三角形与不等式
三角形不等式(含练习题)
三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
三角形中的不等式
三角形中的不等式【知识点】若a、b为实数，则有-|a±b| ≤|a|-|b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b|。
1，绝对值不等式，一般指的是绝对值符号中含有未知数的不等式。
解绝对值不等式的基本方法是去绝对值符号，最常用的方法是分类讨论（“零点分区间法”），还有两边平方或者利用绝对值的定义等方法。
2，三角不等式，可以通过绝对值的性质对不等式进行缩放，以确定含绝对值的代数式（函数式）的取值范围、最大/小值问题，以及不等式的证明等综合运用。
这里省略绝对值的意义、以及三角不等式的证明过程一万字......【例①】求函数 y = |x－3|－|x＋1| 的最小值和最大值。
【解析】利用三角不等式的性质，选择合适的不等号方向求得最大/小值。
求最大值时，选择不等号方向为≤；求最小值时，选择不等号的方向为≥。
因为|x－3|－|x＋1| ≤|(x－3)－(x＋1)| = 4，所以，y 的最大值为 4；又因为|x－3|－|x＋1| ≥－|(x－3)－(x＋1)| = - 4，所以，y 的最小值为- 4。
【例②】若关于x 的不等式|x－4|－|x＋3| ≤ a 对一切x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x－4|－|x＋3| ，则原不等式y ≤ a 对一切x ∈R 恒成立⟺ a 大于等于 y 的最大值。
因为|x－4|－|x ＋3| ≤|(x－4)－(x＋3)| = 7，即 y 的最大值为 7，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 7。
【例③】若关于x 的不等式|x＋1| ＋|2－x| ≤ a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x＋1| ＋|2－x| ，则原不等式y ≤ a 的解集不是空集⟺ a 大于等于 y 的最小值。
因为|x＋1| ＋|2－x| ≥|(x＋1)＋(2－x)| = 3，即 y 的最小值为 3，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 3。
七年级下册数学 三角形和不等式的复习 知识点讲解【精编】
三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
5、角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。
关于三角形内角一个不等式及其应用
关于三角形内角一个不等式及其应用
三角形内角，是武汉高等教育数学中的重要知识点，它的不等式性质推广到几何领域，并有广泛的应用。
马尔可夫不等式又称欧拉不等式，通常表示一个三角形的内角总和不大于180°。
它的证明是基于欧几里得基本定理的：拓扑空间内，任意点都存在一个向外边界分布的等长曲线，可以把它抻成一个三角形，这样三角形的内角就不能大于曲线等长投影的对象，即180°。
由此，三角形内角总和不大于180°，将其表示为数学不等式：
$α+β+γ≤180°$
三角形内角的不等式的实际应用是十分广泛的。
在利用不等式衍生出的几何定理，可以解决各种潜在的解决问题。
比如，根据三角形内角和不等式求未知角、判断三角形周长问题、判定三角形性质及其构成，如是否存在一条对角、是否平行等等，得到的结论是完全正确的。
另外，马尔可夫不等式可以使数学应用发挥出更高的作用，比如可以判断构图定理-两条平行线在给定条件下被另一条横穿的时候，所形成的四边形的角的总和
的关系，得出的结论是完全正确的，便于我们继续深入研究这个结定数学定理。
总之，三角形内角一个不等式推广到几何领域，具有广泛的应用，且不仅可以应用到几何知识，而且可以应用到进一步推导的定理。
由此可以看出，三角形内角一个不等式的重要性及其应用的潜力。
三角形的三边关系与不等式
三角形的三边关系与不等式在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的知识，其中包括三边关系与不等式。
三角形是由三条边所围成的多边形，它具有很多特点和性质，其中三边关系与不等式是我们研究三角形特性的重要内容。
1. 三边关系在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
这是三角形的基本性质之一。
假设一个三角形的边长分别为a、b、c，那么有以下三边关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个不等式告诉我们，如果三个数满足三边关系，那么它们可能构成一个三角形。
但是如果三个数不满足其中任意一个不等式，那么它们就无法构成一个三角形。
2. 三边长度的不等式在三角形中，三边的长度也存在一些特定的不等式关系。
最常见的是三角形的最大边长与其他两边之和的关系。
假设一个三角形的三边长度分别为a、b、c，其中c为最大边长，那么有以下不等式关系：c < a + b这个不等式表明，三角形的最大边长小于其他两边的和。
如果一个三角形的最大边长大于等于其他两边之和，那么这个三角形就无法存在。
3. 三边长度的应用三边关系与不等式是我们在解三角形问题时的重要依据。
通过这些关系，我们可以判断一个给定的三边长度是否能够构成一个三角形，并且可以进一步确定三角形的类型。
根据三边关系与不等式，我们可以得出以下结论：- 当三边长度满足 a + b > c，a + c > b，b + c > a时，可以构成一个三角形。
- 当三边长度满足 a = b = c 时，这个三角形是等边三角形，即三边相等。
- 当三边长度满足 a = b 或 a = c 或 b = c 时，这个三角形是等腰三角形，即两边相等。
- 当三边长度满足 a² + b² = c²或 a² + c² = b²或 b² + c² = a²时，这个三角形是直角三角形。
三角形不等式的应用举例(含练习题)
三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
三角不等式定理
三角不等式定理三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它是我们学习三角函数和三角恒等式的基础。
本文将从三角不等式定理的定义、性质和应用三个方面进行阐述。
一、三角不等式定理的定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
这个定理表明了三个边之间的关系，即任意两边之和大于第三边。
1. 三角不等式定理是三角形的基本性质，它适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
2. 三角不等式定理可以推广到多边形，对于任意多边形，任意两边之和大于第三边。
3. 三角不等式定理的逆定理也成立，即如果三边中任意两边之和大于第三边，那么这三条边可以构成一个三角形。
三、三角不等式定理的应用三角不等式定理在几何学和代数学中有着广泛的应用。
1. 在几何学中，三角不等式定理可以用来判断三角形是否存在。
通过对三边长度进行比较，如果满足任意两边之和大于第三边的条件，则可以构成一个三角形。
2. 在代数学中，三角不等式定理可以用来证明三角函数的性质。
通过使用三角不等式定理，可以得到诸如sin(x) ≤ x ≤ tan(x)等不等式，从而推导出三角函数的性质。
3. 三角不等式定理还可以用来解决实际问题。
例如，在测量三角形边长时，可以利用三角不等式定理判断测量结果的合理性，避免测量误差。
三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它可以帮助我们判断三角形的存在性，证明三角函数的性质，解决实际问题等。
掌握三角不等式定理对于深入理解三角函数和几何学有着重要的作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对三角不等式定理有更加清晰的认识。
三角形不等式公式大全
三角形不等式公式大全三角形是几何学中的基本图形之一，它具有丰富的性质和特点。
而三角形不等式则是研究三角形性质的重要内容之一。
在本文中，我们将详细介绍三角形不等式的相关公式，包括三角形的边长不等式、角度不等式以及面积不等式等内容。
一、三角形的边长不等式1. 任意两边之和大于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > ca + c > bb +c > a2. 两边之差小于第三边对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：|a - b| < c|a - c| < b|b - c| < a3. 两边之和大于两边之差对于任意三边长分别为a、b、c的三角形来说，有下列不等式成立：a +b > |a - b|a + c > |a - c|b +c > |b - c|二、三角形的角度不等式1. 三个内角之和为180度对于任意三角形来说，其三个内角A、B、C的和等于180度，即：A +B +C = 180°2. 任意内角的大小对于任意三角形来说，其任意内角A所对的边长为a、B所对的边长为b、C所对的边长为c，有下列不等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，sin为正弦函数。
三、三角形的面积不等式1. 海伦公式对于任意三角形来说，其面积S可以由三边长a、b、c计算得出，公式如下：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为半周长，即s = (a + b + c)/2。
2. 三角形面积与边长关系对于任意三角形来说，其面积S与任意两边之积的正弦函数成正比，公式如下：S = (1/2)ab·sinCS = (1/2)ac·sinBS = (1/2)bc·sinA以上便是关于三角形不等式的一些常用公式。
通过掌握和应用这些公式，可以更好地理解和分析三角形的性质，解决与三角形相关的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、如图（1），在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则D E D F += ．
2、阅读下列内容后，解答下列各题：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式(1)(2)x x --的值与0的大小 当1x <时，10x -<，20x -<，(1)(2)0x x ∴--> 当12x <<时，10x ->，20x -<，(1)(2)0x x ∴--< 当2x >时，10x ->，20x ->，(1)(2)0x x ∴--> 综上：当12x <<时，(1)(2)0x x --<
当1x <或2x >时，(1)(2)0x x --> 满足 时，（3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(7)(8)(9)0x x x -+-<． 3、．已知Rt ABC △的周长是4+2，则ABC S =△ ． 4、如图，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.
5、 有两个分数A=4444333，B=555554444
，问：A 与B 哪个大？
6、|2a －24|＋（3a －b －k ）2
＝0，那么k 取什么值时，b 为负数． 7、一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？
8、是否存在整数m ，使关于x 的不等式
m x 31+
＞m m x 9+
与1+x ＞32m
x +-是同解不等
式？若存在，求出整数m 9、如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的图象相交
于A(3，2)，则不等式(k 2－k 1)x ＋b 2－b 1＞0的解集为
10、如果x ，y 满足不等式组3050
x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩，那么你能画出
点(x ，y)所在的平面区域吗?
11、如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点 P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解 集是_______________．
图（1）
ax －3 11题
12、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
13、若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨
+=+⎩
中，x 的值为负数，y 的值为正数，求
m 的取值范围．
14、学校举办“
和徽章前，了解到如下信息：
（1）求一盒“福娃”
和一枚徽章各多少元？
（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？
15、如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交CD •于F ，FG ∥AB 交BC 于G ．试判断CE ，CF ，GB 的数量关系，并说明理由
16、把一副三角板如图甲放置，其中
，
，
，斜边
，
．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE
1
（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点，与D 1E 1
相交于点F ． （1）求
的度数；（2）求线段AD 1的长；
（3）若把三角形D 1CE 1绕着点
顺时针再旋转30°
得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还
是边上？说明理由．。