高中数学数列典型6类例题

合集下载

高中数学数列的求和公式及相关题目解析

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。

例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。

由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。

因此，n≈-3.8也不符合题意。

综上所述，n的值为13。

二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。

高中数列经典题型_大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。

例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， ba a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。

高中常见数列的公式及经典例题

数列知识点及解题技巧1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a qa a mn m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列; 当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

高中数学【配套课件】第六章常考题型强化练——数列

数列的项数
数列的项
数列中的每一个数称为项，表示为 $a_i$，其中$i$为项的序号。
数列中包含的数的个数称为项数，表示为$n$。
数列的分类
无穷数列
项数无限的数列。
递减数列
从第一项起，每一项都小于前一项的数列。
有穷数列
项数有限的数列。
递增数列
从第一项起，每一项都大于前一项的数列。
常数列
所有项都相等的数列。
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是用来表示数列中任意一项的数学表达式。
详细描述
等差数列的通项公式是 a_n = a_1 + (n - 1)d，其中 a_n 表示第 n 项的值，a_1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。这个公式可以帮助我们快速找到等差数列中的任意一项。
等差数列的求和公式
高中数学【配套课件】第六章常考题型强化练 ——数列
目录
应用题
数列的定义与性质
01
数列的基本概念
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列，表示为$a_1, a_2, a_3, ldots$，其中$a_i$表示第$i$项。
利用等比数列求积公式计算数列的积。
数列的极限
理解数列极限的概念，掌握极限的运算性质。
综合应用题
排列组合与概率
结合排列组合知识，通过数列计算概率和期望值。
数列与不等式
利用数列性质证明不等式，或通过不等式求解数列问题。
数列与几何
将数列应用于几何问题，如计算几何图形的面积、体积等。
THANKS.
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列中所有项的和的数学表达式。

高三高考数学总复习《数列》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《数列》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一等差数列的基本运算 (3)题型二等差数列的判定与证明 (4)题型三等差数列前n项和及其最值 (5)题型四等比数列的基本运算 (6)题型五等比数列的判定与证明 (8)题型六等差数列等比数列求前n项和 (8)题型七分组转化法求和 (9)题型八裂项相消法求和 (10)【巩固训练】题型一等差数列的基本运算 (11)题型二等比数列的基本运算 (11)题型三等差（比）数列的判定与证明 (12)题型四等差数列前n项的最值 (13)题型五数列的求和 (13)高考数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】题型一等差数列的基本运算例1（1）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．-24B ．-3C ．3D ．8 （2）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（）A ．18B ．20C ．22D ．24（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝（）A ．3B ．4C ．5D ．6（4）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_____．【答案】 (1)A (2)B (3)C （4）10【解析】（1）设{}n a 的公差为d （0d ≠），由2326a a a =，得2(12)(1)(15)d d d +=++，所以2d =-，66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-．选A ．（2）由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=．（3）有题意知m S =1()2m m a a +0=，∴1a =-m a =-（m S -1m S -）=2-，1m a += 1m S +-m S 3=，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=-2m +，∴5=m ，故选C .（4）设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =，得9843914122d d ⨯⨯⨯+=⨯+，所以16d =-．又40k a a +=，所以11[1(1)()][1(41)()]066k +-⨯-++-⨯-=，即10k =．【易错点】等差数列求和公式易记错【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,S n n a a d n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型二等差数列的判定与证明例1 在数列{}n a 中，若21-=a ，已知n n a a 2121+=+，则数列{}n a 前10项的和为______.【答案】25【解析】由已知可得211=-+n n a a ，25245204510110=+-=+=d a S 例2 已知数列{}n a 满足)(22,1111+++∈+==N n a a a a nn nn n（1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析【解析】（1）1222211=-+=-++n nn n n n n n n a a a a a ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为2，公差为1的等差数列.（2）由（1）知()1122+=-+=n n a nn，所以12+=n a n n .例3 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2021≥=+-n S S a n n n ，211=a . （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析【解析】（1）证明当2≥n 时，由021=+-n n n S S a ，得112---=-n n n n S S S S ，所以2111=--n n S S ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为2，公差为2的等差数列. （2）解由(1)可得n S n 21=，∴nS n 21=. 当1=n 时，211=a 不适合上式. 当2≥n 时，()1211--=-=-n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==2121121n n n n a n【易错点】忘记写：当2≥n 时或者不知道使用：1n n n a S S -=-【思维点拨】等差数列的证明方法：（1）定义法：d a a n n =-+1)(*∈N n 或d a a n n =--1)2,(≥∈*n N n ⇒{}n a 为等差数列. （2）等差中项法：()*++∈+=N n a a a n n n 212⇒{}n a 为等差数列.（3）通项法：B An a n +=B A ,(为常数)⇒{}n a 为等差数列.（4）前N 项和法：Bn An S n +=2B A ,(为常数)⇒{}n a 为等差数列.题型三等差数列前n 项和及其最值例1 （1）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知131=a ，113S S =，当n S 最大时，n 的值是( )A.5B.6C.7D.8（2）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．【答案】(1)C (2)8【解析】（1）由113S S =，根据等差数列的性质，可得087=+a a .根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到07>a ，08<a ，故7=n 时n S 最大.（2）∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又710890a a a a +=+<，∴90a <．当8=n 时，其前n 项和最大．【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。

高中数学数列经典九例

数学数列经典例题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n na 2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S5.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T6.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证：⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+；⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n .7.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项.（1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；（2）若数列}1{,3),(}{11nn n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈. ①求证数列{}1n a -是等比数列；②求数列{}n a 的前n 项和n S .9.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；（II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T .高考数列解答题参考答案1.解析：(1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c=533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=-∴12(1)q q q -=-，1q ≠， ∴121,2q q ==，∴1164()2n a -= (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -=∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2n n n n T S -==（8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-(13)422n n -=-∴(13)(17,)2(13)42(8,)2n n n n n T n n n n -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪-≥∈⎪⎩**N N 2.解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a解得：,73=a 同理得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列； 112)1(1-⋅++∴n n a a ；,21n n a =+∴.12-=∴n n a 为所求通项公式（3）12-=nn a 123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-123(222......2)nn =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+3.解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =，112n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222n n n n a ---∴=⨯== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ （1） 012111232(23)2(21)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⋅+-⋅ （2）（1）—（2）得0121122(222)(21)22n n n T n ---=++++--⋅ 即：1111112[1(2)]2(21)26(23)2212n n n n T n n ------=+--⋅=-+⋅- ，212(23)2n n T n -∴=-+⋅ 4．解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且，即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{n n a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴n n n a 2)21(⋅-=． )2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S 1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S 得 12)21(2222132-⋅--++++=+n n n12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ． 5.解：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，13n n S S +∴= 又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N 当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩，，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++，…………①12133436323n n T n -=++++，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+-- 11(12)3n n -=-+-1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==也满足上式， 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 6.解： ⑴ )2(221+=++n n b b 2221=++∴+n n b b 2121=-=a a b 62222=+=b b 数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列；⑵由⑴知 112242+-=⨯=+n n n b221-=∴+n n b 2211-=-++n n n a a22212-=-∴a a22323-=-a a……221-=--n n n a a上列（n-1）式子累加：n a n n 2)222(232-+++=-n a n n 221-=∴+⑶2)1(2)222(13221+-+++=++++n n a a a n n . 4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n7.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d32+=∴n a n . )4(2)325(+=++=n n n n S n （2）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n112211121112,()()()(1)(14)3(2).3,n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-++-+=++++=--++=+=当时对也适合 ))(2(*∈+=∴N n n n b n ).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n )211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n )2)(1(4532+++=n n n n8.解：①113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=--⇒121(2)n n a a n +=-≥ 又123,22a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈） ∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112a -=的等比数列（2）由①，1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+ 于是12...n n S a a a =+++()()()()1012212121...21n --=++++++++ ()1012222...2n n --=++++212n n -=+9.解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n *),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+ ,21=∴+nn b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列， ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而 *)(231N n b n n ∈⋅=∴-（II ）,231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n 而,111)1(1+-=+n n n n .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n。

高中数列练习题及讲解大题讲解

高中数列练习题及讲解大题讲解### 高中数列练习题及讲解#### 练习题一：等差数列的求和问题题目：已知等差数列的第一个项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求前 $ n $ 项的和 $ S_n $。

解答：等差数列的前 $ n $ 项和公式为：\[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \]将已知条件代入公式：\[ S_n = \frac{n}{2} [2 \times 3 + (n - 1) \times 2] \]\[ S_n = \frac{n}{2} [6 + 2n - 2] \]\[ S_n = \frac{n}{2} [2n + 4] \]\[ S_n = n^2 + 2n \]#### 练习题二：等比数列的通项公式题目：已知等比数列的首项 $ a_1 = 8 $，公比 $ r =\frac{1}{2} $，求第 $ n $ 项 $ a_n $。

解答：等比数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]将已知条件代入公式：\[ a_n = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]#### 练习题三：数列的递推关系式题目：已知数列 $ \{a_n\} $ 的递推关系式为 $ a_{n+1} = a_n+ 2n $，且 $ a_1 = 1 $，求 $ a_5 $。

解答：根据递推关系式，我们可以逐项计算：\[ a_2 = a_1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 \]\[ a_3 = a_2 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7 \]\[ a_4 = a_3 + 2 \times 3 = 7 + 6 = 13 \]\[ a_5 = a_4 + 2 \times 4 = 13 + 8 = 21 \]#### 练习题四：数列的极限问题题目：考虑数列 $ \{a_n\} $，定义为 $ a_n = \frac{1}{n} $，求其极限 $ \lim_{n \to \infty} a_n $。

高中数学数列经典题

1．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n的最小值为__________. 2．设数列{}n a 满足121123,2-+⨯=-=n n n a a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S（A ）11 （B ）5 （C ）-8 （D ）-11 4. 等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n S 、n T 满足3125n n S n T n +=+，则55a b = ，33b a = . 5.已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 6．在数列{}n a 中，11a =,11112n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭。

（1）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式（2）令n n c b =·12n ，求数列{}n c 的前n 项和n S 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n ，且585n n S n a =--，n N *∈。

(1) 证明：{}1n a -是等比数列；8．等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0k a a a =+=，则k=____________．9．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a =1．那么10a =A ．1B ．9C ．10D ．5510．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a ，则14m n+的最小值为（） A. 32 B. 53 C. 256D. 不存在11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56OB a OA a OC =+（O 为坐标原点），且,,A B C 三点共线（该直线不过点O ），则10S 等于（） 12．已知等比数列}{n a 中，,81,341==a a 若数列}{n b 满足n n a b 3l o g =，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和=n S 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数学数列典型6类例题1.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则na =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例3.已知数列}{na 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n aa n n ，求此数列的通项公式.2.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

答案：12+=n a n练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

答案：)1(2+=n n a n 2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a an n 的通项公式。

3.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）（1）形如d ca a n n +=+1的数列求通项，可以通过()x a c x a n n +=++1的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。

例3．已知数列{}n a 满足23,111+==+n n a a a ，求通项n a ；解：∵231+=+n n a a ,∴设()x a x a n n +=++31，则1=x ∴()1311+=++n n a a∴{}1+n a 是公比为3的等比数列，首项是211=+a∴1321-⋅=+n n a∴()*,1321N n a n n ∈-⋅=-(2)形如nn n dm ca a ⋅+=+1的数列求通项，当d c ≠时，可以通过()n n n n d x a c d x a ⋅+=⋅+++11的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解；当d c =时，转化为等差数列求解。

例2． ①已知数列{}n a 满足nn n a a a 23,111+==+，求通项n a ；∵nn n a a 231+=+ ∴设()n n n n x a x a 23211⋅+=⋅+++，则1=x∴()n n n n a a 23211+=+++，{}n na2+是公比为3的等比数列，首项是3211=+a∴n n nn a 33321=⋅=+-∴()*,23N n a nnn ∈-=∴②已知数列{}n a 满足nn n a a a 243,111⋅+==+，求通项n a ；∵nn n a a 2431⋅+=+ ∴设()n n n n x a x a 23211⋅+=⋅+++，则4=x∴()n n n n a a 2432411⋅+=⋅+++，92411=⋅+a{}n n a 24⋅+∴是公比为3的等比数列，首项是92411=⋅+a ，∴1133924+-=⋅=⋅+n n nn a∴()*,2431N n a n n n ∈⋅-=+∴③已知数列{}n a 满足nn n a a a 33,111+==+，求通项n a ； ∵nn n a a 331+=+ ∴313311+=++n n n n a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是公差为31的等差数列，首项是31 ∴33n a nn = ∴13-⋅=n n n a （3）形如e dn ca a n n ++=+1的数列求通项，可以通过()y xn a c y n x a n n ++=++++)1(1的形式，利用待定系数法求出x 、y 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。

例3．已知数列{}n a 满足n a a a n n 23,111+==+，求通项n a ；解：∵n a a n n 231+=+∴设()y n x a y n x a n n +⋅+=++⋅++3)1(1，则⎪⎩⎪⎨⎧==211y x∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++21321)1(1n a n a n n ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21n a n 是公比为3的等比数列，首项是252111=++a ∴132521-⋅=++n n n a ∴213251--⋅=-n a n n 。

（4）形如11-++=n n n qa pa a 的数列求通项，可以通过()11-++=+n n n n xa a y xa a 的形式，利用待定系数法求出x 、y 的值，转化为nn n z ya a +=+1的数列求解问题。

例4、已知数列{}n a 满足()2,32,2,51121≥+===-+n a a a a a n n n ，求通项n a ；（见课本必修5第69也复习参考题B 组第6题）解法一：,3211-++=n n n a a a()11-++=+∴n n n n xa a y xa a 设则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧==-133132y x y x xy x y 或 ()113-++=+∴n n n n a a a a{}1-+∴n n a a 是公比为3的等比数列，721=+a a1137--⋅=+∴n n n a a令()11313-++-=+n n nn x a x a ，与1137--⋅=+∴n n n a a 对照可得x=47-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=⋅--+113471347n n n n a a⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-∴-1347n n a 是公比为-1的等比数列，首项是413471=-a()111413347---⋅=⋅-∴n n n a ()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法二：同上得：1137--⋅=+n n n a a∴97331311=⋅+--n n n n a a ∴设⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+--x a x a n n n n 113313与97331311=⋅+--n n n n a a 对照可得：127-=x ∴⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---127331127311n n n n a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1273nn a 是公比为31-的等比数列，121312731=-a 。

13112131273-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n nn a()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴--。

解法三：同解法一得：()n n n n a a a a 33112--=-+++ ∴{}n n a a 31-+是公比为-1的等比数列，13312-=-a a ∴()nn n a a 11331-⋅=-+∴()nn n a a 11331-⋅+=+∴设()()()n n n n x a x a 13111-⋅+=-⋅+++与()nn n a a 11331-⋅+=+对照可得：413=x ∴(){}nn x a 1-⋅+是公比为3的等比数列，∴474131=-a∴()13471-⋅=-⋅+n nn x a ()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法四：同解法三得：()nn n a a 11331-⋅=-+ ∴()()1313111=-⋅+-++nnn n a a∴设()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=+-++x a x a n n n n 13111与()()1313111=-⋅+-++n nn n a a 对照可得413=x ∴()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-=+-++41313413111n n n n a a ∴()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-4131nn a 是公比为-3的等比数列，()47413111-=+-a ∴()()13474131--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-n nna ()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法五：同解法三得：()nn n a a 11331-⋅=-+ 同解法一得nn n a a 371⋅=++()⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-⋅=-++②①..............................37.................113311nn n nn n a a a a ②-①得：()11371134--⋅+-⋅=∴n n n a()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 例5．已知βα、是方程02=++q px x 的两个根，,,221q p a p a -==()2,11≥+=-+n qa pa a n n n ,求通项n a 。

解：βαβα⋅=+=q p ,()111--+⋅++=+=n n n n n a a qa pa a αββα ()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a αβα{}1-⋅-n n a a α是公比为β的等比数列，首项是()()22212βαββααβαα=-+-+=--=⋅-q p p a a∴n n n n a a βββα=⋅=⋅---221…………………….①又()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a βαβ同理可得：nn n a a αβ=⋅--1……………………② 当βα=时，n n n a a αα=⋅--1111=---n n nna a αα，n n nnn a n a αα⋅=∴=∴,当βα≠时，由①②得：βαβα--=++11n n n a综上，⎪⎩⎪⎨⎧≠--=⋅=++βαβαβαβαα,,,11n n n n n a 说明：本例和例4基本相同，请读者自己考虑其它解法。

（5）n n n q a p a+⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

(05 江西理)已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令,又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nnn n n b a b 即4.求数列的前n 项和基本方法：A ）公式法， B ）分组求和法1、求数列n {223}n +-的前n 项和n S . 2.)12()1(7531--+⋯++-+-=n S nn3.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－154.求数列1，2+21，3+41，4+81，…，121-+n n 5.已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn .C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k=-++；n n n n -+=++111；例1、求和：S =1+n++++++++++ 32113211211 例2、求和：nn +++++++++11341231121 . D ）倒序相加法，例、设221)(x x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ E ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S . 2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）5.数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n.例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13nn n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．6.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a 练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n nn a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n。