2015-2016年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设z的共轭复数是，若z+=（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i2．（5分）曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣23．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4 B．3 C．D．24．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．15．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除6．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C．D．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1]D．[﹣1，0）∪（0，1]8．（5分）函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．610．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）11．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为．14．（5分）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，求参数a 的取值范围．15．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．16．（5分）下列条件：（1）ab＞0，（2）ab＜0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b ＜0，其中能使成立的条件的个数是．三．解答题.17．（10分）已知x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，求x，y的值．18．（12分）求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．19．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明（1）ab+bc+ac≤（2）≥9．20．（12分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．21．（12分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．22．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．2015-2016学年甘肃省平凉市静宁县甘沟中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题.（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设z的共轭复数是，若z+=（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵z+=4，=8，∴2a=4，a2+b2=8，解得a=2，b=±2．z=2+2i时，=====i；同理可得：z=2﹣2i时，==﹣i．故选：D．2．（5分）曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣2【解答】解：曲线y=4x﹣x3，可得y′=4﹣3x2，在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为：4﹣3=1，所求的切线方程为：y+3=x+1，即y=x﹣2．故选：D．3．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4 B．3 C．D．2【解答】解：当0≤x≤时，cosx≥0，当π≤x≤时，cosx≤0，∴所求面积S==sinx|﹣sinx|=sin=1+1+1=3，故选：B．4．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【解答】解：∵a﹣=a﹣=a﹣（3+i）=a﹣3﹣i是纯虚数，则a﹣3=0，解得a=3．故选：A．5．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．6．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选：B．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1]D．[﹣1，0）∪（0，1]【解答】解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤1，故选：A．8．（5分）函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x【解答】解：∵，∴y′==．故选：A．9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二．填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为a≥e．【解答】解：由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴恒成立，∴，即，∴a≥e故答案为：a≥e．14．（5分）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，求参数a 的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|，由其几何意义（数轴上距离坐标为3的A点与坐标为4的B点的两点间的距离之和）可知，当动点P位于A，B之间时，f（x）min=1，∴要使关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，须a＞1．故a＞1．15．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：1216．（5分）下列条件：（1）ab＞0，（2）ab＜0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b ＜0，其中能使成立的条件的个数是3．【解答】解：当a，b同号时，，，故：（1）ab＞0，（3）a＞0，b＞0，（4）a＜0，b＜0，能使成立，故答案为：3三．解答题.17．（10分）已知x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，求x，y的值．【解答】解：设x=a+bi（a，b∈R），则y=a﹣bi，代入（x+y）2﹣3xyi=4﹣6i，得：（a+bi+a﹣bi）2﹣3（a+bi）（a﹣bi）i=4﹣6i，即（2a）2﹣3（a2+b2）i=4﹣6i，∴，解得：，或，或，或．∴，或，或，或．18．（12分）求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．【解答】解f′（x）=3x2﹣6x+2．设切线的斜率为k．（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0=x03﹣3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02﹣6x0+2，①又k==x02﹣3x0+2，②由①②得x0=，k==﹣．∴所求曲线的切线方程为y=﹣x．故曲线的切线方程是y=2x；y=﹣19．（12分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明（1）ab+bc+ac≤（2）≥9．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，以上三式相加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）≥3（ab+bc+ac），∵a+b+c=1，∴1≥3（ab+bc+ac）∴ab+bc+ca≤（当且仅当a=b=c=时取“=”）．（2）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，∴a+b+c≥3，≥3，∴=（a+b+c）（）≥3•3=9．当且仅当a=b=c=时取“=”．20．（12分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．21．（12分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．22．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知（﹣∞，）所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．。