三角不等式向量形式
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
柯西施瓦茨不等式的应用
柯西施瓦茨不等式的应用柯西施瓦茨不等式是数学中一种重要的不等式，具有广泛的应用。
它得名于法国数学家柯西和德国数学家施瓦茨，被广泛应用于线性代数、概率论、几何学等多个领域。
本文将介绍柯西施瓦茨不等式的数学表达形式，以及它在不同领域的应用。
一、柯西施瓦茨不等式的数学表达形式柯西施瓦茨不等式的最基本形式如下：对于实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)其中等号成立的条件是两个向量之间存在线性依赖关系。
这一不等式可以用向量的内积来表示，形式如下：|<a, b>|² ≤ <a, a> • <b, b>其中，a和b是n维向量，<a, b>代表a和b的内积。
二、柯西施瓦茨不等式在线性代数中的应用柯西施瓦茨不等式在线性代数中被广泛应用。
其中一个重要的应用是证明向量的正交性。
如果两个向量的内积等于零，那么它们就是正交的。
这可以通过柯西施瓦茨不等式来证明。
另一个应用是证明向量的长度和内积之间的关系。
根据柯西施瓦茨不等式，两个向量的内积的绝对值小于等于两个向量的长度的乘积。
这意味着向量的长度越大，它们之间的内积的绝对值就越大。
三、柯西施瓦茨不等式在概率论中的应用柯西施瓦茨不等式在概率论中也有重要的应用。
在概率论中，两个随机变量的协方差可以通过柯西施瓦茨不等式来估计。
协方差描述了两个随机变量之间的线性关系。
柯西施瓦茨不等式告诉我们，两个随机变量的协方差的绝对值小于等于它们的标准差的乘积。
这为我们估计随机变量之间的相关性提供了一个重要的工具。
四、柯西施瓦茨不等式在几何学中的应用柯西施瓦茨不等式在几何学中也有广泛的应用。
向量不等式知识点
向量和不等式1.零向量：长度为0的向量．2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||a a a a →→→→==单位向量，3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5.向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．6、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）10、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，baC BAa b C C -=A -AB =B当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 11、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 12.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB x x y y =--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5) 设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． (6)若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+(7)设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos x x a b a bx θ⋅==+(8)向量的平行与垂直设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 1.不等式的基本性质①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1nna b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．2、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．3、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．4、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．()()5.0()f x a a g x >≠解分式不等式的一般步骤是什么？ 先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩6.设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．7.均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥2a b+≥．（一正、二定、三相等） 8.常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭9、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．10. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x <⇔<()() a f x a f x >⇔>()()恒成立的最大值 a f x a f x >⇔>()()能成立的最小值 附：重心：三角形三条中线交点. △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.。
向量三角不等式证明
向量三角不等式证明好家伙，今天我们要聊的可是向量三角不等式，听起来是不是有点高深莫测？别着急，我们一步一步来，保证你听了不但不觉得晦涩，反而会觉得这东西，哎，挺有意思！你看，向量三角不等式其实就是告诉我们：如果你把两个向量拼起来，它们的合成向量的长度，肯定是小于等于两个向量长度之和的。
这不是啥神秘的公式，而是一个“常识”——就像你把两个人拉在一起，一定不会比两个单独的人个子都大。
行了，咱就从生活中的事儿说起，让这个东西不那么“高冷”。
你想想，我们平常生活中见过这种场面吗？两个小伙伴分别拿着一根绳子，捆一个大包，结果他们拼了命地拉，最后拉成了一个一大堆重重的物品，包包差点压死他们。
问题来了，他们俩手中捆着的绳子究竟能否成功捆住这个包呢？在这个例子里，两个向量就像这两根绳子，而最终拉出来的总长度，就是我们要关心的“合成向量”。
是不是有点意思了？这不就告诉我们了？如果我们把两根绳子合成一个更长的绳子，那肯定不可能比原先的两根加起来还长。
换句话说，就是无论怎样合成，结果都不能比你两根绳子的总长度长！懂了吗？如果其中一根绳子比另一根短，那当然这根短的绳子有可能在拉的时候被拉得更长，但你也只能做不到超过两根绳子总和的长度。
这个就是向量三角不等式的核心观点！要是我这么说你听不明白，那咱就拿个更简单的例子来说：你看，走路的时候，你可以往前走，也可以走两步、再转个弯往某个方向走。
结果呢，整体的路程肯定不可能比你直接从起点走到终点的直线距离更远！这是不是个“铁的规律”？要不你试试看，想走“捷径”直接绕一圈，结果你会发现，走的每一步，都有它的“规矩”。
也就是说，如果你直线走，那无论怎么绕，最后的路程都比直线距离长不到哪里去。
你会发现，这不就是向量三角不等式的另一个例子吗？简直一模一样。
不过，咱们再来聊聊这个不等式更有意思的地方，为什么说它就像“定律”一样适用？哈哈，首先向量三角不等式可不光是数学老师脑袋里冒出来的怪东西，它其实在咱们生活中无处不在。
向量的三角不等式证明
向量的三角不等式证明1. 引言大家好！今天咱们要聊的这个话题可能听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单明了。
我们要谈论的就是“向量的三角不等式”。
没错，就是数学里那个看起来很复杂的概念，但其实只要我们用简单的语言来解释，它就会变得像吃糖果一样简单。
2. 向量的基本概念在开始之前，我们先得搞清楚“向量”是什么。
你可以把向量想象成一个有方向的箭头。
举个例子，假设你在一个广阔的草地上，想象你从一个点出发，朝着另一个点走，这个过程就好比是一个向量。
它不仅告诉你要走多远，还告诉你走的方向。
2.1 向量的加法现在，假设你要从家里出发，到学校去。
你可以先走到公园，然后再从公园走到学校。
这两个过程可以合起来，形成一个从家到学校的直线路程。
这个合成的过程就像是向量的加法。
如果你把它们放在一起，这个合成向量就等于你从家到学校的直线距离。
2.2 向量的长度向量的长度（或者说“模”）就是你从出发点到终点的实际距离。
就像你从家到学校的距离，不管你是绕路还是直走，最终的距离还是你实际走过的长度。
3. 三角不等式的内容现在我们进入正题——三角不等式。
这个不等式就像是一个简单的规则，告诉我们两个向量加起来的长度永远不会超过这两个向量各自长度的和。
3.1 三角不等式的直观理解想象一下，你正在玩一场接力赛。
你和你的队友每个人都需要跑一定的距离。
现在，假设你们可以选择最短的跑法，那么你们总能跑得比直接从起点到终点更快。
换句话说，跑两段距离的总和总是大于等于从起点到终点的直线距离。
这就是三角不等式的直观感受。
3.2 三角不等式的数学证明接下来，我们用一点点数学来证明这个不等式。
假设你有两个向量 ( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )。
我们要证明的是：[ | mathbf{a} + mathbf{b} | leq | mathbf{a} | + | mathbf{b} | ]。
其中，( | mathbf{a} | ) 和 ( | mathbf{b} | ) 分别是向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )的长度。
不等式 向量 解三角形复习
一、不等式的解法：1.一元一次不等式：Ⅰ、(0)ax b a >≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；Ⅱ、(0)ax b a <≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；2.一元二次不等式：0a >时的解集与∆有关 （数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3. 高次不等式：数轴标根 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴()0()f x g x >⇔；⑵()0()f x g x <⇔； ⑶()0()f xg x ≥⇔ ；⑷()0()f xg x ≤⇔；5.解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为12,x x （或更多）但含参数，要分12x x >、12x x =、12x x <讨论。
例：解关于x 的不等式： 2(1)10ax a x -++< （)R a ∈）例：实系数方程2()20f x x ax b =++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则21b a --∈；22(1)(2)a b -+- ∈ ；3a b +- ∈二、不等式的性质 （几个重要不等式） （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；例1:设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是___ 。
1.4绝对值的三角不等式
）b a b a +³+ （2）b a b a +£-（3）b a b a ×=× （4）)0(¹=b ba b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质b a b a ×=×和a 哪个大？显然a a ³，当且仅当0³a 时等号成立（即在0³a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -³当且仅当0£a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +³、a a -³及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +³+， （2）b a b a -³+。
证明（1）如果,0³+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+³+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以学校：临清二中 学科：数学 编写人： 路云明 审稿人:马英济1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其的两种证明思路及其几何意义几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用会用绝对值不等式绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点：换元思想的渗透。
☆教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1和)0(¹=b ba b a 可以从正负数和零的乘法、可以从正负数和零的乘法、除法除法法则直接推出；法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
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三角不等式向量形式
摘要：
一、三角不等式的基本概念
1.三角不等式的定义
2.三角不等式的几何意义
二、向量形式的三角不等式
1.向量形式的定义
2.向量形式的几何意义
三、三角不等式在向量中的应用
1.向量加法
2.向量数乘
3.向量模长的比较
四、结论
1.三角不等式向量形式的重要性
2.三角不等式向量形式在实际问题中的应用
正文：
一、三角不等式的基本概念
三角不等式，又称为三角形不等式，是指对于任意实数a、b，都有a + b > |a - b|。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在几何和向量分析中。
从几何角度理解，三角不等式表示的是在平面上任取两点，连接这两点的
线段长度总是大于或等于这两点间的距离。
这个不等式揭示了距离与角度之间的关系，是理解向量概念的重要工具。
二、向量形式的三角不等式
向量形式的三角不等式是指对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
这里，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b 的模长。
从几何角度理解，向量形式的三角不等式表示的是在平面上任取两个向量，这两个向量首尾相接所构成的三角形的周长总是小于或等于这两个向量的模长之和。
三、三角不等式在向量中的应用
三角不等式在向量分析中有广泛的应用，以下是一些具体的例子：
1.向量加法：在向量加法中，三角不等式可以用来证明向量的三角形法则，即对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。
2.向量数乘：在向量数乘中，三角不等式可以用来证明向量的数乘公式，即对于任意向量a 和标量c，都有|c * a| = |c| * |a|。
3.向量模长的比较：在比较两个向量的模长时，三角不等式可以用来证明对于任意两个向量a 和b，都有|a| <= |a + b| <= |a| + |b|。
四、结论
总的来说，三角不等式向量形式是理解向量和几何关系的重要工具。
它在向量加法、向量数乘、向量模长的比较等问题中都有重要的应用。