浙江016年中考数学总复习全程考点训练7一元二次方程(含解析)
中考数学复习《一元二次方程》专项综合练习附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kk k-+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6a a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2== = ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学专题训练第7讲一元二次方程(原卷版)
一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是例题分析易错点梳理5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2+=可转化为两个一元一次方x616+=，则另一个一元一次方程是（）程，其中一个一元一次方程是x64A．x64+=-+=D．x64 -=-B．x64-=C．x64例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820--=，配方后可形为（）x xA．()2418x-=x-=B．()2414C．()2864x-=x-=D．()241考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220+--=的根的情x mx m况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m，n是一元二次方程220210+-=的两个x x实数根，则代数式22++的值等于（）m m nA．2019 B．2020 C．2021 D．2022考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．±3C ．3D ．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（ ）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 微练习6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（ ）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（ ）A ．2181x x ++=B ．()2181x += C ．()21181x x +++= D ．()()211181x x ++++= 11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（ ）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定 二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________． 16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。
中考数学综合题专题复习【一元二次方程】专题解析及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 4．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.8．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
一元二次方程、分式方程的解法及应用(基础巩固)-中考数学基础知识复习和专题巩固提升训练含答案
考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—基础巩固【知识梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．方法指导：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．方法指导： △≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．方法指导：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.方法指导：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方法指导：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【基础巩固训练】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x--=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b+ 二、填空题7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9． 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？答案与解析一、选择题1.【答案】B；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ．4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x .6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（）S av -千米。
浙江省2021年中考数学复习测试第7课 一元二次方程及其应用
第7课一元二次方程及其应用考点一一元二次方程的一般式1．含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：________________．3．使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解(或根)．4．在一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0中要注意强调________这一限制条件．考点二一元二次方程的四种解法5．因式分解法：利用因式分解解一个一元二次方程的方法叫做因式分解法．基本步骤：(1)若方程右边不是零，则先移项；(2)将方程左边因式分解；(3)由AB ＝0，则________或________，将一元二次方程转化为一元一次方程．6．用因式分解法解方程时，将方程的一边因式分解而另一边必须化为________．7．开平方法：一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1＝________，x2＝________．这种解一元二次方程的方法叫做开平方法．8．配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个________数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．9．公式法：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为x＝________________．考点三一元二次方程根的情况10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况可由根的判别式b2－4ac的值来决定，它的值与一元二次方程的根的关系是：b2－4ac>0⇔方程有________的实数根；b2－4ac＝0⇔方程有________的实数根；b2－4ac<0⇔方程________实数根．考点四一元二次方程的应用11．列一元二次方程解应用题时，要注意检验是否符合实际情况．1．方程(x＋1)2＝4的解是(C)A．x1＝2，x2＝－2B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝－22．方程x2＝4x的解是(C)A．x＝4 B．x＝0C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝2，x2＝03．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k 的值为__－3__．【解析】把x＝2代入方程，得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，解得k1＝0，k2＝－3.因为k≠0，所以k＝－3.4．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是(D)A．m<1 B．m≥1C．m≤1 D．m>15．某企业2020年初获利润300万元，到2022年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是(B)A．300(1＋x)＝507B．300(1＋x)2＝507C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507◆达标一一元二次方程及其解的概念例1一元二次方程(k－1)x2－2kx＋k＋1＝0中，k的取值范围是( A )A．k≠1 B．k≠0C．k≠－1 D．－1<k<1变式1已知一元二次方程(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0有实数根，则k的取值范围是( C )A．k<2 B．k≤2C．k≤2且k≠1 D．k≥2例2已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为x＝0，则m ＝__2__．变式2(2020枣庄)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝__－1__．变式3(2019兰州)x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b的值等于( A )A．－2 B．－3C．－1 D．－6◆达标二一元二次方程的解法例3解下列方程：(1)(2019安徽)(x－1)2＝4；(2)3x2－5x＋5＝7；(3)(2018兰州)3x2－2x－2＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－1；(2)x1＝2，x2＝－1 3；(3)x1＝1＋73，x2＝1－73.变式4解下列方程：(1)(2x－5)2＝9；(2)2y2＋4y＝y＋2；(3)(2018绍兴)x2－2x－1＝0. 解：(1)x1＝4，x2＝1；(2)y1＝－2，y2＝1 2；(3)x1＝1＋2，x2＝1－ 2.◆达标三一元二次方程根的判别式例4(2018玉林)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)给k取一个负整数值，解这个方程．解：(1)根据题意得，Δ＝(－2)2－4(－k－2)>0，解得，k>－3；(2)取k＝－2，则方程变形为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.变式5(2018娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( A )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【解析】Δ＝(k＋3)2－4×k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0.变式6(2018安徽)若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( A )A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1【解析】原方程可变形为x2＋(a＋1)x＝0，由题意可得，Δ＝(a＋1)2－4×1×0＝0，解得a＝－1.◆达标四一元二次方程的应用例5(2020上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．解：(1)总营业额为450＋450×12%＝504(万元)；(2)设月增长率为x，由题意可得，350(1＋x)2＝504，解得x1＝15，x2＝－115.因为x>0，所以x＝15，即月增长率为20%.变式7(2018宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元．据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( C ) A ．2% B ．4.4% C ．20%D ．44%【解析】 设年平均增长率为x ，由题意得，2(1＋x )2＝2.88，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． ◆达标五 一元二次方程创新题例6 已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x 2＋2(m －2)x ＋1＝0有实数根． (1)求m 的最大整数值；(2)当m 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求3x 2＋36x －5x 2＋4x ＋2的值．解：(1)由题意得，m 2－1≠0，且Δ＝[2(m －2)]2－4(m 2－1)≥0，解得m ≤54且m ≠±1，所以m 的最大整数值为0；(2)①当m ＝0时，原方程为x 2＋4x －1＝0，解得x 1＝－2－5，x 2＝－2＋5；②x 2＋4x －1＝0可等价变形为x 2＋4x ＝1，3x 2＋36x －5x 2＋4x ＋2＝3x 2＋36x －53＝3x 2＋12x －53＝3(x 2＋4x )－53＝43.变式8 已知关于x 的一元二次方程(m 2－m )x 2－2mx ＋1＝0有两个不相等的实数根．(1)若m 为整数且m <3，求m 的值；(2)若a 是(1)中方程的一个根，求代数式2a 2－3a －2a 2＋14＋2的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧m 2－m ≠04m 2－4（m 2－m ）>0，解得m >0且m ≠1，因为m 为整数且m <3，所以m ＝2；(2)由(1)可得m ＝2，则2a 2－4a ＋1＝0，即2a 2＝4a －1，2a 2－3a －2a 2＋14＋2＝4a－1－3a－4a－1＋14＋2＝1.1．(2018临沂)一元二次方程y2－y－34＝0配方后可化为(B)A．(y＋12)2＝1 B．(y－12)2＝1C．(y＋12)2＝34D．(y－12)2＝342．(2018安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A．12 B．9 C．13 D．12或9 3．(2018泰安)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(D)A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于34．(2018广西)某种植基地2018年蔬菜产量为80吨，预计2020年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为(A)A．80(1＋x)2＝100 B．100(1－x)2＝80C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝1005．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2(a＋2b)x＋4b＋2＝0，问这个方程是否会有两个相等的实数根？如果有，求出这个根；如果没有，说明理由．解：Δ＝4(a＋2b)2－4(a－1)(4b＋2)＝4a2＋16ab＋16b2－16ab－8a＋16b＋8＝4(a－1)2＋4(2b＋1)2.当a＝1，b＝－12时，Δ＝0，而此时二次项系数为0，故原方程不会有两个相等的实数根．1．方程x(x－1)＝2(x－1)的根是(C)A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝12．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n的值是(D) A．1 B．2 C．－1 D．－23．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是0，则a的值是(C)A．0 B．2C．－2 D．2或－24．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为__2018__．5．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则a2＋2ab＋b2的值为__1__．6．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是(D)A．m≥1 B．m≤1C．m>1 D．m<17．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(A)A. B.C. D.8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，那么参加酒会的人数为(C)A．9人B．10人C．11人D．12人【解析】设参加酒会有n人，则n（n－1）2＝55，解得，n1＝－10(不合题意，舍去)，n2＝11.9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛(C)A ．4B ．5C ．6D ．710．我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 ( C ) A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%11．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元，则有 ( B ) A ．(180＋x －20)⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 10＝10890B ．(x －20)⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x －18010＝10890 C ．x ⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x －18010－50×20＝10890 D ．(x ＋180)⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 10－50×20＝1089012．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a 2－ab ，例如，5※3＝52－5×3＝10.若(x ＋1)※(x －2)＝6，则x 的值为__1__．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为 ( B ) A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】 原方程有实数根，则Δ＝b 2－4ac ＝22－4(m －2)＝12－4m ≥0，解得m ≤3，由m 为正整数，且该方程的根都是整数，可得，m ＝2或3，2＋3＝5，故选B. 14．解方程 (1)(x －3)2－9＝0； 解：x 1＝0，x 2＝6； (2)(2x ＋3)2－25＝0； 解：x 1＝－4，x 2＝1；(3)3(5－x )2＝2(x －5)； 解：x 1＝5，x 2＝173； (4)x 2－2x －1＝0；解：x 1＝1－2，x 2＝1＋2； (5)x 2－4x ＋2＝0.解：x 1＝2－2，x 2＝2＋ 2.15．小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝－1.他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，则原方程的根的情况是( A ) A ．不存在实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个根是x ＝－1 D ．有两个相等的实数根【解析】 将x ＝－1代入方程x 2＋4x ＋c ＝0得，(－1)2－4＋c ＝0，解得c ＝3，故原方程中c ＝5，则b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0，即原方程不存在实数根．故选A.16．已知3x －y ＝3a 2－6a ＋9，x ＋y ＝a 2＋6a －9，若x ≤y ，求实数a 的值． 解：根据题意⎩⎨⎧3x －y ＝3a 2－6a ＋9x ＋y ＝a 2＋6a －9， 解得⎩⎨⎧x ＝a 2y ＝6a －9，代入x ≤y ，整理得(a －3)2≤0，解得a ＝3.17．如图Z7－1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，F 在AD 上，G 在AC 上，FG ∥BC ，过点B 作AB 的垂线交AD 的延长线于点E ，已知GC ＝FG ＝2，EF ＝BE ＝3，求AB 的长．(图Z7－1) 解：设AB＝x，则x2＋9－（x－2）2－4＝3，化简得5x2＝36x，解得x＝365，即AB＝365.。
中考数学一轮复习第7讲 一元二次方程(讲练案)(解析版)
第二单元 方程与不等式 第7讲 一元二次方程1．（2019•山西）用配方法解方程2410x x --=时，配方后得到的方程为( ) A ．2(2)3x +=B ．( 22)5x +=C ．2(2)3x -=D ．( 22)5x -=【答案】D【解析】2410x x --=，241x x -=， 24414x x -+=+，2(2)5x -=，故选：D ．2．（2018•宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是( ) A ．300(1)507x += B ．2300(1)507x +=C ．2300(1)300(1)507x x +++=D ．2300300(1)300(1)507x x ++++= 【答案】B【解析】设这两年的年利润平均增长率为x ， 根据题意得：2300(1)507x +=． 故选：B ．3．（2019•宜宾）一元二次方程220x x b -+=的两根分别为1x 和2x ，则12x x +为( ) A ．2- B ．bC ．2D ．b -【答案】C【解析】根据题意得：12221x x -+=-=， 故选：C ．4．（2018•贵港）已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则αβαβ+-的值是( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-【答案】B【解析】αQ ，β是方程220x x +-=的两个实数根， 1αβ∴+=-，2αβ=-， 121αβαβ∴+-=-+=，故选：B ．5．（2019•宿迁三模）已知一元二次方程22360x x --=有两个实数根a ，b ，直线经过点(,0)A a b +和点(0,)B ab ，则直线l 的函数表达式为( )A ．23y x =-B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =--【答案】A【解析】a Q ，b 是一元二次方程22360x x --=的两个实数根，32a b ∴+=，3ab =-， ∴点A 的坐标为3(2，0)，点B 的坐标为(0,3)-．设直线l 的函数表达式为(0)y mx n m =+≠，将3(2A ，0)，(0,3)B -代入y mx n =+，得：3023m n n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩，∴直线l 的函数表达式为23y x =-．故选：A ．6．（2019•兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A ．20% B ．11%C ．22%D ．44%【答案】A【解析】设这两年平均每年的绿地增长率为x ，根据题意得，2(1)144%x +=+，解得1 2.2x =-（舍去），20.2x =．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选：A ．7．（2019•镇江）若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1【解析】根据题意得△2(2)40m =--=， 解得1m =． 故答案为1．8．（2019•本溪）如果关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】4k „．【解析】根据题意得：△1640k =-…， 解得：4k „． 故答案为：4k „．9．（2019•徐州）方程240x -=的解是 ． 【答案】2±． 【解析】240x -=， 移项得：24x =，两边直接开平方得：2x =±， 故答案为：2±．10．（2019•济宁）已知1x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】2-．【解析】1x =Q 是方程220x bx +-=的一个根，122cx x a∴==-， 212x ∴⨯=-，则方程的另一个根是：2-， 故答案为2-．11．（2018•无锡）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x ，由题意可列得方程： ． 【答案】50(1)(12)36x x --=．【解析】设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ， 依题意，得：50(1)(12)36x x --=．故答案为：50(1)(12)36x x --=．12．（2018•南通）若关于x 的一元二次方程2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2(2)2(1)m m m ---的值为 ．【答案】72【解析】由题意可知：△2242(14)4820m m m m =--=+-=，2122m m ∴+=2(2)2(1)m m m ∴---224m m =--+ 142=-+72= 故答案为：7213．（2019•常德）解方程：2320x x --=．【答案】1x =2x =． 【解析】1a =Q ，3b =-，2c =-；224(3)41(2)9817b ac ∴-=--⨯⨯-=+=；x ∴==，1x ∴，2x =． 14．（2018•玉林）已知关于x 的一元二次方程：2220x x k ---=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）给k 取一个负整数值，解这个方程． 【答案】10x =，22x =．【解析】（1）根据题意得△2(2)4(2)0k =---->，解得3k >-；（2）取2k =-，则方程变形为220x x -=，解得10x =，22x =．15．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm ，宽20cm ．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ？【答案】当剪去正方形的边长为52cm 时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ．【解析】设剪去正方形的边长为xcm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)x cm -，宽为(202)x cm -，高为xcm ，依题意，得：2[(302)(202)]200x x x ⨯-+-=， 整理，得：2225500x x -+=， 解得：152x =，210x =． 当10x =时，2020x -=，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为52cm 时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm ．16．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m ，宽40m ，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】扩充后广场的长为90m ，宽为60m ． 【解析】设扩充后广场的长为3xm ，宽为2xm ， 依题意得：3210030(325040)642000x x x x +-⨯=g g g 解得130x =，230x =-（舍去）．所以390x=，260x=，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．17．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为202326+⨯=件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40)(202)1200x x-+=，整理，得2302000x x-+=，解得：110x=，220x=．Q要求每件盈利不少于25元，220x∴=应舍去，解得：10x=．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．18．（2017•眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【答案】该烘焙店生产的是第五档次的产品．【解析】（1）(1410)213-÷+=（档次）．答：此批次蛋糕属第三档次产品．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：(28)(7644)1080x x+⨯+-=，整理得：216550x x -+=，解得：15x =，211x =（不合题意，舍去）． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、一元二次的有关概念1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2． 一般形式： 20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0．因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 二、一元二次方程的解法1．直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b ＜0时，方程没有实数根．2．配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3．公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4．因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解； （2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解． 三、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）： （1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）24b ac -＝0⇔方程有两个的实数根； （3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根． 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a=． 注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a ≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根． 四、一元二次方程的应用1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容： （1）增长率等量关系： A ．增长率＝增长量基数×100%；B ．设a 为原来量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则(1)na xb +=；当x 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有(1)n a x b -=．（2）利润等量关系：A．利润＝售价-成本；B．利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3．解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．问题：找对等量关系最后一定要检验．考点一、一元二次方程的有关概念例1．（2019•潮南区一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．【解析】根据题意知，解得m＝﹣2，故选：D．点睛：此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式训练】1．（2019•封开县一模）方程2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解析】2x2﹣3x﹣5＝0的二次项系数和一次项系数分别为2、﹣3、﹣5，故选：C．2．（2019•津南区校级模拟）把方程（x）（x）+（2x﹣1）2＝0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣5＝0 C．5x2﹣2x+1＝0 D．5x2﹣4x+6＝0【分析】先把（x）（x）转化为x22＝x2﹣5；然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．【解析】（x）（x）+（2x﹣1）2＝0即x22+4x2﹣4x+1＝0移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4＝0故选：A．3．（2019•硚口区模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m﹣1≠0，即可求得m的值．【解析】根据一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，即m≠1，故选：B．考点二、一元二次方程的解例2．（2019•青白江区模拟）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m﹣2019的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解析】把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得2m2+3m﹣1＝0，则2m2+3m＝1．所以4m2+6m﹣2019＝2（2m2+3m）﹣2019＝2﹣2019＝﹣2017．故答案为：﹣2017．点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【变式训练】1．（2019•洪泽区二模）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2﹣m﹣n的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解析】∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1，∴2﹣m﹣n＝2﹣（m+n）＝2+1＝3．故答案是：3．2．（2019•兰州模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝1，则2019﹣a﹣b的值是．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a+b＝﹣3，再把2019﹣a﹣b变形为2019﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解析】x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得a+b+3＝0，∴a+b＝﹣3，∴2019﹣a﹣b＝2019﹣（a+b）＝2019﹣（﹣3）＝2022．故答案为2022．3．（2019•宜春二模）如果α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则α2+4α+β+2019的值是．【分析】因为α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，所以a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题．【解析】∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，∴a2+3a﹣2＝0即a2+3a＝2，a+β＝﹣3∵α2+4α+β+2019＝（α2+3α）+（α+β）+2019＝2+（﹣3）+2019∴α2+4α+β+2019＝2018故答案为：2018考点三、配方法例3（2019•荆州一模）用配方法解方程x2+x0时，可配方为，其中k＝．【分析】把方程x2+x0左边配成完全平方，与比较即可．【解析】∵x2+x0∴（x2+2x﹣5）＝0，∴[（x+1）2﹣6]＝0，∵可配方为，∴k＝﹣6故答案为：﹣6．【变式训练】1．（2019•台安县一模）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（m﹣n）2018＝【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【解析】由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，∴（m﹣n）2018＝1，故答案为：1．2．（2019•乐陵市模拟）把方程x2﹣3＝2x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣，n＝．【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝3，再配方得（x﹣1）2＝4，故可以得出结果．【解析】∵x2﹣3＝2x，∴x2﹣2x＝3，则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，∴m＝﹣1、n＝4，故答案为：﹣1、4．3．（2018•怀柔区二模）把方程x2﹣2x﹣4＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝﹣，n＝．【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x＝4，再配方得（x﹣1）2＝5，故可以得出结果．【解析】∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴m＝﹣1、n＝5，故答案为：﹣1、5．考点四、解一元二次方程例4．（2019•中山市三模）解方程：3x2+x﹣4＝0【分析】利用因式分解法解方程即可．【解析】（3x+4）（x﹣1）＝0，3x+4＝0或x﹣1＝0，所以x1，x2＝1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【变式训练】1．（2019•高淳区二模）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．【分析】先变形得到（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】（2x﹣1）2＝﹣3（2x﹣1），（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）[（2x﹣1）+3]＝0，2x﹣1＝0或2x+2＝0所以x1，x2＝﹣1．2．（2019•成武县一模）解方程：（3x﹣1）2＝4（x+3）2．【分析】先移项，再利用平方差公式分解、整理，进一步求解可得．【解析】∵（3x﹣1）2＝4（x+3）2，∴（3x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，则[3x﹣1+2（x+3）][3x﹣1﹣2（x+3）]＝0，整理，得：（5x+5）（x﹣7）＝0，则5x+5＝0或x﹣7＝0，解得：x＝﹣1或x＝7．3.（2019•天宁区校级模拟）解下列一元二次方程；（1）x2﹣4x﹣5＝0（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】（1）（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝5．考点五、一元二次方程的判别式及根与系数的关系例5．（2019•海淀区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个根都不为0，写出一个满足条件的m值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出m的范围；（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．【解析】（1）由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＝4m2﹣4（m2﹣2m+1）＝8m﹣4＞0，∴m；（2）令m＝2，∴方程为：x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴x＝2±；点睛：本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式训练】1．（2019•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．2．（2019•晋江市二模）已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m时，此时方程是一元一次方程，其根为x，符合题意；②当2m﹣1≠0即m时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m，②2m﹣1＝0时，m（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．3．（2019•十堰模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0有实数根，（1）求m的取值范围．（2）若此方程的两实数根为x1，x2满足且4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据方程的系数结合4，可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0有实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]﹣4×1×（m2+m）≥0，解得：m≥﹣1．（2）∵x1，x2是方程x2﹣2（m+1）x+m2+m＝0的解，∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+m，∴4，解得：m，经检验，m是原方程的解，且符合题意，∴当4时，m．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据方程的系数结合4，找出关于m的方程．考点六、一元二次方程的应用例6．（2019•杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件（x＞10）（1）若x＝15，则售价应是元/件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；【分析】（1）由一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），据此将x＝15代入计算可得；（2）根据总利润＝单件利润×销售量求解可得．【解析】（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），故答案为：70；（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，整理，得﹣2x2+80x＝728．解得x1＝26，x2＝14．因为100﹣2x≥50，所以10＜x≤25．所以x＝14符合题意．答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．【变式训练】1．（2019•红河州二模）今年是“五四”运动100周年，为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，引领广大团员青年坚定理想信念，争当全市创新启动发展的主力军，展现团员青年的风采，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，学校团委准备组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，学校团委体育部应该邀请多少个队参赛？【分析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设学校团委体育部应该邀请x个队参赛，根据题意得：9×4，整理得：x2﹣x﹣72＝0，即（x﹣9）（x+8）＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去），则学校团委体育部应该邀请9个队参赛．点睛：此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．2．（2019•临清市一模）某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解析】（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．3．（2019•渝中区校级模拟）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．【分析】（1）设每碗小面的售价为x元，根据该小面店每天至少卖出360碗，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润＝每碗利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其不超过20的值即可得出结论．【解析】（1）设每碗小面的售价为x元，依题意，得：300+30（25﹣x）≥360，解得：x≤23．答：每碗小面的售价不超过23元．（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理，得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵店家规定每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．4．（2019•邵阳县模拟）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．5．（2019•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×622，解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×622，解得，b1＝1，b2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2．。
届中考数学复习方案浙教版第单元时一元二次方程及其应用共21页文档
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第7课时 │考点聚焦
3．公式法：它是一种“万能”的公式，先把方程整理成一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当
b2－4ac≥0
－b± 时，x1,2＝
b2－4ac
2a
.在因式
分解不能奏效时，往往用公式法．
4．配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为
一个非负数，然后用直接开平方法求解．
2．一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫 做一元二次方程的解(或根)．
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第7课时 │考点聚焦
考点2 一元二次方程的四种解法
1．直接开平方法：一般地，形如 x＝a2(a≥0)的方程，根据平方根 的定义，可解得 x1＝ a，x2＝－ a，这种解一元二次方程的方法叫做 直接开平方法．
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式 Δ＝b2－ 4ac 的值，看它与 0 的大小关系．因此，在计算前应先将方程化为
一般式． (2)注意：二次项系数不为零的情形．
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第7课时 │ 浙考探究
► 类型之四 一元二次方程的应用
命题角度： 1．变化率问题 2．营销问题 3．面积问题
[2011·广安] 广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价 对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望， 房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平 方米 4860 元的均价开盘销售．
2021年浙江省中考数学一轮复习训练：第7课时一元二次方程及其应用
(七)一元二次方程及其应用夯实基础1.[2019·金华]用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是()A.(x-3)2=17B.(x-3)2=14C.(x-6)2=44D.(x-3)2=12.方程(x-2)2=3(x-2)的解是()A.x=5B.x=2C.x=5或x=2D.x=1或x=23.[2020·武威]已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根,则m的值为()A.-1或2B.-1C.2D.04.[2020·河南]国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加,2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为()A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75005.输入一组数据,按图K7-1的程序进行计算,输出结果如下表:输入x20.520.620.720.820.9输出-13.75-8.04-2.313.449.21图K7-1分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为()A.20.5<x<20.6B.20.6<x<20.7C.20.7<x<20.8D.20.8<x<20.96.[2020·南京]关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根,一个负根D.无实数根7.[2020·东营]如果关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有实数根,那么m的取值范围是.8.[2020·扬州]方程(x+1)2=9的根是.9.数学文化[2020·南通]《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽各是多少步?”若设矩形田地的宽为x步,则可列方程为.10.[2020·南通]x1,x2为方程x2-4x-2020=0的两根,则x12-2x1+2x2的值为.11.[2020·乐山]已知y≠0,且x2-3xy-4y2=0,则x的值是.y12.用指定方法解方程2x2-4x-1=0.(1)公式法:(2)配方法:13.[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图K7-2,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图K7-214.某特产专卖店销售某种特产,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低1元,平均每天的销售量可增加10千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元,且销量尽可能大,则每千克特产应定价为多少元?(1)解:方法1:设每千克特产应降价x元,由题意,列方程为;方法2:设每千克特产降价后定价为x元,由题意,列方程为.(2)请你选择一种方法,写出完整的解答过程.15.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.拓展提升16.[2020·铜仁]已知m,n,4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m,n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根,则k的值等于()A.7B.7或6C.6或-7D.6+c的值等于.17.已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1a18.[2020·荆州]阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.【问题】解方程:x2+2x+4√x2+2x-5=0.【提示】可以用“换元法”解方程.解:设√x2+2x=t(t≥0),则有x2+2x=t2,原方程可化为:t2+4t-5=0.【续解】(t+2)2=9.【参考答案】1.A2.C3.B[解析] 把x=1代入(m-2)x2+4x-m2=0,得m-2+4-m2=0,整理得m2-m-2=0,解得m1=2,m2=-1.∵(m-2)x2+4x-m2=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,∴m≠2,∴m=-1.故选B.4.C5.C6.C[解析] 化简方程,得x2+x-2-p2=0,根的判别式Δ=12-4×1×(-2-p2)=1+8+4p2=9+4p2>0,故该方程有两个不相等的实数根,又因为x1·x2=-2-p2<0,所以该方程有一个正根,一个负根.7.m≤98.x1=2,x2=-49.x(x+12)=86410.2028[解析] ∵x1为方程x2-4x-2020=0的根,∴x12-4x1-2020=0,∴x12-4x1=2020.∵x1,x2为方程x2-4x-2020=0的两根,∴x1+x2=4,∴x12-2x1+2x2=x12-4x1+2(x1+x2)=2020+2×4=2028.11.4或-1 [解析] ∵y ≠0,∴方程两边同除以y 2,得x y 2-3xy-4=0,因式分解,得x y-4x y+1=0,解得x y=4或xy=-1.12.解:(1)a =2,b =-4,c =-1, Δ=b 2-4ac =16+8=24,∴x =-b±√Δ2a=4±√244, ∴x 1=1+√62,x 2=1-√62. (2)2x 2-4x =1,x 2-2x =12, x 2-2x +1=12+1,(x -1)2=32,∴x 1=1+√62,x 2=1-√62.13.解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m, 依题意得3x ·2x ·100+30(3x ·2x -50×40)=642000, 解得x 1=30,x 2=-30(舍去). 所以3x =90,2x =60.答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m .14.解:(1)(60-x -40)(100+10x )=2240 (x -40)[100+10(60-x )]=2240 (2)方法1:设每千克特产应降价x 元. 根据题意,得(60-x -40)(100+10x )=2240, 解得x 1=4,x 2=6.要使销量尽可能大,只能取x =6,60-6=54(元). 答:每千克特产应定价为54元.方法2:设每千克特产降价后定价为x元,由题意,得(x-40)[100+10(60-x)]=2240.解得x1=54,x2=56.要使销量尽可能大,只能取x=54.答:每千克特产应定价为54元.15.解:(1)由一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得b2-4ac=9-4k≥0,∴k≤94.(2)k可取的最大整数为2,∴方程可化为x2-3x+2=0,该方程的根为1和2.∵方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,∴当x=1时,方程为(m-1)×12+1+m-3=0,解得m=32;当x=2时,方程为(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合题意,舍去).故m=32.16.B[解析] 有两种情况:①m,n中有一个的值为4,即4是方程的一个解,所以16-24+k+2=0,解得k=6;②m=n≠4,即方程有两个相等的实数根,所以36-4(k+2)=0,解得k=7.经检验,这两种情况均符合题意.因此本题选B.17.2[解析] ∵Δ=4-4a(2-c)=0,∴a(2-c)=1,即1a =2-c,∴1a+c=2-c+c=2.18.解:【续解】(t+2)2=9,∴t+2=±3,即t1=1,t2=-5.∵t=2+2x≥0,∴t=√x2+2x=1,则有x2+2x=1,配方,得(x+1)2=2,解得x1=-1+√2,x2=-1-√2.经检验:x1=-1+√2,x2=-1-√2是原方程的根.。
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x −==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x −−=−=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：abp x a b p x −−=−=21，。
2. 配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：2222222222442420a acb a b x ac a b a b x a b x a cx a b x acx a b x c bx ax −=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+=++=++∴a ac b a b x a ac b a b x 24224222−−=+−=+， aacb b x a ac b b x 24242221−−−=−+−=， 若042≥−ac b ，则即可求得两根。
3. 公式法解一元二次方程：（1）根的判别式：由配方法可知，ac b 42−即为一元二次方程根的判别式。
用∆表示。
①⇔−=∆042＞ac b 方程有两个不相等的实数根。
②⇔=−=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。
③⇔−=∆042＜ac b 方程没有实数根。
（2）求根公式：当042≥−=∆ac b 时，则一元二次方程可以用aacb b x 242−±−=来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
备战中考数学复习一元二次方程专项综合练含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，5．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．6．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，2x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.7．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．8．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-.【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0.解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.9．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.10．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．。
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全程考点训练7 一元二次方程
一、选择题
1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是(C)
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
【解析】 x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.
2．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D)
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
【解析】 由配方法得x2－4x＋4＝5＋4，(x－2)2＝9.
3．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为(A)
A．1 B．－1
C．0 D．一2
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b＝0.
∵－b≠0, ∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1＝0，∴a－b＝1.
4．关于x的方程(k－1)x2－1－kx＋14＝0有两个实数根，则k的取值范围是(D)
A．k≥1 B．k≤1
C．k＞1 D．k＜1
【解析】 ∵方程(k－1)x2－1－kx＋14＝0有两个实数根，∴k－1≠0且1－k≥0，(－1－k)
2
－4(k－1)×14≥0，∴k≠1且k≤1，∴k＜1.
5．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是方程x2－4x＋3＝0的解，则这个三角形的周
长为(C)
A．7 B．8
C．9 D．7或9
【解析】 解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3.
∵三角形的第三边a的范围是2
2
(第6题)
6．如图，小李要在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，
制成一幅挂图，使风景画的面积是整幅挂图面积的54%.若设金色纸边的宽度是x(cm)，根据题意所
列的方程是(B)
A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40
B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40
C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40
D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40
【解析】 镶边后的长为(90＋2x)cm，宽为(40＋2x)cm，故方程为(90＋2x)(40＋2x)×54%＝
90×40.
7．若用“i”表示虚数单位，且规定i2＝－1，并用a＋bi(a，b都是实数，且b≠0)表示一个
任意的虚数．我们把实数和虚数统称为复数，那么，在实数范围内无解的一元二次方程，在复数范
围内就有解了．例如，方程x2－2x＋2＝0在复数范围内用公式法(用i2替换－1)解得其解为x1＝1＋
i，x2＝1－i，那么方程2x2＋x＋1＝0在复数范围内的解为(B)
A．x1＝－1＋7i2，x2＝－1－7i2
B．x1＝－1＋7i4，x2＝－1－7i4
C．x1＝－1＋7i2，x2＝－1－7i2
D．x2＝－1＋7i4，x2＝－1－7i4
【解析】 x＝－1±1－84＝－1±－74＝－1±7i4，∴x1＝－1＋7i4，x2＝－1－7i4.
二、填空题
8．方程(x－1)2＝4的解是x1＝3，x2＝－1．
【解析】 利用直接开平方法，可得x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
9．方程x2－4x＝0的解是x1＝0，x2＝4．
【解析】 ∵x(x－4)＝0，
3
∴x1＝0，x2＝4.
10．方程x2－2x－1＝0的两个实数根中较大的是x＝1＋2．
【解析】 ∵a＝1，b＝－2，c＝－1，b2－4ac＝8，
∴x＝－（－2）±82×1，即x＝1±2.
∴其中较大的根是x＝1＋2.
11．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为289元的药品连续两次降
价后，售价变为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：289(1－x)2＝256．
12．设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x13＋2014x2－2013＝_2014．
【解析】 由题意，得x1＋x2＝1，x12－x1－2013＝0，
∴x12＝x1＋2013，
∴x13＋2014x2－2013＝x1(x1＋2013)＋2014x2－2013＝x12＋2013x1＋2014x2－2013＝x1＋2013＋
2013x1＋2014x2－2013＝2014(x1＋x2)＝2014.
13．小李发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－
1.例如，把实数对(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(m，－2m)放入其中，
得到实数2，则m＝3或－1．
【解析】 m2－2m－1＝2，m2－2m－3＝0，(m＋1)(m－3)＝0，∴m1＝－1，m2＝3.
14．定义新运算“*”：a*b＝a（a≥b），b（a
【解析】 x2＋x－1＝0的根x1＝－1＋52，x2＝－1－52，∴x1*x2＝－1＋52.
三、解答题
15．解方程：
(1)(2x－1)2＝(x－2)2.
【解析】 2x－1＝±(x－2)，
∴x1＝1，x2＝－1.
(2)3(2x＋1)2＝2(2x＋1)．
【解析】 3(2x＋1)2－2(2x＋1)＝0，
(2x＋1)[]3（2x＋1）－2＝0，
(2x＋1)(6x＋1)＝0，
4
∴x1＝－12，x2＝－16.
(3)(x－2)(x－3)＝1.
【解析】 x2－5x＋6＝1，x2－5x＋5＝0，
b2－4ac
＝(－5)2－4×1×5＝5，
∴x＝5±52，∴x1＝5＋52，x2＝5－52.
16．当x满足条件x＋1<3x－3，12（x－4）<13（x－4）时，求方程x2－2x－4＝0的根．
【解析】 由x＋1<3x－3，12（x－4）<13（x－4），得x>2，x<4，则2＜x＜4.
解方程x2－2x－4＝0，得x1＝1＋5，x2＝1－5.
∵2<5<3，
∴3<1＋5<4，－2<1－5<－1(不合题意，舍去)，
∴x＝1＋5.
17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取
适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降
价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)．
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【解析】 (1)2x，50－x.
(2)(50－x)(30＋2x)＝2100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．
18．x4－6x2＋5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那
么x4＝y2，于是原方程变为y2－6y＋5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5.当y＝1时，x2＝1，x＝
±1；当y＝5时，x2＝5，x＝±5，所以原方程有四个根，即x1＝1，x2＝－1，x3＝5，x4＝－5.
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学
思想．
(2)解方程：(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
【解析】 (1)换元，转化．
5
(2)设x2－x＝y，则y2－4y－12＝0，y1＝－2，y2＝6.
当y＝－2时，无解；
当y＝6时，x2－x＝6，∴x1＝－2，x2＝3.
19．如图，要在一块长52 m、宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬道．下面
分别是小亮和小颖的设计方案．求：
(第19题)
(1)小亮设计方案中甬道的宽度x.
(2)小颖设计方案中四块绿地的总面积(提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值
相同)．
【解析】 (1)根据小亮的设计方案列方程，得
(52－x)(48－x)＝2300，
解得x＝2或x＝98(舍去)．
∴小亮设计方案中甬道的宽度为2 m.
(2)过点A作AI⊥CD，过点H作HJ⊥EF，垂足分别为I，J.
∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，
∴BC＝AD.
由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD.
在Rt△ADI中，AI＝2sin 60°＝ 3(m)．
∴小颖设计的方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299(m2)．