二项式定理 学案——高二上学期数学人教A版选修2-3
高中人教A数学选修2-3学案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 含答案
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质自主预习·探新知情景引入幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把1到9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15”．杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？新知导学1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数__相等__．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__和__，即C r n＋1＝__C r－1n＋C r n__．2．二项式系数的性质对称性与首末两端“__等距离__”的两个二项式系数相等(即C m n＝C n－mn)．增减性当k<__n＋12__时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值最大值当n是偶数时，中间一项二项式系数取得最大值__C n2n__当n是奇数时，中间两项二项式系数相等，同时取得最大值__C n-12n＝C n+12n__各二项式系数的和C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝__2n__.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝__2n－1__.预习自测1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(C)A．5B．6C．7D．8[解析]二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．2．(全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(C)A．－80B．－40C．40D．80[解析]因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80．所以x3y3的系数为80－40＝40．故选C．3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(B)A．56B．160C．80D．180[解析]由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为T r＋1＝C r6(2x)r＝2r C r6x r，令r ＝3得23C36＝160．4．(2020·深圳二模)若(x－4x)n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为__96__．[解析]在(x－4x)n中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得n＝4．∴(x－4x)n的展开式的通项公式为：T r＋1＝C r4x4－r(－4x)r＝(－4)r·C r4·x4－2r，令4－2r ＝0，解得r ＝2.∴常数项为C 24×(－4)2＝96．故答案为96．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶与杨辉三角有关的问题典例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19．[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和．[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23；第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211．故S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312＝274． 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路┃┃跟踪练习1__■(1)如图，此数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行第2个数是__n 2－n ＋22__．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 … … …(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第__2n －1__行；第61行中1的个数是__32__．[解析] (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1．(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．命题方向❷二项展开式的系数和问题典例2 在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解析] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024．(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512． (3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 8．由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 故偶数项系数的和为12(1－510)．『规律总结』 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．┃┃跟踪练习2__■(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8． ∴(1＋2x )8的展开式中二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4， 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧8！·2r ！(8－r )！≥8！(r －1)！(8－r ＋1)！，8！r ！(8－r )！≥8！·2(r ＋1)！(8－r －1)！⇒⎩⎪⎨⎪⎧2(8－r ＋1)≥r ，r ＋1≥2(8－r ) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ≤6，r ≥5⇒5≤r ≤6． 又∵r ∈N ， ∴r ＝5或r ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6．有关二项式系数和展开式的系数和的问题典例3 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值．(1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2． [思路分析] 用赋值法求各系数的和．[解析] (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100(或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100)．(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100． (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② 与①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002．(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100×(2＋3)100＝1． 『规律总结』 1.各项的系数和一般地，二项展开式f (x )中的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，偶数项系数和为12[f (1)－f (－1)]．2．赋值法“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．┃┃跟踪练习3__■(2020·深圳高二检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7． 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|． [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094．(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093．(4)解法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187．解法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187．学科核心素养 杨辉三角的应用(1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规律．如(a ＋b )6的展开式中a 的指数，由首项的6次逐项下降为0次，b 的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a ，b 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．(2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问题时，往往运用组合数公式．典例4 如图所示，在杨辉三角中，猜想第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和与第(n ＋2)条斜线上各数之和的关系，并证明你的结论．[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论，然后再证明它的一般性．[解析] 第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和等于第(n ＋2)条斜线上各数之和．证明如下：第n 条斜线上各数之和为C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…，第(n ＋1)条斜线上各数之和为C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋…，第n 条斜线上各数与第(n ＋1)条斜线上各数之和为：(C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…)＋(C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…)＝C 0n ＋(C 0n －1＋C 1n －1)＋(C 1n －2＋C 2n －2)＋(C 2n －3＋C 3n －3)＋(C 3n －4＋C 4n －4)＋…＝C 0n ＋1＋C 1n ＋C 2n －1＋C 3n －2＋C 4n －3＋…．这正好是第(n ＋2)条斜线上各数之和．『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用，利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．易混易错警示注意区分项数与项的次数典例5 已知(2x －1)n 的展开式中，奇次方项系数的和比偶次方项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值．[错解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项系数的和为A ，偶次项系数的和为B ，则A ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，由条件得B －A ＝316，又f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a n ＝B ＋A ＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋…＋(－1)n a n ＝A －B ＝－316，∴A ＝12(1－316)．即C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n ＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)． [辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项；二是没有弄清C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n 的准确含义．[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16．从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215． ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1．[误区警示] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n 项，第n 项的次数，第n 项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．课堂达标·固基础1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[解析] (2－x )8展开式的通项T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r2 .由r2＝4得r ＝8． ∴展开式中x 4项的系数为 C 88＝1．又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．2．在(2x －3x )n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( D )A ．32B ．－32C ．0D ．1[解析] 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D ．3．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x 2 019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019的值为(D )A ．2B ．0C ．－2D ．－1[解析] (1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019·x 2 019，令x ＝12，则(1－2×12)2 019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－1． 4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)__． 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 130 120 15 …[解析] 依题意得第n －1行第一个数为1n －1，第n 行第一个数为1n ，第n 行第二个数为1n －1－1n ，第n －1行第二个数为1n －2－1n －1，第n 行第三个数为(1n －2－1n －1)－(1n －1－1n )＝2n (n －1)(n －2)．5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．[解析] 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9．(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29．(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1． (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59．解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得： |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59．。
(完整版)高中数学(人教A版)选修2-3之1.3.1二项式定理(一)
注意 二项式系数与系数的区别
用一用
例3：求( x 1 )9展开式中x3的系数 x
解：( x 1 )9展开式的通项是 x
C9k x9k (
1 )k x
(1)k C9k x92k
由题意得：9-2k=3
k=3
因此x3的系数是 (1)3 C93 84
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnka b nk k Cnnbn(n N * )
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的4 展开式.
(a b)2
C 20a 2
C2
1ab
2
C
22b
2
(a
b)3
C
0a
3
3
C 31a 2b
C
2 3
ab2
C
3 3
b3
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
1.3.1二项式定理（1）
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664、 1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
(a b)2 a2 2ab b2
b
b
a a
欧几里得在《几何原本》卷二 设有如下命题：“任意分一线 段成两段，则整段上的正方形 等于两分段上的正方形与两分 段所构成矩形的二倍之和。”
➢问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
人教版数学高二A版选修2-3第一章二项式定理
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理问题导学一、二项式定理的直接应用活动与探究1求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式．迁移与应用1．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝__________．2．(2013安徽合肥模拟)求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．熟记二项式(a ＋b )n 的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项、项的系数活动与探究2 1．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B ．154C ．－38D ．38迁移与应用1．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－402．求二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式中的常数项．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n a n －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)活动与探究3试判断7777－1能否被19整除．迁移与应用1．9192除以100的余数是__________．2．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n ＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a 写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案： 课前·预习导学 【预习导引】 1．(2)n ＋1 (3)C k n2．C k n an －k b k预习交流 (1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C r n 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12．(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5 课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．解法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2． 解法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2．迁移与应用 1．x 5－1 解析：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1．2．解法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4 ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x2．解法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4 ＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x2．活动与探究2 1．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．4 解析：由二项式定理可知6631662C C (rr r r r rr T x x x --+⎛=-= ⎝⎭， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60．∴15a ＝60．∴a ＝4．2．思路分析：利用二项展开式的通项公式求． C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项， 则T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫126－r (－2)r x 3－r ． 令3－r ＝2，得r ＝1．∴x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38． 迁移与应用 1．D 解析：T r ＋1＝5C r (2x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r 5C r x 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3． ∴(－1)325－3C 35＝－40．2．解：设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 105202r x -·⎝⎛⎭⎫12r (r ＝0,1，…，10)． 令20－52r ＝0，得r ＝8，∴T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256． ∴第9项为常数项，其值为45256．活动与探究3 思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1 ＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用 1．81 解析：∵9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋1，该式前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除．又由于C 9192·90＋1＝8 281＝8 200＋81， ∴9192被100除余81． 2．证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C n n ＋1·8＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64， ∴32n ＋2－8n －9是64的倍数． 当堂检测1．161x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第4项是( )A ．21216C xB ．31016C xC ．31016C x - D ．4816C x答案：C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝16C r ·x 16－r ·1rx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)r·16C r ·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3316C ·x 10＝31016C x -． 2．(2013江西高考，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C 解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r ．令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40．故选C ．3．在(x )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．答案：6 解析：∵T r ＋1＝4203C r rx 20－r y r (r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．4．(1－x )4·(1)3的展开式中x 2的系数是__________．答案：－6 解析：展开式中的x 2项为14C ·(－x )1·23C ·()2＋24C (－x )203C ＝－6x 2．5．求证：(1)5151－1能被7整除；答案：证明：(1)∵5151－1＝(49＋2)51－1＝051C 4951＋151C 4950·2＋…＋5051C ·49·250＋5151C ·251－1， 易知除(5151C ·251－1)以外各项都能被7整除， 又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1 ＝017C ·717＋117C ·716＋…＋1617C ·7＋1717C －1 ＝7(017C 716＋117C 715＋…＋1617C )，显然上式能被7整除，∴5151－1能被7整除． (2)32n ＋3－24n ＋37能被64整除．答案：32n ＋3－24n ＋37＝3·9n ＋1－24n ＋37＝3(8＋1)n ＋1－24n ＋37 ＝3(01C n +8n ＋1＋11C n +8n ＋…＋1C nn +8＋1)－24n ＋37＝3×64(01C n +8n －1＋11C n +8n －2＋…＋11C n n -+)＋241C nn +－24n ＋40 ＝64×3(01C n +8n －1＋11C n +8n －2＋…＋11C n n -+)＋64， 显然上式是64的倍数，故原式可被64整除．。
高中数学人教A版选修2-3“杨辉三角” 与二项式系数的性质—教学案例
“杨辉三角”与二项式系数的性质【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。
高二的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】课前布置预习任务，提前把导学案拍照上传到学生群，让学生自主预习导学案，并借助于网络了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用；课上利用启发引导的方式，引导学生自主探究二项式系数的性质并通过连麦对答的形式与学生进行沟通交流；课后布置相应的随堂练习巩固课上所学知识。
【教学用具】电脑【教学情景设计】过程引入“杨辉三角”包含了什么内容？今天我们研究杨辉三角中数值的规律(此处插入图片吸引同学注意)对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，为学习二项式系数性质埋下伏笔.教师：放映相关图片；学生：通过连麦的方式从不同的角度畅谈对“杨辉三角”有何了解及认识.复习（1）二项式定理及其特例；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。
数学人教A版选修2-3教案：1.3.1二项式定理 Word版含解析
1．3二项式定理整体设计教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．课时分配3课时1．3.1二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！. (3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．探究新知(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4，a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a4＋()a3b＋()a2b2＋()ab3＋()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14种，a3b的系数是C14，恰有2个取b的情况有C24种，a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C34种，ab3的系数是C34，有4个都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，∴(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34a3b＋C44b4.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题4：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)a n＋(_)a n－1b＋(_)a n－2b2＋…＋(_)a n－r b r＋…＋(_)b n(n∈N*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：a n，a n－1b，…，a n－rb r，…，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a n的系数是C0n；恰有1个取b的情况有C1n种，a n－1b的系数是C1n，…，恰有r个取b的情况有C r n种，a n－r b r的系数是C r n，…，有n个都取b的情况有C n n种，b n的系数是C n n，∴(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)，这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．呈现二项式定理——(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．理解新知提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1)它有n＋1项，各项的系数C k n(k＝0,1，…n)叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n.设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．活动成果：(板书)(1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(2)C k n a n－k b k叫二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项T k＋1＝C k n a n－k b k；(3)字母a，b可以是数，式子或其他．设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．运用新知1展开(1＋1x)4. 解法一：(1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 解法二：(1＋1x )4＝(1x )4(x ＋1)4＝(1x )4[x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1]＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．【巩固练习】求(2x －1x)6的展开式． 解：先将原式化简，再展开，得(2x －1x )6＝(2x －1x)6＝1x 3(2x －1)6＝1x 3[(2x)6－C 16(2x)5＋C 26(2x)4－C 36(2x)3＋C 46(2x)2－C 56(2x)1＋C 66]＝64x 3－192x 2＋240x －160＋60x －12x 2＋1x 3. 2求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．思路分析：先把通项写出，分清什么是二项式系数，什么是系数．解：(1＋2x)7的展开式的第4项是T 3＋1＝C 37×17－3×(2x)3＝C 37×23×x 3＝35×8x 3＝280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280.点评：①要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系． 【巩固练习】求(x －1x)9的展开式中x 3的系数． 解：(x －1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9－r (－1x)r ＝(－1)r C r 9x 9－2r . 根据题意，得9－2r ＝3，r ＝3.因此，x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.【变练演编】1．(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?2．(x －1x)9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：C 37＝C 47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35.2．解：根据通项(－1)r C r 9x9－2r ，当9－2r ＝6时，r 无整数解； 当9－2r ＝5时，解得r ＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x 6项，含有x 5项，系数为36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．【达标检测】1．求(2a ＋3b)6的展开式中的第3项．2．求(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数．3．求(1＋2i)5的展开式．1．解：T 2＋1＝C 26(2a)4(3b)2＝2 160a 4b 2；2．解：T 2＋1＝C 26(3b)4(2a)2＝4 860b 4a 2.所以，(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数为4 860. 3．解：因为a ＝1，b ＝2i ，n ＝5，由二项式定理，得(1＋2i)5＝C 05＋C 152i ＋C 25(2i)2＋C 35(2i)3＋C 45(2i)4＋C 55(2i)5＝1＋10i －40－80i ＋80＋32i＝41－38i课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．补充练习【基础练习】1．已知(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值．2．已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值．【答案或解答】1．依题意C 3n ＝7C 1n ，即n(n －1)(n －2)6＝7n ， 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8.2．依题意C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3.由于a≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±105. 【拓展练习】3．计算：(a ＋1)5－(a －1)5.4．求证：32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝10n . 答案：3.解：(a ＋1)5－(a －1)5 ＝[(a)5＋C 15(a)4＋C 25(a)3＋C 35(a)2＋C 45a ＋1]－[(a)5－C 15(a)4＋C 25(a)3－C 35(a)2＋C 45a －1]＝2[C 15(a)4＋C 35(a)2＋2]＝10a 2＋20a ＋4.4．证明：右边＝10n ＝(9＋1)n ＝(32＋1)n ＝32n ＋C 1n ·32(n －1)＋C 2n ·32(n －2)＋…＋C n －1n ·32＋1＝32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝左边， 故原式得证．设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a ＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a ＋b)n 的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．备课资料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)．这个公式所表示的定理就是二项式定理．T r ＋1＝C r n an －r b r 叫做二项展开式的通项公式，在这里r ＋1才是项数，第一个位置的a 按降幂排列，次数由n 次降到0次，第二个位置的b 按升幂排列，次数由0次升到n 次，a 、b 可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令a ＝1、b ＝1，就能得到C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，即各二项式系数之和等于2n ，也是含n 个元素的集合的所有子集有2n 个，其中非空子集、真子集都有(2n －1)个，非空真子集有(2n －2)个．2)若令a ＝1、b ＝－1，则可得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ＝(1－1)n ＝0，即C 0n ＋C 2n＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1，也就是在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n －1.3)在二项式定理中，若令a ＝1、b ＝x ，则得到公式 (1＋x)n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r nx r ＋…＋C n n x n ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式．4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项．5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和． f(x)＝(px ＋q)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则有a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n＝f(1)，a 0－a 1＋a 2－a 3＋……＋(－1)n a n ＝f(－1)，a 0＋a 2＋a 4＋……＝12[f(1)＋f(－1)]，a 1＋a 3＋a 5＋……＝12[f(1)－f(－1)]． 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n ＋2－8n －9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①C r n ＝C n －r n ，②C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n. 8)二项式系数C r n (r ＝0、1、2…、n)中，当n 为偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值，当n 为奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n 相等且同时取得最大值，且分别是第n 2＋1项与第n －12＋1项和第n ＋12＋1项． 9)在二项式定理中，使用递推法，即T r ，T r ＋1，T r ＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．10)利用二项式定理可以解决近似计算问题．11)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n －1C n －1n ＋2n C n n ＝3n ；2n －C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋(－1)n －1C n －1n2＋(－1)n ＝1； C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n＝？ 在(2－x)n 中若x n 项的系数为a n (n ＝2,3,4，…)则22a 2＋23a 3＋24a 4＋ (2)a n＝？ …总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学．(设计者：毕晓岩)。
高中数学 1.3.1《二项式定理》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 1.3.1《二项式定理》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1.能记住二项式定理，并说出二项式定理中的公式特征2.会应用二项式定理解决简单问题【重点难点】重点：二项式定理中的公式特征难点：二项式定理的应用【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1．分类计数原理和分步计数原理2．排列、组合公式【学习过程】阅读教材第29页至第30页例1上面的内容，回答下列问题知识点一：探究（a+b）n的展开式问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？（a+b）4=问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？（1）将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）二项式定理：()=+nba________________________________________________________________________阅读教材第30页例1至第31页的内容，回答下列问题知识点二：公式的运用【典例精析】例1.求6)12(x x -的展开式.分析：为了方便，可以先化简后展开.例2.①已知二项式10323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数； ②求n x x )2(2-的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1 （1）求n 的值； （2）求展开式中含23x 的项.小结：（1）某项的二项式系数及某项的系数的区别（2）求展开式中指定项的方法例3.已知在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333的展开式中，第6项为常数项, （1）求含2x 的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.小结：求展开式中有理项的方法【基础达标】A1．在()103-x 的展开式中，6x 的系数为 （） A ．610C 27- B ．410C 27 C ．610C 9- D ．410C 9A2．已知（na a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （）A ．10B ．11C ．12D ．13B3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 .B4.1231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为 .C5. ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 .D6. 若()100a x +的展开式中98x 的系数是9900，求实数a 的值.【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1.求（2a +3b ）6的展开式的第3项.B2.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第r+1项.B3.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）.A.610CB.610C - C.510C D.510C - 【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
人教版数学高二A版选修2-3学案独立重复试验与二项分布
课堂导学三点剖析一、没有限制条件的独立重复试验问题 【例1】 某人射击一次命中目标的概率是21,求此人射击6次恰好3次命中目标的概率. 思路分析：这是独立重复试验问题，分为33C 个互斥事件的和，每一事件的概率都是(21)3(1-21)6-3. 解：依题意，此人射击6次恰3次命中目标的概率为P(x=3)= 36C (21)3(1-21)6-3=165. 温馨提示若X —B(n,P),则P(x=k)= kn C p k (1-p)n-k ,此公式用于计算一次试验中事件发生的概率为p时，n 次独立重复试验中这个事件恰k 次发生的概率.这k 次是哪k 次呢？它有kn C 种可能的情况，从而这个问题转化为kn C 个互斥事件的和，每一个互斥事件又是n 个相互独立的事件的积，其中该事件发生k 次，其对立事件发生n-k 次，概率都为p k (1-p)n -k ，这样，n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P(x=k)= kn C p k (1-p)n -k.必须特别明确的是，kn C 有特定的意义，是具有相同概率p k (1-p)n -k 的互斥事件发生k 次的所有可能数目.二、有限制条件的独立重复试验问题 【例2】 某人射击一次命中目的概率为21,求此人射击6次3次命中且恰有两次连续命中的概率.思路分析：这是独立重复试验问题，但是6次射击命中三次时又有了限制条件“恰有两次连续命中”，这样，这个问题就不是36C 个互斥事件的和了，那么该问题有多少个互斥事件的和呢？这两次连续命中与另一次命中是间隔排到问题，共有24A 种可能情况，从而该问题转化为24A 个互斥事件的和的概率问题.解：“6次射击三次命中且恰有两次连续命中”包含24A 个互斥事件，其概率为：24A ·(21)3(1-21)3=163.温馨提示公式p(x=k)= kn C p k (1-p)n -k只能用于计算不附带限制条件的独立重复试验问题.附带限制条件的独立重复试验问题关键是求出可以转化为互斥事件的个数，而每一个互斥事件的概率都还是p k (1-p)n-k三、有关二项分布问题【例3】 某小组有10台各为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多少？ 解析：由于每台机床正在工作的概率是6012=51,而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正在工作的机床台数ξ服从二项分布，即ξ—B(10,51)且 P(ξ=k)=k C 10(51)k (54)10-k ,(k=0,1,2,…,10). 48千瓦可供6台机床同时工作，“用电超过48千瓦”，就意味着“有7台或7台以上的机床在工作”，这一事件的概率为P(ξ≥7)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=710C (51)7(54)3+810C (51)8(54)2+910C (51)9(54)1+1010C （51)10(54)0≈11571这说明用电超过48千瓦的可能性很小，根据这一点，我们可以选择适当的供电设备.做到既保证供电又合理节约电源. 各个击破【类题演练1】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1-P,且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？解析：4引擎飞机成功飞行的概率为24C P 2(1-P)2+34C P 3(1-P)+44C P 4=6P 2(1-P)2+4P 3(1-P)+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为12C P(1-P)+ 22C P 2=2P(1-P)+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2(1-P)2+4P 3(1-P)+P 4≥2P(1-P)+P 2. 化简，分解因式得(P-1)2(3P-2)≥0. 所以3P-2≥0, 即得P≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全. 【变式提升1】一批产品的废品率p=0.03,进行20次重复抽样（每次抽一个，观察后放回去再抽下一个），求出现废品的频率为0.1的概率.解析：令ξ表示20次重复抽取中废品出现的次数，它服从二项分布. P(20=0.1)=P(ξ=2)=0.098 8【类题演练2】某人射击一次命中目标的概率是21,求此人射击6次命中目标且不连续命中的概率.解析：此人射击6次三次命中且不连续命中的概率为：P=34C (21)3(1-21)3=161. 【变式提升2】某产品的出厂要经过五个指标的抽检，有两项或两项以上指标的抽检不合格时，该产品不能出厂，每项指标不合格的概率都为13，试求该项产品经过五项指标的抽检，恰有连续三项不合格而不能出厂的概率.解析：相邻三项为：1,2,3；2，3，4；3，4，5.此时所求事件包含三个互斥事件，且每个事件的概率为(31)3(1-31)2,故所求概率为： P=3(31)3(1-31)2=814【类题演练3】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取解析：由题意“任意地连续取出2件”可认为两次独立重复试验，则次品数ξ服从二项分布，即 ξ-(2,0.05),∴ξ=0时，P 0=02C (0.95)2=0.902 5; ξ=1时，P 1=12C 0.95×0.05=0.095; ξ=2时，P 2=22C 0.052=0.002 5.【变式提升3】10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2.求同时停车数目ξ的分布.。
(完整版)高中数学(人教A版)选修2-3之1.3.1二项式定理(二)
1、已知
a x
x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
四、二项式定理的灵活运用
例7、 （1）（0.997）3 的近似值（精确到
0.001）
（2）（1.002）6的近似值（精确到0.001）.
补充：
例1、已知 (1 2x)5 展开式中第2项大于它的相邻
两项，求x的范围。
例2、(1)已知(
x
1 3x2
)n的第5项的二项式系数与第3
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9r
(
3 )r x
C9r
(
1 3
)9r
3r
9r
x
1 2
r
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1 3
)96
36
2268
一、求展开式的特殊项
例2’ 求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
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二项式定理
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；
(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.
2．二项式系数的性质
1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.
2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()
(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )
(4)通项T k ＋1＝C k n a n －k b k 中的a 和b 不能互换．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019
C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( B )
A ．1
B ．2
C ．2 019
D ．2 019×2 020
3．(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.
[答案]10
4. (1)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x 2－15
的展开式的常数项是( D )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)
[答案]－120
6．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5
的展开式中x 3y 2的系数是( A )
A ．5
B ．－20
C ．20
D ．－5
练习题： (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6
的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为(
)
A ．±2
B .12
C ．－2
D ．±12
7. (1)在⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3x n
的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )
A ．50
B ．70
C ．90
D ．120 (2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．
[答案] (1)C (2)－3或1
8.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( B )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
练习题：9. (1)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．
（2）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x n
的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．
[答案]255 (2)40
10．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( C )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60 11.求10)21(x +的展开式中(1)系数最大的项；(2)若5.2=x ,则第几项的值最大．
（1）展开式中系数最大的项为第8项．
7815360x T =．
(2)．展开式中的第10项的值最大. 12．605.1精确到01.0的近似值是（ C ）
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34 13.今天是星期一,再过513天是星期几?
[答案]星期日
14.今天是星期四，第20032003天后的第一天是 （ A ）
A ．星期三
B ．星期五
C ．星期六
D ．星期日 15.9291被100除所得的余数为______________.
[答案]81
16.已知
82)2(x x -，则展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ [答案]第6项和第7项。