数学北师大版九年级下册二次函数y=a(x-h)2 k(a≠0
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
北师大版数学九年级下册 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教案与反思
第3课时 二次函数y=a （x-h ）2的图象与性质 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》【知识与技能】会画出y=a(x-h)2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2的性质.一、情景导入，初步认知我们已经了解到，函数y=ax2+c 的图象, 可以由函数y=ax2的图象上下平移所得，那么函数2122y x =-（）的图象，是否也可以由函数212y x = 平移而得到呢？ y=a(x-h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21+12y x =（），21-12y x =（）并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 观察并归纳，它们的图象有什么规律？ 【归纳结论】由抛物线212y x =向左、向右平移一个单位得到的抛物线分别是21+12y x =（），21-12y x =（） 【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.函数y=ax2与y=a(x —2)（a<0）函数在同一坐标系里的图象大致是 .解析：根据a 的正负性确定它们的性质.答案：D2.二次函数y=2(x —1)2的图象可由y=2x2的图象（）得到A.向左平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向右平移2个单位长度解析：右平移是A 的值发生改变.答案：C【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.2.平移的方法.1. 布置作业：教材“习题2. 4”中第1题（2)、(6)2. 完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.【素材积累】不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。
北师大版数学九年级下册习题课件2.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=
7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2 上，则下列结论正确的是( A ) A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2 8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是___m__≥_2_______．
解：(1)y＝－(x－3)2＋4，画图略 (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
14．如图，点A，B的二坐标次分别函为数(0，4y)和＝(3a，x4)2，的抛物图线象y＝a与(x－二m)2次＋n函的顶数点在y线＝段aAB(x上－运动h(抛)2物，线y随顶点一起平移)，与x轴交于
解：(1)将点 A(－2，0)，C(0，94
16a＋c＝0， )代入 y＝a(x－2)2＋c，得4a＋c＝94，
解得a＝－136， c＝3，
∴抛物线的表达式为 y＝－136
(x－2)2＋3，即 y＝－136
x2＋34 x＋94 ，∴顶点 D 的坐标为(2，3)
(2)当 y＝－136 (x－2)2＋3＝0 时，解得 x1＝－2，x2＝6，∴A(－
一、选择题(每小题6分，共12分)
CA．．y开C＝口3．x向2－下y3＝DB3．．x对y2＝－称3(轴x3＋是3直)2线Dx．＝my＝3(x＋3)2
AA．．2－1>3y21>．By2．(64B分．C2．>)7y若2>Dy将1．8抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
北师版九下数学第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 向下 ，顶点坐标
是（1，0），对称轴是 x=1 .
3.要得到抛物线y=
1 3
(x－4)2，可将抛物线y=
1 x2(
3
C
)
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
4.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
y=2(x-1)2
y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
开口方向向上，对称轴x=1， 顶点坐标(1，0)
-3 O 3 x
y=2(x+1)2的呢?
开口方向向上，对称轴x=-1， 顶点坐标(-1，0)
二次函数y = a(x-h)2的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
y = 2x2 32 18 8 2 0 2 y=2(x-1)2 50 32 18 8 2 0 y=2(x+1)2 18 8 2 0 2 8
234 8 18 32 2 8 18 18 32 50
(2)在下图中画出y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象.
y y=2x2 9
6
y=2(x+1)2 3
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
直线x=h （h,0） 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=0
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思考:观察图象演示，完成下面问题
1、函数y=ax² +c和函数y=ax² 的图像有什么联系？ 2、函数y=ax²+c和函数y=ax² 的图像有什么性质？
y
y=3x2+2 y=2x2 y=2x2-2
0
X
问题1：列表、画出函数y=3（x-1）² 的图象。
x -3 27
2
-2 12
-1 3
九年级数学(下)第二章 二次函数
二次函数 y=a(x-h)² +k的图象
y
o
x
一、目标分析
能够画出函数y=a(x-h)2 和y＝a(x-h)2+k的图象，正确 说出函数图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标，并能理解它 与y＝ax2的图象的关系．
二、教学的重点和难点
重点： 〈1〉．正确画出函数 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 的图象，并能根据函数图象说出抛物线的开口 方向、对称轴和顶点坐标。 〈2〉．理解函数y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与 y＝ax2的图象关系，体会a、h、k对二次函数图 象的影响。 难点： 会由特殊情形向一般情形转化，理解图象的 平移规律。
0 0
1 3
2 12
3 27
4
y 3x2
x y 3 1
27
12
3
0
3
12
27
问题2：观察图象,分析并回答下列问题。
⑴函数y=3(x-1)2 的图象与y=3x2的 图象有什么关系? ⑵函数y=3(x-1)2 的图象它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x2
y 3 x 1
x=0 （0，0）
x=0 （0，c）
x=h （h，0） x=h （h，k）
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2 +k 抛物线 a>0向上a<0向下
Байду номын сангаас
(1) 图像都是轴对称图形 抛物线形状大小、开口方向相同。 (2) a>0时,有最小值. x>h, y都随x的增大而减小, x<h,y都随 x的增大而增大. a<0时,有最大值. x>h,y都随 x的增大而增大. x<h, y都随x的增大而减小 (1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
3、抛物线y=0.5(x+4)2+2，当x= y有最 值，值为 。 4、对于二次函数y=–(x+1)2-5,当x y的值随x值的增大而增大； 时，
；
时,
5、将抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向下平移2个单 位，所得到的抛物线的关系式为：__ _____。
小结反思，布置作业。
小结： 这节课我们学了哪些函数？它们之 间又有什么关系？还有别的想法和问 题 吗？ 布置作业： 课本53页：习题 第1、2、3题； 课后练习：（讲义）
2
⑶x取何值时，函数y=3(x-1)2的 值随x的增大而增大,. X取何值时， 函数 y=3(x-1) 2 的值随 x 的减小而减 小，最小值是多少？
问题3： 观察与比较 试猜想：函数y=3(x-1)²+1的图象有什么 特点 ？它与y=3x² 有什么关系？ y
y=3x2
y=3(x-1)² y=3(x-1)²+1
解:设所求函数解析式为：y=a(x-h)²+k
a=1 h=2+2=4 k=(-1)+3=3
y= (x-4)²+3= x²-8 x+ 19
a=1、b=-8、c=19
【巩固练习】
1、抛物线是y=-2x2+1的顶点坐标是（ ） A（-2，1）、B（0，1）、C（1，0）D（1，-2）。
2、抛物线y=2（x－3）2－5的开口方向是 对称轴 ；顶点坐标是 。
抛物线
向上
（ 1， 0）
抛物线
向上
（-1，0）
X=-1
抛物线
向上
（ 1， 1）
X=1
函数y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2 +k 的图像有哪些特征和关系
函数关系式 图像 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2 y=ax2+c
抛物线 a>0向上a<0向下 抛物线 a>0向上a<0向下 抛物线 a>0向上a<0向下
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以由y=ax² 的图象平移得到。 平移规律是: (简记） h:加左减右，k:加上减下
附加例题：
将二次函数y= (x-2)²-1的图象先向右移动2个单位， 再向上移动3个单位， 得到新的函数y＝ax²+ bx+ c的 图象，求a、b、c的值。
y=3(x+1)²
0
X
1.函数y=3(x-1)²+1的图像可以看成是 y=3x² 平移得到的，平移规律是先向右 平移一个单位，然后向上平移一个单位。
2.填充表格
函数 图像 开口方向
顶点坐标 对称轴
y=3x2 y=3(x-1)2 y=3(x+1)2 y=3(x-1)2+1
抛物线
向上
（ 0， 0）
X=0 X=1