寒假作业答案(理)

广饶一中二校区53级数学科（理）寒假作业答案第一部分：三角函数1.1cos 21()222x f x x +=--1sin 2cos 2122x x =--sin(2)16x π=--。

∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤，∴sin(2)126x π-≤-≤，从而01)62sin(231≤--≤--πx 。

则)(x f 的最小值是231--，最大值是0。

（2）()sin(2)106f C C π=--=，则1)62sin(=-πC ，∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，解得3C π=。

∵向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，∴sin 2sin B A =， 由正弦定理得，2b a = ① 由余弦定理得，3cos 2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ②由①②解得2,1==b a 。

2.解：由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2，而π=++C B A ， 故33ππ=⇒=B B ，且A C -=32π.………………3分 而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22= …………5分A A sin )32sin(33sin 22-=⨯⇒ππ所以可得⇒=+⇒-=⨯1sin sin cos 3sin )sin 32cos cos 32(sin 34322A A A A A A ππ 21)62sin(122cos 12sin 23=-⇒=-+πA A A ，………………9分 由67626320ππππ<-<-⇒<<A A ， 故662ππ=-A 或6562ππ=-A ，于是可得到6π=A 或2π=A . ………………12分3.解：（Ⅰ）由图可得263221πππ=-==T A ，，所以2.==ωπT . ………………3分)62sin()(.6,2||ππϕπϕ+=∴=∴<x x f .………………6分 （Ⅱ）x x x x x x x f x g 2cos 6sin2cos 6cos2sin 2cos )62sin(2cos )()(-+=-+=-=πππ)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x . ……………………9分65626,20ππππ≤-≤-∴≤≤x x . 当662ππ-=-x ，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. ……………………12分4.（1）22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+，………2分cos 2122sin(2)16x x x π=+=++.………4分令ππk x =+62得,122ππ-=k x )(Z k ∈,∴函数()f x 的对称中心为)1122(，ππ-k . ………5分(2）31)62sin(2)(=++=πC C f ，1)62sin(=+∴πC ，C 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：.6π=C ………7分232cos 222=-+=∴ab c a b C 即：722=+b a ． ………9分 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4, 23或=∴a ，32或=∴b ………11分 3,2,==∴>b a b a ………12分5. 6.7。

89解：（Ⅰ）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知， 40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=，.................................2分 所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-..........................5分（Ⅱ）因为三角形AOB 为正三角形，所以060AOB ∠=， 所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+=cos(60)α+ ...............................6分所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠=22cos()3πα-+.........7分5,62236ππππααπ<<∴<+<, 5cos cos()cos 632πππα∴<+<,即cos()03πα<+<,.................................9分22||2BC ∴<<.................................10分=22sinx-22cosx-22cosx+22sinx=2sinx-2cosx=2sin(x-4π) 3分∴T=2π1分 f min （x ）=-21分（2）[f （β）] 2-2=4sin 2（β-4π）-2=4·2)22cos(1πβ---2=-2sin β 2分 Sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]1分cos2β=-54×54-259=-1∵0<α+β<π∴sin(α+β)=531分0<β-α<2π∴sin(β-α)=531分 ∴sin2β=53×54+(-54)×53=01分第二部分：数列11.解（1）设数列{}n a 的公差为d,由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2a d == 所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= 即 2n a n = （2）由（1）可得1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+ 因12,,k k a a S + 成等比数列，所以212kk aa S +=从而2(2)2(2)(3)k k k =++ ，即 2560k k --=解得6k = 或1k =-（舍去），因此6k = 12.13. 解.(1)a n =2n-1 (2)Tn=1-(n+1)×(31)n14.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q 由341b b q =，得354272q ==，从而3q = 因此11132--⋅=⋅=n n n qb b 又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=从而216d a a =-=，故466)1(1-=⋅-+=n n a a n （2）13)23(4-⋅-⋅==n n n n n b a c令12213)23(3)53(373431--⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Tn n n n n T 3)23(3)53(37343131321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=-两式相减得13)13(3313)23(333333331211321--⨯+=⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+=---n nn n n T n n 3)23(⋅--n n n 3)232)13(911⋅---+=-（73(67)44n n n T -∴=+，又nn n n T S 3)76(74⋅-+==15．解：(1)()113,213n n n n a S n n a S n +-=-+≥=--+ 时， , ,12,111-=-=-∴++n n n n n a a a a a 即112(1),(2,),n n a an n +∴-=-≥∈N* 2221(1)232n n n a a --∴-=-=∙=n a ⎩⎨⎧≥+∙=-2,1231,22n n n （2）113322n n n S a n n -+=+-=∙+- , 123-∙=∴n n nb ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴-1222322131n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=nn nT 2232221312132 相减得，⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n T 22121211312112 , n n n nT 23221134∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴﹤34. ∴结论成立.16.解：（1）根据题意：,16,10535362=⋅+==+a a a a a a 又分所以解得且的两根是方程所以4.7n 3a ,3d ，2，a8a ,a a ，016x 10x a ,a n 3553253⋯⋯⋯⋯⋯⋯-====<=+-（2）则,232)7(n n n n n a b ⋅=⋅+=分所以得12.22)1n (222n T ,2n 21)21(22n 22222T ②，①②2n 2)1n (2)2n (2221T 2①2n 2)1n (232221T 1n 1n 1n n 1n n 1n n1n 321n 1n n 1n 32n n 1n 321n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⋅-=+-⋅=⋅---=⋅-++⋯+++=--⋅+⋅-+⋅-+⋯+⨯+⨯=⋅+⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=+++++-+--17．解：(1)111=a ，因为121+=+n n n a a a ，所以2111=-+n n a a ，∴数列}1{na 是首项为1，公差为2的等差数列，∴121-=n a n ，从而121n a n =- (2)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+12112121)12)(12(11n n n n a a n n所以13221++++=n n n a a a a a a T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n 12+=n n 由2011100012>+=n n T n ，得111000>n ，最小正整数n 为91. 18.解：（1）35a ,a 是方程2x 14x 450-+=的两根，且数列{}n a 的公差d 0>， 35a 5,a 9∴==，公差53a a d=253-=-. n 5a a (n 5)d 2n 1∴=+-=-，又当n 1=时，有11111b 1b S ,b 23-==∴= 当n 2≥时，有n n n n 1n 1n n 1b 11b S S (b b ),(n 2).2b 3---=-=-∴=≥ ∴数列{}n b 是首项11b 3=，公比1q 3=等比数列，n 1n 1n 1b b q 3-∴==. （2）由（1）知n b n n 1n n 12n 12n 1c a b ,c 33++-+===， n 1n n 1n n 12n 12n 14(1n)c c 0333++++--∴-=-=≤.n 1n c c +∴≤. （3）n n n n2n 1c a b 3-==，设数列{}n c 的前n 项和为n T ， n 123n1352n 1T 3333-=+++ …+① 11352n 32n 1--①-②得：n 23n n 123n n 1212222n 111112n 1T 2()33333333333++--=+++-=+++-…+…+ 化简得：n nn 1T 13+=-19．解：(1)由已知得11,,nn S b r a S b r =+∴==+且当n ≥2时,11(1)(*)n n n n a S S b b --=-=-,由于数列{}n a 成等比,故当n=1时(*)式仍成立,即11,1a b b r r =-=+=-. (2)由(1)知1112,2,(1)().2n n n n b a C n -+===+时2313412111111112()3()(1)(),2()3()()(1)().22222222n n n n n T n T n n +++∴=++++∴=+++++ 上两式相减得，23412121111113112()()()()(1)()()(1)().222222422n n n n n T n n ++++=++++-+=--+ 所以，133.22n n n T ++=- 20.解：（I ）由S n ＝n 2可知，当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，n a ＝S n －S n －1＝n 2－（n －1）2＝2n －1，当n ＝1时也符合， 所以，n a ＝2n －1，n ∈N *。