高等代数知识结构

高等代数知识结构二、高等代数知识结构内容(一)线性代数工具:线性方程组11列时,a性质1性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。

性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。

(两行相同就就是说两行对应元素都相同)性质5、如果行列式中两行成比例。

那么行列式为零。

性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。

性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。

2、矩阵:a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。

b、矩阵得运算定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵.矩阵相等:设,, 若 , 称、线性运算:,加法:数乘: 负矩阵:减法:矩阵得乘法定义:设 , 其中元素得列数 = 得行数。

得行数 = 得行数;得列数 = 得列数.与得先后次序不能改变.(5)矩阵得初等变换矩阵得等价变换形式主要有如下几种:1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换;2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元;3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。

3、线性方程组一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L ()i()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,(1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L ,12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 则()i 可用矩阵乘法表示为A XB =,,,.m n n mA C X CBC ⨯∈∈∈a 、线性方程组得解法 1)消元法在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L()i i得系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 得行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠LL MM M ML,那么线性方程组()i i 有唯一解:d e t (1,2,,),d e t jjB x j n A==L 其中d e t j B 就是把矩阵中第j 列换成线性方程组得常数项12,,,n b b b L 所成得矩阵得行列式,即111,111,11222,122,121,1,1d e t ,1,2,,.j j nj j njn n j n n j n na ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==L L L L L M M M M M M M L L 此外,还可以叙述为,如果含有n 个未知数、n 个方程得线性方程组Ax b =得系数矩阵得行列式d e t 0A ≠,则线性方程组Ax b =一定有解,且解就是唯一得、 广义逆矩阵A -法设m nA C⨯∈、如果存在n m G C ⨯∈,使得A G A A =,则称G 为矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵,记作A -、矩阵A 得{1}-逆总就是存在得,但一般不就是惟一得[12],矩阵A 得{1}-逆得全体记为{1}A 、若m n A C ⨯∈,A -n m C ⨯∈为A 得一个{1}-广义逆矩阵,则对,n mV W C⨯∈为任意得n m ⨯矩阵,矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵为G A V A A V A A ---=+-,同时还可以表示为()()m n G A V E A AE AA W ---=+-+-、广义逆矩阵A -得计算:(1)设(0)mn rA C r ⨯∈>,且有m m m P C ⨯∈与n 阶置换矩阵Q 使得 (),(),r r nr E K P A Q KC OO ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则对任意得()()nr m r L C-⨯-∈,n m ⨯矩阵 rE O G Q P O L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦就是A 得一个{1}-广义逆矩阵、若存在n nn T C ⨯∈使得,r E O P A T O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则矩阵得{1}-逆得全体12()()()()1221222122{1},,.r r m r n r r n rm r E L A T P L C L C L C L L ⨯--⨯-⨯-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2)设m nA C ⨯∈,则A 有惟一{1}逆得充分必要条件就是m n =,且()r A n =,即A 可逆、这个惟一得{1}逆就就是1A -、4、向量相关性a 、判断向量组线性相关得方法 1)线性相关2)得对应分量成比例线性相关 3)含有零向量得向量组就是线性相关得4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余得向量线性表出 5)部分相关则整体相关6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关; 7)n+1个n 维向量必线性相关(个数大于维数)8)该向量组得秩小于它所含向量得个数向量组线性相关 9)n 个n 维得向量构成得行列式=0 该向量组就是线性相关得 10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关b、判断向量组线性无关得方法1)线性无关2)得对应分量不成比例线性无关3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余得向量线性表出4)整体无关则部分无关5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关6)该向量组得秩等于它所含向量得个数向量组线性无关7)n个n维得向量构成得行列式0 该向量组就是线性无关得(二)中心课题:线性规范型1、二次型线性流型:二次型及其矩阵表示二次型得定义:以数域P中得数为系数,关于x1,x2,…,x n得二次齐次多项式f(x,x2,…,x n)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1n x1x n1+a22x22+ … +a2n x2x n+ (3)+a nn x n2称为数域P上得一个n元二次型,简称二次型。

矩阵得合同关系:对于数域P上得两个n阶矩阵A与B,如果存在可逆矩阵C,使得B=CTAC则称A与B就是合同得,记为A~B。

合同关系性质:1) 反身性:A~A;2) 对称性:A~B,则B~A;3) 传递性:A~B,且B~C,则A~C。

二次型得标准形1) 实数域R(或复数域C)上得任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中得非退化线性变换化成平方与形式:d1y12+d2y22+…+dnyn2其中非零系数得个数唯一确定,等于该二次型得秩。

上述形式得二次型称为二次型得标准形。

2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。

3)复二次型得规范形:任何复系数二次型都可经过复数域C中得非退化线性变换化成如下最简形式平方与:y12+y22+…+yr2,其中r唯一确定,等于该二次型得秩。

上述形式得复二次型称为复二次型得规范形。

2、线性函数(三)研究范围:线性空间1、线性空间简单得说,线性空间就是这样一种集合,其中任意两元素相加可构成此集合内得另一元素,任意元素与任意数(可以就是实数也可以就是复数,也可以就是任意给定域中得元素)相乘后得到此集合内得另一元素。

1)V 对加法成Abel 群,即满足: (1)(交换律)x+y=y+x; (2)(结合律)(x+y)+z=x+(y+z) (3)(零元素)在V 中有一元素0,对于V 中任一元素x 都有x+0=x; (4)(负元素)对于V 中每一个元素x,都有V 中得元素y,使得x+y=0; 2)数量乘法满足: (5)1x=x;(6)k(lx)=(kl)x;3)数量乘法与加法满足: (7)(k+l)x=kx+lx; (8)k(x+y)=kx+ky.其中x,y,z 为V 中任意元素,k,l 为数域F 中得任意元素,1就是F 得乘法单位元。

数域F 称为线性空间V 得系数域或基域,F 中元素称为纯量或数量(scalar),V 中元素称为向量(vector)。

当系数域F 为实数域时,V 称为实线性空间。

当F 为复数域时,V 称为复线性空间。

（1）V 中零元素(或称0向量)就是唯一得。

（2）(2)V 中任一向量x 得负元素(或称负向量)就是唯一得。

（3）(3)kx=0(其中k 就是域F 中元素,x 就是V 中元素)当且仅当k=0或x=0。

(4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。

2、欧氏空间 定义设V 就是实数域R 上得线性空间(或称为向量空间),若V 上定义着正定对称双线性型g(g 称为内积),则V 称为(对于g 得)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V 就是有限维时,才称为欧几里德空间)。

具体来说,g 就是V 上得二元实值函数,满足如下关系:(1)g(x,y)=g(y,x);(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z); (3)g(kx,y)=kg(x,y);(4)g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z 就是V 中任意向量,k 就是任意实数。

二、多项式理论1、整除理论整除: 若多项式a:“f(x)” 除以多项式b:“g(x)”,商为一个多项式,且余数1.公因式: 满足:2.最大公因式:为零多项式。

我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a,读作“b整除a”或“a能被b整除”.1)最大公因式多项式得最大公因式得定义定义(公因式与最大公因式)定义1 若既就是得因式,又就是得因式,则称就是与得公因式。

因所以任意两个多项式都有公因式。

2)互素如果,那么就说,即两个多项式只有零次公因式时,称为互素。