圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

椭圆题型总结

一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义：

1.

命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.

已知F

l 、F

2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段

3. 已知F i 、F

2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q

,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q

的轨迹

是（B ）

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.点 2

2

…一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一

.....

4.

椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值

25 9

是 4。

2

2

5.

选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。

9 5

解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2

（二） 标准方程求参数范围

2

2

1. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。（略）

5 —k k -3

2

"m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ）

A.充分而不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1

（三）待定系数法求椭圆的标准方程

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26;

2

2

匕』=1

169 144

（2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）;

2

2

2

2

L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37

（3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

4.方程x =

J I -3y 2

所表示的曲线是

椭圆的右半部分

日（」6,1）,以-

。3,-/2）,求椭圆方程.

2 2

x y )

—— —=1

3

2.简单几何性质

-—2 c = 8, e = ■

6 e =—

1.求卜列椭圆的标准方程

(1)

3

；

（2）过（3, 0）点，离心率为

3 。

2

2

2

2

2

2

2

2

匕+1 =1,或

x y 』

---- ——=1 y x x y < —+—— =1,或—— +— =1

144 80

144 80 27 9 9 3 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离

是 v'3 。

2 2 2 2

y x x y ,

—+——=1,或——+ — =1 9 12 9 12

（4） 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为

5,焦点到椭圆中心的距离为

2

2

2

2

匕+1=1,或4+匕=1

16 25 16 25

（5） 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为

垂线恰好过椭圆的一个焦点。

则椭圆的离心率为

（四）椭圆系 ------- 共焦点，相同离心率

2

2

2

2

x y x y 1. 一 — =1

1（0：k ：9）

椭圆25 9

与25 -k 9 -k

的关系为（A ）

A.相同的焦点 B 。有相同的准线 C 。有相等的长、短轴 D 。有相等的焦距

2

2

2、 求与椭圆 —+匕=1有相同焦点，且经过点（3, -2的椭圆标准方程。

9 4

2

2

土匕=1

15 10

（五）焦点三角形 4a

2

2

1. 已知F 1、F 2为椭圆 ^+七=1的两个焦点，过F 〔的直线交椭圆于 A 、B 两点。若F 2A+F 2B=12,

25 9

则 AB| = 。

2

2

2. 已知F 1、F 2为椭圆 &+七=1的两个焦点，过 F 2且斜率不为0的直线交椭圆于 A 、B 两点，则

25 9

△ABF 〔的周长是 20 Q

3,则椭圆的标准方程为

4.5 2 5

*和*，过P 作长轴的

3

3

y 2 3 x 2 —+ ----------- = 5 10

2 3.过椭圆亳

a 2

2

x 3 y

1,或——=1

5 10 2 七

b 2

= 1（a Ab 〉。）的左焦点 F 1作x 轴的垂线交椭圆于点 P, F 2为右焦点，若/ F 1PF^603

,

2

3.

已知AABC 的顶点B 、C 在椭圆 L + y 2 =1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3

在BC 边上，贝U AABC 的周长为

4^3

（六）焦点三角形的面积：

2

已知点P 是椭圆±+y 2=1上的一点，

4

解：设P (x , y )则＜x 2

2 解得| y |=寸

3，所以求点P 到x 轴的距离为| y |=登

——y =1

3

3

.4

2

2

口

设M 是椭圆 ^ + _L=1上的一点， 、F2为焦点，2F[MF2=；，求ARMF 2的面积。

.| PF 1 |2 - | PF 2 |2 -| F 1F 2|2 (| PF 1 | | PF 2 |)"2| PF 1 | | PF 2 | -4c 2 cos =

时

2|PF 1 | |PF 2| 4b 2

-2| PF 1 | | PF 2 |

2| PF I | | PF 2|

当.

F I MF

2 =6 ,

S

=1| PF 1 | .| PF 2 |sin — =16(2 - .3)

2 6

x 2 v 2

PF 1 , PF 2 1

3. 已知点P 是椭圆 泰十：=1上的一点，F

I 、F 2为焦点，若 帖］,件「2 项 APF 1F 2的面积为_

33 _____ 。

2

2

4. 已知AB 为经过椭圆 七十，=1（a 〉bA 0） 错误！未找到引用源。的中心的弦，F （c,0）为椭圆的右焦

a b

点，则△ AFB 错误！未找到引用源。 的面积的最大值为 cb 。

（七）焦点三角形错误！未找到引用源。

2

2

1. 设椭圆 痔+%=1的两焦点分别为F 1和F 2, P 为椭圆上一点，求PF 1E F 2的最大值，并求此时P 点的坐标。

2

2

2.

椭圆子+土=1的焦点为F 1、F 2 ,点P 在椭圆上，若 PF 1 =4，贝U PF 2 = 2 ； NF 1PF 2=—

120°

。

2

2

3.椭圆巳+虹=1的焦点为F 1、F 2, P 为其上一动点，当/F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范 9 4

围为（一近,疆）。

5 5

（八）与椭圆相关的轨迹方程 定义法：

1.点M （x,y ）满足Jx 2十（y+ 3）2 + Jx 2+（y —3）2 =10，求点M 的轨迹方程。

2

2

（匕+4=1）

25 16

F i 、F 2为焦点，PF 1.PF 2

=0，求点P 到x 轴的距离。

1.

2.

2| PF i | | PF 2I

已知圆C 1 :(x 十3)2 +y 2 =4，圆C 2 :(x —3)2 + y 2 =100，动圆P 与C 〔外切，与C 2内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程.

解：由题 叫|+| PC 2|= r+ 2+10—r= 12

所以点P 的轨迹是：以C 1 , C 2为焦点的距离之和为12的椭圆。

2.

已知动圆 轨迹方程

2

x 16

P 过定点A(d,0)，并且在定圆B ：(x —3)2十y 2 =64的内部与其相内切，求动圆圆心 P 的 3. 2 2

C = 3, a = 6，方程为 2L +JL =1

36

27

4. 已知A(—1，0) , B 是圆F ：(x —；)2 +y 2 = 4 ( F 为圆心)上一动点

,线段AB 的垂直平分线交 BF 于

5. P ,则动点P 的轨迹方程为

已知A(0,-1),B(0,1),

△ ABC 的周长为6,则错误！未找到引用源。

2 2

x y 』

—— "=1 3 4

的顶点C 的轨迹方程是

直接法

6.若AABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和C(0,-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是

4 .

__，顶点A

9

2

2

的轨迹方程为

—y =1 81 36

相关点法

7. 已知圆x 2 +y 2 =9，从这个圆上任意一点 P 向x 轴引垂线段

PM =2MP '错误！未找到引用源。，求点M 的轨迹。 2

x 2 . —— y =1 9

8. 已知圆x 2 +y 2 =1 ,从这个圆上任意一点 P 向X 轴引垂线段 点M 的轨迹方程是 x 2+4y 2 = 1。

PP',垂足为P',点M 在PP'上，并且

PP,则线段错误！未找到引用源。

的中

二、直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系

1. 当m 为何值时，直线l : y =x + m 和椭圆9x 2 +16y 2 =144 (1)相交；⑵ 相切；(3)相离。

解：由 / 2 x m 2 消去 y 得 25 x 2 +32 mx +16 m 2—144 = 0，判别式：A = 576(25 — m 2)

9 x 2 16 y 2 =144

所以，当-5

2. 若直线y =kx *2与椭圆2x 2 +3y 2 =6有两个公共点，贝U 实数 k 的取值范围为 。

(二)弦长问题

2 2

1

-设椭圆C :与+y =1( a >b> 0)的左右两个焦点分别为F i、F2,过右焦点F2且与x轴垂直的直a2b2

线l与椭圆C相交，其中一个交点为M (很,1)。

2 2

(1) 求椭圆的方程；土+匕=1

4 2

(2) 设椭圆C的一个顶点为B (0, -b )，直线BF2交椭圆C于另一点N,求AF1BN的面积。

解：由(1)点B (0, _J2 ), F2(J2,0),直线BF2 的方程为：x —y = V2

i-x - y = 2 -

4 2

"x2y2消去y侍：3x -4也x = 0，解侍x = 0或x = ---------------

——+—=1 3

〔4 2

4 2 . 2

所以点N的坐标为(~)

3 3

所以S F1BN = S F1F2 B ' S F1F2 N =5 2 2(^^ - 2)=—

2 3 3

(三)点差法

2 2

定理在椭圆与+ &=1 (a > b > 0)中，若直线l与椭圆相交于M N两点，点P(x0, y0)是弦MN

a b

y b2

的中点，弦MN^在的直线l的斜率为k MN，则k MN.

X0 a

1. 已知一直线与椭圆4x2 +9y2 =36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为(1,1),求直线AB的方程.

x1 + x 2

=1( 2 2 、、214x1 +9y1 =36 (1)

解：设交点A(x〔，y〔)B(x2, y2),则有」工，』 2 2

y1 + y2 =1 4 x 2 +9 y2 =36 (2)

L 2

(2)-(1)得4(x2 -为)(x2 +x〔)+9(V2 -y〔)(y2 + y〔)=。

… (v2 一y1) 4 、

即地—=—=k ,又直线AB过点(1, 1)

(x 2 - x〔)9

............................. 4，八

所以直线AB的方程为：y—1 = —— (x—1)

9

2 2

2. 直线l经过点A(1 , 2),交椭圆―+^ =1于两点R、P2,

36 16

(1)若A是线段P1P2的中点，求l的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.

解：（1）设P1（X1, y〔）、P2（X2, y2）,

'2 2

土上=1

36 16

2 2

g也

36 16

(x i —X2)(x i X2) (y i -y2)(y i y2)

=y ---------------- --- -------------- -------------------- Z -------------- =U

36 16

A(1 , 2)是线段PR的中点，X1+X2=2, y1+y2=4,

• 2(x1 -X2)+4(y1 —y2)_。，即y1 -y2 __2o

36 16 一x1 _x2一一9

l 的方程为y=_2(x_1)+2，即2x+9y-20=0. 9

(2)设P1P2的中点M(x, y),则x1 +x2=2x, y〔+y2=2y,

代入*式，得k = y1 _y2=上，又直线l经过点A(1 , 2) , k = y-2, 冷—x2 9y

x —1整理，得4x(x-1)+9 y(y-2)=0 , . . P1P2的中点的轨迹：

/ 1\2

七)(y-1)

510

2 9（四）定值、定点问题

2

x 1、已知动直线y=k（x+1）与椭圆C: —+

5

2

y

一=1相交于A、B两点，已知点

5

M(-I,0),求证:

3

MA MB为定值.[

证明：设交点A(x1, y1), B(x2, y2)

七=k(X2”)消去y 得(1 +3k2)x2 x2十3y2

=5

. 2 . 2

6 k 3k -5

则有x[十x 2 = ----------------- , x1 x 2 = --------------------- 2

1 3k 1 3k

7 7

MA =(X I ; y〔)，MB =(x^-, y?)

3 3

6k2x 3k2-5=0

7 7 27 249 2 4

MA MB = (x〔+—)(x2 +—) + y〔y2 =(1+ k2)x〔x2 +(— +k2)(x〔+ x2)+— +k2=一所以—— 3 3 3 9 9

M A为定值

19.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2,短轴长为2 J3 .

（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l : y = kx + m（k#0）与椭圆交于不同的两点M、N （M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点 A.求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.

解：（I）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c ,则

解得 \a=2,

椭圆C 的标准方程为 K 十W =1 . b 二、、3 4 3

消去 y,得(3 + 4k 2 )x 2 十 8kmx 十 4m 2 —12 = 0 6 分

2

_ 2 2 2 2 _

由题怠△ = (8km) —4(3+4k \ 4m —12)>0,整理得：3+4k -m > 0① 7 分

由已知，AM _LAN ,且椭圆的右顶点为 A(2,0),...(x 1 —2 X x 2 —2 )+y 1y 2 = 0 ........................... 10分

2 _ 2

一

即

(1+k )x 1x 2+(km-2 X x 1 十x 2 ) + m +4=0

,

也 即

2

2

2k 整理碍7m +16mk+4k =0 .解得 m =—2k 或 m =-—，均洒足① ..................... 11分

7

当m = —2k 时，直线l 的方程为y =kx -2k ，过定点(2,0),不符合题意舍去；

2k

当m = -——时，直线l 的万程为

7

20.在直角坐标系xOy 中，点M 到F I (—J3,0)、F 2(J3,0)的距离之和是4,点M 的轨迹C 与x 轴的负半 轴交于点A ，不过点A 的直线l : y = kx +b 与轨迹C 交于不同的两点 P 和Q . (1)求轨迹C 的方程；(2)当AP ，AQ=0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点. 解：(1)

点M 到(―J 3,0), (J 3,0)的距离之和是4,

M 的轨迹C 是长轴长为4,焦点在x 轴上焦距为2 J3的椭圆，其方程为

十y 2=1 (3)

4

分

(2)将y=kx+b,代入曲线C 的方程，整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2 —4 = 0.......................................... 5分

因为直线l 与曲线C 交于不同的两点 P 和Q ,

"2c =2, <2b = 2T3, 2,2

2

a =

b +c,

, 2

2

x y

⑴由方程组「寸1

y = kx m

设M (*,乂卜 N (x 2,y 2 )，则 x 1 +x 2 = 8km

2

3 4k 2

4m 2 -12

燧= ------ r 3 4k 2

1 k 2

)• 4m 2 -12 3 4k 2

8km km -2 ----------- 3 4k 2

2 一 _

+m +4=0,

故直线l 过定点，且定点的坐标为

(7,0)-

13分

所以A =64k2b1 2 3-4(1 +4k2)(4b2-4) =16(4k2-b2+1)》0 . ①

2 一

8kb 4b - 4

该P(K, y〔)，Q(x2, y2)，则x〔+x2=—―，X1X2 =——

1 4k

2 1 4k

2 2

且y1 y2 =(kx1+b)(kx2+b) =k x1x2+kb(x1+x2)+b .

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(_2,0),

所以"*),孟寸2+2必)，由TP.AQ =0，得(K +2)(x2+2) + y〔y2=0 .

将②、③代入上式，整理得12k2—16kb+5b2=0 , ..................................... 10分

6

所以(2k —b)(6k —5b) =0，即b=2k或b ='k .经检验，都符合条件①.

5

当b=2k时，直线l的方程为y =kx+2k .

显然，此时直线l经过定点(-2,0)点.即直线l经过点A,与题意不符.

当b=6k时，直线l的方程为y =kx+6k =k(x+5) .显然，此时直线l经过定点(一©Q)点，且不过点5 5 6 5 A.

6 6

综上，k与b的关系正：b =—k，且直线l经过TE点(―一,0)点. ............ 13分

5 5

三、最值问题

5. 已知P为椭圆女+y2=1上任意一点，M (m 0) (m£ R),求PM的最小值。

4

目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。

提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM利用二次函数思想求最小值。

解：设P(x,

y) , PMp(x-m)2+y2= J(x_m)2+1 = J4^ _2mx+1

4 4

3 4m 2 m2 .................... ............. 一

%x -——)+1 -——，x€ [-2,2],结合相应的二次函数图像可得

4 3 3

2 ,<-2,即m<一j 时，(PM)min=|m+2| ;

3 -2 电,即——

3 2 2 3

② ....... 7分

（3）竺>2,即m>3 时，（PM）min=|m-2|.

3 2

说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的

点是长轴端点，最大值为a; （3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ,最远的点是长轴右端点，最大值为a+c;

6. 在椭圆L+y2 =1求一点P,是它到直线1 ： x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

4

目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题

处理方法。

提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切

线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。

解法一：设直线m： x+2y+m=0与椭圆—+y^1相

4

x 2y m = 0

2 2

'x22，消去x,碍8y +4my+m4=0,

当m=2*时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为|10^^2|=2/5 2而 ,此时点P的坐标是（_J2 , 一^-）；当m=-2处时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为|10?J2|=2j5+业迪，此时点P的

坐标是（2 , 利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。

7.

设AB 是过椭圆 七+匕=1中心的弦，F i 是椭圆的上焦点， 9 25

（1）若^ ABF 面积为4扼，求直线 AB 的方程；（2）求^ ABF 面积的最大值。

解：（1）设 AB y =kx,代入椭圆

，得 x 2=

=

,

x i =-x 2=

又，S/\ABFI = | OF | | x i - x 2|=2| x i - x 2|=4

, - - | x i - x 2|=2 ,

•■- =5, •■- k= ，■直线 AB 的方程为 y= x 。

（2） S^BFi = |OF | |x i -x 2|=4 -

，■当 k = 0 时，（S“BFi ）Max = i2。■

9.设椭圆中心在坐标原点， A （2,0） B （0,i ）是它的两个顶点，直线 y=kx （k 》0）与AB 相交于点D,与

椭圆相交于E 、F 两点.

（1）若ED'=6DF',求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值.

（1）解：依题设得椭圆的方程为 就+y 2 =1 ,

4

直线 A ,B

E 的方程分别为 x + 2y = 2 , y = kx （k 》0）. 如图，设

2、 2

解法二：设椭圆上任意一点 P(2cos Qsin 0), [0,2 兀)

则P 到直线l 的距离为 .••当缶兰时，P 到直线

4

当缶巧时，P 到直线

4

说明：在上述解法一中体现了 |2cos 「2sin 「10| 2痢（「成 10

已

_

的距离最大，最大为2 75+气0此时点P 的坐标是（再，手）； l 的距离最小，最小为 2灰里^，此时点P 的坐标是（-V 2 ,」乎）。 数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两

平行线间的距离。在解法二中, 利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的， 而且三角形式转换灵活多变,

D（0x k） x , （〔E , x 1） , k X 2墓中）x〔

x2 = -x1

1 4k2

1 5 10

由ED =6DF 知为—xi =6(x2 -x°)，碍x0 =— (6x2 +x〔)= 一x2 =—；

7 77、1 4k2

2 ….由D在AB上知x0 +2kx0 =2，得x0 = ------------- .所以

1 2k

2

1 2k

_10_ 7"

4k2

2 2 3

化简得24k —25k+6=0,解得k =—或k=—.

3 8

（2 ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，

点E, F到AB的距离分别为

|xi+2kx 〔—2| 2(1 + 2k+Jl+4k ，

只 区+2底—2 2(1+ 2k — J i+4k 2)

R = ------- j= ----- = --------- 」

c= ----------- ， h

2 = -------- 户 ---- = ------- J C = ----------

5 5(1 4k 2) 5 5(1 4k 2)

又AB = J22 +1 = J5，所以四边形 AEBF 的面积为

当直线l 的斜率不存在时，其方程为 x=1 ,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x -1)。

y =k(x -1)

由 我2

2

，得(2k 2

+1)x 2

—4k 2

x+2(k 2

—1) = 0。

FQ =(x 2 +1, y 2),

因为 F 1P [FQ ，,所以 F 1P F 1Q =0,即

S =2I AB 5*

-4(1 2k)

2」一「5(1 4k 2) 2(1 2k) _ 2 1 4k 2 4k

厂4k 2'

' 1 4k 2

1 .

当2k =1，即当k =一时，上式取等号.所以 2

S 的最大值为2J2

解法二：由题设，BO =1, AO =2 .

y 2 =kx 2,由①得X 2 >0, y 2 = —y 〔》0，故四边形 AEBF 的面积为

S = S A BEF SzX AEF - X 2 +2y 2 =J(x2+2y 2)2 = Jx ； +4y ；

+4x ?y 2 < 寸2(x2 + 4y ；)

= 2出,

当x 2 =2y 2时，上式取等号.所以 S 的最大值为2厄.

四、垂直关系

10. (上海春季)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 葛(-1, 0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为 B 「B 20

若^F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆 C 的方程; 若椭圆C 的短轴长为2,过点F 2的直线

l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P_LFQ ，求直线l 的方程。

2

2

解：(1)设椭圆C 的方程为七+匕=1

a 2

b 2

(aAb 》0)。

根据题意知J a =2b ，解得a 2 =4 , a 2

-b 2

=1 3

2

2

b 2=

1，故椭圆C 的方程为 x + y_

3

(2)容易求得椭圆C 的方程为 女+v 2

2

二1。

设 P(x 〔，y 〔)， Q(x 2, Y2),则为 十乂2

4k 2 2(k 2 2k 2 1

濯= --- 2 ------------- ，

-1)

—!

况=(为+1, y),

2 ,

(x i 1)(x 2 1) y i y 2 =x i X 2 (x i

X 2) 1 k

(x i -1)(x 2 -1)

2

2

2

7k - 1

=(k 2

+1)xx 2 —(k 2

—1)(x i +x 2) +k 2

+1 = 2

=0 ， 2k 2

1

解得k 2

=】，即k=/。

7 7

故直线l 的方程为x+77y_1=0或x —V?y —1=0。

、2

11. 如图，设椭圆 二+y 2

=〔的上顶点为B,右焦点为F,直线l 与椭圆交于 M N 两点，问是否存在直线

l 使得F BMN 的垂心。若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。

Bm MF

y i

，y 2

—1

= _1 ,即 y 〔y 2 +x 〔x 2 —y 〔 一x 2 =0。

x 1 -1 x 2

y 〔 =x ! +m , y 2 =x 2+m , •■- (x 〔+m)(x 2+m)+冷乂2—(x !+m)—x 2 = 0。

即 2%x 2 (m -1)(x 1 x 2) m 2

- m = 0 ,

^^) +m 2 -m =0 , •■- 3m 2 + m-4=0 , m = —■4 或 m = 1。

由 A =(4m)2

—12(2m 2

—2) =24 —8m 2

》0 ,

故存在直线l : y=x-4满足题设条件。

3

双曲线题型总结

定义的应用

1 .动点P 与点F i (0,5)与点F 2(0, -5)满足|PF i — PF

2 =6,则点P 的轨迹方程为

解：由已知可得，B (0 , 1) , R1 , 0) , k BF =-1。

•.•BFL l , ..•可设直线 l 的方程为y =x+m

代入椭圆方程整理，得 2

2

3x +4mx+2m —2=0。 设 M (x i, y i ), N(x 2, V2)， 则毛 x 2 = -4m ，xx 2 =

3

3

2m 2

- 2 o

2

..-2m - 2

-2 ------------ - (m -1)(

3 得 m 2 ::: 3

又m=1时，直线l 过B 点，不合要求，

m —，

3

2.已知点F i (-4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F l 、F 2的距离之差为6,则曲线方程为()

2

2

2

2

二巳=1 B .。土

9 7 9 7

2 2

D.— 一匕=1(x 0)

9 7

3.已知平面上两定点 F 〔，F 2及动点M,命题甲：||MF 1 — MF 2|| =2a ( a 为常数)，命题乙：“点M 轨迹是以

F 1,F 2为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的

()

A :充分不必要条件

B :必要不充分条件 C:充要条件 D:既不充分也不必要条件

4双曲线4x 2-y 2+64=0上一点P 到它的一个焦点的距离等于 16.5，则点P 到另一个焦点的距离等

于 ^ 2

2

5.

设P 是双曲线 二一七=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x —2y = 0 , F 1, F 2分别是双曲线的左、 a 9

右焦点，若|PF I |=3，贝u |PF 2的值为.

6. 已知双曲线的中心在 原点，两个焦点 0 F 2分别为(寸5。)和(-75,0),点P 在双曲线上且 PFI _LPF 2, 且^ PF 1

F

2

的面积为1,则双曲线的方程为

7. 已知双曲线的两个焦点为 F 1(—J5,0), F 2(J5,0) , P 是双曲线上的一点，且PF 1 _L PF 2, PF 1，PF 2 = 2, x y

8. 已知F 1,F 2为双曲线 ———F=1(b>0)的焦点，过F 2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点

P,且

4 b

2PF 1F 2 =30° ；贝"b =

9. 双曲线 土一匕=1的两个焦点为F 〔，F2,点P 在双曲线上，若 PF 」PF2,则点P 到x 轴的距离为,

9 16

10. 双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 。< 0)到左焦点距离为 4,贝U x 0=

11. 若椭圆 —+— =1(^>^>0)和双 曲线 工一匕=1(a Ab A0)有相同的焦点 ％ F 2 ,点P 是两条曲线的

m n a b 一个交点，贝U |PF J| PF 2I 的值为.

12. 动圆与两圆x 2 +y 2 =1和x 2 +y 2 —8x +12 =0都相切，则动圆圆心的轨迹为(

)

A.抛物线55

B.圆C .双曲线的一支 D .椭圆

13. P 是双曲线,与—写=i （a 》O, b 》0）左支上的一点， ％ F 2为其左、右焦点，且焦距为2c ,则^ PF 1F 2 a b

2

2

2

2

= 1(y 》0) C • ；__L=1 或 土工=1

A. 则该双曲线的方程是

( )

2

2

2

2

A*-匕=1

B*-匕=1

C : 女—y 2=1

D:x 2 顼=1

2 3

3 2

2

2

4

4

的内切圆圆心的横坐标为

二.双曲线的几何性质

1. “ab<0”是“方程ax2+by2 =c表示双曲线”的（）

A.必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件

2.双曲线2x2— y2 =m的一个焦点是（0, J3）,则m的值是・_。

3

3. 如果双曲线的渐近线万程为y=±—x，则离心率为

4

4. 双曲线mx2 +y2 =1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= （）

A: 一4 B: 一1C: 4 D : 1

4 4

2 2

5. 双曲线1的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为（）

a b

A:2 B:、、3 C : ,2 D :3

2

2 2

6. 双曲线& _土= 1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为（）

a b

A: 2 B：3C:罗D:、、3

7. P是双曲线x2-y2=1上一点，贝U P到两条渐近线的距离的积为

2 2

8. 双曲线笔-%= 1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 .

a b

x2 y2

9. 已知双曲线二―七=1的两条渐近线的夹角为一，则双曲线的离心率为

a 2 3

2 2

10. 已知双曲线j 十七=1的离心率为e <2，贝U k的范围为

2 2 /

11 .若双曲线W-，= 1的一条渐近线的倾斜角为七0<0（<2|,其离心率为

2 2

12. 方程=1表示双曲线，则m的取值范围（）

2 m 2 —m

A: -2 ： m ： 2 B: m 0 C : m - 0 D : m - 2

13. 椭圆—+% =1和双曲线 % -匕=1有相同的焦点，贝U实数n的值是（）

34 n2n2 16

14.曲线―一十_^=1(m <6)与曲线-^+―=1(5

)

10 -m 6 -m

5 -m 9-m

A:焦距相等 B :离心率相等 C:焦点相同

2

2

2

2

15.已知椭圆 二十%= 1和双曲线 二—匕=1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为

3m 5n 2m 3n 16.已知方程ax 2 +by 2 =b(ab <0),则此曲线是

A:焦点在x 轴上的双曲线

B:焦点在y 轴上的双曲线 C :焦点在x 轴上的椭圆 D :焦点在y 轴上

的椭圆

三.求双曲线方程

1. 已知圆C 1 : (x+5)2 +y 2 =49与圆C 2 :(x —5)2 +y 2 =1，圆C 与圆C 1,圆。2均外切；则圆C 的圆心 C 的轨迹方程是

2.

若双曲线的两个焦点分别为 (0, —2),(0 2)，且经过点(2,而)，贝U 双曲线的标准

方程为 .

3.与曲线

2

2

24 49

2

=1共焦点，而与—

36 2

—匕=1共渐近线的双曲线方程为

64

()

2

2

2

2

2

2

2

2

AX 工=1

B:。匕=1

C:「—

D:—- 匕=1

16 9

16

9

9

16

9 16

4. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为

(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5:4,则双曲线的标准方程 是.

5. 已知双曲线通过 M (1,1),N(—2,5)两点，求双曲线的标准方程 .

2

6. (1)设P 是双曲线 —-y 2 =1上的动点，O 为坐标原点， M 为线段OP 中点，求点M 的轨迹方程 4 四.直线与双曲线

1 .直线y=kx+2与x 2—3y 2=6的右支交于两点；求实数 k 的取值范围。

2 .过原点的直线l 与双曲线y 2-x 2=1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为

一.定义的应用

1. 一^+虹=1(y < T) 2 . D 3. B 4 . 3

2.5 5.7 6.

— -y^1 7 . C 8 .

2^2

16

9

4

A: _5

B: _3

C :25

D:9

D :准线相同

9.

16

5

10. _21 11. m —a 12 . C

5 13. 二双曲线的几何性质

1. A 2 . -2,-«件3 兰或二

3 10

10. _12：：k：：

0 3

11. ^1-

cos :

12. A 13 . B 14 15. x=_§ 16.

B

5.

6. .求双曲线方程

2 2

仝-匕=1(x_3)

9 16

2.

2

2 y .

-x +—=1 3 . A 4

3

设双曲线C方程为mx2 +ny2 =1（mn <0）

由题意

得

解

:

2

七=1

16

m + n =1

4m +25n =1~

设P(x°,y o)及M (x, y)

为线段OP中点

-4y2=1

四.直线与双曲线

1. y = kx 2

2 = -3y =6

x1 >0 n

x2 >0

2.

8

m = —

7 双曲线的标准方程为

1

n = —一

7

8x2

2 x0 则—

4

:二x0 = 2x, y0 =2y代入（1）得 2 2 .

x -4y =1, 点M的轨迹方程为

2

(3k —1)x+12kx+18 = 0 两不同根为X I ,x2

X I x2 0 =

x1x20

-1）U（1, +°°）

利用数形结合，结合渐近线可求得

4.解：（1）由已知得^*3 =2,所以

3.

一 (3x)

所以双曲线的渐近线方程分别y =W-

3 72(1 -k2) 0

12k :: 0 = -1 ：： k :: -二

2 3

3k2 -1 0

,3

2 =1,所以双曲线方程为y^—=1,

3

(2 )由(1 )知 F i ( 0 , 2 F 2(0, -2),因为 2|AB|=5|F I F 2| ,所以 AB=10 ,设

、，一 3

3

A(x i , x i ), B (X 2, —=-X 2), AB 中点 M (x, y)

3 3

抛物线

一. 抛物线的定义

1 .若/是定直线/外的一定点，则过 为与!相切圆的圆心轨迹是（）

A.圆

B.椭圆

C.双曲线一支

D.抛物线

1 .若点P 到点『（4，。）的距离比它到直线i+5=0的距离小1,则『点的轨迹方程是（）

A 寸=-血 B

. ? = -32J C. 丁 = 16了 D.

3若点P 到直线y=-1的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为 （）

A.x 2

=12y B.y 2=12x C.x 2

=4y D. x 2

=6y

4.已知点*（32）, F 是抛物线洋2x 的焦点，点"在抛物线上移动时，昭|+|』剑取

得最小值时M 点的坐标为（）.

8.

抛物线y 2 = 的焦点弦的端点为』（站＞1）顼改，乃），且可+工广'，则=.

9. 过抛物线y 2

=4X 的焦点作直线，交抛物线丁

A （X I , y 1

） , B （X 2

, y 2

）两点，如果X 1

+ X 2

=6,

那么 |AB|=

（）

A. 8

B. 10

C. 6 D . 4

10.在抛物线=8了上有一点p ，它到焦点的距离是20,则P 点的坐标是.

则 x 1 +x 2 =2x ,吏x 1 -吏x 2 = 2y , AB

3 3

= 10= I ( x 2 _ X 1 )2 (^ X 2 _ 二 X 1 )2 =10,

3 3

2

、，…

X

消去X 1, X 2并整理得：点M 的轨迹方程为 一 +

75

2

y

4=1,所以点M 轨迹是焦点在x 轴上的椭圆.

25 3

A. (0, 0)

B.

C. ，'

D. (2, 2)

5. 已知点（—2, 3）

6. 在抛物线寸=跪

与抛物线= 2孙（夕＞° ）的焦点的距离是5,则夕= 上有一点户，它到焦点的距离是20,则P 点的坐标是

7.已知抛物线y ^0）上一点A （吸时到焦点F

的距离等丁 4寸，则州

11. (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 J2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为

(2)抛物线C: y 2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。

分析：(1) A在抛物线外，如图，连PF,则PH = PF ,因而易发现，当；QA

H B

....... 一…----- P B

A、P、F三点共线时，距离和最小。

(2) B在抛物线内，如图，作QFU l交于R,则当8 Q R三点共线时，

距离和最小。

解：(1) (2, <2 )

/-连PF,当A、P、F三点共线时，|AP + PH| = AP +|PF最小，此时AF的方程为y= 4；2；0(x_1)

即y=2 J2(x-1),代入y2=4x得P(2,2 V 2 ),(注：另一交点为(】，—J2)，它为直线AF与抛物线的另一交

2

点，舍去)

1 ,

(2) ( 1,1)

4

过Q作Q21交于R当8 Q R三点共线时，BQ +|QF| =|BQ +QR最小，此时Q点的纵坐标为1,

代入y2=4x 得x= — , Q(1 ,1)

4 4

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

9.

二. 抛物线的几何性质

2 .焦点在直线3"4y-12=°的抛物线的标准方程是

3. 抛物线4a的焦点坐标是()

A.物物B .4a 4a C.4a 4a D. 4a Aa

4. 抛物线J TOx的焦点到准线的距离是()

A. 2.5 B . 5 C. 7.5 D. 10

5. 抛物线二+》= °的焦点位丁()