第二章《实数》知识点梳理
实数章节总结复习学习知识点归纳总结计划
一、引言二、实数章节知识点梳理1.实数定义及分类实数是数学中的一种数，可以表示为数轴上的点。
实数包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数比的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
无理数是不能表示为两个整数比的数，如π和e等。
2.实数运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等。
实数运算遵循四则运算法则、乘方运算法则和开方运算法则。
3.实数的大小比较实数的大小比较方法与有理数类似，遵循比较大小的规则。
正实数大于负实数，零大于负实数，两个负实数绝对值大的反而小。
4.实数的数轴表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上的点与实数是一一对应的。
数轴上的点具有方向和距离，可以用来表示实数的大小和位置。
5.实数的近似计算实数的近似计算是数学和工程领域中常用的方法，常用的近似计算方法有四舍五入、进一法、去尾法等。
三、实数章节重点难点解析1.实数定义及分类是实数章节的基础，要理解实数的概念和分类，掌握有理数和无理数的特点。
2.实数运算是对实数进行运算的方法，要熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算方法，遵循运算规则。
3.实数的大小比较是实数运算的基础，要熟悉实数大小比较的规则，能够正确判断实数的大小关系。
4.实数的数轴表示是实数章节的重要内容，要理解数轴的概念，掌握数轴上点的表示方法，能够运用数轴解决实际问题。
5.实数的近似计算在实际应用中具有重要意义，要学会运用四舍五入、进一法、去尾法等方法进行实数的近似计算。
四、实数章节复习策略1.回顾实数章节的基本概念，如实数的定义、分类、特点等，加深对实数概念的理解。
2.梳理实数运算的规则和方法，通过练习题目，提高实数运算的速度和准确性。
3.掌握实数的大小比较方法，能够在实际问题中正确判断实数的大小关系。
4.理解实数的数轴表示方法，能够运用数轴解决实际问题。
5.学习实数的近似计算方法，能够在实际应用中进行实数的近似计算。
五、实数章节是数学学习中的重要内容，通过本篇文章的梳理，相信你对实数章节的知识点有了更深入的了解。
实数知识点总结文字
实数知识点总结文字一、实数的定义与性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合，它们可以在实数轴上表示，可以用小数或者分数表示，是数学中最基本的数的概念之一。
2. 实数的性质实数具有以下几个基本性质：① 闭合性：实数集合对于加法和乘法都是封闭的，即任何两个实数进行加法或者乘法运算的结果仍然是实数。
② 交换律、结合律和分配律：实数的加法和乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
③ 有序性：实数集合中的任意两个实数都可以进行大小比较，即实数集合具有大小顺序。
④ 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间都存在有理数和无理数。
二、实数的运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，都有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
同时，实数的加法也满足分配律，即对于任意的实数a、b、c，都有a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-a是实数b的加法逆元。
3. 实数的乘法实数的乘法也满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，都有ab=ba，(ab)c=a(bc)。
同时，实数的乘法也满足分配律，即对于任意的实数a、b、c，都有a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法实数除法可以看作是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)，其中1/b是实数b的乘法逆元。
5. 实数的乘方和开方对于实数a，a的n次幂为a的n-1次方与a的乘积，其中n为正整数。
而a的n次方的n次根为实数n，且对任何实数a、b，都有(ab)^n=a^n×b^n。
6. 实数的绝对值实数a的绝对值是a到原点的距离，记作|a|，即当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
三、实数的有理数与无理数1. 有理数有理数是指可以用整数表示为分子、分母为非零整数的数，包括了正整数、负整数、零和分数。
2019-2020学年八年级数学上册《第二章实数》知识点总结新人教版.docx
2019-2020 学年八年级数学上册《第二章实数》知识点总结新人教版1、 数的分整数自然数 (0, 1, 2, 3 )负整数 ( 1,2, 3 )有理数正分数 ( 1 2 ) (整数 、有限小数 、无限循环小数 ), 3实数分数 (小数 ) 21 2负分数 (), 32无理数正有理数 (无限不循环小数 )负有理数2、无理数：无限不循 小数叫做无 理数。
在理解无理数 ，要抓住“无限不循 ” 一 之， 起来有四 ：（ 1）开方开不尽的数，如 7, 3 2 等；（ 2 ）有特定意 的数，如 周率 π ，或化 后含有π 的数，如π+8 等；（ 3）有特定 构的数，如 0.1010010001 ⋯等；3（ 4）某些三角函数 ，如sin60 o 等二、 数的倒数、相反数和2、在数 上，一个数所 的点与原点的距离，叫做 数的 。
（ |a| ≥ 0）。
零的 是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a ， a ≥ 0；若 |a|=-a ， a ≤0。
3、倒数如果 a 与 b 互 倒数， 有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1 和-1 。
零没有倒数。
4、数定了原点、正方向和 位 度的直 叫做数 （画数 ，要注意上述 定的三要素缺一不可） 。
解 要真正掌握数形 合的思想，理解 数与数 的点是一一 的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算 平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a ，即 x 2=a ，那么 个正数x 就叫 做 a 的算 平方根。
特地， 0 的算 平方根是 0。
表示方法： 作“a ”， 作根号a 。
性 ：正数和零的算 平方根都只有一个，零的算 平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x 2=a ，那么 个数x 就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。
表示方法：正数 a 的平方根记做“ a ”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
北师大版八年级数学上册 第二章实数知识点及经典例题讲解 (学案)
初二数学上册实数知识点及经典例题讲解一、平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 二、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（32(3)0y +=，则x -y 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、7 D 、-7（4）若a 、b 为实数，且满足20a -=，则b -a 的值为（ ）A 、2 B 、0 C 、-2 D 、以上都不对（5）2)3(-的算术平方根是 。
（6）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
初三数学复习实数知识点梳理
初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。
在初三数学中，实数是一个重要的考点。
为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。
二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。
无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。
无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。
2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。
例如，3/4表示三除以四的结果。
3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。
例如，√9表示9的平方根，结果为3。
三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
（2）有理数的乘积仍然是有理数。
（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。
2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。
例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。
四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。
实数章节总结知识点
实数章节总结知识点一、实数的定义实数的定义并不是一个简单的概念，它需要通过一系列的概念和引理来建立。
在数学中，实数的定义通常是通过有理数和无理数来构建。
有理数是可以表示为分数形式的数，例如1/2、3/4、-2/3等，而无理数则不能用分数形式表示，如π、√2等。
实数就是有理数和无理数的集合，它包括了所有可以表示为小数形式的数，而且这些数都可以在数轴上表示出来。
在实数的定义中，除了有理数和无理数的概念外，还涉及到了序关系和等价关系。
实数具有天然的序关系，即对于任意的两个实数a和b，要么a<b，要么a=b，要么a>b。
这个序关系决定了实数在数轴上的排列顺序，可以直观地表示出实数之间的大小关系。
而等价关系则是指实数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，这些运算满足一系列的性质，例如封闭性、结合性、交换性和分配性等。
二、实数的性质实数具有一系列重要的性质，这些性质包括了实数的基本运算性质、序关系性质和等价关系性质等。
下面我们将分别对这些性质进行详细的讨论。
1. 实数的基本运算性质实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算性质。
这些运算性质包括了封闭性、结合性、交换性和分配性等。
封闭性指的是对于任意的两个实数a和b，它们的和、差、积和商都是实数，即a+b、a-b、a×b和a÷b都是实数。
结合性指的是对于任意的三个实数a、b和c，它们的和、差、积和商的结果都是唯一的，即(a+b)+c=a+(b+c)、(a-b)-c=a-(b-c)、(a×b)×c=a×(b×c)和(a÷b)÷c=a÷(b÷c)。
交换性指的是对于任意的两个实数a和b，它们的和、积满足交换律，即a+b=b+a和a×b=b×a。
分配性指的是对于任意的三个实数a、b和c，它们的积和和之间满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
八年级上册数学-第二章-知识点复习总结
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
实数 知识点
上淘师·易得优第二章实数一．无理数1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数。
(注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
)2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；…a 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
三．平方根：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方上淘师·易得优根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数。
a 8(1)开立方与立方是互为逆运算。
(2)开立方是，被开方数可以是正数、负数，也可以是0.五．估算1.用估算法确定无理数的大小（1)对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用上淘师·易得优“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。
首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
(2)决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。
2.“精确到”与“误差小于”的区别(1) 精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；正实数实数零负实数3.实数的性质（1）实数a的相反数是-a；上淘师·易得优（2）实数a 的倒数是a1（a ≠0）； （3）实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 。
4.实数的大小比较（1）实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
人教版初中数学《实数》知识点总结
实数一、平方根1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做a 的二次方根）。
正数a 的平方根记作a ±，通常记作：x =a ±一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中，a 称为被开方数.2、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
算术平方根具有双重非负性，即：0≥a （a ≥0）算术平方根是非负数、被开方数为非负数， 算术平方根是平方根中正的一个值。
性质公式：0（a ≥0）2(0)a a =≥|a |； 二、立方根立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做a 的三次方根）a ”（注意：这里的3表示的是开根的次数，也叫根指数。
一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略．）一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。
求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中，a 称为被开方数。
性质公式： 33a a -=-a =3a =三、实数1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2、实数：有理数与无理数统称为实数。
实数和数轴上的点一一对应。
3、实数的分类：一是分类是：正实数、负实数、0；另一种分类是：有理数、无理数。
整数、分数统称为有理数。
整数包括正整数、零、负整数。
分数包括正分数、负分数。
自然数包括零和正整数。
4、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数形式。
≈1.414 3≈1.732 ≈2.236 6≈≈3.162⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎭⎩⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数和无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=62523=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729。
七年级上册数学实数的知识点梳理
七年级上册数学实数的知识点梳理数学是一门抽象的学科，而在数学中，实数作为一个基础概念，扮演着极为重要的角色。
由于实数对于后续学习的数学知识具有重要的支撑作用，因此，为了让广大七年级学生更好地掌握数学，本文将对七年级上册数学实数的知识点进行全面梳理。
一、实数的引入及实数的定义最初，我们所学的都是自然数、整数、有理数等。
到了七年级，我们开始接触实数。
实数是从有理数引入的，当出现有理数无法表示的情况时，就需要引入实数概念。
实数包括有理数和无理数。
其中，有理数是指能表示为分数形式的数，无理数则是不能表示为分数形式的数。
实数的定义是包括所有有理数和无理数在内的一个集合。
实际上，实数就是数轴上全部的点。
二、实数的运算1. 实数的加法实数加法满足交换律、结合律和分配律。
对于实数a、b和c，有以下公式：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a(b+c)=ab+ac2. 实数的减法实数的减法可以看做是加上相反数。
对于实数a和b，有以下公式：a-b=a+(-b)3. 实数的乘法实数乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于实数a、b和c，有以下公式：a×b=b×a(a×b)×c=a×(b×c)a(b+c)=ab+ac4. 实数的除法实数的除法就是分子除以分母。
对于实数a和b(b≠0)，a/b表示a÷b。
三、实数间的大小关系实数和实数之间可以进行大小比较。
对于实数a和b，有以下比较规则：1.当a>b时，a比b大；2.当a<b时，a比b小；3.当a=b时，a和b相等；四、实数的绝对值实数的绝对值是指一个实数到原点的距离。
对于实数a(a<0)，有以下公式：|a|=−a对于实数a(a≥0)，有以下公式：|a|=a五、实数的数线图数线图是为了更加直观地表示实数的大小关系而设计的。
实数的大小关系可以表示成在数轴上的顺序关系，从而形成数线图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
第二章《实数》知识点梳理
一、算术平方根、平方根、立方根的定义、性质及其之间的区别联系
1、算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就
叫做a的算术平方根.记为“x=a”，读作“x等于根号a”.。例如：正数 3
的平方等于9， 9的算术平方根只有一个是3，记作9=3.
特别地规定0的算术平方根是0，即0=0。
因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，这个正数x就叫做
a
的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.
算术平方根的性质：一个正数有一个算术平方根；0有一个算术平方根是0，负
数没有算术平方根.
2、平方根的定义:若一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方
根，也叫二次方根，记作“x=±a” ，读作“x等于正负根号a”。例如：3
和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有
两个3和－3，±9=±3。
平方根的性质：一个正数有两个平方根，一个是它的算术平方根，另一个是它的
算术平方根的相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.
3、立方根的定义;若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的
立方（也叫三次方根），记为“x=3a”，读作“x等于三次根号a”。. 如
823
则38=2。
立方根的性质：一个正数有一个立方根，是正数；0有一个立方根是0；一个负
数有一个立方根，是负数。
4、平方根与算术平方根的联系与区别
平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯
定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，
则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的
相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.
联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算
术平方根都是0.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数
a的非负平方根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.
2
(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只
有一个.
5、平方根与立方根的联系与区别.
联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一
个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有
平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.
(4)被开方数的取值范围不同：±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方
数a可以是任何数.
6、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运
算，叫做开立方，其中a都叫做被开方数.
7.a中的被开方数a在什么情况下有意义，(a)2等于什么？
解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方
数a必须是正数或零，即非负数时有意义. 所以(a)2=a(a≥0)。
8.2a中的被开方数a在什么情况下有意义，2a等于什么？
解：因为任意数的平方都是非负数，所以无论a是正数还是负数，被开方数
2
a
总非负数，因此这里a没有限定。而正数的算术平方根是正数，所以aa2。
即当a≥0时，2a=a，当a＜0时，有aa2。
9、33)(a中的被开方数a在什么情况下有意义，33)(a等于什么？
解：因为正数、0、负数都可以开立方，所以对这里的a没有限定，设x3=a
则3ax，所以(3a)3=a
10、33a中的被开方数a在什么情况下有意义，33a等于什么？
解：因为无论3a是正数、0还是负数都可以开立方，所以对这里的a没有限
定，设x3= 3a则ax，所以aa33
二、重要的公式：（注：公式中的a、b都在实数范围内取值）
1、(a)2=a(a≥0)；2、aa2；3、(3a)3=a；4、aa33；
3
5、baba (a≥0,b≥0)； 6、baba(a≥0,b＞0)；
7、平方差公式：22))((bababa
8、完全平方差公式：abbaba2)(222
9、完全平方和公式：abbaba2)(222
三、无理数、实数及其分母有理化
1、无限不循环小数叫无理数，有理数和无理数统称为实数。常见的无理数：
、与
有关的式子、开不尽方的数如14、无限不循环小数
2、有理数与小数的关系：每个小有理数总可以用有限小数或无限循环小数
表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
3、有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
4、实数的分类：
实数无限不循环小数无理数小数有限小数及其无限循环分数负整数零正整数整数有理数实数
实数负实数正实数实数
5、将)0(大于bba分母有理化的公式为：ba =bbba
将abc-分母有理化的公式为：abc-=)()()-(abababc
将abc分母有理化的公式为：abc=)()_()(abababc
一、 填空题
1、下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空
4
x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________
请大家再分析一下，x，y，z，w中有理数有： ；无理数有： 。
2、请把把32，41，7，，25，2，320，5，38，94，0，
69.4
，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下
面相应的集合中？
正分数：{ „„}
有理数：{ „„}
无理数：{ „„}
负实数：{ „„}
3、94的算术平方根是____；81的算术平方根为_____；(－1.44)2的算术平方根
为_____；若一个数的算术平方根是5，则这个数是_____；正数_____的平方为
25144；25
144
的平方根是 ；2)5( =_____；(5)2=______； (12149)2= ；
4、(1)38= ；3064.0= ；33)1258(= ；(9)3= ；
3
3
)2(
= ；33)2(= ；316463= ；32)278(= 。
5、化简：23= ；613 ；121= ；352 = 。
(1)250580； (2)、23222； （3）、(1+5)(5－2).
（4）、)12)(12( （5）、. (3－1)2 （6）、2)212(