06-07 高等数学1试题(A卷)及解答

合集下载

2006-2007年高一数学集合试卷

2006－2007年度高一数学集合单元测试题第一卷总分150分一、选择题（共10题，每题5分） 1．下列集合的表示法正确的是（） A ．实数集可表示为R ；B ．第二、四象限内的点集可表示为{}(,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈； C ．集合{}1,2,2,5,7； D ．不等式14x -<的解集为{}5x <2．对于{,(3)0,(4)0,x x Q N ≤∈∉∅其中正确的个数是（）A ． 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.集合{},,a b c 的子集共有（） A ．5个B ．6个C ．7个Ｄ．8个 4．设集合{}{}1,2,3,4,|2P Q x x ==≤，则PQ =（）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}1D ．{}2,1,0,1,2--5．下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;∅⊆③{}{}0,1,21,2,0;⊆ ④0;∈∅⑤0⋂∅.=∅其中错误．．写法的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<，若非空集合A U ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|9a a <B ．{}|9a a ≤C ．{}|19a a <<D ．{}|19a a <≤7．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5U A ==，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8C =是（）A ．AB B ．A BC ．()()U UA B 痧 D ．()()U UA B 痧8．设集合(]{}2,,|1,M m P y y x x R =-∞==-∈，若M P =∅，则实数m 的取值范围是( )A ．1m ≥-B ．1m >-C ．1m ≤-D ．1m <-9．定义Ａ－Ｂ＝{},,x x A x B ∈∉且若Ａ＝{}1,2,4,6,8,10,Ｂ＝{}1,4,8，则Ａ－Ｂ＝（）Ａ．{}4,8 Ｂ．{}1,2,6,10 Ｃ．{}1 Ｄ．{}2,6,1010．集合{}{}22,1,1,21,2,34,A a a B a a a =+-=--+{}1,A B ⋂=-则a 的值是（）A ．1-B ．0或1C ．0D ． 22006－2007年度高一数学集合单元测试题第二卷总分150分二、填空题：（共4题，每题5分） 11．满足{}{}1,21,2,3B =的所有集合B 的集合为。

高等数学(一)试题及答案

高等数学（一）试题及答案卷面总分：100分答题时间：60分钟试卷题量：36题一、单选题（共4题，共8分）1.下列等式成立的是【】∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.正确答案：B2.下列函数为偶函数的是【】∙ A.y=x sin x∙ B.y=x cos x∙ C.y=sin x+cos x∙ D.y=x(sinx+cos x)正确答案：A3.极限=【】∙ A.0∙ B.2/3∙ C.3/2∙ D.9/2正确答案：C4.函数f(x)=的所有间断点是【】∙ A.x=0∙ B.x=1∙ C.X=0，x=-1∙ D.x=0，x=1正确答案：D二、判断题（共24题，共48分）5.收敛的数列必有界正确答案：正确6.无穷大量与有界量之积是无穷大量正确答案：错误7.闭区间上的间断函数必无界正确答案：错误8.单调函数的导函数也是单调函数正确答案：错误9.若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导正确答案：错误10.若连续函数y=f(x)在x0点不可导，则曲线y=f(x)在(x0,f(x0))点没有切线.正确答案：错误11.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续正确答案：错误12.若z=f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z=f(x,y)在（x0,y0）处可微正确答案：错误13.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解正确答案：正确14.设偶函数f(x)在区间(-1,1)内具有二阶导数，且,则f(0)为f(x)的一个极小值.正确答案：正确15.f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件正确答案：正确16.若y=f(x)在点x0不可导，则曲线y=f(x)在处一定没有切线.正确答案：错误17.若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积正确答案：正确18.方程xyz=0和x²+y²+z²=0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点正确答案：错误19.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则y=y+y²为一阶线性微分方程的通解正确答案：正确20.两个无穷大量之和必定是无穷大量正确答案：错误21.初等函数在其定义域内必定为连续函数正确答案：错误22.y=fx在点x0连续，则y=fx在点x0必定可导正确答案：错误23.若x0点为y=f（x）的极值点，则必有f（x0）.正确答案：错误24.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数正确答案：正确25.方程x²+y²=1表示一个圆正确答案：错误26.若z=f（x，y）在点M0（x0，y0）可微，则z=f（x,y）在点M0（x0,y0）连续正确答案：正确27.（y）²=-2-xe²是二阶微分方程正确答案：错误28.若y=f（x）为连续函数，则必定可导正确答案：正确三、填空题（共3题，共6分）29.由曲线r=2cos所围成的图形的面积是正确答案：π30.设由方程xy²=2所确定的隐函数为y=y(x)，则dy=正确答案：31.函数y=sin²x的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为正确答案：四、计算题（共3题，共6分）32.求y=(x+1)(x+2)²(x+3)³....（x+10）10在（0，+∞）内的导数正确答案：33.求不定积分正确答案：34.求函数f（x，y）=x³-4x²+2xy-y²的极值正确答案：35.设平面区域D是由围成，计算正确答案：36.计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积正确答案：。

06-07高数试卷

2006-2007学年第一学期期中试卷一、单项选择题（每小题3分共30分） 1、下列函数中为非奇函数的是（）A ：1212+-=x y ； B ：)1lg(2x x y ++=；C ：21arccos xx x y +=； D ：737322+--++=x x x x y 。

2、=∞→xx x )arctan(lim2（） A ：0 ； B ：∞ ； C ：1 ； D ：2π。

3、设数列的通项为nn n x n n 2])1(1[--+=，则当∞→n 时，n x 是（）A ：无穷大量；B ：无穷小量；C ：有界变量，但不是无穷小；D ：无界变量，但不是无穷大。

4、曲线32x x y -=在区间)31,0(的特性是（）A ：单调上升，向上凹；B ：单调上升，向下凹；C ：单调下降，向上凹；D ：单调下降，向下凹。

5、设b ax x x x f ++-+=134)(2，若0)(lim =∞→x f x ，则a , b 的值，用数组可表示为（）A ：（4，-4）；B ：（-4，4）；C ：（4，4）；D ：（-4，-4）。

6、设)(x f 在ax =可导，且)]32)((1[)()()()(,0)(2++'+'-=≠'x x a f a f a f x f x a f ϕ，则)(a ϕ'等于（）A ：)(1a f '； B ：)()22(a f a '+； C ：)32)((12++'+a a a f ； D ：)(3a f '。

7、)(x f 的泰勒展开式)()()(00x R x x a x f n nk k k +-=∑=中拉格朗日型余项)(x R n =（）A ：10)1()()!1()(++-+n n x x n x f θ； B ：100)1()()!1()(++-++n n x x n x x f θ；C：nn x x n x x x f )(!)]([000)(--+θ； D ：10)()!1()]([1000)1(<<-+-+++θθn n x x n x x x f8、关于3553x xy -=的极值点的正确结论是（）A ：0,1-=x 是极小值，1=x 是极大值；B ：1-=x 是极小点，1=x 是极大点；C ：0,1-=x 是极小点，1=x 是极大点；D ：1-=x 是极大点，1=x 是极小点。

北京理工大学2006-2007学年第二学期高等数学课程期中考试试卷(A卷)及答案

北京理工大学2007-2008学年第二学期高等数学课程期中考试试卷（A 卷） 2008.4.18学号班级姓名成绩一、填空题（每小题4分, 共24分）1．曲线⎩⎨⎧==+0132322z y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面S 的方程为__________________,S 在点)2 ,1 ,1(-处的法向量=n___________________.2．已知k j i a -+=2, 又设b 是既垂直于a又垂直于z 轴，且与x 轴正向夹角为锐角的单位向量，则=b________________.3．设有直线⎩⎨⎧=++-=++-03648505:z y x z y x L 和平面85:=+-z y x λπ, 若π//L , 则=λ________,L 到π的距离=d _________.4．设),(y x z z =是由方程yz e z y x +=-22 确定的可微的隐函数, 则),(y x z 在)0 , 1(点的一阶全微分=)0 , 1(dz ____________________.5．设22),(y xy x y x f z -+==. 已知),(y x f 在)1 , 2(P 点处沿方向e的方向导数取最大值，则此方向导数的最大值为 . 6．设),(y x f 是连续函数，将累次积分dx y x f dy dx y x f dy I yyy y⎰⎰⎰⎰---+=2 4110),(),(交换积分次序后的累次积分形式为=I二、 (10分) 设) ,(2yxy x f z = 其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2 , ,.三、(10分) 设2232) ,(y x xy x y x f --+=. 求) ,(y x f 的极值点和极值.四、(12分) 分别求曲线⎩⎨⎧=++=++Γ1272:222z y x z y x 在点)1 ,2 ,1(-M 处的切线L 的方程和曲面2222:x y z -=∑ 在点)1 ,2 ,1(-M 处的切平面π的方程，并求直线L 与平面π的夹角.五、(10分) 设),(y x z z =是由方程02 2=++⎰yxt zdt e e xz 确定的可微函数，求,x z ∂∂,y z ∂∂yx z∂∂∂2.六、(12分) 设D 是由半圆周22x y -=、曲线2y x =及x 轴所围成的闭区域，将二重积分⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(写成极坐标系下的累次积分，并计算⎰⎰+=Ddxdy y x I 22的值.七、(10分) 求柱面2y x =，平面2=+-z y x 与xoy 坐标平面所围立体的体积V .八、(12分) 求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值，并验证：曲线⎩⎨⎧=+++=Γ4:22z y x y x z 在上述取得最大值的点处的切向量与最大值点的向径正交.（提示：条件极值点的x 坐标与y 坐标相等）2007-2008学年第二学期期中试题(A 卷)参考解答及评分标准 2008年4月18日一、填空题（每小题4分，共24分）1.,13223222=++z y x }4,2,3{-±=n , or }8 ,4 ,6{-±=n2. };0,52,51{-=b 3. ;3029,2==d λ 4.;32)0,1(dy dx dz -= 5. 最大值为5； 6. .),(2122⎰⎰--=xxdy y x f dx I二、（10分）解：;1221f y f xy x z '+'=∂∂ ………………………………..3分;2212f yxf x y z '-'=∂∂ ………………………………..6分 .2122231221132212f yx f y x f y x f y f x y x z ''-''-''+'-'=∂∂∂ …………………..10分三、（10分）解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-+=∂∂020262y x y fx y x xf ，得驻点：).81,41(),0,0( 又 .2,1,21222222-=∂∂=∂∂∂-=∂∂yfyx fx xf……………………..4分在点)0,0(处：.2,1,222222-=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=yfC y x f B x f A 且,02,032<-=<-=-A AC B 又所以处取得极大值，在)0,0(),(y x f ,0max =f )0,0(为极大值点；.…………..7分同理在点)81,41(处：.2,1,122222-=∂∂==∂∂∂==∂∂=yf C y x f B x f A 且 ,032>=-AC B 所以处不取得极值在)81,41(),(y x f .………………..10分四、（12分）解：（1）切线L 的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++020422dx dz dx dy dx dz z dx dy y x ，在点)1,2,1(-M 处解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,4543dxdz dx dy可得切向量为}5,3,4{--=τ，所以切线L 的方程为：.513241--=-+=-z y x (注：此处求切向量还可用第八题的方法) ……………..….…………..5分（2）切平面π的方程：法向量},1,2,2{2|}2,2,4{=-=M y x n所以切平面π的方程为：.0122=+++z y x ……………………………..…………..9分（3）夹角：,251||||||sin =τ⋅τ=ϕn n所以夹角.251arcsin =ϕ………..………..12分五、（10分）解：,02=-∂∂+∂∂+x z e xze x z xz.2z x ex ze x z +-=∂∂⇒ …………..3分,0224=+∂∂+∂∂y z e y z e y z x.224z y ex ey z +-=∂∂⇒ …………..6分,022=∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂yx z e x z y z e y x z x y z z z …………..8分.)()(2)(23442222z x y z zy zxz y z z y ze x z e ee x eex e yx z+-++=++-=∂∂∂⇒+∂∂∂∂∂∂………………………..10分六、（12分）解：求交点：⎪⎩⎪⎨⎧=-=222y x x y ，得)1,1(，其极坐标为),4,2(π又曲线2y x =的极坐标方程为：θθ=ρ2sin cos ， ……….…………..3分故⎰⎰⎰⎰θθπππρρθρθρθ+ρρθρθρθ=2sin cos 024240)sin ,cos ()sin ,cos (d f d d f d I………...…………..7分dxdy y x I D⎰⎰+=22⎰⎰⎰⎰θθπππρρθ+ρρθ=2sin cos 022420240d d d d).21(45262++π=………….…………..12分七、（10分）解：dxdy y x VD⎰⎰+-=|2| …………..3分dxdy y x D⎰⎰+-=)2(⎰⎰+-+-=y y dx y x dy 2212)2(………..…..6分2081= ……………………..10分八、（12分）解：构造拉格朗日函数：)4()(),,(22222z y x y x z z y x z y x F ---μ+--λ+++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++==μ-λ+='=μ-λ-='=μ-λ-='40202202222z y x y x z z F y y F x x F z y x ，得驻点：)2,1,1(),8,2,2(--, …………..5分又6)2,1,1(,72)8,2,2(==--u u ，所以最大值为,72max=u 最大值点为：).8,2,2(--M …………..8分Γ 在上述最大值点M 处的切向量为：}0 ,3 ,3{}1,1,1{}1,4,4{}1,1,1{|}1,2,2{-=⨯---=⨯-=M y x τ又点M 的向径为：}8,2,2{--=OM，0}8,2,2{}0 ,3 ,3{=--⋅-=⋅OM τ，所以OM ⊥τ, 即曲线Γ在上述取得最大值点处的切向量与最大值点的向径正交. ……………..……..12分。

06-07高数试卷2

2006-2007学年第一学期期末A 卷一、填空题（每小题2分共20分） 1、设)0(2c o t )(≠=x x x x f ，要使在0=x 处连续，则应补充定义)0(f = 。

2、设x e y +=2，则其反函数)(y x x =的导数=')(y x 。

3、设曲线23bx axy +=以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）= .4、函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值为。

5、20)1ln(lim x x x x +-→的值等于。

6、⎰=+dx x x )sin (sec2。

7、设x e x f -=)(，则⎰='21)(ln dx xx f 。

8、设⎩⎨⎧≥<+=0,0,1)(2x x x x x f ，则⎰-=11)(dx x f 。

9、已知4),(,2||,1||π===，则=+||b a 。

10、过点（1，2，1）与向量k j S k j i S --=--=21,32平行的平面方程为。

二、单项选择题（每小题2分共20分）1、若当0x x →时，)(,)(x x βα都是无穷小，则当0x x →时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小（）A ：|)()(|x x βα+；B ：)()(22x x βα+；C ：)]()(1ln[x x βα⋅+；D ：)()(x x βα2、关于极限xx e135lim+→的结论正确的是（）A ：35； B ：0； C ：45； D ：不存在 3、极限)0,0(1lim 0≠≠⎪⎭⎫⎝⎛+→b a a x xb x 的值为（） A ：1； B ：a b ln ； C ：a be ； D ：abe4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,1sin )(x x xx x f 则)(x f 在0=x 处（） A ：可导； B ：连续但不可导； C ：不连续； D ：左可导而右不可导 5、函数⎰+=xdt t t x f 0)3cos cos 2()(在3π=x 处必（）A ：取最小值；B ：取最大值；C ：不取得极值；D ：是单调的6、设⎰+-=dx e e I xx 11，则I =（） A ：c ex+-)1ln(； B ：c e x ++)1ln(； C ：c x ex+-+)1ln(2； D ：c e x x ++-)1ln(7、设0>a ，则=+⎰-aa x xdxcos 1（）A ：1；B ：0；C ：2a ；D ：43a 8、曲线)0()cos (sin )sin (cos >⎩⎨⎧-=+=a t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长s =（）A ：⎰-+π2)]cos (sin [1dt t t t a ； B ：⎰+π2cos )sin (1tdt at t at ；C ：⎰+π02)sin (1dt t at ； D ：⎰πatdt9、直线01)1(:,)1(1:21+=--=+-==-z y x l z y x l 相对关系是（） A ：平行； B ：重合； C ：垂直； D ：异面 10、曲面1442222=++z y x 是（）A ：球面；B ：xoy 平面上曲线14222=+y x 绕y 轴旋转而成； C ：柱面； D ：xoz 平面上曲线14222=+z x 绕x 轴旋转而成三、解答下列各题（每小题7分共21分）1、设⎩⎨⎧<≥+=0,0,)sin 1ln()(x x x x x f ，求)(x f '。

06-07(2)高数A期末A卷答案

一．DCAD 二、1．r 2， 2. 543. ),(+∞-∞4.n nn n x )312)1(32(0+-∑∞=, 21 三．1．解：将, 11)(:24122121⎩⎨⎧=+=+-Γz x y x化为参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+=Γθθθcos 2 sin 2cos 22121z y x ： ()πθ20≤≤ 3分则θθθθθd d ds 2)sin 2()cos 2()sin 2(222=++-=。

6分 πθπ18d 22920==∴⎰I 。

8分2．解：令x e x f x--=1)(，则0)0(=f ，当0>x 时，01)('>-=xe xf ，所以，对)1,0(∈∀x ，0)(>x f 且单调递增。

3分取nx 1=，则0111>--=neu nn 单调减少，且0lim =∞→n n u 。

由L-判别法，原级数收敛。

5分又当0→x 时，),(21122x x x e x ο+=-- 由此知当∞→n 时， nen111--～n 21，而∑∞=121n n 发散，所以∑∞=--1111n nne发散，所以原级数条件收敛。

8分3．解：作取下侧的辅助面1:1=∑z 1:),(22≤+∈y x D y x y x ，=I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω=z y x d d d )1(--y x x d d )(2- 4分⎰=πθ20d ⎰10d r⎰-221d r z ⎰-πθθ202d cos ⎰103d r r 1213π=8分 4．解：222)1(11=⋅+==+∞→+∞→n n n n n n n n Lim a a Lim R 。

当2=x 时，原级数化为∑∞=121n n ，发散；当2-=x 时，原级数化为∑∞=--11)1(21n n n，收敛，故级数的收敛域为]2,2[-。

3分令∑∞=-⋅=112)(n nn n x x s ，我们可得 )2(2)21()2(2)(11x Ln Ln x Ln n x n x x xs n nn nn--=--==⋅=∑∑∞=∞=，)22(<≤-x 。

2006-2007(1A)离散数学期末试卷及答案2006-2007(1A)离散数学期末试卷及答案

安徽大学2006-2007学年第1学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）开课院（系、部）姓名学号 .1A C 2A 3I.A 4A C 5A 6R I.III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。

7．R 是二元关系且4R R =，则一定是传递的是（）A 、4R ；B 、3R ；C 、2R ； D 、R 。

8．设1R 和2R 是非空集合A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系（）A 、1R A A -⨯； B 、21R R -； C 、21R R ； D 、21R R 。

9．函数:f X Y →可逆的充要条件是：（）A 、AB =； B 、||||A B =；C 、f 为双射；D 、f 为满射。

10．下列集合中，哪个集合的基数与其他集合的基数不同（）A 、n N （N 为自然数集，N n ∈）； B 、NN （N 为自然数集）； C 、R R ⨯（R 为实数集）； D 、x 坐标轴上所有闭区间集合；二、填空题（每小题2分，共32分）1．全集}5,4,3,2,1{=U ，}5,1{=A ，}4,3,2,1{=B ，}5,2{=C ，则可求出：=B A _________________________________；=)()(C A ρρ ___________________________；=C _____________________________________。

2．设=A B B A B A -B A ⊕3．设{=A )(R r )(R s )(R t4．设5．设函数f (1f f -(1f f-当f 为当f 为三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分）1．求命题公式P R Q P →⌝∨∧))((的主析取范式与主合取范式（要求用等值演算的方法求解）。

（8分）2①(P →②前提：3．设集合}}{},b a 的分）4．设RR 是5．已知f :①f ②f ③计算})0({1-f 。

07年高一数学试题参考答案

淮安市2006-2007学年度高一年级第二学期期末调查测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D C C B C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9、 2n 10、 060 11、 2yx

12、 16 13、 (2,1] 14、（1）（3）（5）三、解答题：本大题共6小题，满分90分 15、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）xxf2)( ----------------------------------------------4分

（Ⅱ）由)()(xgxf＜2，得2222xxx，230xx 03x ---------------------------------------------------------------------------8分

)(21)(xfxg=221xxx=12xx022 ----------------------------------12分

等号仅当x=1x（03x），即x=1时成立，所以当x=1时)(21)(xfxg取最小值0 --------14分 16、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）sinsinacAC，∴sin6sin453sin22cACa，∴60120C或，-----2分

∴当sin6sin756075,31sinsin60cBCBbC时，； ---------------------4分 ∴当sin6sin1512015,31sinsin60cBCBbC时，； ---------------------6分所以，31,60bC或31,120bC． ---------------------------------------------7分注：缺一种情况扣3分

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广州大学2006-2007学年第一学期考试卷课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim ________.2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =________________. 3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k ________.4．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =________________. 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于___________米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.学院专业班级姓名学号3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ). A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( ). A. 4; B. 2; C. 12; D. 1.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x-=，求y '.2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y.四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求极限 10lim(1)x xx xe →+.2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值.五．（本题满分8分）求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.装订线内不要答题六．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）1．21d 413x x x x +++⎰.2．0a x x ⎰, 其中0.a >3．21arctan d xx x+∞⎰.七．（本题满分13分）设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围图形的面积为2S .(1) 试确定a 的值使12S S +达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.装订线内不要答题八．证明题（每小题5分，本大题满分10分）1．证明：当0ln(1)1xx x x>+>+时，.2．设当1x ≤<+∞时，()f x '连续，且210()f x x'<<. 证明：数列()n x f n =的极限存在.广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim 02．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 14．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ). A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若221()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ).A. 4;B. 2;C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。

2分 1112sin cos ()x x x e e e x x x ---'=⋅。

4分 212(1)sin x x x xe e e x x-+-=。

6分2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y.解：22211d (arctan )12d [ln(1)]21y t t t t t x t t -'-+==='++。

3分 222221()d 1222d [ln(1)]41t y t t x t t t '+==='++。

6分四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求极限 10lim(1)x xx xe →+.00ln(1)ln(1)lim1lim11lim ...................2......................................5................................................6x x x x xxx xe xe xx x xe e xe eee e e →→++→++====解：原式=分分分解: 原式1lim[(1)]xxx e xe x xe e →=+=…………………….6分2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值.(0)1,()f f x =解：由的连续性可知：2001lim ()1lim (1cos )22x x a f x x a a x →→==-=⇒=－－……………………….3分 2011(0)lim 0x x bx f b x ++→++-'==-……………………………………………..4分202(1cos )1(0)lim 00x x x f x --→--'==-………………………………………….5分 0b =…………………………………………………………………………..6分五．（本题满分8分）求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.解： 232211111112'(1),''(1)y y x x x x x x x x=-+=-=-=- (2)1x >时，'0,y > 所以区间)∞[1,+是函数的单调增区间……………… 3分 01x <<时，'0,y <所以区间(0,1]是函数的单调减区间……………… 4分 y 由的单调增减区间知x=1是函数的极值点，极小值(1)y ＝1…….……5分 0''20><<y x 时，，所以区间(0,2)是函数的凹区间……………………6分 0''2<>y x 时，，所以区间），＋（∞2是函数的凸区间………………...7分由凹凸区间可知点（2，ln 2+12）为函数的拐点………………………...8分六．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）1．21d 413x x x x +++⎰.222222211d(413)1d d ...................2413241341311ln(413)d(2)..............32(2)9112ln(413)arctan .. (5233)x x x x x x x x x x x x x x x x x x C +++=-++++++=++-++++=++-+⎰⎰⎰⎰解：分分分 2．a x x ⎰, 其中0.a >/2/2224220/2404/204sin (0)2sin sin )sin cos d ....31(1cos 4)d 811(sin 4)84.. (16)a x a t t x x a a t a t t t a t ta t t a ππππππ=≤≤===-=-=⎰⎰⎰⎰解：令得分............5分3．21arctan d x x x +∞⎰. 解: 21arctan d x x x +∞⎰11arctan d()x x+∞=-⎰………………………………1分 121arctan 1[]d (1)x x x x x +∞+∞=-++⎰………………2分 211()d 41xx x x π+∞=+-+⎰…………………………3分 211[ln ln(1)]42x x π+∞=+-+………………………4分 1ln 242π=+……………………………………...…5分七．（本题满分13分）设直线(01)y ax a=<<与抛物线2y x=所围图形的面积为1S，它们与直线1x=所围图形的面积为2S.(1) 试确定a的值使12S S+达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积.2y ax y x==解(1)与交点为（0，0），（a,a）…………………………….1分1221203()d()d (3)111 (5)323aaS S ax x x x ax xa a=-+-=-+⎰⎰＋分分3111)0,323a a a'-+==令(得分12(0,1)a S S=取可使＋达到最小。