高中数学复习指导：三角形不等式的应用
三角形不等式(含练习题)
三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度的不等式关系。
简单来说，就是关于三角形的某些量之间存在的大小限制。
三角不等式有着广泛的应用，不仅在纯数学领域，如几何、代数等，还在物理学、工程学等实际应用领域发挥着重要作用。
二、常见的三角不等式类型1、边长不等式对于任意三角形，其三条边长 a、b、c 满足：a ＋b ＞ cb ＋c ＞ ac ＋ a ＞ b这是三角形存在的基本条件。
如果不满足其中任何一个不等式，就无法构成一个三角形。
例如，若有三条线段，长度分别为 2、3、6。
由于 2 ＋ 3 ＜ 6，所以这三条线段不能构成三角形。
2、角度不等式在三角形中，任意一个内角都大于 0 度且小于 180 度。
即 0 ＜ A ＜180，0 ＜ B ＜ 180，0 ＜ C ＜ 180。
同时，三角形的最大内角不能小于 60 度，即如果三角形的三个内角分别为 A、B、C，那么max{A, B, C} ≥ 60°。
3、边长与角度的不等式在三角形中，大角对大边，大边对大角。
具体来说，如果 A ＞ B ＞ C，那么 a ＞ b ＞ c；反之，如果 a ＞ b＞ c，那么 A ＞ B ＞ C。
三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图和直观的几何推理来证明三角不等式。
例如，对于边长不等式 a ＋ b ＞ c，可以通过将两条边 a 和 b 拼接起来，与边 c 进行比较，直观地看出 a ＋ b ＞ c。
2、代数方法利用三角函数的定义和性质，以及代数运算来证明。
比如，利用余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2ab cos C，通过分析余弦函数的值域和不等式的性质来证明相关不等式。
3、反证法假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原不等式成立。
四、三角不等式的应用1、判断三角形的存在性给定三条线段的长度，通过判断是否满足三角不等式来确定能否构成三角形。
2、求解三角形的边长范围已知三角形的某些边长和角度条件，利用三角不等式可以求出其他边长的取值范围。
高二数学解三角形和不等式
基本不等式的变形：
a b a b 2ab ab 2 ab a b 2 ab ab 2 ab 2 ab ( ) 2
2 2 2
2
例6．下列函数中，最小值为4的是(
4 (A) y x x 4 0 x (B) y sinx sinx (C)y 4e x e -x (D)y log 3 x log x 30 x 1
2.在△ABC 中， a 4, b 6, C 120 ，则 sinA=（
A ）
57 A、 19
21 B、 7
3 C、 38
57 D、 19
a2 b2 c2 45 ° 3. 若△ABC 的面积为 ，则内角 C 等于______. 4
4.在锐角△ABC 中，边长 a=1，b=2， 则边长 c 的取值范围是_______. （1， 5 ）
C
)
5 2 2 例7.若lgx+lgy＝1， 的最小值是______. x y
进阶练习：
一、选择题：
1、已知
a b ，在以下4个不等式中：
1 1 2 2 2 2 lg( a 1 ) lg( b 1 )（4） 2 a a b （1） a （ 2 ） （ 3 ） b
2b
a 2 c 2 b 2 4b 2 12 b 2 b 2 4 3 cosB= = = = ， 2ac 26 4 2
解得 b2=4+2 3 .又 b 为边长，∴b=1+ 3 . 答案：B
1.满足条件 a 4, b 3 2, A 45 的 ABC 个数是( B ) A、一个 B、 两个 C、无数个 D、零个
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μ α θ η μ α τ ι κ ；英语
高中数学数列、解三角形、不等式综合复习
本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。
在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。
考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。
（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。
（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。
分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。
通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。
再对m取特值验证。
也可利用二次函数的图像解决。
（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。
或取特值验证。
（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。
解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。
（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。
故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。
首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。
（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。
考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。
(完整版)三角不等式
第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos 31cos 21cos >n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<<n n 所以.11sin0kk << 又.)1)(1(111sin 11cos 2222k k k k k k +-=->-=所以)11()3432)(2321()1cos 31cos 21(cos 2nn n n n +•-••> .)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+••-••=n n n n n n即.321cos 31cos 21cos >n 点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++62cos64sin22cos 2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin 462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
三角不等式及应用
高一数学竞赛辅导
---------三角不等式)20(tan sin π<
<<<x x x x 及应用 【教学目标】
(1)理解不等式)20(tan sin π<
<<<x x x x 的推导过程； (2)掌握不等式)20(tan sin π<
<<<x x x x 在解题中的应用. 【教学过程】 复习不等式)20(tan sin π<
<<<x x x x 的证明过程
【题目1】设]3,3[ππ-∈x ,判断方程x x tan sin =根的个数.
【题目2】 若0＜θ＜
2
π，比较cosθ,sin(cosθ),cos(sinθ)的大小 .
【题目3】求证：对于+∈R x 都有不等式0sin 2152>+
+x x x ππ成立.
【题目4】 n ∈N ，n≥2，求证：cos
2
1·cos 31·…·cos n 1>22.
【题目5】求证：在区间（0，2
π）内存在唯一的两个数c 、d(c>d)，使得 cos （sinc ）＝c ，sin （cosd ）＝ d .
【题目7】 设y x y x ≠∈且)2,0(,π，求证：2
2sin 2sin sin y x y x y x +<+<+.
【题目8】 设f(n)=sin 2n x+cos 2n x (n ∈N * , x ∈R)
（1）试根据n ＝1，2，3的具体值，估计f(n)的取值范围；
（2）请根据（1）的计算，给出f(n)取值范围的一般形式，并请证明你的结论.。
三角形的不等式性质总结
三角形的不等式性质总结三角形是几何学中的一个基本形状，具有多种特性和性质。
其中，三角形的不等式性质在解决三角形问题时起着重要的作用。
本文将总结三角形的不等式性质，帮助读者认识和理解三角形的性质以及在相关问题中的应用。
1. 三角形边长不等式三角形的任意两边之和必须大于第三边。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，根据三角形边长不等式，我们可以得到以下三个不等式：a +b > cb +c > aa + c > b例如，如果一个三角形的两边分别为3cm和4cm，那么剩余一边的长度必须大于1cm，才能构成一个三角形。
三角形边长不等式的应用使得我们可以判断给定三边长度是否能够构成一个三角形。
2. 三角形角度不等式三角形的三个内角之和等于180度。
根据三角形的角度不等式，我们可以得到以下三个不等式：∠A + ∠B + ∠C = 180°∠A < 180°∠B < 180°∠C < 180°其中，∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。
这些不等式告诉我们三角形的角度之和是一个固定值，并且每个角度必须小于180度。
3. 三角形边长与角度之间的关系不等式三角形的边长和对应角度之间存在一定的关系。
根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到以下不等式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠Cc^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠Cb^2 = a^2 + c^2 - 2accos∠Ba^2 = b^2 + c^2 - 2bccos∠A其中，a、b、c分别表示三角形的三边长度，∠A、∠B和∠C分别表示对应的内角。
这些不等式描述了三角形的边长与角度之间的关系，可以用于求解未知的边长或角度。
4. 三角形面积的不等式三角形的面积可以通过海伦公式或三角形的高和底边长度计算得到。
根据三角形面积的不等式，我们可以得到以下不等式：面积S = 1/2 * a * b * sin∠C面积S = 1/2 * b * c * sin∠A面积S = 1/2 * c * a * sin∠B这些不等式告诉我们三角形的面积与边长和对应角度的正弦值之间存在一定的关系，可以通过这些关系计算三角形的面积。
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三角形不等式的应用
根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用，并探究命题者是如何编拟这些题目的.
类型一类型一：：证明形如a b c +>型的不等式
例1、已知x y z 、、
+> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ，
设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：
==
又OA OB OC,+>所以原不等式成立.
例2、已知x y z 、、
> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，
则C A ==
又AB BC C,A +>所以原不等式成立.
类型二类型二：：证明形如a b c d ++>型的不等式
例3、已知x y z 、、为正数，求证：
y z).+>++
证明：如右图，以x y z ++为边作正方形，
则
).BC CD AB x y z =++≥++
D
x y z
x y z
类型三类型三：：证明形如a b c d e +++>型的不等式
例4、设01,01x y <<<<求证：
++≥
证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.
由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.
应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.
例5、已知正数x y 、满足1x y +＝
， 2.+≥ 分析分析：：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝
这个条件进行化简.
证明证明：：2,+≥
只要证22224,x y y ++++≥x
即证22224,x y y ++++≥x
即证22224,x y y ++++≥x
即证22[()2]x y xy x y +−+++
注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy −++≥
即证14,xy ≥+
即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy −+≥++
即证287,xy −≥−1,4xy ≤
而21(,24x y xy +≤=故14
xy ≤成立.所以原不等式成立.
如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：
证明证明：：
左边==+
= 设(,0)P x
，1
(4A
，3(4B ，则
|||)PA PB =+左边
，1(4A 关于x
轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号
.
1A B == 2.≥左边即原不等式成立
比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走近命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.
下面结合图形编一个与例1类似的题目：
如右图，在ABC ∆内取一点O ，使90AOB ∠=°，120AOC ∠=°，150BOC ∠=°，
则AB =
，
AC ==
BC ==，由图可
知AB AC BC +>，于是可以改编如下题目：
已知x y z 、、
+>. O C B A
z
y x。