多项式除法
多项式短除法
多项式短除法是指用于求解多项式的一种除法方法。
它的基本思路是通过多项式插值法，构造出一个低阶多项式$Q(x)$，使得$Q(x)$能够较好地拟合待求解多项式$P(x)$，然后利用$Q(x)$来近似求解$P(x)$。
多项式短除法的基本步骤如下：
•确定待求解的多项式$P(x)$和拟合多项式的低阶$Q(x)$。
•求解$Q(x)$的系数，使得$Q(x)$能够较好地拟合$P(x)$。
•计算$R(x)=P(x)-Q(x)$，其中$R(x)$是多项式$P(x)$和$Q(x)$的差。
•判断$R(x)$是否满足终止条件，如果满足则终止，否则计算$R(x)$的低阶多项式$S(x)$，并将$S(x)$代入$Q(x)$，得到新的多项式$T(x)=Q(x)+S(x)$。
•使用新的多项式$T(x)$代替$Q(x)$，回到步骤2，继续求解。
多项式短除法是一种高效的多项式求解方法，可以用来计续求解多项式的值、求解多项式的零点、求解多项式的单位根等问题。
它的优点在于能够快速求解多项式，并且在求解过程中可以控制精度。
多项式短除法的应用领域很广，广泛应用于数值计算、计算机科学、工程技术等领域。
它是一种重要的多项式求解工具，在多项式计算中有着广泛的应用。
多项式的除法与余式定理练习题
多项式的除法与余式定理练习题一、多项式的除法多项式的除法是高中数学中非常重要的一部分。
在多项式的除法中，我们常常需要根据除法的原理来求解商和余数。
接下来，我们将通过一些练习题来巩固多项式的除法。
1. 求下列多项式的商和余数：(1) 将多项式P(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 9 除以G(x) = x - 2。
(2) 将多项式Q(x) = 4x^3 + 6x^2 - 9x + 2 除以H(x) = x + 1。
(3) 将多项式R(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 7 除以F(x) =2x^2 - x + 3。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 能被(x - r)整除，其中r是实数，则有P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x) = mx^n + nx^{n-1} + \dots + v 能被(x - s)^k整除，其中k是正整数，s是实数，则有Q(s) = Q'(s) = \dots = Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要定理，它可以帮助我们求多项式在给定值处的余数。
接下来，我们将通过一些练习题来熟悉余式定理的应用。
1. 计算下列多项式在给定值处的余数：(1) 计算多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5 在x = 2处的余数。
(2) 计算多项式Q(x) = 4x^4 - x^3 + 3x^2 - 2x + 1 在x = -1处的余数。
(3) 计算多项式R(x) = 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 6x + 7 在x = 3处的余数。
2. 证明下列关系式：(1) 若多项式P(x)除以(x - r)的余数为0，则P(r) = 0。
(2) 若多项式Q(x)除以(x - s)^k的余数为0，则Q(s) = Q'(s) = \dots =Q^{(k-1)}(s) = 0，其中Q'(x)表示对Q(x)求导后的结果。
多项式的除法
多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。
本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。
最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。
一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。
这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。
二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。
通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。
接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。
2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。
具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。
3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。
此时，商的多项式即为所求结果。
需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。
三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。
四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。
多项式除法
多项式除法“多项式除法除法的一种类型，俗称「长除」。
适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中运用了乘法和减法。
是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
”多项式除法的定义多项式除法是除法的一种类型，适用于整式除法、小数除法、多项式除法。
多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。
把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。
若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。
扩展资料计算1、把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：然后商和余数可以这样计算：2、用分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上（x³÷x=x²）。
将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） x²×(x−3) =x³−3x²。
3、从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一余式，写在下面。
然后，将分子的下一项“拿下来”。
4、把第一余式当作新的被除式，重复前三步，得到次商与第二余式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式）。
5、重复第四步，得到三商与第三余式。
余式小于除式次数，运算结束。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。
在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。
一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。
一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。
多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。
具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。
三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。
首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。
然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。
将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。
最终得到的商和余数即为所求的结果。
例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。
首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。
然后，将2x³除以x，得到2x²。
将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。
将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。
四年级数学精品课件《多项式的除法-多项式的除法》
解决本题应先把两个多项式相除表示成分式，然 后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简 分式表示所求的商．
（来自《点拨》）
知2－练
1 计算：
(1) (3ab2－2a2b)÷(2a－3b).
(2) (4a3b－12a2b2+9ab3)÷(4a2－9b2).
2
(m2－4mn＋4n2)÷(m2－4n2)＝
知识点 1 利用分式化简求值
例1 已知x－3y=0，求分式
x2 3 xy y2 x2 y2
的值.
知1－讲
解：由已知x－3y=0，得x=3y.
x2 3 xy y2 (3 y)2 3 3 y y y2
x2 y2
(3 y)2 y2
9y2 9y2 9y2 y2
y2
y2 10 y2
（来自《点拨》）
例3 计算：
(1) (4x2－9)÷(3－2x).
(2) (9a2+6ab+b2)÷(9a2b－b3).
解：(1) (4x2－9)÷(3－2x)
4x2 9 (2 x 3)(2 x 3)
3 2x
3 2x
=－(2x+3)
= －2x－3.
知2－讲
（来自《教材》）
知2－讲
(2) (9a2+6ab+b2)÷(9a2b－b3)
（来自《点拨》）
知2－讲
解：(1)(x 2－64)
(8－x)＝
x 2－64 8－x
(x
8)(x (x 8)
8)
(x 8) 8 x.
(2)[(m－n)2－2(n－m
)]
(m－n)＝
(m－n)2－2(n－m m－n
)
(m－n)(m－n)+2
多项式除法
多项式除法多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。
本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。
文章内容将会包括以下几个方面：1. 多项式的基本概念2. 多项式除法的基本原理3. 一次多项式除法的步骤和实例4. 高次多项式除法的步骤和实例5. 多项式除法的应用1. 多项式的基本概念多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。
例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。
多项式的次数就是最高次项的指数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。
2. 多项式除法的基本原理在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。
需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。
例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。
这种情况通常被称为“浅层除法”。
在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。
2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。
4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。
需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。
多项式的整除
证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
【典型例题】[例1] 化简求值：，其中，解：当，时原式[例2]A. B. C. D. 以上都不对解析：解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了，所以所求代数式的系数为2而最后一项为1，所以所求代数式为。
但这是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试，很快发现也是A。
说明：同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。
[例3] 化简解：原式[例4] 计算我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则所以规则：1. 先把除式与被除式按降幂排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。
2. 用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。
[例5] 计算此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式的首项除以除式的首项得商式首项，再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（），再把作为新的被除式，用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。
[例6]在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，则同类项不能对齐。
所以应该在缺项的地方补0。
现在新的问题出来了，再用除以会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。
所以说明：如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个新的被除式为余式。
[例7] 已知多项式能被整除求值。
解：∵多项式能被整除∴余式∴[例8] 已知能被整除，求的值。
解：∵能被整除∴∴[例9] 已知求的值分析：设法把用含有的代数式表示∴∵∴说明：在这里我们用除以，有些同学存在困惑怎能做除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 计算①②2. 计算①②③3. 计算4. 已知多项式能被整除且商式是，求的值。
5. 如果能被整除，求的值。
6. 已知，求7. 确定a的值使多项式能被除余数为1。
8. 求除以的商式和余数9. 已知多项式可被和整除，求、的值及此式的因式。
一、選擇：1.（）若多項式A除以多項式B得商式為Q，餘式為R，則下列敘述何者恆正確？(A)A－R是Q的倍式(B)A－R是B的因式(C)A是B的倍式(D)B是A的倍式《答案》A詳解：由題意得：A＝BQ＋R(B)A－R＝BQ，即A－R是B的倍式(C)當R＝0時，A才是B的倍式(D)當R＝0時，A是B的倍式，B是A的因式故選(A)2.（）若2x3＋x2＋mx－6為x－2的倍式，則2x3＋x2＋mx－6亦為下列何者的倍式？(A)x＋3 (B)x－3 (C)2x＋3 (D)2x－3《答案》C詳解：因為2x3＋x2＋mx－6為x－2的倍式所以x－2能整除2x3＋x2＋mx－6用x－2去除2x3＋x2＋mx－6得到：－6＋2(m＋10)＝0解得m＝－72x3＋x2＋mx－6＝(x－2)(2x2＋5x＋3)＝(x－2)(x＋1)(2x＋3)故選(C)3.（）3x3－13x2＋ax－b是x2－2x＋3的倍式，則a＋b＝？(A)152 (B)44 (C)38 (D)2《答案》B詳解：用x2－2x＋3除3x3－13x2＋ax－b得：a－23＝0，－b＋21＝0所以a＝23，b＝21故a＋b＝44，選(B)4.（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x3＋mx2＋17x＋n的因式，試求n＝？(A)－6 (B)6 (C)－12 (D)12《答案》A詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6用2x2＋7x＋6除8x3＋mx2＋17x＋n得：n－3(m－28)＝0又m＝26解得n＝－6，故選(A)5.（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x3＋mx2＋17x＋n的因式，則m＝？(A)26 (B)－26 (C)30 (D)－30《答案》A詳解：(x ＋2)(2x ＋3)＝2x 2＋7x ＋6用2x 2＋7x ＋6除8x 3＋mx 2＋17x ＋n 得：－7－27(m －28)＝0解上式得：m ＝26，故選(A)6. （ ）若ax x ++522不是2x －1的倍式，則下列哪一個不可能是a 的值？ (A)－3 (B)－1 (C)1 (D)3《答案》A詳解：用2x －1去除ax x ++522得餘式為a ＋3 因為ax x ++522不是2x －1的倍式 所以餘式a ＋3不可能為0 即a 值不可能為－3 故選(A)二、填充：1. 已知x ＋2與4x ＋1都是8x 3－2x 2－41x －10的因式，則因式分解8x 3－2x 2－41x －10＝ 。
《答案》(x ＋2)(4x ＋1)(2x －5) 詳解：(x ＋2)(4x ＋1)＝4x 2＋9x ＋2 用4x 2＋9x ＋2除8x 3－2x 2－41x －10 得商式為2x －5所以8x 3－2x 2－41x －10＝(x ＋2)(4x ＋1)(2x －5)2. 如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x －3是多項式4x 3＋ax 2＋9x ＋b 的因式，其中部分係數以a 、b 、c 、d 、e 、f 表示，則：(1)a ＝ ，b ＝ ， c ＝ ，d ＝ ， e ＝ ，f ＝ 。
(2)4x 3＋ax 2＋9x ＋b 的另一個因式為 。
《答案》(1)－8，－9，－1，－2，3，0 (2)2x 2－x ＋3詳解：(1)由直式除法可知： 2c ＝－2，c ＝－1 e ＝－3c ＝3d＋2＝0，d＝－2f＝0(整除，餘式為0)b－9＝0，b＝9(2)2x2＋cx＋3＝2x2－x＋3是4x3＋ax2＋9x＋b的因式3.若x2－3x＋m為5x3－9x2＋nx－12的因式，則m＝，n＝。
《答案》－2，－28詳解：用x2－3x＋m除5x3－9x2＋nx－12得：(n－5m)＋18＝0，－12－6m＝0解得：m＝－2，n＝－284.已知x2＋x＋1為x3＋k的因式，則：(1)k＝。
(2)因式分解x3＋k。
《答案》(1)－1 (2)(x2＋x＋1)(x－1)詳解：(1)用x2＋x＋1除x3＋k得：k＋1＝0，故k＝－1(2) 用x2＋x＋1除x3＋k得到的商式為x－1所以x3＋k＝x3－1＝(x－1)( x2＋x＋1)5.若x－1與x－2皆為x3－6x2＋kx－6的因式，則：(1)k＝。
(2)因式分解x3－6x2＋kx－6＝。
《答案》(1)11 (2)(x－1)(x－2)(x－3)詳解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2用x2－3x＋2除x3－6x2＋kx－6得：(k－2)－9＝0解得：k＝11(2)用x2－3x＋2除x3－6x2＋kx－6得商式為：x－3所以x3－6x2＋kx－6＝(x－1)(x－2)(x－3)6.已知x3－x2＋x－1有因式x2＋1，則因式分解x3－x2＋x－1＝。
《答案》(x2＋1)(x－1)詳解：用x2＋0x＋1(缺項補0)除x3－x2＋x－1得商式為：x－1故x3－x2＋x－1＝(x2＋1)(x－1)7.若x3＋mx2＋nx＋10為x－2與x＋5的倍式，則：(1)(m , n)＝。
(2)x3＋mx2＋nx＋10的因式分解為。
《答案》(1)(2 , －13)(2)(x－2)(x＋5)(x－1)詳解：(1)(x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10用x2＋3x－10除x3＋mx2＋nx＋10得：(n＋10)－3(m－3)＝010－10(m －3)＝0解得：m ＝2，n ＝－13 故(m , n )＝(2 , －13)(2) 用x 2＋3x －10除x 3＋2x 2－13x ＋10 得商式為x －1所以x 3＋2x 2－13x ＋10＝(x 2＋3x －10)( x －1) ＝(x －2)(x ＋5)(x －1)8. 已知3x 3－11x 2＋27x －14是x 2－3x ＋7的倍式，則因式分解3x 3－11x 2＋27x －14＝ 。