2021_2022学年新教材高中数学第二章函数4.2简单幂函数的图象和性质练习含解析北师大版必修第一
2021_2022学年新教材高中数学第2章函数复习课第2课时函数课后训练巩固提升含解析北师大版必修第
第2课时 函数课后训练·巩固提升1.已知幂函数f (x )的图象过点(2,√22),则f (8)的值为() A.√24B.√28C.2√2D.8√2f (x )=x α. ∵函数f (x )的图象过点(2,√22),∴√22=2α,∴α=-12,∴f (x )=x -12, ∴f (8)=8-12=√24.2.函数f (x )=√1-x +2x 的定义域为()A.(-∞,0)B.(0,1]C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1]f (x )有意义,需有{1-x ≥0,x ≠0,解得x ≤1,且x ≠0, ∴函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,1],故选D .3.已知f (x )是一次函数,且f (x-1)=3x-5,则f (x )的解析式为()A.f (x )=3x+2B.f (x )=3x-2C.f (x )=2x+3D.f (x )=2x-3f (x )=kx+b (k ≠0),则f (x-1)=k (x-1)+b=3x-5,即kx-k+b=3x-5,∴{k =3,b -k =-5,解得k=3,b=-2,∴f (x )=3x-2.4.已知函数f (x )={x +1,x ≥1,4x,x <1,且f (x )=3,则x 的值是 ()A.2B.23C.2或43D.2或34:当x ≥1时,f (x )=x+1=3,得x=2,满足题意,当x<1时,f (x )=4x=3,得x=34,满足题意.综上可得,x 的值是2或34.5.若函数f (x )=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M-m 的值()A.与a 有关,且与b 有关B.与a 有关,但与b 无关C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关f (0)=b ,f (1)=1+a+b ,f (-a 2)=b-a 24中取,所以最值之差一定与b 无关,选B .6.函数f (x )=√x+1x 的定义域是.{x +1≥0,x ≠0,得x ≥-1,且x ≠0.∴函数f (x )=√x+1x 的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).-1,0)∪(0,+∞)7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=.f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),即(-x+1)(-x+a)-x =(x+1)(x+a)-x,整理,得(a+1)x=0,所以a+1=0,得a=-1.18.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,则m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.(2)函数f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 因为对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2=1(-x)2=1x2=x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数.(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-2−x2-2=1x12−1x22=x22-x12x12x22=(x2-x1)(x2+x1)x12x22,∵x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x12x22>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.1.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是()y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数y=f(x)·g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)>0,且g(x)<0,则f(x)·g(x)<0,可排除B,故选A.2.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数x1=x2=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1,令x1=x,x2=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+1+f(-x)+1=0,即f(-x)+1=-[f(x)+1],∴f(x)+1为奇函数.3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是___________________.f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),故x[f(x)-f(-x)]=x[f(x)-(-f(x))]=2xf(x)<0,由题图知,当x>0时,若0<x<3,f(x)<0,若x>3,f(x)>0.又因为f(x)为奇函数,所以当x<-3时,f(x)<0,当-3<x<0时,f(x)>0.而不等式2xf(x)<0可化为{x>0,f(x)<0或{x<0,f(x)>0,于是有{x>0,0<x<3,或{x<0,-3<x<0,即0<x<3或-3<x<0,故不等式的解集为(0,3)∪(-3,0).∪(-3,0)4.已知函数f(x)=axx2-1(a≠0,x∈(-1,1)).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,求f(x)在区间[-12,12]上的最大值和最小值.设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=ax1x12-1−ax2x22-1=ax1x22-ax1-ax2x12+ax2(x12-1)(x22-1)=a(x2-x1)(x1x2+1)(x12-1)(x22-1).∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0,∴当a>0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在区间(-1,1)上单调递减;当a<0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在区间(-1,1)上单调递增.综上所述,当a>0时,f (x )在区间(-1,1)上单调递减;当a<0时,f (x )在区间(-1,1)上单调递增.(2)当a=1时,f (x )=xx 2-1,由(1)知f (x )在区间[-12,12]上单调递减, 故f (x )的最大值为f (-12)=23,最小值为f (12)=-23.5.已知一元二次函数f (x )的最小值为1,且f (0)=f (2)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f (x )的图象恒在函数y=2x+2m+1图象的上方,试确定实数m 的取值范围.由题意设f (x )=a (x-1)2+1(a>0),将点(0,3)的坐标代入,得a=2,所以f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)由(1)知函数f (x )图象的对称轴为直线x=1,所以2a<1<a+1,所以0<a<12.即实数a 的取值范围为(0,12).(3)f (x )-2x-2m-1=2x 2-6x-2m+2,由题意得2x 2-6x-2m+2>0对于任意x ∈[-1,1]恒成立,所以x 2-3x+1>m 对于任意x ∈[-1,1]恒成立.令g (x )=x 2-3x+1,x ∈[-1,1],则g(x)min=g(1)=-1,所以m<-1,故实数m的取值范围为(-∞,-1).。
2021_2022学年新教材高中数学第二章函数单元体验闯关练练习含解析北师大版必修第一册
单元体验·闯关练第二章1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]【解析】选D.因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，当x>0时，f(x－1)≥0＝f(2)，即0<x－1≤2，解得1<x≤3，当x＝0或x＝1时，显然符合题意，当x<0时，f(x－1)≤0＝f(－2)，即－2≤x－1<0，解得－1≤x<0，所以不等式xf(x－1)≥0的解集为[－1，0]∪[1，3].2．(2020·天津高考)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()【解析】选A.设f(x)＝y＝4xx2＋1.由函数的解析式可得：f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，又其定义域关于原点对称，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C，D错误；当x＝1时，y＝41＋1＝2>0，选项B错误．3．(2020·上海高考)若存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f()x＋a＜f(x)＋f()a恒成立，则称函数f(x)具有性质P，已知：q1：f(x)单调递减，且f(x)＞0恒成立；q2：f(x)单调递增，存在x0＜0使得f()x0＝0，则使得f(x)具有性质P的充分条件是()A.只有q1B．只有q2C.q1和q2D．q1和q2都不是【解析】选C.本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在a∈R且a≠0，则对于q1，a＞0时，易得函数f(x)具有性质P；对于q 2，只需取a ＝x 0，则x ＋a ＝x ＋x 0＜x ，f ()a ＝f ()x 0 ＝0，所以f ()x ＋a ＝f ()x ＋x 0 ＜f (x )＝f (x )＋f ()a ，所以此时函数f (x )具有性质P .4．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x－1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89 ，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，83 【解析】选B.如图，令f (x )＝－89 ，结合图象可得f (x －1)＝－49 ，则f (x －2)＝－29，当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)＝－29 ，解得x ＝13 或23 ，当f (x )＝－89 时，x ＝73 或83 ，即若f (x )≥－89，对任意x ∈(－∞，m ]都成立，则m ≤73.5．(2020·江苏高考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23 ，则f (－8)的值是________．【解析】y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23 ，则f (－8)＝－f (8)＝－823 ＝－4.答案：－46．(2019·江苏高考)函数y ＝7＋6x －x 2 的定义域是________. 【解析】由y ＝7＋6x －x 2 得7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7. 答案：[－1，7]1．(多选)若函数f (x )的图象经过P ()t ，2t ，则称P 为函数f (x )的“偏离点”．如：一次函数f (x )＝x －3存在“偏离点P (－3，－6)”．判断下列结论正确的是( )A.常数函数y ＝1的“偏离点”为P ⎝⎛⎭⎫12，1B. 反比例函数y ＝1x有两个“偏离点” C.若二次函数y ＝－12 x 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋2 x －29 a 2－a ＋1的两个不同的“偏离点”为P 1()x 1，y 1 ，P 2()x 2，y 2 ，则x 21 ＋x 22 的最小值为89 D.若函数y ＝14x 2＋2nx ＋n ＋2有唯一的“偏离点”，则n 的值为2 【解析】选AB.对于A ，由“偏离点”的定义可得正确．对于B ，由1x ＝2x ，解得x ＝± 22，所以反比例函数y ＝1x 有两个“偏离点”分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 22， 2 ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－ 22，－ 2 ，所以B 正确．对于C ，由－12 x 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋2 x －29a 2－a ＋1＝2x ， 得－12 x 2＋⎝⎛⎭⎫23a x －29 a 2－a ＋1＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫23a 2 －4⎝⎛⎭⎫－12 ⎝⎛⎭⎫－29a 2－a ＋1 >0，所以a <1， 所以x 21 ＋x 22 ＝()x 1＋x 2 2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12 2 － 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－29a 2－a ＋1－12 ＝89 a 2－4a ＋4>89 ，所以C 错误． 对于D ，由14 x 2＋2nx ＋n ＋2＝2x ，得14x 2＋()2n －2 x ＋n ＋2＝0，有两个相等的实数根，所以()2n －2 2 －4⎝⎛⎭⎫14 ()n ＋2 ＝0，解得n ＝2或n ＝14 ，所以D 错误． 2．对平面直角坐标系中的点P ()x ，y ，定义d ＝||x ＋||y 为点P ()x ，y 的“幸福指数”．对于函数y ＝f (x )，若函数图象上任意点P ()x ，y 的“幸福指数”d ≥1，则称函数f (x )为“幸福函数”．(1)若反比例函数y ＝1x的图象上点P 的“幸福指数”为2，则点P 的坐标为________． (2)若二次函数y ＝x 2－()2m ＋1 x ＋m 2＋m ()m >0 是“幸福函数”，则m 的取值范围为________．【解析】(1)由题意可得||x ＋⎪⎪⎪⎪1x ＝2，所以||x ＝1，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为()1，1 ，()－1，－1 .(2)由题意可得||x ＋||x 2－()2m ＋1x ＋m 2＋m ≥1恒成立．即||x ＋||()x －m －1()x －m ≥1恒成立．当x ≤0时，－x ＋x 2－()2m ＋1 x ＋m 2＋m ≥1，即x 2－()2m ＋2 x ＋m 2＋m －1≥0，只需要m 2＋m －1≥0，所以m ≤－1－52 或m ≥－1＋52 ，又因为m >0，所以m ≥－1＋52 .当0<x ≤m 时，x ＋x 2－()2m ＋1 x ＋m 2＋m ≥1，即x 2－()2m x ＋m 2＋m －1≥0，只需要m 2－()2m m ＋m 2＋m －1≥0，即m ≥1.当m <x ≤m ＋1时，x －x 2＋()2m ＋1 x －m 2－m ≥1，即x 2－()2m ＋2 x ＋m 2＋m ＋1≤0，只需要()m 2－()2m ＋2 m ＋m 2＋m ＋1≤0，即m ≥1.当x ≥m ＋1时，x ＋x 2－()2m ＋1 x ＋m 2＋m ≥1，即x 2－()2m x ＋m 2＋m －1≥0，只需要()m ＋1 2－()2m ()m ＋1 ＋m 2＋m －1≥0，即m ≥0，又因为m >0，所以m ≥0.综上所述，m 的取值范围为m ≥1.答案：(1)()1，1 ，()－1，－1 (2)m ≥13．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【解析】(1)当0<x≤100时，p＝60；当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.所以p＝(2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.所以y＝当0<x≤100时，y＝20x是增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；当100<x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，所以当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．。
2021_2022学年新教材高中数学第2章函数4.1第2课时函数奇偶性的应用课件北师大版必修第一册
4.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( C )
A.f(3)<f(－4)<f(－π)
B.f(－π)<f(－4)<f(3)
C.f(3)<f(－π)<f(－4)
D.f(4)<f(－π)<f(3)
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的偶函数所以f(－π)＝f(π)， f(－4)＝f(4)，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π ＜ 4 所以f(3) ＜ f(π) ＜ f(4)即f(3) ＜ f(－π) ＜ f(－4).
所以，当 x(时,0，) f( x ) f( x ) [ 2 ( x ) 1 ] 2 x 1 .
探究三 利用函数的奇偶性研究函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象 从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原 点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的 单调性的一般规律. 从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原 点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的 单调性的一般规律.
x 提示：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数， 这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出 函数在x<0时的图象. （2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.
【解析】（1）当 x 时0 ， yx22x(x1)21 其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线， 与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).
例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数， 证明函数在（-∞，0）上也是减函数.
分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0) 上取值，然后作差，通过函数是奇函数，把函数在 (-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值， 再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的 差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的 结论.
2.4.2 简单幂函数的图像和性质-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2019版必
2.4.2 简单幂函数的图像和性质【教学目标】1、幂函数的概念；（重点）2、幂函数的图像画法和性质。
（难点）学科素养通过对两个变量之间关系的判断，发展学生的思维能力；【知识清单】1. 幂函数的概念一般地，形如 的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数2. 幂函数性质⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图象都过点⑴a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是 函数.⑴a<0时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是_______函数.【基础过关】1、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=-B.y=3x 2C.y=D.y=2x2、若幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）•在（0，+∞）上是减函数，求实数m 【经典例题】例1、已知幂函数（m ⑴Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，求m 的值和函数f （x ）的解析式例2．已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,试将下图补充完整.3 【课堂达标】1．已知幂函数()f x x α=的图象经过2⎛ ⎝⎭，则()4f 的值等于（ ）A ．1B ．116 C ．2 D ．122．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则()f x 的增区间为（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,0]-∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞3.下列四个结论中，正确的是（ ）A ．幂函数的图像过(0,0) 和(1,1)两点B ．幂函数的图像不可能出现在第四象限C ．当0n >时，()*n y x n N =∈是增函数D ．0y x =的图像是一条直线4.幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A 3B ．3C ．13 D ．335.（多选题）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( )A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【能力提升】1．已知幂函数pq y x =（*,,1p q q ∈>N 且,p q 互质）的图象如图所示，则（ ）4A ．p ，q 均为奇数，且1p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且1p q > C ．q 为奇数，p 为偶数，且1p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且01p q << 2．下面4个图象都是幂函数的图象，函数23y x -=的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．0b c >>D ．0d c >>4．下列函数中，定义域为R 的函数是（）5A ．56y x =B ．32y x -=C ．23y x =D ．34y x = 5．如图是幂函数n y x =的部分图像,已知n 取11,2,2,22--这四个值,则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为( )A ．112,,,222-- B ．112,,,222-- C ．11,2,2,22-- D ．112,,2,22-- 6.（多选题）已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的α的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．37.．已知12,1,,1,2,3,2α⎧⎫⎨-⎩-⎬⎭∈若幂函数()a f x x =的图象关于 y 轴对称，且在区间()0,∞+内单调递减，则α=__________．8.已知幂函数()12f x x =，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围是______. 9．已知函数f (x )＝22112 1.x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，，， (1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；(2)画出函数的图象；(3)若f (x )＝1，求x 的值．610．已知幂函数()()23122233m m f x m m x --=-+，且在()0,∞+上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.【参考答案】【知识清单】1、(1)y=x a(a为常数)；2、（1）（1，1），增函数，减函数；【基础过关】1、[答案]C解析根据幂函数的概念，形如y=x a(a为常数)的函数叫做幂函数．2、[答案] 2解析⑴f（x）＝（m2﹣m﹣1）为幂函数，⑴m2﹣m﹣1＝1，⑴m＝2或m＝﹣1．当m＝2时，f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上是减函数，当m＝﹣1时，f（x）＝x0＝1不符合题意．综上可知m＝2．故答案为：2．【经典例题】例1、[答案] f（x）＝x﹣4．【解析】幂函数（m⑴Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m⑴Z，所以m＝2；函数的解析式为：f（x）＝x﹣4．例题2、[答案] 见解析【解析】78利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，所以补充后图象如图所示.【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.[课堂达标]1．D【解析】【分析】根据幂函数过点的坐标，待定系数求得函数解析式；再代值即可求得函数值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象经过22,2⎛⎫⎪⎝⎭， 故可得12222α-==，解得12α=-，故()12f x x -=；则()121442f-==.9 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及幂函数函数值的求解，属综合简单题.2．C【解析】【分析】由幂函数所过点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后再确定单调性．【详解】设幂函数y x α=，经过点4,2，得42α=，即222α=，得12α=，所以幂函数为12y x =，单增区间为[)0,+∞.故选：C ．【点睛】本题考查幂函数的解析式和单调性，涉及到待定系数法，属于基础题．3．B【解析】【分析】根据幂函数性质直接判断各选项正确与否.【详解】10 幂函数的图像都过点(1,1),但不一定过点(0,0) ，如1y x -=，所以A 错；因为当0x >时0y x α=>，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B 对；当0n >时，()*n y x n N =∈不一是增函数，如2y x 在(,0]-∞上单调递减，所以C 错； 0y x =的图像是一条去掉一点(0,1) 的直线，所以D 错.故选:B【点睛】本题考查幂函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题.4．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x x === 因为(9)93f ==，所以[(9)](3)3f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.5．．CD11 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，1y x =，在(),0-∞和()0,∞+上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误.对于B 选项，0y x =，0x ≠，图象是：直线1y =并且除掉点()0,1，故B 选项错误.对于C 选项，2y x ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确.对于D 选项，3y x =，只有一个零点0，所以D 选项正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.【能力提升】1．D【解析】【分析】由函数为偶函数，且图象在第一象限内向上凸起，在(0,)+∞单调递增，可选出答案.【详解】由幂函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，所以p 为偶数，则q 为奇数， 因为图象在第一象限内向上凸起，且在(0,)+∞单调递增，所以01pq <<.12 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定与应用，熟记幂函数的图象与性质，是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据幂函数的性质以及函数奇偶性的定义判断即可.【详解】由幂函数的性质可知，函数23y x -=的图象在0,上单调递减，则AC 错误；令123321()f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，()(),00,x ∈-∞+∞ 因为()11332211()()f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，所以函数23y x -=为偶函数，则D 错误；故选：B【点睛】本题主要考查了根据幂函数的解析式选择图象，属于中档题.3．B【解析】【分析】13根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，对题目中的函数进行分析、判断即可． 【详解】解：对于A ：函数6565y x x ==[)0,+∞，不满足条件； 对于B ：函数323y x x -==的定义域为()0,∞+，不满足条件； 对于C ：2323y x x ==R ，满足条件；对于D ：函数3434y x x ==[)0,+∞，不满足条件； 故选：C【点睛】14本题考查了求常见的函数定义域应用问题，属于基础题．5．A【解析】【分析】方法一 根据幂函数在第一象限的单调性和增减速度判断；方法二 对x 取值，根据四个函数对应的函数值的大小进行判断.【详解】方法一 曲线12,C C 过点()()0,01,1,，且在第一象限单调递增，0n ∴>，n 为1,22.显然1C 对应2y x ，2C 对应12y x =.曲线34,C C 过点()1,1，且在第一象限单调递减，0n ∴<，n 为1,22--.显然3C 对应12y x -=，4C 对应2y x .方法二 令2x =，分别代入1122221234,,,y x y x y x y x --====，得1234214,2,24y y y y ====，1234y y y y ∴>>>，所以曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为112,,,222--. 故选：A .【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题.6、BD【解析】【分析】15 对α的四个取值逐一分析y x α=的值域和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】当1α=-时，11y x x -==，为奇函数，但值域为{}0y y ≠，不满足条件；当1α=时，y x =为奇函数，值域为R ，满足条件；当2α=时，2y x 为偶函数，值域为{}0y y ≥，不满足条件；当3α=时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件.故选：BD.【点睛】本小题主要考查幂函数的值域，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.7、2-【解析】【分析】根据题意可得函数的奇偶性和单调性，进而得到α可取的值.【详解】解：因为幂函数()a f x x =的图象关于 y 轴对称，则α必为偶数，又()a f x x =在区间()0,∞+内单调递减，则α为负数，综合得2α=-.故答案为：2-．【点睛】16 本题考查幂函数的奇偶性及单调性，是基础题．8、[)1,3- 【解析】【分析】由幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增可得01102a a +<-，从而解得． 【详解】解：幂函数12()f x x =在[)0,+∞上单调递增，又(1)(102)f a f a +<-， 01102a a ∴+<-， 13a ∴-<，即[)1,3a ∈-故答案为：[)1,3-．【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．9．(1) f (f (－3))>f (f (3)) (2)见解析(3) x 的值为0或12【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据分段函数的性质，分别代入值求出即可；（2）利用函数图象的画法画图即可；（3）对x 分类讨论，解方程即可．17 试题解析：(1)⑴－3<1⑴f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7⑴7>1⑴f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35⑴3>1⑴f (3)＝32－2×3＝3⑴f (f (3))＝3⑴f (f (－3))>f (f (3))．(2)函数图象如图所示：(3)由f (x )＝1的函数图象综合判断可知，当x ⑴(－∞，1)时，得f (x )＝－2x ＋1＝1，解得x ＝0； 当x ⑴[1，＋∞)时，得f (x )＝x 2－2x ＝1，解得x ＝12或x ＝12(舍去)．综上可知x 的值为0或12.10．（1）()12f x x =（2）21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）因为函数是幂函数，求出1m =或2m =，再分别验证是否满足函数在()0,∞+上是增函数；（2）由（1）知()12f x x=，根据函数的定义域和单调性解不等式.【详解】18 （1）2331m m -+=，即2320m m -+=，则()()120m m --=，解得1m =或2m =， 当1m =时，()311122x f x x ---==，当2m =时，()2112322x x f x --==，⑴()f x 在()0,∞+上为增函数，⑴()12f x x =.（2）由（1）得()f x 定义域为[)0,+∞且()f x 在()0,∞+上为增函数，⑴10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：213a -≤<，所以a 的取值范围为：21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型.1920。
2021学年新教材高中数学4.2指数函数4.2.2第2课时指数函数的图象和性质二课时作业含解析人教A版必修一
第四章 4.2 4.2.2 第2课时A 组·素养自测一、选择题1. ⎝⎛⎭⎫1323 ，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系为( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1323 <⎝⎛⎭⎫13－2<34B ．⎝⎛⎭⎫1323 <34<⎝⎛⎭⎫13－2 C ．⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323 <34 D ．⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫1323[解析] 由34＝⎝⎛⎭⎫13－4，又y ＝⎝⎛⎭⎫13x 为R 上的减函数， 所以⎝⎛⎭⎫1323 <⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫13－4.故选A ．2．已知f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( D ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0,1)[解析] 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x在R 上为单调函数，又－2>－3，f (－2)>f (－3)，所以f (x )为增函数，故有1a >1，所以0<a <1.故选D ．3．函数f (x )＝\S ]2x －2－x ,2\s 是( B ) A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B ．奇函数，在(0，＋∞)是增函数 C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数 [解析] 因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．又因为y ＝2x 是增函数，y ＝2－x 为减函数， 故f (x )＝2x －2－x2为增函数．故选B ．4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( B )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)[解析] 由题意，得2a ＋1>3－2a ， ∴4a >2，∴a >12，故选B ．5．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( A )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝(12)t ，函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝(12)1－x的递增区间，故选A ．6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋a 与y ＝a x 的图象大致是( B )[解析] B 项中，由y ＝a x 的图象，知a >1，故直线y ＝ax ＋a 与y 轴的交点应在(0,1)之上，与x 轴交于点(－1,0)，其余各选项均矛盾．二、填空题7．若函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫12，1，则函数f (2x)的定义域是__(－1,0)__. [解析] 由12<2x <1得－1<x <0.8．在函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，若x ∈[1,2]时最大值比最小值大a 2，则a 的值为__12或32__.[解析] 当a >1时，有a 2－a ＝a 2，∴a 2－32a ＝0，∴a ＝32.当0<a <1时，有a －a 2＝a 2，∴a 2－a2＝0，∴a ＝12.综上，a 的值为32或12.9．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为__－12__.[解析] 解法一：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即13－x ＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0， ∴2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x ＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.解法二：f (0)＝130＋1＋a ＝12＋a ，又f (0)＝0，∴a ＝－12.三、解答题10．比较下列各题中两个数的大小： (1)9.013.2,9.013.3； (2)9.01m,9.01－m (m ∈R )．[解析] 函数f (x )＝9.01x 是增函数， (1)∵3.2<3.3，∴9.013.2<9.013.3.(2)当m >－m 即m >0时，∴9.01m >9.01－m ； 当m ＝－m 即m ＝0时，∴9.01m ＝9.01－m ； 当m <－m 即m <0时，∴9.01m <9.01－m .综上所得，当m >0时，9.01m >9.01－m ；当m ＝0时，9.01m ＝9.01－m ；当m <0时，9.01m <9.01－m .11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17. (1)求此函数的定义域，值域； (2)确定函数的单调区间．[解析] (1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(12)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ，故函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域为R .因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，又函数y ＝(12)u 在R 上单调递减，所以(12)u ≤(12)8，又(12)u ＞0，故函数的值域为(0，1256]．(2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1＜x 2，有u 1＜u 2，从而(12)u 1＞(12)u 2，即y 1＞y 2，所以函数y ＝(12)x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12)x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．B 组·素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <4)f (x －1)(x ≥4)，则f (5)的值为( C )A ．32B ．16C ．8D ．64[解析] f (5)＝f (5－1)＝f (4)＝f (4－1)＝f (3)＝23＝8.2．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为函数y ＝0.8x 是R 上的单调递减函数， 所以a ＞b .又因为a ＝0.80.7＜0.80＝1，c ＝1.20.8＞1.20＝1， 所以c ＞a .故c ＞a ＞b . 3．(多选题)设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( AD )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－4)>f (3)[解析] 由f (2)＝a －2＝4得a ＝12，即f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，故f (－2)>f (－1)，f (2)>f (1)，f (－4)＝f (4)>f (3)，所以AD 正确．4．(多选题)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x2，则f (x )，g (x )满足( ABD )A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )B ．f (－2)<f (3)C ．f (x )－g (x )＝π－x D ．f (2x )＝2f (x )g (x )[解析] A 正确，f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝π－x ＋πx2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )；B 正确，因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)<f (3)；C 不正确，f (x )－g (x )＝πx －π－x 2－πx ＋π－x 2＝－2π－x2＝－π－x ；D 正确，f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x2＝2f (x )g (x )．二、填空题5．已知2x ≤(14)x －3，则函数y ＝(12)x 的值域为__[14，＋∞)__.[解析] 由2x ≤(14)x －3，得2x ≤2－2x ＋6，∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝14，即y ＝(12)x 的值域为[14，＋∞)．6．(2019·重庆第二外国语学校高一月考)若不等式(14)a 2－8>4－2a 成立，则实数a 的取值范围为__－2<a <4__.[解析] 因为指数函数f (x )＝(14)x 为单调递减函数，且(14)a 2－8>4－2a ，即(14)a 2－8>(14)2a ，所以a 2－8<2a ，即a 2－2a －8<0，解得－2<a <4，故实数a 的取值范围是－2<a <4.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为__[－14，14]__.[解析] 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，所以0<t ≤1，y ＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14，所以0≤y ≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]．因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，f (x )∈[－14，0)，故函数f (x )的值域是[－14，14]．三、解答题8．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． [解析] 函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.9．已知函数f (x )＝2x ＋ab ·2x ＋1是定义域为R 的奇函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[－2,2]使不等式f (m ·4x )＋f (1－2x ＋1)≥0成立，求m 的最小值． [解析] (1)∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1， 又f (－x )＝－f (x )，∴2－x －1b ·2－x ＋1＝－2x －1b ·2x ＋1， 即1－2x b ＋2x ＝－2x －1b ·2x ＋1，∴b ＝1，∴f (x )＝2x －12x ＋1. (2)∵f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )在[－2,2]上单调递增．由f (m ·4x )≥－f (1－2x ＋1)＝f (2x ＋1－1)在[－2,2]上成立，可得m ·4x ≥2x ＋1－1在[－2,2]上有解，分离参数得m ≥2x ＋1－14x＝2·12x －14x 有解， 设t ＝12x ，t ∈[14，4]，则m ≥－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1有解，∴m ≥－8，故m 的最小值为－8.。
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4．2 简单幂函数的图象和性质水平11．函数y ＝－x 2是幂函数．( ) 2．幂函数y ＝x 2是偶函数．( ) 3．幂函数y ＝x －1是减函数．( ) 4．幂函数都过点(0，0)，(1，1).( )5．当0<x <1时，y ＝x 12的图象在y ＝x 2图象的下方．( ) 【解析】1.提示：×.所给函数的系数为－1，不满足幂函数的定义． 2．√.3．提示：×.y ＝x －1在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，但在整个定义域上不具有单调性． 4．提示：×.只有α>0时过(0，0)，(1，1)点．5．提示：×.0<x <1时，y ＝x 12图象位于y ＝x 2的图象的上方．·题组一 幂函数的概念1．在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．3【解析】选B.根据幂函数的定义：(1)x α的系数为1；(2)x 为自变量；(3)α为常数．所以只有y ＝x －2是幂函数．2．已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( ) A.2 B ．1 C.12D ．0 【解析】f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.3．若定义域为R 的函数f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________．【解析】因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 当m ＝5时，f (x )＝x 5的定义域为R ，合乎题意．当m ＝－1时，f (x )＝x －1的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，不合题意．所以m ＝5. 答案：5·题组二 幂函数的图象及其应用1．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，，－2，－12【解析】y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象变化为：当n >0时，n 越大，y ＝x n 的递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.2．下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )【解析】y ＝x α是幂函数，而y ＝αx 是一次函数，选项A ，直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1；选项B ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 12；选项C ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2；选项D ，直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数y ＝x 3，故C 正确．3．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )【解析】a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a >0，y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以A ，D 项均不正确；对于B ，C 项，若a >0，则y ＝ax －1a 是增函数，B 项不正确，C 项正确．·题组三 利用幂函数的性质比较大小 1．下列不等式成立的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12B ．⎝⎛⎭⎫3423<⎝⎛⎭⎫2323C.⎝⎛⎭⎫232>⎝⎛⎭⎫322D ．8－78<⎝⎛⎭⎫1978【解析】y ＝x －12是减函数，所以，⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12，A 正确． 因为幂函数y ＝x 23是增函数， 所以⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，B 错误．因为幂函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫232<⎝⎛⎭⎫322，C 错误． 因为幂函数y ＝x 78是增函数， 所以8－78>⎝⎛⎭⎫1978，D 错误． 2．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 【解析】f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .αα，则α的取值X 围是________．【解析】αα，所以y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．故α<0. 答案：(－∞，0)4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值X 围是________．【解析】因为f (x )＝x 12(x ≥0)，易知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以解得所以3<a ≤5.答案：(3，5]易错点 幂函数的图象不清楚导致错误1．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是( )A ．④⑦B ．④⑧ C.③⑧ D ．①⑤【解析】y ＝x 12的图象形状是上凸形，在经过(1，1)点以前在y ＝x 上方，而过了(1，1)点后在y ＝x 下方，故可知y ＝x 12过①⑤“卦限”．2．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )【解析】a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向上，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，故排除A ，C ；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向下，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，函数y ＝ax的图象在第二、四象限．【易错误区】对幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象在同一坐标系中的相对位置关系不清楚而出错．水平1、2限时30分钟 分值60分 战报得分______ 一、选择题(每小题5分，共30分)1.如图所示，幂函数y ＝x α在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小( )A ．α1<α3<0<α4<α2<1 B.0<α1<α2<α3<α4<1 C.α2<α4<0<α3<1<α1 D.α3<α2<0<α4<1<α1【解析】x ＝2得0<2α3<2α2<1<2α4<2α1，所以α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，所以α3<α2<0<α4<1<α1. 2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(16，4)，则f ⎝⎛⎭⎫164的值为( ) A.3 B ．13 C ．18 D ．14【解析】y ＝f (x )＝x α的图象经过点(16，4)， 所以16α＝4，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f ⎝⎛⎭⎫164＝⎝⎛⎭⎫16412＝18.3．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数，则实数m 等于( ) A.1＋ 52B ．－1C.2或－1 D ．2【解析】x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数， 所以m 2－m －1＝1，且－m －1＜0， 解得m ＝2或－1，且m ＞－1， 即m ＝2.4．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．0或1【解析】f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.5．(多选)下列不等式在a <b <0的条件下成立的是( ) A.a －1>b －1B ．a 13<b 13C.b 2<a 2D ．a －23>b －23【解析】y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上单调递增，故D 不成立，其余都成立．6．(多选)下列说法中错误的是( )B.y ＝x 0的图象是一条直线y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <12 y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}【解析】选BCD.由幂函数的图象易知A 正确；y ＝x 0的图象是直线y ＝1上去掉点(0，1)，B 错误；函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0＜y ＜12，C 错误；若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域也可能是{x |0≤x ≤2}，D 错误．所以说法错误的有BCD. 二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，则f (2)＝________． 【解析】设幂函数为y ＝x α，因为幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，所以14＝4α，所以α＝－1，所以y ＝x －1，所以f (2)＝2－1＝12.答案：128．已知y ＝(2a ＋b )x a ＋b ＋(a －2b )是幂函数，则a ＝________，b ＝________.【解析】由题意得解得答案：25159．给出以下结论：①幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；②若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ③幂函数的图象可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．【解析】当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0，0)点，故①不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故②不正确．③正确． 答案：③10．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号). 【解析】对于函数①f (x )＝x －1，这是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．答案：②三、解答题11．(10分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则所以m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则所以m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，某某数k的取值X围．【解析】(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)可知f(x)＝x2.当x∈[1，2]时，f(x)，g(x)单调递增，所以A＝[1，4]，B＝[2－k，4－k].因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以⇒0≤k≤1.所以实数k的取值X围是[0，1].。