不等式与解三角形大题

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三角形不等式(含练习题)

三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ，由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。

不等式,向量,解三角形专题练习作业含答案

专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析方法一由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。

不等式解三角形数列高考试题精选

不等式解三角形数列高考试题精选一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞05．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．30．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．31．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．32．设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和．33．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．34．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3．（1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n } 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列的前n 项和T n ．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．不等式解三角形数列高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：613．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n+1S n，+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=75°．【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sinB==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos （2A ﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC ，利用正弦定理化简得：b=c ，代入a ﹣c=b ，得：a ﹣c=c ，即a=2c ，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A 为三角形内角， ∴sinA==，∴cos2A=2cos 2A ﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos （2A ﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．30．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +ccosB=2b ，则= 2 ．【解答】解：将bcosC +ccosB=2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinCcosB=2sinB ，即sin （B +C ）=2sinB ， ∵sin （B +C ）=sinA ， ∴sinA=2sinB ，利用正弦定理化简得：a=2b ，则=2．故答案为：231．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n===﹣（2+（﹣2）n+1），则S n+1=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2S n，即S n+1+S n+2=2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．32．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．33．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣1【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．34．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；=b n b n+1，求数列（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1的前n项和T n．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n}为各项非零的等差数列，所以S2n=（2n+1）b n+1，+1=b n b n+1，又因为S2n+1所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1两式相减得a n﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，即a n+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．。

高二数学解三角形和不等式

及取得最小值时的 x、y 值．
1 1 x2y x2y 3 2y x 32 2
xy x
y
xy
当且仅当 2 y x ．再由 x＋2y＝1 解得 xy
x 2 1， y 1 2 ． 2
1、若 1 ＜ 1 ＜ 0 ，则下列结论不正确的是( D )
ab
A. a2 ＜b2
B. ab＜b2
C. b a ＞2 ab
3
3
Q 如图可知，当直线y - 2 x z 33
经过可行域上的点M时，直线在
y轴上的截距 z 最大，即z最大 3
解方程组
x 2y 8 3x y 9
得
x
y
2 3
，即
M
2,3
所以zmax=2x+3y=4+9=13=1.3(万元)
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获
最大利润1.3万元。
2、若 logx 2 log y 2 0，则下列不等式中成立的是（ D）
1
A. x 2
1
y2
B.
( 1 )x y 3
3 x y
C. ( 1 )1 x 3 1 y
3
D.
( 1 )1 x 3
3 1 y
log x 2 log y 2 0 ? 1 x y ?
1、已知 a b 0, c d 0 ，那么下列判断中
B
C
基本不等式的变形：
a2 b2 2ab ab a2 b2 2
a b 2 ab ab a b 2
ab ( a b )2 a2 b2
2
2
4. 目标函数 z 2x y ，变量 x, y 满足
x 4y 3 0
3x 5 y 25 ，则有（ C ） y

高中数学数列、解三角形、不等式综合复习

本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。

在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。

考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。

（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。

（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。

分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。

通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。

再对m取特值验证。

也可利用二次函数的图像解决。

（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。

或取特值验证。

（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。

（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。

故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。

首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。

考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

解三角形数列不等式

必修5解三角形数列不等式【选择题】1．设,,a b c R ∈，且a b >，则（）A ．ac bc >B ．11a b<C ．33a b >D ．22a b >⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2 3．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为（）A ．－2B ．－6C ．0D ．25．在等比数列{}n a 中，若2nn a =，则7a 与9a 的等比中项为（）A ．8aB ．8a -C ．8a ±D ．前3个选项都不对6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（）A ．2B ．5C ．52D ．32⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014201320122a a a =+14a =，则116()m n+的最小值为（）A ．23B ．2C ．4D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinCsin q A+的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．(1,2C ．()1,+∞D ．)1A ．2015-B ．2014-C ．2014D ．2015【填空题】11．若数列}{n a 中，762++-=n n a n ，则其前n项和n S 取最大值时，=n __________.12．在ABC ∆中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为．14．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin CB A==，且ABC S ∆=，则______.b =15．对于正项数列{}n a ，定义122n nnH a a na =++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为n nH =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________。

不等式向量解三角形复习

一、不等式的解法：1.一元一次不等式：Ⅰ、(0)ax b a >≠：⑴若0a >，则；⑵若0a <，则；Ⅱ、(0)ax b a <≠：⑴若0a >，则；⑵若0a <，则；2.一元二次不等式：0a >时的解集与∆有关（数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴()0()f x g x >⇔；⑵()0()f x g x <⇔； ⑶()0()f xg x ≥⇔ ；⑷()0()f xg x ≤⇔；5.解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为12,x x （或更多）但含参数，要分12x x >、12x x =、12x x <讨论。

例：解关于x 的不等式： 2(1)10ax a x -++< （)R a ∈）例：实系数方程2()20f x x ax b =++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则21b a --∈；22(1)(2)a b -+- ∈ ；3a b +- ∈二、不等式的性质（几个重要不等式）（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；例1:设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是___ 。

不等式,向量,解三角形专题练习作业含答案1

小题专练·作业(十四)一、选择题1．(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析根据平面向量基本定理理解．由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．2．(2014·合肥质检)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形答案 B解析由2a cos B ＝c ，得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c .所以a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C2＋12，所以2sin A ·sin B ·(2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C ＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0.因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12.因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选B.3．(2014·广州综合检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 D解析依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.4．(2014·安徽示范性高中测试)已知D 是△ABC 中BC 边上的点，AB ＝22，AC ＝4，∠C ＝30°，∠BAC >∠B ，则满足AD ＝5的点D 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析方法一在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠B ＝AC ·sin ∠C AB ＝4×sin30°22＝22，所以∠B ＝45°或∠B ＝135°.又∠BAC >∠B ，所以∠B ＝45°.若AD ＝5，则在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos ∠B ，即5＝8＋BD 2－2·22BD ·cos45°，解得BD ＝1或BD ＝3，所以满足条件的点D 的个数为2.方法二在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠B ＝AC ·sin ∠CAB ＝4×sin30°22＝22，所以∠B ＝45°或∠B ＝135°.又∠BAC >∠B ，所以∠B ＝45°.过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △ACE 中，因为AC ＝4，∠C ＝30°，所以AE ＝2.又AD ＝5，则AB >AD >AE ，所以满足条件的点D 的个数为2.5．(2014·潍坊期末考试)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12答案 C解析易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.6．(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定答案 B解析先求出向量的模，再通过函数最值求解． |b ＋t a |2＝b 2＋2a·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a|·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a|2·|b |2－4|a|2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ.即θ确定，|b |唯一确定．7．(2014·皖南八校联考)设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点(其中a ，b ∈R )，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则实数a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝12答案 A解析因为OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，所以|OA →|cos 〈OA →，OC →〉＝|OB →|cos 〈OB →，OC →〉，所以OA →·OC →＝OB →·OC →.因为A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)，所以(a,1)·(4,5)＝(2，b )·(4,5)，化简得4a －5b ＝3.8．(2014·武汉模拟)已知△ABC 的内角A ，C 满足sin Csin A ＝cos(A ＋C )，则tan C 的最大值为( )A. 2B.24C.22D.33 答案 B解析因为sin Csin A ＝cos(A ＋C )，所以sin C ＝sin A cos(A ＋C )，即sin[(A ＋C )－A ]＝sin A cos(A ＋C )，整理得sin(A ＋C )·cos A ＝2sin A ·cos(A ＋C )，则tan(A ＋C )＝2tan A .因为sin Csin A ＝cos(A ＋C )>0.所以A 为锐角，则tan A >0.又tan C ＝tan[(A ＋C )－A ]＝tan (A ＋C )－tan A 1＋tan (A ＋C )tan A ＝tan A1＋2tan 2A＝11tan A ＋2tan A≤121tan A ·2tan A ＝24，当且仅当1tan A ＝2tan A 时等号成立，所以tan C 的最大值为24.9．(2014·江西五校联考)在棱长均为1的正四棱锥P －ABCD 中，点E 是BC 的中点，动点M 在四棱锥表面上运动，并且总保持ME →·AC →＝0，则动点M 的轨迹的长度总和为( )A ．2＋ 2B ．2＋22 C ．1＋22 D ．2答案 C 解析连接AC ，BD ，设其交点为O ，连接PO ，得AC ⊥BD ，AC ⊥PO ，所以AC ⊥平面PBD .过E 作与平面PBD 平行的平面EFG ，由ME →·AC →＝0，得M 在平面EFG 内，则点M 的轨迹的长度总和等于三角形PBD 周长的一半．因为BD ＝2，PB ＝PD ＝1，所以三角形PBD 的周长为2＋2，所以动点M 的轨迹的长度总和为1＋22，故选C.10．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元答案 C解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x＝8x ，即x ＝2时取得等号．11．(2014·江南十校联考)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463 C ．4 3 D ．6 2答案 B解析根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得BC ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763，故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.12．(2014·江西二校联合测试)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 B解析圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2；圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )的圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1.所以|CM |＝(5cos θ)2＋(5sin θ)2＝5，圆M 上任意一点P 到点C 的距离的取值范围为4≤|PC |≤6，设|PE |2＝|PF |2＝t ，因为t ＝|PC |2－4，所以12≤t ≤32.因为cos ∠EPF ＝cos2∠FPC ＝2cos 2∠FPC －1＝2t t ＋4－1＝t －4t ＋4＝1－8t ＋4，所以PE →·PF →＝|PE ||PF |cos ∠EPF ＝|PE |2·(1－8t ＋4)＝t (1－8t ＋4)＝t ＋32t ＋4－8，设y ＝t ＋32t ＋4－8(12≤t ≤32)，因为y ′＝1－32(t ＋4)2≥1－32(12＋4)2＝78>0，所以函数y ＝t ＋32t ＋4－8在[12,32]上为增函数，所以y ≥12＋3212＋4－8＝6，即PE →·PF →的最小值是6，故选B.二、填空题13．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析由向量知识求出|AB →||AC →|的值，代入三角形面积公式求解．已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.14．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．答案 2解析根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1，∴λ＝2.15．(2014·齐鲁名校联考)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且当x >1时，f (x )<0，若不等式f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )对任意x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，2]解析 ∵f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )，∴f (x 2＋y 2)≤f (a xy )．设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1×x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．∵x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)<0，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即x 2＋y 2≥a xy ，∴a ≤x 2＋y 2xy .而x 2＋y2xy≥2，∴a ≤2，∴0<a ≤ 2.16．(2014·江苏灌云期中)已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为________．答案 3或－1解析 ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3，∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1.17．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)答案539解析先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值．如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠P AO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m.在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝20 m ．所以cos ∠BCA ＝45. 所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40 x ＋625 m.所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539.18．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析求出定点A ，B 的坐标，并注意已知两直线互相垂直． ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10.∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．19．(2014·合肥质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①b a cos C <1－c a cos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB →·BC →·tan A ；③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1；⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.答案 ④⑤解析设R 为△ABC 的外接圆的半径，对于①，将b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C 代入b a cos C <1－c a cos B 中，可得sin B cos C ＋sin C cos B <sin A ，即sin(B ＋C )<sin A ，可得sin A <sin A ，所以①错．对于②，由于△ABC 的面积为S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ，此时A 可以取π2，而在S △ABC ＝12AB →·AC →·tan A 中A 取不到π2，所以②错．对于③，将a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C 代入a cos A ＝c cos C 中，得sin A cos A ＝sin C cos C ⇒sin2A ＝sin2C ，故A ＝C 或A ＋C ＝π2，所以△ABC 不一定是等腰三角形，所以③错．对于④，必要性：因为△ABC 是钝角三角形且A 为最大角，即π2<A <π，所以0<sin A <1，－1<cos A <0，所以－1<sin A ＋cos A <1；充分性：因为－1<sin A ＋cos A <1，所以|sin A ＋cos A |<1，平方得sin2A <0，故π<2A <2π，即π2<A <π，所以A 为钝角，即△ABC 是钝角三角形，所以④对．对于⑤，由正弦定理，得3sin π3＝b sin B ⇒b ＝2sin B ，当B ＝π2时，b max ＝2，所以⑤对．20．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成，记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关；③若a ∥b ，则S min 与|b |无关；④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a|，S min ＝8|a|2，则a 与b 的夹角为π4. 答案 ②④解析根据分类讨论思想及向量数量积定义求解．∵x i ，y i (i ＝1,2,3,4,5)均由2个a 和3个b 排列而成， ∴S ＝ i ＝15x i y i 可能情况有以下三种：(1)S ＝2a 2＋3b 2；(2)S ＝a 2＋2a·b ＋2b 2；(3)S ＝4a·b ＋b 2.∵2a 2＋3b 2－(a 2＋2a·b ＋2b 2)＝a 2＋b 2－2a·b ＝a 2＋b 2－2|a||b|cos θ≥0，a 2＋2a·b ＋2b 2－4a·b －b 2＝a 2＋b 2－2a·b ≥0，∴S 的最小值为S min ＝b 2＋4a·b.因此S 最多有3个不同的值，故①不正确．当a ⊥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2与|a|无关，故②正确．当a ∥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2＋4|a||b|或S min ＝b 2－4|a||b|与|b |有关，故③不正确．当|b |>4|a|时，S min ＝b 2＋4|a||b|cos θ≥b 2－4|a||b|＝|b|(|b |－4|a |)>0.故④正确．当|b |＝2|a|时，由S min ＝b 2＋4a·b ＝8|a |2，知4a·b ＝4a 2，即a·b ＝a 2，∴|a||b|cos θ＝a 2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，故⑤不正确．因此正确命题的编号为②④.。

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2013-2014学年度第二学期解三角形和不等式的大题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
（1，求)(x f 的取值范围；
（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．
【答案】21m n =⋅-. （1（2，求b 的大小.
【答案】（1）()f x 递减区间是2
3．已知函数f(x)x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）6（2）()3,-+∞
4．(1)已知y ＝4x －2
(2)已知x>0，y>01，求x ＋y 的最小值．【答案】（1）y max ＝1.（2）最小值为16
5．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐，
6．设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
－－，＋，，求z 的最大值和最小值．
【答案】12 3
7．在△ABC 中，a ＝3，b ＝
B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)求c 的值．【答案】（1
2）5. 8．在△ABC 中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)
求B ；
(Ⅱ)若2=
b ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】
9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,
且（1
的值;
（
2）若
求bc 的最大值. 【答案】（1（2
10．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3 （1）求AC ；（2）求∠A ．【答案】（1）5 （2）
120-=∠A
三个内角，他们的对边分别为a
、b 、c ，且
（1）求
A;
（2
的值，并求ABC ∆的面积。

【答案】（1212．在ABC ∆中，（1）求sin A 的值；
（2求ABC ∆的面积.
【答案】（1
（2
13．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，（Ⅰ）求角B 的大小；
，求△ABC 的面积.
（214．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c 。

【答案】（1）6015．在ABC ∆中，（1）求A sin 的值；（2）求CA CB ∙的值.
【答案】（1216．在△ABC 中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是,,a b c ，且 222
b c a bc +=+.
（1）求∠A 的大小；
（2，3b c +=，求b 和c 的值.
【答案】（12）1,2b c == 或 2,1b c ==.
17．若不等式0252>-+x ax 的解集是
(1) 求a 的值；
(2) 【答案】（118．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，（1）求cos ,cos B C 的值；
（2）若27
BA BC ⋅=
，求边AC 的长. 5
19的对边分别是,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -= 求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为为，求a c +的值；
【答案】 ⑵a ＋c
20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3AB AC ⋅=．
（1）求ABC ∆的面积；（2）若1c =，求
【答案】（1
（221．（本小题满分10分）
已知0a >，解关于x 的不等式)1)(1(--x ax ＜0
a =11
22（1（2）若3a =，sin 2sin B C =，求ABC S ∆．
【答案】（I II 23．(本题满分12分)
已知不等式02>++c bx x 的解集为}12|{<>x x x 或（1)求b 和c 的值； (2)求不等式012≤++bx cx 的解集.
【答案】（1) 3,2b c =-= (2) 24．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知（1）求B 的值；
（2）若ABC ∆的面积为，求b a ,的值【答案】（1） 30=B （2）⎩
⎨
⎧==24
b a 或25．（本小题满分12分）
已知2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，
(Ⅰ) 求()f x 的解析式；
(Ⅱ) 若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）2()210f x x x =-（2）10t ≤-。