北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形

1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．

（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；

（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．

（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）

解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵点B（﹣1，0），A（0，1），

∴D（1，0），C（0，﹣1）；

过N作NH⊥BD于h，

∴∠NHB＝90°，

∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

∴∠NBH＝60°，BM＝BN，

∴NH＝BN＝t，

∵0＜t≤2，

∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；

故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；

（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，

由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，

∴△BMN是等边三角形，

∴MN＝BM，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE＝BA，∠ABE＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN，

∴△ABM≌△EBN（SAS），

∴AM＝EN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，

又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，

∴∠EBH＝30°，

∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，

∴BH＝＝＝，

∴CH＝2+，

∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．

2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作▱ECFG．

（1）证明▱ECFG是菱形；

（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．

解：（1）证明：，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴四边形ECFG为菱形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°

由（1）知，四边形CEGF是菱形，

∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，

∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，

∵EG∥DF，

∴∠BEG＝120°＝∠DCG，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAE＝∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

∴BE＝CD，

∴△BEG≌△DCG（SAS），

∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，

∴∠BGD＝∠CGE，

∵CG＝GE＝CE，

∴△CEG是等边三角形，

∴∠CGE＝60°，

∴∠BGD＝60°，

∵BG＝DG，

∴△BDG是等边三角形，

∴∠BDG＝60°；

（3）如图2中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，

又由（1）可知四边形ECFG为菱形，

∠ECF＝90°，

∴四边形ECFG为正方形．

∵∠BAF＝∠DAF，

∴BE＝AB＝DC，

∵M为EF中点，

∴∠CEM＝∠ECM＝45°，

∴∠BEM＝∠DCM＝135°，

在△BME和△DMC中，

∵，

∴△BME≌△DMC（SAS），

∴MB＝MD，

∠DMC＝∠BME．

∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，

∴△BMD是等腰直角三角形．

∵AB＝6，AD＝8，

∴BD＝10，

∴DM＝BD＝5．

3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．

（1）如图1，若AE＝，求DF的长；

（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．

解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC

∵△ADE是等边三角形

∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°

∴CD＝AD＝，OD＝OB＝

∵AE＝DE，OD＝OA

∴OE垂直平分AD

即OE⊥AD，DH＝AH

∴OE＝OH+EH＝+＝，

∵∠ADC＝∠DHE＝90°

∴CD∥OE

∴△CDF∽△EOF

∴＝，即DF＝OF

∵DF+OF＝OD＝

∴OF＝﹣DF

∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．

（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，

∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形

∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°

易证OE⊥AD

∴OE＝a，OD＝a，

由（1）知△CDF∽△EOF

∴＝，即a•DF＝a•OF

∵DF+OF＝a

∴OF＝a﹣DF

∴a•DF＝a（a﹣DF）

∴DF＝a，

∵△DPF是等腰直角三角形