高等代数
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数第1章
⎪ ⎩
( −1)n an = α 1α 2
αn
的 αk j 的积 之和
sihuabin@
南昌大学理学院数学系
⎧ − a1 = α 1 + α 2 + + α n ⎪ a2 = α 1α 2 + α 1α 3 + + α n−1α n ⎪ ⎪ ⎨ ( −1)i a = α α ∑ k1 k2 α ki i ⎪ ⎪ ⎪ ( −1)n an = α 1α 2 α n ⎩
sihuabin@
南昌大学理学院数学系
§1.11 对称多项式
对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要 方面，是一元多项式根的研究。 设f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an∈P[x] 若f(x)在数域P中有n个根α1,α2,…,αn 则f(x)在数域P上可以 ⎧ − a1 = α 1 + α 2 + + α n ⎪ a2 = α 1α 2 + α 1α 3 + + α n−1α n 分解成f(x) 所有 =(x-α1)(x-α2)…(x-αn) ⎪ ⎪ 可能 i 展开后比较多项式系数 ⎨ ( −1) ai = ∑ α k α k α k 的i个 不同 即得根与系数的关系： ⎪ ⎪
x1 x2
k1
k2
xn
kn
称为数域P上的一个n元多项式。
n元多项式中系数不为零的单项式的最高次数 称为这个n元多项式的次数。
例如：多项式3x12x22+2x1x22x3+x33的次数是 4次 定义 数域P上关于文字x1,x2,…,xn的全体n元 多项式的集合称为数域P上的n元多项式环。 记为P[x1,x2,…,xn]
高等代数 6-7子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
V1 V2 是直和 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1,2 , ,r ), dimV1 r V2 L(1,2, ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1,2 , ,r ,1,2, ,s ). 若 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关，
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和,
V1 V2, 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1, 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1,2, ,r ,1,2, ,s 的秩为r＋s . 所以 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关.
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量组α1=(1, 2, 3)，α2=(2, 3, 4)，α3=(3, 4, 5)，则向量组α1，α2，α3是否线性相关？A. 是B. 否答案：A3. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知方程组\begin{cases}x+y=1 \\2x+3y=4\end{cases}的解为：A. x=1, y=0B. x=0, y=1C. x=2, y=-1D. x=1, y=-2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设矩阵B为2×2矩阵，且B=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}，则B的逆矩阵为\begin{bmatrix} \_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_ & \_\_\_\_\_ \end{bmatrix}。
答案：\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{bmatrix}6. 向量β=(1, 2, 3)与向量γ=(4, 5, 6)的点积为\_\_\_\_\_。
答案：327. 设函数g(x)=x^3-3x^2+4，求g'(x)。
答案：3x^2-6x8. 已知方程组\begin{cases}x-2y+z=1 \\3x+4y-2z=2 \\2x+y-z=3\end{cases}的解为：x=\_\_\_\_\_，y=\_\_\_\_\_，z=\_\_\_\_\_。
答案：x=1，y=1，z=1三、解答题（每题15分，共40分）9. 设矩阵C为3×3矩阵，且C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}，求矩阵C的行列式。
高等代数论文
向量组线性相关的证明方法内容提要向量组的现行相关性是高等代数理论中的一块基石，在它的基础上我们可以衍生出许多其他理论，所以熟练地掌握判定向量组线性相关的方法可以更好地帮助我们理解其他理论的知识。
本文从理解向量组线性相关性的定义入手，论述了若干证明向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解等知识判定向量组线性相关性的判定，并且比较了不同种证明方法的适用范围和条件。
向量组线性相关性的证明理论在现实生活当中有着广泛的应用。
因此学好这一块的理论知识，掌握证明方法是很重要的。
第一章 绪论线性相关性的理论在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何，高等代数和常微分方程中等等，它是线性代数理论当中的基本概念，它与向量空间和子空间的概念有着密切的联系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛的应用，因此掌握向量组线性相关性这个概念有着十分重要的意义，也是解决问题重要的理论依据。
向量组的线性相关和线性无关可以推广到函数组的线性相关和线性无关。
在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。
它可以将线性代数中的矩阵，行列式，二次型的知识联系起来，如果能熟练掌握线性相关性则能更好地理解线性代数当中的其他知识，，理清线性代数的框架，做到融会贯通。
本文主要研究的是向量组的线性相关性的判定方法，从定义和性质下手，熟悉了一些重要的理论，熟悉了定义我们就能更好地把握线性相关性的本质。
而本文的第三章就并提出了几种线性相关性的证明方法，比较了不同种证明方法的适用范围和优势劣势，并给出了详细地证明过程和例题，从而更加深入地理解线性相关性的理论知识。
最后是关于这部分理论的展望和本文参考的具体文献。
第二章 向量组线性相关性的定义和性质2.1.1线性相关的概念定义1设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,21m k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k （1）那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关.如果不存在不全为零的数,,,,m 21k k k 使(1)式成立,或者说,只有当0m 21====k k k 时,(1)式才成立,那么就称m 21,,,ααα 线性无关.定义 2 若向量组A 中每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可由向量组B ={s ββ,,1 }线性表示,则称A 可由B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.性质1 向量组的等价具有1)反射性；2)对称性；3)传递性.定义 3 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的部分组.称{r i i i ααα,,,21 }是{s ααα,,,21 }的极大无关组,如果1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关；2){s ααα,,,21 }中的任意1+r 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.定义 4 向量组{s ααα,,,21 }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).性质2 向量组{r αα,,1 }线性无关⇔秩{r αα,,1 } =r .向量组{r αα,,1 }线性相关⇔{r αα,,1 }秩<r .2．1.2线性相关的性质性质(1) 含零向量的向量组必线性相关,即{s αα,,,01 }线性相关.性质(2) 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.性质(3) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关. 性质(4) {α}线性相关0=⇔α.性质(5) {βα,}线性相关λβα=⇔)(P ∈λ.性质(6) n P 中单位向量组线性无关.性质(7) 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a（2） 有(无)非零解.性质(8) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,而向量组{r ααα,,,21 ,β}线性相关,则β一定可由r ααα,,,21 唯一的线性表示.性质(9) 向量组{r ααα,,,21 }(r 2≥)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.性质(10) 设s ααα,,,21 是向量空间V 中的向量,A 是t s ⨯矩阵,B 是r t ⨯矩阵.则有((s ααα,,,21 )A )B =(s ααα,,,21 )AB （3）性质(11) 设向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{t βββ,,,21 }线性表示,向量组{t βββ,,,21 }可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示,则向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示.性质(12) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,且可由向量组{s βββ,,,21 }线性表示.则s r ≤.必要时对向量组{s βββ,,,21 }中的元素重新排序,使得用r ααα,,,21 替换s βββ,,,21 后,所得向量组},,,,,{121s r r ββααα +与{s βββ,,,21 }等价. 性质(13) (1)若向量组{t βββ,,,21 }可由向量组{s ααα,,,21 } 线性表示,并且s t >,则向量组{t βββ,,,21 }线性相关;(2) 设向量组{t βββ,,,21 }线性无关,t s <,则向量组{t βββ,,,21 }不能由含s 个向量的向量组线性表示.性质(14) 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(15) 任意1+n 个n 维向量必线性相关.性质(16) 若{s ααα,,,21 }和{t βββ,,,21 }是两个等价的线性无关的向量组,则t s =,且存在s 阶可逆矩阵A 使得(s ααα,,,21 )=(t βββ,,,21 )A （4）性质(17) 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的一个部分组,则{r i i i ααα,,,21 }是极大线性无关组的充要条件为1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关;2)每一个j α(s j ,,2,1 =)都可由r i i i ααα,,,21 线性表示.性质(18) 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(19) 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(20) 两个等价的向量组有相同的秩.性质(21)设向量组(s ααα,,,21 )线性无关,A 是一个t s ⨯矩阵,令(t βββ,,,21 )=(s ααα,,,21 )A ,则 A R t =),,,(21βββ .性质(22)如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .性质(23) 如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间d t ≤≤c 上线性无关,则它们的朗斯基行列式0)(≠t W .第三章 向量组线性相关性的证明方法3.1定义法这是判定向量组线性相关的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组.其定义是,设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,m 21k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k ,那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关,否则称它是线性无关的. 例1设有两个n 维向量组,,,s 12 ααα、,,,s 12 βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= 0ααββ；则 ．证明111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= ααββ0，111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++= αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++ αβαβαβαβ线性相关．例2 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组x A k 0=有解向量α,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明 设有实数,,,21k λλλ 使得0121=+++-αλαλαλk k A A (9) 则有)(1211=+++--αλαλαλk k k A A A . （10）从而011=-αλk A 由于01≠-αk A ,所以,01=λ.把01=λ代入(*)式再左乘2-k A 可得012=-αλk A ,由01≠-αk A ,得02=λ.类似可证得043====k λλλ故向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.我们还可以利用向量组内向量之间的线性关系判定.即向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可由其余线性表示.比如例1,取1k =3k =1,2k =4k =-1,则1β=2β-3β+4β,即1β可由2β,3β,4β三个向量线性表示,所以向量组1β,2β,3β,4β线性相关.3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用结论[1]进行判定.结论[1] 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a （11） 有(无)非零解.例3[7] 证明向量组1α=(2,1,0,5),2α=(7,-5,4,-1),3α=(3,-7,4,-11)线性相关.证明 以1α,2α,3α为系数向量的齐次线性方程组是1x 1α+2x 2α+3x 3α=0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=++0115044075037232132321321x x x x x x x x x x x （12） 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110110751242404401717075111154403727511115440751372 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000110751 由行阶梯型矩阵可知,()R A =32<.即齐次线性方程组有非零解,所以向量组1α,2α,3α线性相关.3.3利用矩阵的秩进行判定结论[5] 设向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅)的秩的大小来进行判定.即(i) 当R(A )= m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.(ii) 当R(A )<m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.例4 设1α=T )1,1,1(,2(1,2,3)T α=,3(1,3,5)T α=问向量组1α,2α,3α是否线性相关.解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000210111420210111531321111A3)(<A R ,所以向量组1α,2α,3α线性相关.例5[4] 试讨论n 维单位向量组的相关性.解 因为),,,(21n e e e E =的行列式01≠=E , 即n E R =)(,所以,n 维单位向量组线性相关.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定.3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.结论 [3] 若向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅ 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅),即A 为m 阶方阵,则(i) 当A =0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.(ii) 当A ≠0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.例6设向量组4321,,,αααα线性无关,判断向量组12,αα+23,αα+34,αα+ 41αα-是线性相关还是线性无关.解 设存在4个数4321,,,k k k k ,使得)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ,（13）拆项重组为 0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ,（14）由4321,,,αααα线性无关知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=-000043322141k k k k k k k k (15)由于系数行列式021100011000111001≠=- （16）所以,齐次线性方程组(1)只有零解,即04321====k k k k .因此向量组14433221,,,αααααααα-+++线性无关.3.5反证法在有些题目中,直接证明结论常常比较难,但从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件相悖的结果,近而得出结论.例7[5] 设向量组12,,,m ααα 中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合,且i α≠0,证明向量组12,,,m ααα 线性无关.证明 (反证法)假设向量组12,,,m ααα 线性相关,则存在不全为零的数21,k k m k ,使得11k α+22m m k k αα++ =0 (17)由此可知,0=m k ,否则由上式可得112211------=m m m m m m k k k k k k αααα ,（18） 即m α可由它前面1m -个向量线性表示,这与提设矛盾,因此0=m k , 于是(17)式转化为1k 1α+22k α+ +11m m k α--=0.类似于上面的证明,同样可得01221=====--k k k k m m ,这与m k k k ,,,21 不全为零的假设矛盾,因此,向量组12,,,m ααα 线性无关.3.6 数学归纳法有些题中,我们还可以利用数学归纳法,如下例. 例8[9] 设线性无关的向量组r γγγ ,,21①可由向量组t βββ,,,21 ②线性表示,且t r ≤,则可从{t βββ,,,21 }中选出)(m t -个向量组)(21,,,m t j j j -βββ , 使得向量组m γγγ ,,21,)(21,,,m t j j j -βββ ③与向量组②等价.证明:用数学归纳法(1)当1=r 时,有t r ≤,由于∑==tj j j k 11βγ,且01≠γ,则t k k k ,,,21 不全为0,在②中,设01≠k t t k k k k k ββγβ12121111---= ,故t r ββ,,,11 与t βββ,,,21 等价 (2)设1-=s r 时结论成立,推证s r =时结论成立. 由于121,,-s γγγ ,t βββ,,,21 与向量组②等价,而s γ又可由向量组t βββ,,,21 线性表示故有tt s s s s s h h h h h βγγγγγ++++++=-- 112211 , （19）而题设s γγγ,,,21 线性无关,必有t s s h h h ,,,1 +不全为0,设0≠s h ,则 t s t s s s s s s s s s s h h h h h h h h h ββγγγβ-+-+--=++-- 1111111 （20） 因此,s γγγ,,,21 ,t β与121,,,-s γγγ ,t s ββ,, 等价,由上分析可知,当t s ≤,s r =时结论成立.由数学归纳法知命题成立.3.7利用线性微分方程组的相关理论判定结论[8] 一组1-n 次可微的纯量函数)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关的充要条件是向量函数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---)()()(,,)()()(,)()()()1()1(222)1(111t x t x t x t x t x t x t x t x t x n mmm n n (21) 线性相关.证明：事实上,如果)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关,则存在不全为零的常数m c c c ,,,21 使得0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m .将上式对t 微分一次,二次,…,1-n 次,得到,0)()()(,0)()()(,0)()()()1()1(22)1(1122112211=+++=''+''+''='+'+'---t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c n m m n n m m m m（22）即有,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n (23)这就是说,向量函数组(22)式是线性相关的.反之,如果向量函数(22)线性相关,则存在不全为零的常数使m c c c ,,,21 得(23)成立,当然有0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m ,这就表明)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关.例9若函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .证明 据结论[8] 和纯量函数朗斯基行列式的概念知，存在一组不全为零的常数m c c c ,,,21 ，使得,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n （24） 上式可以看成是关于m c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是)](,),(),([21t x t x t x W m ，于是由线性代数理论知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零，即0)(=t W .结束语以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,只要我们熟练掌握并能灵活的运用,将会在研究线性方程组解之间的关系,或者说研究线性方程组解的结构问题时带来很大的方便.参考文献[1]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]北京大学数学力学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,2003.[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出社,2005.[4]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[5]王萼方.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,2002.[6]邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008.[7]西北工业大学高等代数编写组.高等代数[M].北京:科学出版社,2008.[8]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002,(2):61-62.致谢在本次论文设计过程中,白永强老师对该论文从选题、构思到最后定稿的各个环节都给予细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计.在学习中,老师渊博的专业知识、深厚的学术素养、严谨的治学态度、精益求精的工作作风、诲人不倦的高尚师德对我影响深远,也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,使我终身受益.在此,谨向陈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助.在此,向他们表示我深深的谢意！最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！。
高等代数
例1.11 证明：数域p 上一个n (0>)次多项式)(x f 能被它的导数)(''x f 整除的充分必要条件是,)()(n b x a x f -=其中p b a ∈、.证 充分性 因为,)()(,)()(1'--=-=n n b x na x f b x a x f 所).()(x f x f '必要性 法1 利用标准分解式，设)(x f 的标准分解式为 )()()()(2121x p x p x ap x f s rs rr=其中),,2,1)((s i x p i =是p 上首项系数为1的不可约多项式，a 是)(x f 的首项系数，),,2,1(s i r i =是正整数且.21n r r r s =+++ 则)()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---=' 此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.因为),()(x f x f '所以),()()()(21x p x p x p x g s 可见)(x g 可能的因式为非零常数及),,,2,1)((s i x p i =但)(x p i 不整除)(x g ),,2,1(s i =故.0)(≠=c x g设),,,2,1())((s i m x p i i ==∂则有n x f r m r m r m s s =∂=++))((22111))(()1()1()1('2211-=∂=-+-+-n x f r m r m r m s s即得,1)(21-=+++-n m m m n s 从而.121=+++s m m m 这只是,1,11==s m 且,1n r =于是).()(1x ap x f n =设,)(1b x x p -=则有n b x a x f )()(-=法2 待定系数法.设 0111)(a x a x a x a x f n n nn +++=-- )0,(≠∈n i a p a则1211)1()(a x a n xna x f n n n n ++-+='---由)()(x f x f '及1))(())((+'∂=∂x f x f 知，存在多项式d cx +使 ))(()(d cx x f x f +'=因而,1nc =此时 ))((1))((1)1)(()(b x x f nnd x x f n d n x f x f -'=+'=+'= 其中d n b 1-=。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构的数学基础课程。
第四版的高等代数习题答案涵盖了从基础的向量空间和矩阵运算，到复杂的群论和环论概念。
以下是一些习题答案的示例：1. 向量空间的基和维数：- 向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能通过线性组合生成整个空间。
- 维数是基中向量的数量。
2. 矩阵的秩：- 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数量。
3. 行列式的计算：- 行列式是一个数值，可以通过特定方法从方阵中计算得出，它与矩阵的某些性质密切相关。
4. 特征值和特征向量：- 特征值是与线性变换相关的标量，特征向量是对应于该特征值的非零向量。
5. 线性变换：- 线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量加法和标量乘法。
6. 多项式的根：- 多项式的根是多项式等于零时的解。
7. 群的定义和性质：- 群是一个集合，配备了一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元。
8. 环和域：- 环是一个集合，配备了两个二元运算，加法和乘法，满足加法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。
- 域是一个特殊的环，其中每个非零元素都有逆元。
9. 线性方程组的解法：- 高斯消元法是一种常见的解线性方程组的方法，通过行操作将矩阵转换为行简化阶梯形或对角形。
10. 内积空间和正交性：- 内积空间是一个向量空间，配备了一个满足正交性的二元运算，即内积。
请注意，以上内容仅为示例，具体的习题答案需要根据实际的习题来提供。
如果需要具体的解答过程或详细的步骤，请提供具体的习题内容。
高等代数§6.7子空间的直和
由 V1 , 必有 P , 使A .
n
由 V2 , 有A 0.
从而
A A A( A ) A 0.
2
V1 V2 0
所以 P n V1 V2 .
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间： x1 x2 xn 0 ① ②
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式
n
V1 V2
又 dimV dimV ( n 1) 1 n dim P n 1 2
P n V1 V2
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
Vi V j 0 ,
j 1 i 1
i 1,2,, s
证: " " 若V1 V2 Vs 是直和,
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
高等代数的主要内容
高等代数的主要内容:初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段,就叫做高等代数。
高等代数就是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量与向量空间等。
这些量具有与数相类似的运算的特点,不过研究的方法与运算的方法都更加繁复。
集合就是具有某种属性的事物的全体;向量就是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,就是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只就是数,而就是向量了,其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次与一元二次方程的求解方法。
关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪,宋代数学家秦九韶再她所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就就是说,秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上,相传这个公式就是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里。
所以现在人们还就是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔塔里亚公式。
高等代数课件-§3 向量的内积
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a