高考数学：函数必考的8大题型必须掌握，不会也能提高30分！
高考数学学科备考关键问题指导系列三(三角函数存在问题及应对策略)
福建省2023届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三三角函数存在问题及应对策略（福建省2023高三复习备考指导组研制，张兵源、洪云执笔整理）三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位．三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识．在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等．对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现．随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2022年全国新高考Ⅰ卷考查一道单选题和一道解答题，单选题第6题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，解答题第18题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式．在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用，考查了推理能力与数学运算等数学学科核心素养．表1：2017年--2020年全国Ⅰ卷三角函数考点分布统计表（理科）表2：2021年--2022年全国新高考Ⅰ卷三角函数考点分布统计表2022届高考是继2021年首届文理不分科且使用理科旧教材的第二届新高考，下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及归因分析 （一）概念理解不透彻本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等．【例1】（2022·新高考Ⅰ）6．记函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则()2f π= A ．1B ．32C ．52D ．3【解析】已知函数()sin()4f x wx b π=++，(0)w >的最小正周期为T ,2T wπ=，23T ππ<<，得223w πππ<<，23w ∴<<，()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，2b ∴=， 且3sin()024w ππ+=，则324w k πππ+=，21()34w k =-，k Z ∈，取4k =，可得52w =， 5()sin()224f x x π∴=++，53()sin()2sin 21212442f ππππ∴=++=+=-+=．故选A ．【评析】本题由已知周期T 的范围求得w 的范围，由对称中心求解w 与b 的值，可得函数()f x 解析式，从而求出()2f π的值．本题考查sin()y A wx b ϕ=++型函数的图象与性质，考查推理能力与数学运算等数学学科核心素养．本题解题关键在于从已知周期T 的范围去求w 的范围，进而求出k 的值，从而确定w 的值，得到函数()f x 的解析式．本题易错的主要原因：其一，对三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等模糊不清，从而无法求出w 的值来解决问题；本题的另一个易错点是学生未能正确求出k 值，导致错误.（二）整体意识较薄弱在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等．【例2】（2022年·新高考Ⅱ）6．若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则A ．tan()1αβ-=B ．tan()1αβ+=C ．tan()1αβ-=-D ．tan()1αβ+=-【解析】解法一：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，))sin 44ππαβαβ++=+，即sin()2cos()sin 44ππαβαβ++=+， sin()cos cos()sin 2cos()sin 444πππαβαβαβ∴+++=+， sin()cos cos()sin 044ππαβαβ∴+-+=， sin()04παβ∴+-=，4k παβπ∴+-=，k Z ∈，4k παβπ∴-=-+，tan()1αβ∴-=-．解法二：已知sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+,可得sin cos cos sin cos cos sin sin 2(cos sin )sin αβαβαβαβααβ++-=-， 即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， sin()cos()0αβαβ∴-+-=，tan()1αβ∴-=-．故选C ．【评析】本题解题关键在于利用辅助角公式和两角和差公式运算，方法二将sin()αβ+，cos()αβ+，)sin 4παβ+分别展开后，即可求解．本题考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径.本题易错的主要原因：学生不能灵活应用公式，两角和差公式在展开过程中出错，或将已知条件复杂化，从而无法解决问题.（三）恒等变形欠灵活化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误．【例3】（2021年·新高考Ⅰ）6．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25 D ．65【解析】因为222sin (1sin 2)sin (sin 2sin cos cos )sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++===++++ 2222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+++====+++．故选C ．【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多．通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．学生在学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系．同时，要特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导．例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等．本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，解题关键从二倍角公式入手，利用22sin cos 1θθ+=化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．本题易错的主要原因：其一，学生对化归意识不强，不能将含有2θ的三角关系式转化为含有θ的三角关系式，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是对三角恒等变形转化不准确，不能快速地识别、选择、应用三角公式22sin cos 1θθ+=齐次化得tan θ，导致错误．三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的．（四）数形结合不灵巧在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．【例4】（2022年·全国甲）11．设函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是 A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】函数()sin()3f x wx π=+在区间(0,)π恰有三个极值点、两个零点，(0,)x π∈，(,)333wx w ππππ∴+∈+ 5323w ππππ∴<+≤ 13863w ∴<≤．故选C ．【评析】本题主要考查正弦三角函数图象与性质的应用问题，考察了数形结合解题思想，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．根据函数图象，可得出零点区间长度．三角函数是一种比较特殊的函数，侧重奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性．三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力．此考点题目多为中档难度试题．在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象．在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分．因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义→画出图象→研究性质→进行应用．这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解．本题解题关键在于从相邻两零点和三个极值点的最大距离及占区间长度最小值入手，从而求得w 的取值范围．本题易错的主要原因：其一，面对零点与极值点区间长度问题，学生有畏惧心态无从下手,从而无法解决问题；本题的另一个易错点是不能利用函数的性质进行应用，对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析，导致错误．（五）定理应用欠思考本专题的显著特点就是公式多、定理多．学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关()sin()f x A wx b ϕ=++问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因．【例5】（2022年·全国乙）17．记ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+； （2）若5a =，25cos 31A =，求ABC ∆的周长．【解析】（1）证明：ABC ∆中，sin sin()sin sin()C A B B C A -=-， sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A ∴-=-，sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A ∴+=， sin (sin cos cos sin )2sin sin cos A B C B C B C A ∴+= sin sin()2sin sin cos A B C B C A ∴+=即22cos a bc A =又2222cos a b c bc A =+-， 得2222a b c =+． （2）若5a =，25cos 31A =时，由（1）知，222250b c a +==， 又由（1）知，22cos a bc A =，22523125cos 31a bc A ∴===，222()2503181b c b c bc ∴+=++=+=，9b c ∴+=，所以ABC ∆的周长为5914a b c ++=+=．【评析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力． 本题第（1）问解题关键在于利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求证明等式；第（2）问解题关键是利用（1）中结论求出22b c +和2bc 的值，整体思想求出b c +，从而求处ABC ∆的周长．本题易错的主要因：其一，三角恒等变换、边角互化不熟悉，没有转化成边的关系，从而无法解决问题；本题的另一个易错点没有整体思想，分开求解b ，c ，导致计算繁杂．（六）知识交汇不顺畅本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇．如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数sin()y A x ωϕ=+问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分．不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分． 【例6】（2021年“八省联考”）22．已知函数()()sin cos ,sin cos x x f x e x x g x e x x =--=++. （1）证明：当54x π>-时，()0f x ≥； （2）若()2g x ax ≥+,求a .【解析】证明：（1）()cos sin x f x e x x '=-+,（Ⅰ）当5,42x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，sin cos 0x x --≥，故()0f x ≥；（Ⅱ）当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos sin 1x x -+<-，()0f x '<，()f x 单调递减，而()0=0f ，故()0f x ≥；（Ⅲ）当0x =时，()0f x =；（Ⅳ）当()0,x ∈+∞时，1cos sin x x x +>+.设()1x h x e x =--,则当()0,x ∈+∞，()10x h x e '=->,故()h x 单调递增，()00h =,()()0f x h x ∴>>.（2）设()()()()2cos sin x k x g x ax g x a e x x a ''=--=-=+--，则()()k x f x '=,由（1）知，当5,4x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0k x '≥,()k x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增, ()02k a =-. （Ⅰ）若2a >,()00k <,()ln 10k a +>,故存在唯一()00,ln 1x a ∈+,使得()00k x =.当()00,x x ∈时，()0k x <,()2g x ax --单调递减，而()0200g a --⨯=,故()0020g x ax --<；（Ⅱ）若02a <<,()0k x >,()0k π-<,故存在唯一()1,0x π∈-，使得()10k x =,当()1,0x x ∈时，()0k x >,()2g x ax --单调递增，而,()0200g a --⨯=,故()1120g x ax --<；（Ⅲ）若0a ≤,2022g a ππ⎛⎫⎛⎫----< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（Ⅳ）若2a =,()k x 单调递增，()00k =. 当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()0k x <,()220g x x -->;当(),2x ∈-∞-时, ()0k x <,()220g x x -->;当[)0,x ∈+∞时, ()0k x >,()02200g --⨯=,故()220g x x -->. 综上, =2a .【评析】本题的两问难度较大，考察三角函数的导数、证明不等式恒成立问题，构造函数、分类讨论单调区间、极值点和零点的概念，充分体现了在知识交汇处命题的意图．同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理念，也重点考查了学生的学科素养．本题解题关键在于求出导函数()cos sin x f x e x x '=-+，从讨论x 的区间入手，判断()f x '的符号，结合三角函数的有界性和不等式放缩求出()f x 的范围，进而分类讨论参数a ，求出a 的值.本题易错的主要原因：其一，运算不过关．具体表现在导数公式记忆出错、求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误，从而无法解决问题；本题的另一个易错点是解题严谨性欠缺,对函数单调性的分类讨论不全面，从导函数的符号到函数的增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位．在第（2）问中，无法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论，导致错误.二、解决问题的思考与对策（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念，图象与性质．高考对三角函数的考查，尤其是选择题（2021年，2022年新高考增加多选题）、填空题对三角函数的考查， 2022年往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等．复习过程中，要关注三角函数的定义，以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式；要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性，它们都是重要的解题辅助工具；要关注思想方法的渗透，特别是化归与转化思想，它是三角恒等变形的主导思想．【例7】（2022·新高考Ⅱ）（多选题）9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图像关于点2(,0)3π中心对称，则 A ．()f x 在区间5(0,)12π单调递减 B ．()f x 在区间11(,)1212ππ-有两个极值点C ．直线76x π=是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线【解析】因为()sin(2)f x x ϕ=+(0)ϕπ<<的图象关于点2(,0)3π中心对称，223k πϕπ∴⨯+=，k Z ∈， 43k πϕπ∴=-+， 又0ϕπ<<，23πϕ∴=， 2()sin(2)3f x x π∴=+． 令232232x πππ<+<，解得51212x ππ-<<， ()f x ∴在区间5(0,)12π单调递减， A 正确； 11(,)1212x ππ∈-，252(,)322x πππ∴+∈， 根据函数的单调性，函数()f x 在区间11(,)1212ππ-只有一个极值点，B 错误；令2232x k πππ+=+，k Z ∈ 得122k x ππ=-+，k Z ∈，C 错误； 2()sin(2)3f x x π=+，2()2cos(2)3f x x π'∴=+，令2()2cos(2)13f x x π'∴=+=-，即21cos(2)32x π+=-， 解得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，()y f x ∴=在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为1-，()y f x ∴=的切线方程为y x =，D 正确． 故选AD ．【评析】本题考查的知识点有三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．本题的解题关键在于利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步考查函数的单调性、对称轴、极值点及切线．本题易错的主要原因：其一，学生不会利用函数的对称性求ϕ值，从而无法得出函数的关系式；本题的另一个易错点对函数()f x 的极值点和切线的求解掌握不到位.（二）强化学生三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，提高学生三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力．理清三角函数求值的常见类型，特别是给角求值、给值求值问题．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 【例8】（2022·上海高考）（填空题）3．函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos 21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ∴==． 答案为：π．【评析】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用．三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如21cos 22cos αα+=，21cos22sin αα-=，1tan πtan()1tan 4ααα+=--，tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等．本题解题关键由三角函数的恒等变换化简函数可得()cos 21f x x =+，根据周期公式即可求值． 本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题.【例9】（2016全国Ⅰ卷文）14．已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则πtan()4θ-= ．【解析】思路1： 考虑到πππ()()442θθ+--=，令ππ,=44αθβθ=+-，则π2βα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，所以πcos 4tan tan()2sin 3αβαα=-=-=-． 思路2：考虑ππ()44θθ+-=，运用两角和的正切公式．令π4αθ=+，则π4θα=-，因为θ是第四象限角，所以cos 0α>，故4cos 5α=，从而sin 3tan cos 4ααα==，所以πtan tan()4θα=-tan 1tan 1αα-=+ 17=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路3：πcos()πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4θθθθθθθθθ+---==-=-=-+++． 思路4：展开π3sin()45θ+=求出sin θ，运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，所以sin cos 5θθ+=，7sin cos 50θθ=-，因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，解得sin 10θ=-，cos 10θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 思路5： 运用两角和的正弦公式求出sin θ，再运用两角和的正切公式．因为π3sin()45θ+=，θ是第四象限角，所以π4cos()45θ+=，从而ππsin sin()44θθ=+-ππ))44θθ=++34()55-=，cos θ=，所以1tan 7θ=-，故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+． 【评析】本题解题关键在于从观察角π4θ+和π4θ-关系入手，进而运用两角和差的正弦、余弦或正切公式都可以解题.本题易错的主要原因：其一，没找出两角关系特点从而无法解决问题；本题的另一个易错点是两角和差公式计算错误.（三）重视函数三种表征的理解和应用，加强函数()sin()f x A x b ωϕ=++图象与性质的研究．突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养．高考复习中，要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换；重视对三角函数的数形结合思想的应用；重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养． 【例10】多选题（2021年“八省联考”）12．函数cos2()2sin cos xf x x x=+，则A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增D ． ()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 【解析】思路1：A 选项考察周期性.由()cos 2cos 2cos 20()2=22sin cos sin 2+4sin 24x x x f x x x x x -==⨯⨯+--，得()f x 的几何意义为单位圆上动点()sin 2,cos 2x x 与点()4,0-连线斜率的2倍来判断BCD 选项，其中，B 选项也可用辅112sin 22,2sin 2222x x x x -≤∴+≥,解得cos 2()1sin 2+22x f x x =的最大值． 故选AD ．思路2：由()()2414sin 2()4sin 2x f x x -+'=+，结合三角函数的零点、单调性、区间上的值域求解．【评析】该题作为多项选择题的压轴题，需要学生能够梳理好解决问题的切入点，从选项中找到突破口．题目中考查的知识点较为综合，难度较大，需要学生在复习备考中紧抓基础知识和基本技能，注重常规、常法，重在落实好数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，不仅要学到知识更要形成适应社会发展的必备品格和关键能力，最终学会用数学的眼光观察世界．该题考察的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考察学生的运算能力、转换能力及思维能力。
2025高考数学必刷题 第8讲、幂函数与二次函数(学生版)
第8讲幂函数与二次函数知识梳理1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x=2y x =3y x =12y x=1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R{|0}y y ≥R{|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.【解题方法总结】1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.必考题型全归纳题型一：幂函数的定义及其图像【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数()22()22m f x m m x-=--⋅是幂函数，且在()0+∞，上递减，则实数m =（）A ．1-B ．1-或3C ．3D ．2【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知()()25m f x m m x =+-为幂函数，则（）．A ．()f x 在(),0∞-上单调递增B ．()f x 在(),0∞-上单调递减C ．()f x 在()0,∞+上单调递增D ．()f x 在()0,∞+上单调递减【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．9【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq<【解题方法总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为___________.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是________．【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知2()f x x =，1()()2x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________.【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知121111log 122aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，，，则实数a 的取值范围是___________【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2(),x af x x x a =>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式()10112202221210x x x -++-≤的解集为：_________．【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=奇函数，且在()0,∞+上为严格减函数，则α=__________.【解题方法总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程2(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是（）A ．(5,4)--B ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(5,2)--【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【解题方法总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知()()224,,f x ax bx c a b c =++∈R .(1)若()01f =-，20a b +=，解关于x 的不等式()()13f x a x <+-；(2)若0a c +=，()f x 在[]22-,上的最大值为23，最小值为12-，求证：2b a ≤.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21xf x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln 1()x f x e ax a R =++∈为偶函数.（1）求a 的值；（2）设函数()()f x xx g x eme +=+，是否存在实数m ，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值为214e -若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解题方法总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型五：二次函数最大值的最小值问题【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．2025高考数学必刷题【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()1,f x x ax b a b x=+--∈R ，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，求(),M a b 的最小值．【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数()1f x x x a =--+．(1)当2a =时，解方程()0f x =；(2)当[]0,5a ∈时，记函数()y f x =在[]1,4x ∈上的最大值为()g a ，求()g a 的最小值。
高三一轮复习建议——单元五：函数与导数
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明
专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例1：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x .列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .例2、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。
数学解答题技巧
高考数学解答题技巧1、三角变换与三角函数的性质问题解题方法：①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ;④结合性质求解。
答题步骤：①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
2、解三角形问题解题方法：(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
答题步骤：①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
3、数列的通项、求和问题解题方法：①先求某一项，或者找到数列的关系式;②求通项公式;③求数列和通式。
答题步骤：①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
4、离散型随机变量的均值与方差解题思路：(1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。
(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。
答题步骤：①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
④计算：计算随机变量取每一个值的概率。
⑤列表：列出分布列。
⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。
5、圆锥曲线中的范围问题解题思路;①设方程;②解系数;③得结论。
答题步骤：①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考数学导数压轴题7大题型总结
目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的,几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调,极值，极值点,最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。
掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得.为了帮助大家复习,今天就总结倒数7大题型,让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。
1导数单调性、极值、最值的直接应用
2交点与根的分布
3不等式证明
（一）做差证明不等式
（二)变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
4不等式恒成立求字母范围
(一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
(三）恒成立之讨论字母范围
5函数与导数性质的综合运用
6导数应用题
7导数结合三角函数。
高考数学考试重难点知识总结
高考数学考试重难点知识总结高考数学考前必背知识点一、三角函数题三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.二、数列题数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合应用,常与不等式、函数、导数等知识综合交汇,既考查分类、转化、化归、归纳、递推等数学思想方法,又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.近几年这类试题的位置有所前移,难度明显降低.三、立体几何题常以柱体、锥体、组合体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容,如线线、线面与面面的位置关系,线面角、二面角问题,距离问题等,既有计算又有证明,一题多问,递进排列,此类试题既可用传统方法解答,又可用空间向量法处理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.四、概率问题概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.五、圆锥曲线问题解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考查重点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题导数题考查的重点是用导数研究函数性质或解决与函数有关的问题.往往将函数、不等式、方程、导数等有机地综合,构成一道超大型综合题,体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.鉴于该类试题的难度大,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道,标准答案提供的解法往往如同“神来之笔”,确实想不到,加之“搏杀”到此时的考生的精力和考试时间基本耗尽,建议考生一定要当机立断,视时间和自身实力,先看第(1)问可否拿下,再确定放弃、分段得分或强攻.近几年该类试题与解析几何题轮流“坐庄”,经常充当“把关题”或“压轴题”的重要角色.高考数学必考知识点大全第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
2025高考数学必刷题 第28讲、三角函数概念及诱导公式(学生版)
第28讲三角函数概念及诱导公式知识梳理知识点一：三角函数基本概念1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3、任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cos sin 22=+αα．（2）商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【解题方法总结】1、利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2、“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=必考题型全归纳题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2024·辽宁·校联考一模）已知角α的终边上一点的坐标为4π4πsin ,cos 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α的最小正值为（）A ．π5B ．3π10C ．4π5D ．17π10例2．（2024·全国·高三专题练习）下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（）A ．()2π45Z k k +∈B ．()9π360Z 4k k ⋅+∈C ．()360315Z k k ⋅-∈D ．()5ππZ 4k k +∈例3．（2024·广东·高三统考学业考试）下列各角中与437︒角的终边相同的是（）A ．67B ．77C ．107D ．137变式1．（2024·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角α的终边为射线(0)y x x =≤，则下列正确的是（）A ．54πα=B ．cos 2α=C ．tan 12πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解题方法总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知α是锐角，那么2α是（）．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180°的正角D ．第一或第二象限角例5．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限例6．（2024·浙江·高三专题练习）若角α满足α＝236k ππ+(k ∈Z)，则α的终边一定在()A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上变式2．（1990·上海·高考真题）设α角属于第二象限，且cos cos 22αα=-，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知角α的终边与53π的终边重合，则3α的终边不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解题方法总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为__________.例8．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.例9．（2024·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为1S ，圆面剩余部分的面积为2S ，当21S S =扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.变式5．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.变式6．（2024·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.变式7．（2024·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角α=______弧度．【解题方法总结】应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．题型四：三角函数定义题例10．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知()3,4P 是角α终边上的一点，则sin α=（）A ．35B ．45C ．34D ．47例11．（2024·全国·高三对口高考）如果点P 在角2π3的终边上，且||2OP =，则点P 的坐标是（）A ．B ．(-C ．(D ．(1)-例12．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点A 的坐标为(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OB ，则点B 的纵坐标为（）A ．B ．1-CD ．1变式8．（2024·全国·高三专题练习）设a<0，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（）A ．25-B ．15-C ．15D ．25变式9．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点(1,0)A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，则P ，Q 两点在第2019次相遇时，点P 的坐标为________.【解题方法总结】（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例13．（2024·全国·高三对口高考）若13π7α=，则（）A ．sin 0α>且cos 0α>B ．sin 0α>且cos 0α<C ．sin 0α<且cos 0α>D ．sin 0α<且cos 0α<例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点()sin23,cos23A -是角α终边上一点，若0360α<< ，则α=（）A ．113B ．157C ．293D ．337例15．（2024·河南·校联考模拟预测）已知α是第二象限角，则点(cos(sin ),sin(cos ))αα所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知α是第二象限角，则点（cos()α-，sin()α-）所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式11．（2024·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点()sin 2023tan 2023P ︒︒，位于第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点()cos ,tan P θθ是第二象限的点，则θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解题方法总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，且满足sin cos 5θθ-=，则tan θ=（）A ．2B ．1C ．3D ．12例17．（2024·山西阳泉·统考二模）已知sin cos αα+，0πα<<，则sin cos αα-=（）A ．BC ．D 例18．（2024·全国·高三专题练习）已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．4925变式13．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知πsin sin 2θθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭tan θ=（）A ．B ．1-C ．1D 变式14．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知sin cos αα､是关于x 的方程2320x x a -+=的两根，则=a __________.变式15．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知sin cos αα-=sin 2α=________．变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=______．变式17．（2024·全国·高三专题练习）若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．变式18．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是__________．变式19．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知tan x ，则23sin 2sin cos x x x -=__________.变式20．（2024·全国·高三对口高考）若sin cos 2sin cos x xx x-=+，求sin cos x x 的值为__________.【解题方法总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例19．（2024·山西阳泉·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______．例20．（2024·四川绵阳·统考三模）已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin π3θ+=，则tan θ=______.例21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若()1sin 2πα+=-，则cos α的值为（）A ．12±B ．12C ．2D ．2±变式21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若1sin 3A =，则()sin 6A π-的值为（）A ．13B ．13-C．3-D．3变式22．（2024·广东深圳·统考模拟预测）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45变式23．（2024·陕西西安·长安一中校考二模）已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【解题方法总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例22．（2024·河南驻马店·统考三模）已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．12C ．12-D ．25-例23．（2024·全国·高三对口高考）若tan 1tan 1x x =--，求π3πsin cos 22x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例24．（2024·全国·高三专题练习）已知tan 3α=，求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．变式24．（2024·河南周口·高三校考期中）（1）若3sin cos 0αα+=，求2cos 2sin cos ααα+的值；（2）设()222sin(π)cos(π)cos(π)3ππ1sin cos sin 22f ααααααα+--+⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=)12si (n 0α≠＋，求23π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.变式25．（2024·江苏扬州·高三校联考期末）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=(1)求函数()y f θ=的解析式，并求2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()34f θ=()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值变式26．（2024·贵州贵阳·高三统考期中）已知角α满足5sin cos 5αα-=(1)若角α是第三象限角，求tan α的值;(2)若sin()tan(5)cos()()3tan(2)cos()2f αππαπααππαα-++=---，求()f α的值.【解题方法总结】（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．（2）注意角的范围对三角函数符号的影响。
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高考数学：函数必考的8大题型必须掌握，不会也能提高30
分！
学得好不如考得好，考得好不如报得好，说的就是我们的高考。
不过，一些成绩不是很理想的同学也想上大学，但是无奈内容太多，不能做到短时间快速提高成绩。
那么，如何才能快速的提高我们的分数，让我们离大学的大门更进一步呢？
函数是高中数学的重中之重，所涉及的范围也是非常广泛，短时间提高30分，从函数上下功夫，绝对是有可能的。
所以今天，来给大家说一说关于高考数学函数必考的八大题型。
结合历年高考真题总结出的。
说白了，就是套用题型模板，了解这类题的解题思路，一方面能够让你快速提高分数，另一方面也能让你提高解题速度。
下面我来和大家一起深入了解这8种高考函数必考的类型。
1.二次函数
2.复合函数
3.创新型函数
4.抽象函数
5.导函数
6.函数在实际生活中的应用
7.函数与数列的综合
8.数列的性质与概念
今天的分享就到这里了，如果有什么疑问，大家可以问我。
由于篇幅有限，暂且分享这么多，关于函数更多的真题及快速解题方法。
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