积分就是求导运算的逆运算。
在这个过程中，我们可以得到一个函数的无数个原函数，因为对于任意常数C，F(x)+C也是f(x)的不定积分。
不定积分也可以理解为曲线与坐标轴围成的面积函数。
例如，函数f(x)=x^2，它的不定积分为F(x)=1/3x^3+C，其中C为常数。
通过不定积分，我们可以解决一些函数的原函数问题，同时也可以计算函数的面积、曲线长度、物理学中的质量、重心等问题。
不定积分在微积分学中占据重要地位，是很多进一步积分运算的基础。
二、定积分的概念定积分是对函数在一个闭区间上的积分运算。
与不定积分不同，定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]表示积分的区间范围。
定积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是函数在一段区间上的平均值与区间长度的乘积。
通过将区间细分成无限小的小矩形，并将这些矩形的面积相加，我们可以得到定积分。
定积分在各个学科中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、压力、功率等。
在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率值。
在经济学中，定积分可以用来计算收益和成本之间的差异。
三、不定积分与定积分的关系在不定积分和定积分之间有着紧密的联系。
根据牛顿-莱布尼茨公式，不定积分和定积分是互逆运算。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它就存在定积分∫[a,b]f(x)dx。