浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二数学12月月考试题
2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．90°，不存在C．135°，﹣1D．180°，不存在2．（4分）椭圆+=1的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）3．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β5．（4分）已知两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，则a的值为（）A．a=1B．a=1或a=﹣C．a=﹣1或a=﹣D．a=﹣1或a=6．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．7．（4分）双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（）A．a2+b2=m2B．a+b=m C．a2=b2+m2D．a=b+m8．（4分）如图所示，正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．随P点的变化而变化9．（4分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±5y=0C．3x±4y=0D．5x±3y=0 10．（4分）正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S﹣ABCD 的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（）A．+B．2+2C．+D．2+二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，若A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，则z=．12．（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．13．（4分）下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等．其中所有真命题的序号是．14．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为15．（4分）已知点M（a，b）在直线4x+3y=10上，则的最小值为．16．（4分）如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值是．17．（4分）设t∈R，过定点A的动直线x﹣my=0和过定点B的动直线mx+y+2m ﹣2=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知方程+=1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，求∠PDC的大小．21．（14分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|=7．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．90°，不存在C．135°，﹣1D．180°，不存在【分析】垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．【解答】解：直线x=﹣1的倾斜角为90°，斜率不存在．故选：B．2．（4分）椭圆+=1的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）【分析】求出椭圆的a，b，由a2﹣b2=c2，计算即可得到焦点坐标．【解答】解：椭圆+=1的a=5，b=3，c==4，则焦点为（0，﹣4），（0，4）．故选：C．3．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，C中由条件均可能得到l∥β，即A，B，C三个答案均错误，只有D满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故C错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故D正确；故选：D．5．（4分）已知两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，则a的值为（）A．a=1B．a=1或a=﹣C．a=﹣1或a=﹣D．a=﹣1或a=【分析】由垂直关系可得（a+1）（2a﹣1）+（﹣1）×2=0，解方程可得．【解答】解：∵两条直线（a+1）x﹣y+1=0与（2a﹣1）x+2y﹣1=0互相垂直，∴（a+1）（2a﹣1）+（﹣1）×2=0，解得a=1或a=故选：B．6．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P 中，利用tan∠APA1=即可得出．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．==，解得．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．7．（4分）双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（）A．a2+b2=m2B．a+b=m C．a2=b2+m2D．a=b+m【分析】利用双曲线﹣=1与椭圆+=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，可得，化简可得结论．【解答】解：由题意，，化简可得a2+b2=m2，故选：A．8．（4分）如图所示，正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．随P点的变化而变化【分析】连结VF，BF，则VF⊥AC，BF⊥AC，从而AC⊥平面VBF，由此能求出直线DE与PF所成的角的大小是90°．【解答】解：连结VF，BF，∵正三棱锥V﹣ABC中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，∴VF⊥AC，BF⊥AC，又VF∩BF=F，∴AC⊥平面VBF，又PF⊂平面VBF，∴AC⊥PF，∴直线DE与PF所成的角的大小是90°．故选：C．9．（4分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0B．3x±5y=0C．3x±4y=0D．5x±3y=0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0．故选：A．10．（4分）正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S﹣ABCD 的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，动点P的轨迹的周长为（）A．+B．2+2C．+D．2+【分析】先想着找到P点的轨迹：取SB的中点M，并连接GM，作GN∥AF，与AB交于N，再连接MN，从而可说明平面MNG∥平面AEF，从而便找到P点的轨迹为MG，NG，MN三条线段，把这三线段的长度求出即可．连接AC，BD，并交于O点，连接SO，这样即可分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，根据条件求出M，N，G三点的坐标，然后利用空间中两点间的距离公式求三线段MG，NG，MN即可．【解答】解：取SB中点M，连接GM，则GM∥SC，又EF∥SC；∴GM∥EF，EF⊂平面AEF，GM⊄平面AEF；∴GM∥平面AEF；过G作GN∥AF，交AB于N，并连接GN，同理可得GN∥平面AEF，GM∩GN=G；∴平面GMN∥平面AEF；∴动点P的轨迹便是线段MN，MG，NG，轨迹的周长便是MN+MG+NG；连接AC，BD，并交于O，则分别以OB，OC，OS三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B（，0，0），C（0，，0），G（），S（0，0，4），M，A（0，﹣，0），N（，0）；∴，，|NG|=；∴P点轨迹的周长为．故选：D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，若A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，则z=0．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：∵空间直角坐标系中，点A（3，﹣4，0），B（﹣3，4，z）两点间的距离为10，∴=10，∴z2=0．解得z=0．故答案为：0．12．（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．13．（4分）下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；②在平面上的射影是直线的图形一定是直线；③两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线互相平行；④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等．其中所有真命题的序号是④．【分析】对四个命题分别分析解答；注意特殊情况．【解答】解：对于①，当直线与平面垂直是，此直线在平面上的射影是一个点；故①错误；对于②，如果两个平面垂直，其中一个平面在另一个平面上的射影是一条直线，故在平面上的射影是直线的图形一定是直线是错误的；对于③，两直线与同一个平面所成角相等，则这两条直线相交、异面或者平行；故③错误；对于④，两条平行直线，根据线面所成角的定义可以判断它们与同一个平面所成角一定相等；故④正确；故答案为：④．14．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，柱体的底面面积S=2×2﹣1×1﹣π=3﹣，由柱体的高为h=2，故该几何体的体积V=Sh=．故答案为：．15．（4分）已知点M（a，b）在直线4x+3y=10上，则的最小值为2．【分析】由于表示直线4x+3y=10上的点与原点的距离，因此其最小值为原点到直线的距离，求出即可．【解答】解：由于表示直线4x+3y=10上的点与原点的距离，因此其最小值为原点到直线的距离d==2．故答案为：2．16．（4分）如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：（x﹣1）2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值是1．【分析】由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，设出直线方程，分别和抛物线与题意方程联立后求出A，B，C，D的坐标，求出向量、的坐标，代入数量积公式得答案．【解答】解：由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，由抛物线C1：y2=4x，得F（1，0），则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即y=kx﹣k．联立，得k2x2﹣2k2x﹣4x+k2=0，解得：，，联立，得B（），C（），，．∴=1．故答案为：1．17．（4分）设t∈R，过定点A的动直线x﹣my=0和过定点B的动直线mx+y+2m ﹣2=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是4．【分析】动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y+2m﹣2=0化为m（x+2）+y﹣2=0，令，可得定点B（﹣2，2）．由于此两条直线互相垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=8，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y+2m﹣2=0化为m（x+2）+y﹣2=0，令，解得x=﹣2，y=2．过定点B（﹣2，2）．∵此两条直线互相垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=8，∴8≥2|PA|•|PB|，∴|PA|•|PB≤4，当且仅当|PA|=|PB|时取等号．故答案为：4．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知方程+=1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由双曲线的方程可得m（4﹣m）＜0，运用二次不等式的解法即可得到A；（Ⅱ）运用二次不等式的解法可得B，再由条件可得B真包含于A，即可得到m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由方程+=1（m∈R）表示双曲线，可得：m（4﹣m）＜0，可得集合A={m|m＜0或m＞4}；（Ⅱ）由题意：B={x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}={x|a＜x＜a+1}，∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，即有B⊊A，∴a≥4或a+1≤0∴实数a的取值范围：a≥4或a≤﹣1．19．（12分）已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…（3分）即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（6分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l：x=﹣2符合题意．…（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0…（12分）20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，求∠PDC的大小．【分析】（I）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．（II）法一：由已知条件推导出二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，∠CED为二面角C﹣AE﹣D的平面角，由此能求出∠PDC的大小．（Ⅱ）法二：以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出∠PDC的大小．【解答】（本小题14分）（I）证明：∵AB=1，，∠ABC=45°，∴AB⊥AC…（2分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD…（6分）又∵AE⊂平面AEB∴平面AEB⊥平面PCD…（7分）（II）解法一：∵AB⊥平面PAC，AB⊂平面AEB，∴平面AEB⊥平面PAC，又∵二面角B﹣AE﹣D的大小为150°．∴二面角C﹣AE﹣D的大小等于150°﹣90°=60°．…（10分）又∵AE⊥平面PCD，∴CE⊥AE，DE⊥AE，∴∠CED为二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CED=60°．…（12分）∵CD=1，∠ECD=90°，∴．，∵△AEC∽△PAC，∴，即，∴，∴∠PDC=60°．…（14分）（Ⅱ）解法二：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AP=t，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（﹣1，1，0），P（0，0，t）．∵AB⊥PC，AE⊥PC，∴PC⊥平面ABE，∴平面ABE的一个法向量为．…（9分）∵AE⊥PC，∴．设∠EAC=∠APC=θ，∴，∴．…（10分）设平面AED的一个法向量为，∵，，∴，得．…（12分）∵二面角B﹣AE﹣D的大小为150°，∴，解得．…（13分）∴，CD=1，∴∠PDC=60°．…（14分）21．（14分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|=7．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过当直线AB的斜率为0时可知|AB|=2a，，结合，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB、CD的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得|AB|+|CD|的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当直线AB的斜率为0时，直线CD垂直于x轴，∴|AB|=2a，，即，∵，且a2=b2+c2，解得：，所以椭圆方程为；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，|AB|+|CD|=7；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，∴，同理，，∴，令t=k2+1，则t＞1，∴，∵t ＞1，∴，∴，∴，∴，∴，综合①②可知，|AB |+|CD |的取值范围为：[，7]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。
）1、已知d c b a >>,，则下列不等式成立的是（ ）A ．c a d b +<+B ．bd ac >C ．b d c a >D ．d b c a ->- 2、下列四个命题：其中正确命题的是（ ）A.;过三点确定一个平面B.矩形是平面图形C.四边相等的四边形是平面图形D.三条直线两两相交则确定一个平面。
3、在等差数列{n a }中，若12121324a a a a +++=，则7a 为( )A ．6B ．7C ．8D ． 94、垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）A. B. C. D.222sin sin sin ,ABC C A B ABC ∆=+∆6、在中，若则为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为（ ）A.平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直8．设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．如l ∥m ，m α⊂，则l ∥αB ．如,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥C ．如,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥D ．如l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m9．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．直线AH 和BB 1所成角为45°D ．AH 的延长线经过点C 110、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD-中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )A ．点P 到平面QEF 的距离 B.直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积 D.QEF ∆的面积二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q= ___________.12．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为13、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为 cm 3.14、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥ 则函数24z x y =+的最大值为____________15、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
浙江省杭州市西湖中学2014-2015学年高二(下)4月月考数学(文)
2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．椭圆的焦点坐标为（）A．（0，5）和（0，﹣5）B．（，0）和（﹣，0）C．（0，）和（0，﹣）D．（5，0）和（﹣5，0）2．已知动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x3．已知曲线C的方程为x2+2x+y﹣1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（1，1）D．（﹣1，1）4．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．6．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=18．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（）A．7 B．C．D．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B． C．8 D．﹣810．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．511．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．213．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．14．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．1615．过双曲线M：x2﹣=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A． B．C． D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．16．抛物线的焦点坐标是．17．短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为．18．平面上有三点A（﹣2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为．19．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．20．已知P是椭圆+上的一个动点，F1，F2分别是左右焦点，则cos∠F1PF2的最小值为．试卷Ⅱ一．选择题（每题4分，共12分）21．已知点P（3，﹣4）是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若•=0，则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=122．设O为坐标原点，F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=，且|OP|=a，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若．则k=（）A．1 B．C．D．2二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．已知p：方程表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=∠APD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=4，AP=PD=BC=CD=2．（1）求证：PA⊥BD；（2）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．26．已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．椭圆的焦点坐标为（）A．（0，5）和（0，﹣5）B．（，0）和（﹣，0）C．（0，）和（0，﹣）D．（5，0）和（﹣5，0）【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长，然后求解焦距即可．【解答】解：由题意得，a2=16，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16﹣9=7，∴c=，∴椭圆的焦点为（，0）和（﹣，0）．故选：B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．2．已知动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】由题意得，点M（x、y）到点F（4，0）的距离和到直线x+4=0的距离相等，点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线，方程为y2=2Px，=4．【解答】解：∵动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，∴点M（x、y）到点F（4，0）的距离和到直线x+4=0的距离相等，点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线．∴=4，∴P=8，故抛物线方程为y2=16x，故选D．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，抛物线的定义和性质的应用．3．已知曲线C的方程为x2+2x+y﹣1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】曲线与方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将选项代入验证，即可得出结论．【解答】解：将选项代入验证，可得（0，1）满足x2+2x+y﹣1=0，故选：A．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，比较基础．4．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题．【分析】化简不等式，判断出两个命题对应的两个集合的包含关系；得到前者是后者的什么条件．【解答】解：|x|＞0⇔x＞0或x＜0∵{x|x＞0}⊊{x|x＞0或x＜0}∴“x＞0”是“|x|＞0”的充分不必要条件故选AA．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】把2x2=x1+x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|．【解答】解：∵2x2=x1+x3，∴，∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．13．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．【解答】解：根据题意，作图如下，设点P在其准线x=﹣上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）．故选C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．14．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直线过定点，由椭圆定义可得AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．15．过双曲线M：x2﹣=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过双曲线的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，若l与双曲线M的两条渐近线，分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2+2x﹣1=0，然后由根与系数的关系求出x1和x2的值，进而求出双曲线M的离心率．【解答】解：过双曲线的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1=0，∴，∴x1+x2=﹣2x1x2，又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=﹣1+x2，代入解得，∴b2=9，双曲线M的离心率e=，故选A．【点评】本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意根与系数的关系的运用．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．16．抛物线的焦点坐标是（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】抛物线方程即x2=4y，从而可得p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．17．短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．由于短轴长为2，离心率e=．可得b=，，a2=b2+c2．利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．∵短轴长为2，离心率e=．∴b=，，a2=b2+c2．解得a=3．∴△ABF2周长=|AF1|+|AB|+|BF1|=4a=12．故答案为：12．【点评】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，属于基础题．18．平面上有三点A（﹣2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为y2=8x （x≠0）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；轨迹方程．【专题】平面向量及应用．【分析】利用⇔=0即可得出．【解答】解：∵=，，，∴==0，化为y2=8x．因此动点C的轨迹方程为y2=8x（x≠0）．故答案为：y2=8x（x≠0）．【点评】熟练掌握⇔=0是解题的关键．19．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．20．已知P是椭圆+上的一个动点，F1，F2分别是左右焦点，则cos∠F1PF2的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时cos∠F1PF2可取得最小值．【解答】解：∵椭圆+=1，∴a=3，b=2，c=．当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，∴sin（∠F1PF2）=，∴os∠F1PF2的最小值=1﹣2sin2（∠F1PF2）=．故答案为：．【点评】正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时cos∠F1PF2可取得最小值是解题的关键．试卷Ⅱ一．选择题（每题4分，共12分）21．已知点P（3，﹣4）是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若•=0，则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据题意，设E、F的坐标为E（﹣c，0），F（c，0），又由•=0，结合数量积的坐标运算，可得c的值，进而由P坐标与双曲线的定义2a=||PE|﹣|PF||，可得a的值，根据则b=，可得b的值，将a、b的值代入可得双曲线的方程．【解答】解：设E（﹣c，0），F（c，0），于是有=（3+c，﹣4）•（3﹣c，﹣4）=9﹣c2+16=0．于是c2=25，则E（﹣5，0），F（5，0），由双曲线的定义，可得2a=||PE|﹣|PF||=6，则a=3；则b==4；故双曲线方程为﹣=1；故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，解题时结合双曲线的定义，并注意区分双曲线与椭圆定义的区别．22．设O为坐标原点，F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=，且|OP|=a，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】要求椭圆的离心率，即要求a，c的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2a；①由余弦定理cos∠F1PF2==，∴x2+y2﹣xy=4c2；②∵中线长公式OP2=（PF12+PF22+2）∴=（x2+y2+2xycos∠F1PF2），∴x2+y2=3a2﹣xy；③∴①②③联立代换掉x，y得：a2=4c2；∴e==．故选：A．【点评】本题主要考查椭圆的定义，余弦定理及中线长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若．则k=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．已知p：方程表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；复合命题的真假；双曲线的标准方程．【专题】综合题．【分析】分别求出p，q为真时，k的取值范围，再利用p∧q为真命题，即可求k的取值范围．【解答】解：p：方程表示双曲线，则（k﹣4）（k﹣6）＜0，∴4＜k＜6，（2分）q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，则，∴k＞5．（4分）又p∧q为真命题，则5＜k＜6，所以k的取值范围是（5，6）．（6分）【点评】本题考查复合命题的真假研究，解题的关键是求出p，q为真时，k的取值范围．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=∠APD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=4，AP=PD=BC=CD=2．（1）求证：PA⊥BD；（2）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）利用平面ADP⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADP，即可证明PA⊥BD；（2）证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角，再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由已知条件易得：，则BD⊥AD，又平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，故BD⊥平面ADP，又AP⊂平面ADP，从而有AP⊥BD…（6分）（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OB，并取OB中点H，连接AH，EH，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，又EH∥PO，∴EH⊥平面ABCD则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角由（1）AP⊥BD，又AP⊥PD，PD∩BD=D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB，∴∴∴，直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为．…（14分）【点评】本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值，考查平面与平面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，由此能求出动点C 的轨迹方程．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），由此能求出•的最小值．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，所以PQ=，同理可得：RT=，由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32．【解答】解：（1）∵定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2=4y．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），∴=（）•（x2+，y2+1）===﹣=，∵，当且仅法k2=1取等号．∴•≥8+8=16．∴•的最小值是16．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，∴PQ=，设，代入x2=4y，同理可得：RT=，∴S PRQT==8（）≥32．当且仅当k2=1时取等号，∴四边形PRQT的面积存在最小值32．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查四边形面积是否有最小值的判断与求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．。
浙江省杭州市西湖高级中学2013-2014学年下学期高二年级5月月考数学试卷(理科) 有答案
浙江省杭州市西湖高级中学2013-2014学年下学期高二年级5月考数学试卷（理科）一 、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U=R ，集合M ＝{|1}x x >，P ＝2{|1}x x >,则下列关系正确的是（ ▲ ）A. M=PB. (C U M)⋂P=ΦC. P ⊆MD. M ⊆P2.函数()21log f x x =+和()12x g x +=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ▲ ）3．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ▲ )A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,πC ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 ( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=⋅a b a b ，则n = ( ▲ )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u r u u r u u u r u u u r ，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 ( ▲ )A ．13B ．12C ．23D ．347.函数f (x )=ln x –x2的零点所在的大致区间是 ( ▲ ) A ．(1, 2) B ．(2, 3) C ．(1,e 1)和(3, 4) D ．(e, +∞)8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（▲）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，9.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 （ ▲ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]310.b a x b a x f -++=2)2()(，)0(≥a ，且当]1,0[∈x 时恒有1)(≤x f ，则)1(-f 的最大值为（ ▲ ）A ．3B ．-3C ．6D ．-6二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.11．计算222log 32+＝ ▲ .12. 方程||(cos1)1x a =+有两个根，则a 的范围为 ▲ . 13. ()cos 2sin ,[0,]2f x x x x π=+∈的值域为 ▲ .14．函数5()sin 1f x x x =++(x ∈R ),若()2f a =,则()f a -的值为 ▲ .15．已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则tan θ= ▲ ． 16．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ▲ ．17．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r 则与的夹角的大小为 ▲ .三、解答题：（10+10+10+12，共42分，请写出必要的解题步骤）18.（本题满分10分）设函数21()log 1x f x x-=+. （I ）讨论该函数的奇偶性。
2014-2015年浙江省杭州市七校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知M＝{x|y＝x2﹣1}，N＝{y|y＝x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．1﹣3．（3分）“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+6＝0与直线4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 5．（3分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线l 的斜率是（）A．6B．C．D．﹣6．（3分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（3分）直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A、B两点，与抛物线y2＝8x 交于C、D两点，则|AB|+|CD|＝（）A．16B．14C．18D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（）①D1O∥平面A1BC1②D1O⊥平面MAC③BC1异面直线与AC所成的角等于60°④二面角M﹣AC﹣B等于60°．A．①②B．①②③C．②③D．②③④9．（3分）设定点M（3，）与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（2，2）D．（）10．（3分）设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M 点轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知椭圆过点，则离心率为．12．（4分）抛物线的焦点坐标为．13．（4分）双曲线的顶点到渐近线的距离为．14．（4分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是．15．（4分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为．16．（4分）下列四个命题：①函数的值域为（0，1]；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，则b2﹣8a＜0且a＞0；③函数y＝x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④函数和是相同的函数；其中正确命题为．17．（4分）已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝5，AB＝6，AA1＝8，A∈l，B1∈α，则OC1的最大值为．三．简答题：（本大题共42分．）18．（8分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p 且q”为真命题，求a的取值范围．19．（10分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log2[g（x）﹣f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若P A＝AB，求PB与平面P AC所成角的余弦值；（3）若P A＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．21．（12分）设P为椭圆+＝1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y＝x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知M＝{x|y＝x2﹣1}，N＝{y|y＝x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅【解答】解：∵M＝{x|y＝x2﹣1}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，∴M∩N＝{y|y≥﹣1}＝N故选：A．2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．1﹣【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的几何体，正方体的体积V＝1×1×1＝1，圆锥的底面直径为1，故底面面积为＝，高为1，故体积为：××1＝，故组合体的体积V＝1﹣，故选：B．3．（3分）“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+6＝0与直线4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝﹣1时，直线分别为x﹣y+6＝0与4x+4y+9＝0，则两直线垂直；当直线a2x﹣y+6＝0与4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直时，则有4a2+（a﹣3）＝0，解得a＝﹣1或，故选：A．4．（3分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．5．（3分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线l 的斜率是（）A．6B．C．D．﹣【解答】解：圆x2+y2﹣6x+6y+14＝0关于直线l：ax+4y﹣6＝0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故3a﹣12﹣6＝0，∴a＝6，∴k＝﹣，故选：C．6．（3分）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．7．（3分）直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A、B两点，与抛物线y2＝8x 交于C、D两点，则|AB|+|CD|＝（）A．16B．14C．18D．【解答】解：由已知圆的方程为（x﹣2）2+y2＝1，抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），直线y＝x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|＝|AD|﹣2，直线代入抛物线方程，有x2﹣12x+4＝0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝12，则有|AD|＝（x1+x2）+4＝16，故|AB|+|CD|＝16﹣2＝14，故选：C．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（）①D1O∥平面A1BC1②D1O⊥平面MAC③BC1异面直线与AC所成的角等于60°④二面角M﹣AC﹣B等于60°．A．①②B．①②③C．②③D．②③④【解答】解：对于①，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O ∥平面A1BC1，故正确；对于②，连接C1D，∵O为底面ABCD的中心，即有AC⊥BD，易得AC⊥平面BDD1B1，即有AC⊥D1O，由tan∠D1OD•tan∠MOB＝•＝1，即有D1O⊥MO，可得D1O⊥平面MAC，②正确；对于③，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，∴∠A1C1B＝60°，故正确；对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，显然不等于60°，故不正确；故选：B．9．（3分）设定点M（3，）与抛物线y2＝2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（2，2）D．（）【解答】解：∵（3，）在抛物线y2＝2x上且∴M（3，）在抛物线y2＝2x的外部∵抛物线y2＝2x的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣∴在抛物线y2＝2x上任取点P过p作PN⊥直线x＝则PN＝d2，∴根据抛物线的定义可得d2＝PF∴d1+d2＝PM+PF∵PM+PF≥MF∴当P，M，F三点共线时d1+d2取最小值此时MF所在的直线方程为y﹣＝（x﹣3）即4x﹣3y﹣2＝0令则即当点的坐标为（2，2）时d1+d2取最小值故选：C．10．（3分）设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M 点轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【解答】解：不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P，在△QPF2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|＝|QF2|，又|QF1|﹣|QF2|＝2a，∴|QF1|﹣|QP|＝2a即|PF1|＝2a，在△PF1F2中，MO是中位线，∴|MO|＝a，∴M点轨迹是圆的一部分故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知椭圆过点，则离心率为．【解答】解：将点（2，）代入椭圆方程，可得+＝1，解得a＝4，则椭圆+＝1的a＝4，b＝3，c＝，离心率e＝＝．故答案为：．12．（4分）抛物线的焦点坐标为．【解答】解：抛物线即为x2＝my，当m＞0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴，且为（0，）；当m＜0时，抛物线x2＝﹣（﹣m）y的焦点在y轴的正半轴，且为（0，﹣）即为（0，）．则焦点为（0，）．13．（4分）双曲线的顶点到渐近线的距离为．【解答】解：由已知得到双曲线的一个顶点为（0，2），一条渐近线方程为y ＝x，即x﹣y＝0，所以顶点到渐近线的距离为＝．故答案为：．14．（4分）已知函数f（x）＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）＝的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m＝0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤415．（4分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为3x﹣4y+5＝0或x ＝1．【解答】解：设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝，其方程为3x﹣4y+5＝0．又，当斜率不存在时，切线方程为x＝1．故答案为：3x﹣4y+5＝0或x＝1．16．（4分）下列四个命题：①函数的值域为（0，1]；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，则b2﹣8a＜0且a＞0；③函数y＝x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④函数和是相同的函数；其中正确命题为①．【解答】解：①f（x）＝，当x＝1时，f（x）max＝1，当x→∞时，f（x）→0，∴函数f（x）的值域是：（0，1]；故①正确；②若二次函数f（x）＝ax2+bx+2没有零点，即f（x）和x轴无交点，则△＝b2﹣8a＜0，故②错误；③x≥0时，y＝x2﹣2x﹣3，对称轴x＝1，开口向上，∴递增区间是[1，+∞），x＜0时，y＝x2+2x﹣3，对称轴x＝﹣1，开口向上，∴递增区间是：[﹣1，0），故③错误；④函数的定义域是：{x|x≥1}，的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，故不是相同的函数，故④错误；故答案为：①．17．（4分）已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝5，AB＝6，AA1＝8，A∈l，B1∈α，则OC1的最大值为5+5．【解答】解：∵直线AO（即l）垂直于α，直线B1O⊂α，∴三角形AOB1为直角三角形，∴O点在以|AB1|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB1|的中点；又长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AD|＝5，|AB|＝6，|AA1|＝8，∴|AB1|＝10，，此时所求变为求球外一点至球面上一点的距离；显然当C1，P，O三点共线时|C1O|最大，∵在直角三角形C1B1P，线段|C1P|为斜边（点C1至球心P的距离），∴，∴|C1O|max＝|C1P|+|OP|＝．故答案为：．三．简答题：（本大题共42分．）18．（8分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数在x∈（0，+∞）内单调递减，命q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若“￢p 且q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：若函数在x∈（0，+∞）内单调递减，则0＜a＜1，即p：0＜a＜1．若y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，则判别式△＝（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或0＜a＜，即q：a＞或0＜a＜，若“￢p且q”为真命题，则￢p，q都为真命题，即p是假命题，q是真命题，则，解得a＞．19．（10分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log2[g（x）﹣f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（0）＝1⇒c＝1，f（1）＝4⇒a+b+c＝4（2）F（x）＝log2（g（x）﹣f（x））＝log2（﹣x2+（k﹣2）x）由F（x）在区间[1，2]上是增函数得h（x）＝﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上为增函数且恒正故，实数k的取值范围k≥6．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若P A＝AB，求PB与平面P AC所成角的余弦值；（3）若P A＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：BD⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）BD⊥P A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）P A∩AC＝A﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴BD⊥面P AC（2）解：令BD∩AC＝O，连PO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BPO即为PB与面P AC所成角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）cos∠BPO＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（3）解：建系：以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设面PBC的法向量，面PDC的法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵二面角所成角为锐角∴平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）21．（12分）设P为椭圆+＝1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y＝x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可得2a＝PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又c＝ae＝＝，所以b＝＝＝，所以椭圆的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x c，y c），将直线l：y＝kx+m代入方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0 （*）由韦达定理可知x c＝＝，从而y c＝kx c+m＝，又线段AB的中点C的直线y＝x上，所以＝，解得k＝﹣1，则（*）变为3x2﹣4mx+2m2﹣4＝0，所以|AB|＝＝，则△OAB底边AB的高h＝，所以S＝，∵（6﹣m2）m2≤，∴S，即S得最大值为．。
浙江省杭州市西湖中学2014-2015学年高一数学下学期4月月考试卷 文及参考答案
2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0)2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝18.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣810.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.511.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.213.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.1615.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝122.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形, AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0) 【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长,然后求解焦距即可.【解答】解：由题意得,a2＝16,b2＝9,∴c2＝a2﹣b2＝16﹣9＝7,∴c＝,∴椭圆的焦点为(,0)和(﹣,0).故选：B.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x【考点】抛物线的定义.【专题】计算题.【分析】由题意得,点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线,方程为 y2＝2Px,＝4.【解答】解：∵动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,∴点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线.∴＝4,∴P＝8,故抛物线方程为y2＝16x,故选 D.【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程,抛物线的定义和性质的应用.3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)【考点】曲线与方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】将选项代入验证,即可得出结论.【解答】解：将选项代入验证,可得(0,1)满足x2＋2x＋y﹣1＝0,故选：A.【点评】本题考查曲线与方程,考查学生的计算能力,比较基础.4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充要条件.【专题】计算题.【分析】化简不等式,判断出两个命题对应的两个集合的包含关系;得到前者是后者的什么条件.【解答】解：|x|＞0⇔x＞0或x＜0∵{x|x＞0}⊊{x|x＞0或x＜0}∴“x＞0”是“|x|＞0”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查解决充要条件问题常先化简各个命题、考查将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题.5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线的a,b,再由渐近线方程,即可得到.【解答】解：双曲线的a＝3,b＝2,则双曲线的渐近线方程为：y＝x,即为y＝x.故选B.【点评】本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b【考点】四种命题间的逆否关系.【专题】阅读型.【分析】把所给的命题看做一个原命题,写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,得到结果.【解答】解：把“若a＞b,则a＋c＞b＋c”看做原命题,它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,∴它的逆否命题是：“若a＋c≤b＋c,则a≤b”,故选D.【点评】本题考查求一个命题的逆否命题,实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定的,所有的命题都可以看做原命题,写出它的其他三个命题.属基础题.7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),根据椭圆的定义得2a＝12,算出a＝6.再由离心率的公式建立关于a、b的等式,化简为关于b的方程解出b2＝9,即可得出椭圆G的方程.【解答】解：设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,∴根据椭圆的定义得2a＝12,可得a＝6.又∵椭圆的离心率为,∴e＝＝,即＝,解之得b2＝9,由此可得椭圆G的方程为＝1.故选：C【点评】本题给出椭圆G满足的条件,求椭圆G的标准方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识,属于基础题.8.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】求出F1F2的长度,由椭圆的定义可得AF2＝6﹣AF1,由余弦定理求得AF1＝,从而求得三角形AF1F2的面积.【解答】解：由题意可得 a＝3,b＝,c＝,故,AF 1＋AF2＝6,AF2＝6﹣AF1, ∵AF22＝AF12＋F1F22﹣2AF1•F1F2cos45°＝AF12﹣4AF1＋8,∴(6﹣AF1)2＝AF12﹣4AF1＋8,AF1＝,故三角形AF1F2的面积S＝×××＝.【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,简单性质,以及余弦定理的应用,求出 AF1的值,是解题的关键.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣8【考点】抛物线的定义.【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2＝my的形式,再根据其准线方程为y＝﹣即可求之.【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y,则其准线方程为y＝﹣＝2,所以a＝﹣.故选B.【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式.10.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.5【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理求出m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,由离心率公式计算即可得到.【解答】解：设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣(m﹣d)＝2a,m＋d＝2c,(m﹣d)2＋m2＝(m＋d)2,解得m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,故离心率e＝＝5.故选D.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.11.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】把2x2＝x1＋x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.【解答】解：∵2x2＝x1＋x3,∴,∴由抛物线定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|故选C.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.2【考点】直线的倾斜角;抛物线的简单性质.【专题】计算题;综合题;压轴题.【分析】设出A、B坐标,利用焦半径公式求出|AB|,结合,求出A、B的坐标,然后求其比值.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),,,又,可得,则,故选C.【点评】本题考查直线的倾斜角,抛物线的简单性质,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题.13.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】利用抛物线的定义,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可.【解答】解：根据题意,作图如下,设点P在其准线x＝﹣上的射影为M,有抛物线的定义得：|PF|＝|PM|,∴欲使|PA|＋|PF|取得最小值,就是使|PA|＋|PM|最小,∵|PA|＋|PM|≥|AM|(当且仅当M,P,A三点共线时取“＝”),∴|PA|＋|PF|取得最小值时(M,P,A三点共线时)点P的纵坐标y0＝2,设其横坐标为x0,∵P(x0,2)为抛物线y2＝2x上的点,∴x0＝2,∴点P的坐标为P(2,2).故选C.【点评】本题考查抛物线的简单性质,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键,考查转化思想的灵活应用,属于中档题.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.16【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直线过定点,由椭圆定义可得 AN＋AM＝2a＝4,BM ＋BN＝2a＝4,由△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM),求出结果.【解答】解：直线过定点,由题设知M、N是椭圆的焦点,由椭圆定义知：AN＋AM＝2a＝4,BM＋BN＝2a＝4.△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋BN)＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM)＝8,故选：B.【点评】本题考查椭圆的定义,直线经过定点问题,直线和圆锥曲线的关系,利用椭圆的定义是解题的关键,属于中档题.15.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1,若l 与双曲线M的两条渐近线,分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2＋2x﹣1＝0,然后由根与系数的关系求出x1和x2的值,进而求出双曲线M的离心率.【解答】解：过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2﹣2x﹣1＝0,∴,∴x1＋x2＝﹣2x1x2,又|AB|＝|BC|,则B为AC中点,2x1＝﹣1＋x2,代入解得,∴b2＝9,双曲线M的离心率e＝,故选A.【点评】本题考题双曲线性质的综合运用,解题过程中要注意根与系数的关系的运用.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是(0,1) .【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】抛物线方程即 x2＝4y,从而可得 p＝2,＝1,由此求得抛物线焦点坐标.【解答】解：抛物线即 x2＝4y,∴p＝2,＝1,故焦点坐标是(0,1),故答案为 (0,1).【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为12 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).由于短轴长为2,离心率e＝.可得b＝,,a2＝b2＋c2.利用椭圆的定义即可得出.【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).∵短轴长为2,离心率e＝.∴b＝,,a2＝b2＋c2.解得a＝3.∴△ABF2周长＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a＝12.故答案为：12.【点评】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质,属于基础题.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0) .【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;轨迹方程.【专题】平面向量及应用.【分析】利用⇔＝0即可得出.【解答】解：∵＝,,,∴＝＝0,化为y2＝8x.因此动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0).故答案为：y2＝8x(x≠0).【点评】熟练掌握⇔＝0是解题的关键.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是x＋2y﹣8＝0 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题.【分析】若设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;作差①﹣②,并由中点坐标公式,可得直线斜率k,从而求出弦所在的直线方程.【解答】解：设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程,得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;①﹣②得9(x1＋x2)(x1﹣x2)＋36(y1＋y2)(y1﹣y2)＝0;由中点坐标＝4,＝2,代入上式,得36(x1﹣x2)＋72(y1﹣y2)＝0,∴直线斜率为k＝＝﹣,所求弦的直线方程为：y﹣2＝﹣(x﹣4),即x＋2y﹣8＝0.故答案为：x＋2y﹣8＝0.【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式,通过作差的方法,求得直线斜率k的应用模型,属于基础题目.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值.【解答】解：∵椭圆＋＝1,∴a＝3,b＝2,c＝.当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,∴sin(∠F1PF2)＝,∴os∠F1PF2的最小值＝1﹣2sin2(∠F1PF2)＝.故答案为：.【点评】正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值是解题的关键.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝1【考点】双曲线的标准方程.【专题】计算题.【分析】根据题意,设E、F的坐标为E(﹣c,0),F(c,0),又由•＝0,结合数量积的坐标运算,可得c的值,进而由P坐标与双曲线的定义2a＝||PE|﹣|PF||,可得a的值,根据则b ＝,可得b的值,将a、b的值代入可得双曲线的方程.【解答】解：设E(﹣c,0),F(c,0),于是有＝(3＋c,﹣4)•(3﹣c,﹣4)＝9﹣c2＋16＝0.于是c2＝25,则E(﹣5,0),F(5,0),由双曲线的定义,可得2a＝||PE|﹣|PF||＝6,则a＝3;则b＝＝4;故双曲线方程为﹣＝1;故选C.【点评】本题考查双曲线的标准方程,解题时结合双曲线的定义,并注意区分双曲线与椭圆定义的区别.22.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】要求椭圆的离心率,即要求a,c的关系,首先由定义和余弦定理得到一个关系,再由中线长公式得到一个关系,联立可得.【解答】解：设|PF1|＝x,|PF2|＝y,则x＋y＝2a;①由余弦定理cos∠F1PF2＝＝,∴x2＋y2﹣xy＝4c2;②∵中线长公式OP2＝(PF12＋PF22＋2)∴＝(x2＋y2＋2xycos∠F1PF2),∴x2＋y2＝3a2﹣xy;③∴①②③联立代换掉x,y得：a2＝4c2;∴e＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查椭圆的定义,余弦定理及中线长公式,考查学生的计算能力,属于中档题.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题;压轴题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b＝t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1＋y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解：A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1＝﹣3y2,∵,设,b＝t,∴x2＋4y2﹣4t2＝0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得, ∴,,解得,故选B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系;复合命题的真假;双曲线的标准方程.【专题】综合题.【分析】分别求出p,q为真时,k的取值范围,再利用p∧q为真命题,即可求k的取值范围.【解答】解：p：方程表示双曲线,则(k﹣4)(k﹣6)＜0,∴4＜k＜6,(2分) q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,则,∴k＞5. (4分)又p∧q为真命题,则5＜k＜6,所以k的取值范围是(5,6). (6分)【点评】本题考查复合命题的真假研究,解题的关键是求出p,q为真时,k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质.【专题】综合题;空间位置关系与距离;空间角.【分析】(1)利用平面ADP⊥平面ABCD,证明BD⊥平面ADP,即可证明PA⊥BD;(2)证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角,再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【解答】(1)证明：由已知条件易得：,则BD⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD＝AD,BD⊂平面ABCD,故BD⊥平面ADP,又AP⊂平面ADP,从而有AP⊥BD…(6分)(2)解：如图,取AD中点O,连接PO,OB,并取OB中点H,连接AH,EH,∵PA＝PD,∴PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD,又EH∥PO,∴EH⊥平面ABCD则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角由(1)AP⊥BD,又AP⊥PD,PD∩BD＝D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB,∴∴∴,直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为.…(14分)【点评】本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值,考查平面与平面垂直的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,由此能求出动点C的轨迹方程.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),由此能求出•的最小值.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,所以PQ＝,同理可得：RT＝,由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32.【解答】解：(1)∵定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),∴＝()•(x2＋,y2＋1)＝＝＝﹣＝,∵,当且仅法k2＝1取等号.∴•≥8＋8＝16.∴•的最小值是16.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,∴PQ＝,设,代入x2＝4y,同理可得：RT＝,∴S PRQT＝＝8()≥32.当且仅当k2＝1时取等号,∴四边形PRQT的面积存在最小值32.【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查向量的数量积的最小值的求法,考查四边形面积是否有最小值的判断与求法,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.。
浙江省杭州市西湖高级中学2015-2016学年高二下学期数
高二数学周练（5）一、选择题1.抛物线2ax y =的焦点坐标为)81,0(-，则a 的值为 ( )A ．2-B ．4-C ．41D ．812.“21a =”是“直线0=+y x 和直线0x ay -=互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )A 1B 1 D ．24. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ,点E 是侧面11CC BB 的中心，若13AA AB =,则直线AE 与平面11CC BB 所成角的大小为 ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5. 已知点,A B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 与直线BM 的斜率之差是2，则点M 的轨迹方程是 ( ) A.2(1)x y =-- B.2(1)(1)x y x =--≠± C.21xy x =-D.21(1)xy x x =-≠±6. 下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的命题，其中为真命题的是 ( ) A ．若//,//l m αα，则//l m B ．若,l m 与α所成的角相等，则//l m C ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥ D ．若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．[2,)+∞C ．D ．)+∞8．若12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆192522=+y x 的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△12PF F 为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．023=±y xB 30y ±=C ．073=±y xD ．037=±y x 二、填空题9.直线10x y --=与10x y -+=之间的距离是 ．10.已知(2,1,1),(1,4,2),(,5,1)a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ= ． 11.已知点(2,2),(2,6),(4,2),A B C ----点P 在圆224x y +=上运动，则222||||||PA PB PC ++的最大值与最小值之和为 ．12.直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则||AB =__ __.13.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(3,4,5)A ，且法向量为(2,1,3)n =-的平面(点法式)方程为(请写出化简后的结果). 三、解答题14.已知p ：方程22146x y k k +=--表示双曲线，q ：过点(2,1)M 的直线与椭圆2215x y k+=恒有公共点，若p q ∧为真命题，求k 的取值范围．15．已知直线1l ：43120x y +-=与x 轴和y 轴分别交于,A B 两点，直线2l 经过点3(0,)2C 且与直线1l 垂直，垂足为M ．（Ⅰ）求直线2l 的方程与点M 的坐标；（Ⅱ）若将四边形OAMC （O 为坐标原点）绕y 轴旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积V ．16．已知经过点(1,3),(0,4)A B -的圆C 与圆222440x y x y +--+=相交，它们的公共弦平行于直线210x y ++=．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若动圆M 经过一定点(3,0)P ，且与圆C 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．17. 如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD 和矩形CDEF 所在的平面互相垂直，AD DC ⊥,//AB DC ,4AB AD DE ===,8CD =. (Ⅰ)证明：BD ⊥平面BCF ；(Ⅱ)设二面角E BC F --的平面角为θ，求c o s θ的值；(Ⅲ)M 为AD 的中点，在DE 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面BCE ？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.M B FC CD A （第17题）18.已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，圆为椭圆C 的“伴随圆”，椭圆C 的短轴长为2，(Ⅰ)求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D 两点，当||CD 时，求△AOB 面积的最大值．答案及评分标准一、选择题 ABAABDCD 二、填空题9.10. 11； 11．160； 12．8； 13.23170x y z -+-=； 三、解答题14．解：由p 得：(4)(6)0,46k k k -⋅-<∴<<， ……………………………2分由q 得：22211,55,kk ⎧+≤⎪⎨⎪≠⎩5k ∴>． ………………………………4分 又p q ∧为真命题，则56k <<，所以k 的取值范围是(5,6)． ………………6分15．解：（Ⅰ）设2l 的方程为340x y m -+=，∵点3(0,)2C 在直线2l 上，∴6m =．∴直线2l 的方程为3460x y -+=.………………………………………………2分由43120,3460,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得6,512.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M 的坐标为612(,)55． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）(4,0),(0,3),A B2216554[34()]3525V ππ∴=⋅-⋅=．……………………………………………7分 16．解：（Ⅰ）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则两圆的公共弦方程为(2)(4)40D x E y F ++++-=，由题意得22,43100,4160,D E D E F E F +⎧-=-⎪+⎪-++=⎨⎪++=⎪⎩6,0,16.D E F =⎧⎪∴=⎨⎪=-⎩∴圆C 的方程为226160x y x ++-=,即 22(3)25x y ++=．………………4分（Ⅱ）圆C 的圆心为(3,0)C -，半径5r =．∵动圆M 经过一定点(3,0)P ，且与圆C 外切． ∴||||5||6MC MP PC -=<=．∴动圆M 圆心的轨迹是以,C P 为焦点，实轴长为5的双曲线的右支．………7分设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，2225113,,24c a b c a ==∴=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程是221(0)251144x y x -=>．………………8分17．(Ⅰ)证明：以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则(4,4,0),(0,8,0),(0,0,4),(0,8,4)B C E F ，∵(4,4,0)(4,4,0)16160BD BC ⋅=--⋅-=-=， (4,4,0)(0,0,4B D C F ⋅=--⋅=，∴,BD BC BD CF ⊥⊥，且BC 与CF 相交于C , ∴BD ⊥平面BCF ．……………………………3分 (Ⅱ)∵BD ⊥平面BCF , BD 是平面BCF 的一个法向量1(4,4,0)n =--,设2(,,)n x y z =平面BCE 的一个法向量,则22(,,)(4,4,0)0,(,,)(4,4,4)0,n BC x y z n BE x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅--=⎪⎩⇒0,0.x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取2n =(1,1,2), 则cos θ…………………………………6分(Ⅲ)∵(2,0,0)M ，设(0,0,)(04)P a a ≤≤，P 为DE 上一点,则(2,0,)MP a =-，∵MP ∥平面BCE ,∴MP ⊥2n ⇒2(2,0,)(1,1,2)220MP n a a ⋅=-⋅=-+=⇒1a =. ∴当1DP =时，MP ∥平面BCE . …………………………………………9分18．解：(Ⅰ)由题意得，22222222213c a b b e a a a -===-=， 又21,3b a =∴=，∴椭圆C 的方程为2213x y +=，…………………………3分 “伴随圆”的方程为224x y +=．…………………………………………………4分（Ⅱ）①当CD x ⊥轴时，由||CD||AB ．②当CD 与x轴不垂直时，由||CD O 到CD设直线CD 的方程为,y kx m =+2=，得223(1)4m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22,1,3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)6330k x kmx m +++-=． ∴122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+．……………………………………6分当0k ≠时，22212||(1)()AB k x x =+-M=22222612(1)(1)[()]3131km m k k k --+-++=22222223612(1)(1)[](31)31k m m k k k -+-++ =22223(1)(91)(31)k k k +++242221212123334196123696k k k k k=+=+≤+=++⨯+++． 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立，此时||2AB =.当0k =时，||AB max ||2AB =，此时△AOB的面积取最大值max 1||2S AB ==．………………10分。
浙江省杭州市西湖高中2014-2015学年高二上学期月考生物试卷(12月份)Word版含解析
浙江省杭州市西湖高中2014-2015学年高二上学期月考生物试卷（12月份）一、选择题部分（每小题只有一个正确答案，1--40每小题1分，41--50每小题1分，共60分）1．（1分）下列对生物体内水的叙述，错误的是（）A．在活细胞中含量最多B．能提供能量C．能缓和温度D．是生物体内物质运输的主要介质2．（1分）下列关于无机盐的叙述，错误的是（）A．植物缺乏Mg2+会影响光合作用B．人体内缺乏Fe2+会影响血红蛋白的合成C．哺乳动物血液中Ca2+的含量过低会引发肌肉抽搐D．细胞中的无机盐大多数以化合物的形式存在3．（1分）医生常给低血糖病人静脉注射50%的葡萄糖溶液，其主要目的是（）A．供给全面营养B．供给能源物质C．供给水分D．维持血浆的酸碱平衡4．（1分）氨基酸缩合后生成水分子中的氧原子来自氨基酸的（）A．羧基B．氨基C．R基D．氨基和羧基5．（1分）（1998•上海）一个由n条肽链组成的蛋白质分子共有m个氨基酸，该蛋白质分子完全水解共需水分子（）A．n个B．m个C．（m+n）个D．（m﹣n）个6．（1分）检验生物组织中是否含有油脂，一般选用的试剂（）A．碘﹣碘化钾溶液B．本尼迪特试剂C．苏丹Ⅲ染液D．双缩脲试剂7．（1分）淀粉酶和淀粉都具有的化学元素是（）A．C、H、O B．C、H、O、N C．C、H、O、N、P D．C、H、O、N、P、S8．（1分）生物体生命活动的主要承担着、遗传信息的携带者、结构和功能的基本单位、生命活动的主要能源物质依次是（）A．核酸、蛋白质、细胞、糖类B．蛋白质、核酸、细胞、脂肪C．蛋白质、核酸、细胞、糖类D．核酸、蛋白质、糖类、细胞9．（1分）磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架，蛋白质分子镶嵌于磷脂双分子层中或贯穿于磷脂双分子层．下面能正确反映磷脂分子和蛋白质分子构成细胞膜正确图解是（）A．B．C．D．10．（1分）下列关于细胞膜的功能的叙述，错误的是（）A．水分子容易通过细胞膜B．细胞膜有允许某种物质透过的特性C．二氧化碳容易通过细胞膜D．生物大分子都可以进入细胞11．（1分）下列结构中，都含有膜结构的是（）①内质网②高尔基体③线粒体④叶绿体⑤液泡⑥中心体⑦核糖体．A．②③④⑤⑦B．①②④⑤⑥⑦ C．①②③④⑤D．①②③④⑥12．（1分）为研究酵母菌细胞蛋白质的合成，研究人员在基本培养基中添加3H标记的亮氨酸后，连续观察相应的变化，不可能出现的结果是（）A．细胞核内出现3H标记B．最先出现3H标记的是高尔基体C．培养一段时间后，质膜上出现3H标记D．若内质网和高尔基体上出现3H标记，则最可能表示的是分泌蛋白的合成13．（1分）下列关于真核细胞结构和功能叙述中，错误的是（）A．抑制线粒体的功能会影响主动运输B．核糖体由RNA和蛋白质构成C．有分泌功能的细胞才有高尔基体D．溶酶体可消化细胞器碎片14．（1分）下列关于染色质的叙述，错误的是（）A．染色质主要由DNA和蛋白质组成B．原核细胞内没有染色质，也没有DNAC．染色质和染色体是细胞中同一物质分别在细胞分裂间期、细胞分裂期两种不同时期的两种不同形态D．没有染色体的生物也可能进行正常的新陈代谢15．（1分）洋葱根尖分生区细胞中，把ADP转变为ATP的酶分布在（）A．叶绿体和线粒体B．叶绿体和细胞溶胶C．线粒体和细胞溶胶D．细胞溶胶16．（1分）活细胞进行细胞代谢的主要场所是（）A．线粒体B．液泡C．细胞溶胶D．核糖体17．（1分）如图为显微镜观察中的两个视野，其中细胞甲为主要观察对象，若要由视野（1）变为视野（2），下列操作过程中，正确的顺序是（）①转动粗准焦螺旋；②转动细准焦螺旋；③调节光圈；④转动转换器；⑤向左下方移动玻片；⑥向右上方移动玻片．A．①③④⑤B．⑤④③②C．⑥④③②D．⑤④③①18．（1分）原核细胞与真核细胞最明显的区别在于（）A．有无核物质B．有无细胞质C．有无细胞膜D．有无核膜19．（1分）在处理污水时，人们设计出一种膜结构，有选择地将有毒重金属离子阻挡在膜的一侧，以降低有毒重金属离子对水的污染，这是试图模拟生物膜的（）A．全透性功能B．流动性功能C．主动运输功能D．选择透过性功能20．（1分）凤仙花的紫红色花瓣，能挤出紫红色的汁液．它主要来自细胞中的（）A．叶绿体B．内质网C．液泡D．细胞溶胶21．（1分）若生物体在细胞呼吸过程中有CO2产生，则可判断此过程一定是（）A．不是产生酒精的厌氧呼吸B．不是产生乳酸的厌氧呼吸C．是需氧呼吸D．是厌氧呼吸22．（1分）下列有关ATP的叙述，正确的是（）A．1个分子ATP彻底水解后得到3个分子磷酸、1个分子脱氧核糖和1个分子腺嘌呤B．A TP中只有1个高能磷酸键C．A TP中用于生命活动的能量贮存在远离腺苷的高能磷酸键中D．叶肉细胞内形成A TP的场所只有叶绿体和线粒体23．（1分）下列生理功能不需通过主动转运来实现的是（）A．氨基酸进入小肠绒毛上皮细胞B．红细胞从血浆中摄取K+C．鲨鱼将血液中多余盐分通过腮排出体外D．水分子进入红细胞24．（1分）若对离体的心肌细胞施用某种毒素，心肌细胞对Ca2+吸收量明显减少，而对K+、C6H12O6的吸收量却不受影响．请推测这种毒素的作用是（）A．抑制呼吸酶的活性B．抑制Ca2+载体的活动C．改变细胞膜的结构D．改变细胞膜两侧的Ca2+浓度25．（1分）水稻育秧催苗时，如果不经常翻动，就会引起烂芽．其原因是（）A．缺少阳光B．缺少水分C．酒精中毒D．CO2中毒26．（1分）酵母菌厌氧呼吸产生MmolCO2，小鼠在正常情况下产生同样多的CO2，需要消耗的葡萄糖是酵母菌的（）A．6倍B．3倍C．1倍D．27．（1分）在需氧呼吸的三个阶段中，能产生A TP的是（）A．只有第一阶段B．只有第二阶段C．只有第三阶段D．三个阶段均能28．（1分）下列结构中，不产生A TP的是（）A．核糖体B．叶绿体类囊体膜C．细胞溶胶D．线粒体29．（1分）在不损坏高等植物细胞内部结构的情况下，下列哪种物质适用于除去细胞壁（）A．蛋白酶B．纤维素酶C．盐酸D．淀粉酶30．（1分）下列环境因素的改变会使人体唾液淀粉酶的活性逐渐增大的是（）A．温度由0℃上升到37℃B．温度由100℃降低到37℃C．p H由2上升到7 D．p H由12降低到731．（1分）根据细胞质壁分离和复原的现象，可判断（）A．细胞是死的还是活的B．细胞呼吸作用的强弱C．细胞膜上载体数量的多少D．细胞吸收营养物质的能力32．（1分）施用农家肥能提高温室作物光合作用的效率，其原因是（）A．促进植物对水的吸收B．提高了温室内02的浓度C．提高了光照强度D．提高了温室内C02的浓度33．（1分）葡萄糖是细胞进行有氧呼吸最常利用的物质．将一只实验小鼠放入含有放射性18O2气体的容器内，18O2进入细胞后，最先出现的具有放射性的化合物是（）A．丙酮酸B．乳酸C．二氧化碳D．水34．（1分）蔬菜和水果长时间储藏、保鲜所需要的条件应为（）A．低温、干燥、低氧B．低温、湿度适中、低氧C．高温、干燥、高氧D．高温、湿度适中、高氧35．（1分）光合作用的产物中，氧气中的氧和葡萄中的氧分别来自（）A．C O2、H2O B．H2O、CO2C．C O2、CO2D．H2O、H2O36．（1分）细胞有丝分裂过程中最重要的特征是（）A．有纺锤体出现B．有染色体复制和染色体的平均分配C．有染色体出现D．有核膜、核仁的消失37．（1分）在有丝分裂的过程中，DNA和染色体数目加倍分别发生于（）A．间期、末期B．前期、中期C．间期、后期D．前期、后期38．（1分）下列关于细胞分化的叙述，错误的是（）A．细胞分化是生物界普遍存在的生命现象B．细胞分化是细胞在形态结构和功能上发生差异的过程C．细胞分化的结果造成细胞内遗传物质发生改变D．正常情况下，细胞分化往往不可逆39．（1分）下列关于癌细胞特征的叙述，错误的是（）A．能够无限增殖B．癌细胞的形态结构发生了变化C．癌细胞与正常细胞都可以继续进行细胞的分化D．癌细胞的表面发生了变化40．（1分）引起细胞凋亡的原因是（）A．细胞寿终正寝B．细胞中毒死亡C．由基因决定的程序调控D．细胞代谢降低41．（2分）下列对于细胞结构和功能的叙述，不正确的是（）A．判断植物细胞和动物细胞可依据有无细胞壁B．只有含线粒体的细胞才能进行有氧呼吸C．判断真核细胞和原核细胞可依据有无核膜D．抗体蛋白的分泌过程充分体现了各种膜在结构上具有流动性的特点42．（2分）胰岛素是一种由51个氨基酸缩合成的，具有两条肽链的蛋白质．对它的描述，不正确的是（）A．合成的场所是核糖体B．具有复杂的空间结构C．分子中含有50个肽键D．分子中至少含2个氨基和2个羧基43．（2分）酶是活细胞产生的．下列关于酶的论述中，都正确的一组是（）①酶是一类具有生物催化作用的蛋白质②酶的活性与PH有关③酶的催化效率很高④酶的数量因参与化学反应而减少⑤只要条件适宜，酶在生物体外也可以催化相应的化学反应⑥温度过高和偏低对酶活性影响的原理相同．A．②③⑤B．①④⑥C．①②③D．②③⑥44．（2分）将酵母菌研磨成匀浆，离心后得上清液（细胞质基质）和沉淀物（含线粒体），把等量的上清液、沉淀物和未曾离心的匀浆分别放入甲、乙、丙三个试管中，各加入等量葡萄糖溶液，然后置于隔绝空气的条件下．下列叙述正确的是（）A．甲试管中最终产物为CO2和H2OB．乙试管中不发生反应C．丙试管中有大量的ATP产生D．丙试管中无CO2产生45．（2分）如图是胡萝卜在不同的含氧情况下从硝酸钾溶液中吸收K+和NO的曲线．影响A、B两点和B、C两点吸收量不同的因素分别是（）A．载体数量、能量B．能量、载体数量C．载体数量、离子浓度D．能量、离子浓度46．（2分）已知某植物光合作用和呼吸作用的最适温度分别为25℃和30℃，如图表示该植物在25℃时光合强度与光照强度的关系，若将温度提高到30℃的条件下（原光照强度和CO2浓度等不变），从理论上讲，图中相应点的移动应该是（）A．a点上移，b点左移，m值增加B．a点不移，b点左移，m值不变C．a点下降，b点右移，m值下降D．a点下降，b点不移，m值上升47．（2分）（1999•上海）一分子CO2从叶肉细胞的线粒体基质中扩散出来，进入一相邻细胞的叶绿体基质内，共穿越过的生物膜层数是（）A．5B．6C．7D．848．（2分）如图所示，某植物上的绿叶经阳光照射24小时后，经脱色并用碘液处理，结果有锡箔覆盖部位不呈蓝色，而不被锡箔覆盖的部位呈蓝色．本实验证明（）①光合作用需要CO2②光合作用需要光③光合作用需要叶绿素④光合作用放出O2⑤光合作用制造淀粉．A．①②B．③⑤C．②⑤D．①③49．（2分）将单细胞绿藻置于25℃、适宜的光照和充足的二氧化碳条件下培养，经过一段时间后停止光照，发现绿藻体内三碳酸的含量明显上升．这是由于（）A．光反应仍然进行，形成NADPH和A TPB．光反应仍然进行，不能形成NADPH和ATPC．碳反应中二氧化碳的固定仍然进行，但三碳酸的还原受阻D．碳反应停止进行，无法进行二氧化碳的固定和三碳酸的还原50．（2分）在细胞有丝分裂的分裂期开始时，如果它的染色体数为N，DNA含量为Q，则该细胞分裂后每个子细胞中的染色体数和DNA含量分别是（）A．N和Q B．和C．N和D．和Q二、简答题（共40分）51．（12分）请根据如图所示的化合物分析并回答各问题：（1）该化合物称为，由种氨基酸组成，（2）它的“生产机器”是．形成该化合物的反应叫做．（3）组成这类化合物的基本单位约有20种，它的结构通式是．（4）试述蛋白质分子多样性的原因．52．（12分）如图是某种生物的细胞亚显微结构示意图，试据图回答：（1）图中结构的主要成分是．（2）该细胞与动物细胞相比特有的细胞结构有（填写编号）（3）此细胞中能产生A TP的细胞器有（填编号）．（4）如果是植物的根尖分生区细胞，则图中不应有的结构是和（5）此结构中具有双层膜结构的细胞器有（6）如果该细胞是低等植物细胞，则图中还应该有．53．（16分）如图为叶绿体中光合作用过程示意图，请回答下列问题：（1）图中的结构名称是，上面分布有，若经纸层析法分离后自上而下得到的色素依次是．（2）图中Ⅰ为光合作用的阶段；Ⅱ为阶段．前者为后者提供的物质条件是．（3）光合作用过程中的能量变化是．三、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共30分）54．（2分）下列关于叙述，正确的是（）A．叶肉细胞在有光或无光条件下均能产生CO2和消耗ATPB．绿色植物在黑暗条件下不合成有机物C．用纤维素酶处理后的植物细胞不发生渗透作用D．松土能促进根系吸收有机肥料，提高农作物的产量55．（2分）将竖直放置的水绵和某种好氧细菌的混合溶液放在暗处，白光透过三棱镜照在混合液处，一段时间后，好氧细菌的分布情况最可能是（）A．随机、均匀分布在混合液中B．集中分布在上下两侧C．集中分布在中央位置D．集中分布在溶液的下层56．（2分）实验中的变量主要有自变量、因变量和无关变量．下列控制无关变量的操作错误的是（）A．验证光合作用能产生淀粉的实验中，首先将实验植物做饥饿处理B．探究唾液淀粉酶的最适pH的实验中，先将每一组温度控制在37℃C．验证光合作用需要光照的实验中，将叶片的一半用黑纸包住D．探究唾液淀粉酶最适温度的实验中，每一组都加入等量的淀粉57．（2分）如图是几种物质进出细胞方式中，运输速度与影响因素间的关系曲线图，下列与此图相关的叙述中，正确的是（）A．与水进出细胞相符的图有①③⑤B．与葡萄糖进入红细胞相符的图②④⑥C．与K+进入丽藻细胞相符的图有②④⑤D．与蛋白质进出细胞相符的图有②③⑥58．（2分）某同学欲测定植物叶片叶绿体的光合作用速率，作如图所示实验．在叶柄基部作环剥处理（仅限制叶片有机物的输入和输出），于不同时间分别在同一叶片上陆续取下面积为1cm2的叶圆片烘干后称其重量，测得叶片的光合作用速率=（3y﹣2z﹣x）/6gcm﹣2h﹣1（不考虑取叶圆片后对叶生理活动的影响和温度微小变化对叶生理活动的影响）．则M处的实验条件是（）A．下午4时后将整个实验装置遮光3小时B．下午4时后将整个实验装置遮光6小时C．下午4时后在阳光下照射1小时D．晚上8时后在无光下放置3小时59．（2分）森林中，阳光可能会穿过森林中的空隙，在地上投下“光斑”，它们随太阳运动和枝叶的摆动而移动．如图显示了在“光斑”照耀前后一株生长旺盛的植物光合作用过程中吸收CO2和释放O2的情况．请据图判断下列说法正确的是（）A．“光斑”开始，氧气释放速率增加，表明此时植物开始光合作用并且强度大于呼吸作用B．图中的A点两条曲线重合，表明植物此时光合作用等于呼吸作用C．该实验表明，影响氧气释放速率的因素是光照强度和CO2吸收速率D．A至B段，两条曲线出现差异，此时CO2吸收速率大于氧气的释放速率，表明植物呼吸作用大于光合作用60．（2分）由细胞形态判断，下列细胞中最可能具有细胞周期的是（）A．B．C．D．61．（2分）下列是关于细胞分裂过程中细胞内变化的叙述，能正确表示一个细胞周期内分裂过程的顺序是（）①两个相同DNA分子完全分开②出现放射状排列的细丝③中心体发生倍增④着丝粒排列在一个平面上．A．②→③→①→④ B．②→④→③→①C．③→②→④→① D．②→③→④→①62．（2分）关于高等植物细胞有丝分裂不同于动物细胞的叙述，正确的是（）A．前期由中心体发出纺锤丝形成纺锤体B．末期出现赤道面，形成赤道板C．中期染色体的着丝粒排列在细胞板上D．高尔基体在胞质分裂中起重要作用63．（2分）图甲为典型的细胞核及其周围部分结构示意图；图乙为有丝分裂过程中一个细胞核中DNA含量变化曲线，则相关叙述正确的是（）A．假设甲图代表的细胞处在细胞周期中，则甲图代表的细胞相当于乙图的cd区间B．在细胞分裂周期中，既可消失又可重建的结构是甲图中的4、5，其消失时间是乙图的de 区间C．在细胞分裂周期中，可重建与消失的结构应为3，其重建时间为O～b或f～h，其余时间消失D．甲图所示结构不可能代表细菌，但细菌分裂过程中也会出现DNA复制64．（2分）成人体内绝大多数处于分化终端的各种细胞（）A．遗传信息相同B．基因表达相同C．m RNA种类相同D．蛋白质种类相同65．（2分）下列发生了细胞分化且能体现体细胞全能性的生物学过程是（）A．玉米种子萌发长成新植株B．小鼠骨髓造血干细胞形成各种血细胞C．玉米花粉经离体培养成发育成新植株D．胡萝卜根韧皮部细胞经离体培养发育成新植株66．（2分）如图所示，图1表示某细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系，图2表示处于有丝分裂某个时期的细胞图象．下列说法中正确的是（）A．图1中CD段可表示细胞一分为二，遗传物质精确平均分配到两个子细胞中B．图2中细胞处于图1中的BC段C．图2表示的是动物细胞的有丝分裂过程，此时共有染色体：染色单体：DNA分子=1：1：1D．图1中AB段形成的原因是DNA分子复制67．（2分）下面为动物机体的细胞凋亡及清除示意图．据图分析，不正确的是（）A．①过程表明细胞凋亡是特异性的，体现了生物膜的信息传递功能B．细胞凋亡过程中有新蛋白质合成，体现了基因的选择性表达C．②过程中凋亡细胞被吞噬，表明细胞凋亡是细胞被动死亡过程D．凋亡相关基因是机体固有的，在动物生长发育过程中发挥重要作用68．（2分）已知洋葱根尖细胞有丝分裂一个细胞周期大约需要12h，某学生研究该细胞周期，获得以下4组数据：①分裂期最多的一个视野中，共有30个细胞，其中分裂前期5个，中期2个，后期2个，末期1个，其余间期．②分裂期最少的一个视野，共有35个细胞，其中有分裂中期细胞1个，其余为间期．③全部共观察了10视野，平均每个视野有32个细胞．④统计这些视野观察到的结果：分裂前期细胞15个，中期12个，后期10个，末期8个．对这4组数据的分析，正确的是（）A．用第①组数据直接计算分裂期各期持续时间是最准确的B．用第②组数据直接计算分裂间期持续时间产生的误差最大C．①、②组数据没有意义，不能用于细胞周期各期所需时间分析D．③、④组数据分析间期持续时间大约是10.3h四、简答填空题69．（5分）在生物化学反应中，当底物与酶的活性位点形成互补结构时，可催化底物发生变化，如图甲Ⅰ所示．酶的抑制剂是与酶结合并降低酶活性的分子．竞争性抑制剂与底物竞争酶的活性位点，非竞争性抑制剂和酶活性位点以外的其他位点结合，从而抑制酶的活性，如图甲Ⅱ、Ⅲ所示．图乙表示发生竞争性抑制和非竞争性抑制时，底物浓度与起始反应速率的变化曲线图．请据图回答下列问题：（1）当底物与酶活性位点具有互补的结构时，酶才能与底物结合，这说明酶的催化作用具有．（2）青霉素的化学结构与细菌合成细胞壁的底物相似，故能抑制细菌合成细胞壁的相关酶的活性，其原因是．（3）据图乙分析，随着底物浓度升高，抑制效力变得越来越小的是抑制剂．（4）唾液淀粉酶在最适温度条件下的底物浓度与起始反应速率的变化如图丙．若将温度提高5℃，请在图丙中绘出相应变化曲线．（5）如图所示，甲、乙、丙三图表示酶浓度一定时，反应速率和反应物浓度、温度、pH的关系．下列相关分析不正确的是A．图甲中，因反应液中酶的数量有限，当反应物达到一定浓度时，反应速率不再上升B．图乙中，a点对应的温度称为最适温度C．图乙中，温度超过a点后反应速率急剧下降，其原因是高温条件下酶变性失活D．图丙中，当在一个反应容器中把pH从6升到10的过程中，酶活性先增强，后降低．70．（15分）夏季某晴朗的一天对一密闭蔬菜大棚中的某种气体的含量进行24小时的检测，结果如图1．图2是叶肉细胞内两种细胞器间的气体关系图解．图3是在不同温度条件下植物分别在光照和黑暗中二氧化碳的吸收量和释放量．请回答下列问题：（1）图1中所测气体为；该大棚内的蔬菜经过一昼夜后是否积累有机物，判断依据是．图1中表示光合速率与呼吸速率相等的点是（用字母表示）．（2）与它们各自的前一阶段相比，EC段叶肉细胞内的C3酸含量的变化趋势及C3酸合成速度变化趋势分别是、．（3）处于图3中的X点时，图2中应该进行的气体转移途径有．（4）乙图显示植物体积累有机物的量最多时的温度为℃；当温度为5℃时，光合作用制造的有机物量是呼吸消耗有机物量的倍．浙江省杭州市西湖高中2014-2015学年高二上学期月考生物试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题部分（每小题只有一个正确答案，1--40每小题1分，41--50每小题1分，共60分）1．（1分）下列对生物体内水的叙述，错误的是（）A．在活细胞中含量最多B．能提供能量C．能缓和温度D．是生物体内物质运输的主要介质考点：水在细胞中的存在形式和作用．分析：活细胞中含量最多的化合物是水，生物体的一切生命活动离不开水，不同发育阶段含水量不同，细胞内水以自由水与结合水的形式存在，自由水是细胞内良好的溶剂，是许多化学反应的介质，水还参与细胞内的许多化学反应，自由水自由移动对运输营养物质和代谢废物具有重要作用，结合水是细胞结构的重要组成成分，自由水与结合水的比值越高，新陈代谢越旺盛，抗逆性越差．解答：解：A、水在活细胞中含量最多，A正确；B、水不能提供能量，B错误；C、生物体内的自由水能缓和温度，C正确；D、生物体内自由水是物质运输的主要介质，D正确．故选：B．点评：本题考查细胞中水的作用，关键是区别自由水和结合水的作用．对细胞内水的存在形式和不同存在形式的水的作用的理解、记忆是本题考查的重点．2．（1分）下列关于无机盐的叙述，错误的是（）A．植物缺乏Mg2+会影响光合作用B．人体内缺乏Fe2+会影响血红蛋白的合成C．哺乳动物血液中Ca2+的含量过低会引发肌肉抽搐D．细胞中的无机盐大多数以化合物的形式存在考点：无机盐的主要存在形式和作用．分析：细胞内的无机盐主要以离子的形式存在其生理作用有：1、细胞中某些复杂化合物的重要组成成分，如Fe2+是血红蛋白的主要成分，Mg2+是叶绿素的必要成分；2、维持细胞的生命活动，如Ca2+可调节肌肉收缩和血液凝固，血钙过高会造成肌无力，血钙过低会引起抽搐；3、维持细胞的酸碱平衡和细胞的形态．解答：解：A、Mg2+是叶绿素的成分之一，缺Mg2+会影响叶绿素的合成进而影响光合作用，A正确；B、Fe2+是血红蛋白的主要成分，人体内缺Fe2+会影响血红蛋白的合成引起缺铁性贫血，B正确；C、哺乳动物血液中Ca2+可调节肌肉收缩和血液凝固，血钙过高会造成肌无力，血钙过低会引起抽搐，C正确；D、细胞中的无机盐大多数以离子的形式存在，D错误．故选：D．点评：本题的知识点是无机盐的存在形式和功能，对于相关知识点的记忆是解题的关键．3．（1分）医生常给低血糖病人静脉注射50%的葡萄糖溶液，其主要目的是（）A．供给全面营养B．供给能源物质C．供给水分D．维持血浆的酸碱平衡考点：体温调节、水盐调节、血糖调节．分析：低血糖休克的病人是因为体内血糖水平过低，所以使病人体内能源物质不足，氧化释能不能满足维持各种生命活动之用，导致出现晕厥甚至休克，所以给病人静脉注射葡萄糖正是为了及时补充能源物质，糖类是生物体进行生命活动的主要能源物质．当然，直接输注ATP 也是可以的，但是只能在早期应用．解答：解：A、低血糖是因为体内血糖水平过低，给病人静脉注射葡萄糖正是为了及时补充能源物质，故A错误；B、静脉注射50%的葡萄糖溶液为了提高血糖水平，使其保持在正常水平．因为脑组织本身储存的糖原很少，主要依赖血糖供应，如果血糖过低，可导致低血糖昏迷甚至发生生命危险，故B正确；C、补充液体一般用等渗液如生理盐水、5%葡萄糖等，而50%葡萄糖为高渗液，有脱水作用，故C错误；D、维持酸碱平衡的为碳酸氢钠、精氨酸等，故D错误．故选：B．。
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浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二12月月考数学试题试卷 Ⅰ一. 选择题 ：本大题共15小题 ，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的。
1．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ）A.2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=02. 已知直线l 的方程为043=++y x ，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2) B(1，1) C ．(－2，－2) D ．(－1，－1)4．若一圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则此圆的的圆心和半径分别为 （ ）A 、)5,1(-,3B 、)5,1(-, 3C 、 )5,1(-,3D 、 )5,1(-,35．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是（ ）A. 4B.13132C. 26135D. 261376．以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y xC 、25)2()1(22=+++y xD 、25)2()1(22=-+-y x7.已知二面角α－l －β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8.已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm 3B.13 cm 3C.16 cm 3D.112 cm 39．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n10.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π11.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为（ ）A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝012.若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝013．如图，点P 是等腰△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为( )A ．4 5 B. 3 C ．3 3 D ．2 3 14．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直15. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D所成的角的正弦值为( ) A.63 B.255 C.155 D.105二．填空题：本大题共5小题 ，每小题5分，共25分。
16．直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m=0，若21//l l 则m =_________17．经过原点，圆心在x 轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 ____18．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C 。
则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为_______ ____19. 直线xcos θ＋y ＋m=0的倾斜角范围是_________________20．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为_____________试卷Ⅱ一．填空题（每题4分，共12分）21.设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则 x－1 2＋ y－1 2的最小值为___________22.与x轴相切并和圆x2＋y2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是______________________23.已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的_________ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24.直线l经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．25．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.(1)证明：OE∥平面AB1C1；(2)求异面直线AB1与A1C所成的角；(3)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．26.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。
将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上。
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；杭西高2014年12月考高二数学试卷命题人：何露叶 审核人：钱敏剑试卷 Ⅰ6．以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是（ D ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y x C 、25)2()1(22=+++y x D 、25)2()1(22=-+-y x 7.已知二面角α－l －β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8.已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( C )A.12 cm 3B.13 cm 3C.16 cm 3D.112cm 3 9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n10.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ C ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π11.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为（ C ）A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝012.若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ A ）A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝013．如图，点P 是等腰△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为( A )A ．4 5 B. 3 C ．3 3 D ．2 3 14．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( B )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直15. 如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( D ) A.63 B.255 C.155 D.105二．填空题：本大题共5小题 ，每小题5分，共25分。
16．直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m=0，若21//l l 则m =____-1______17．经过原点，圆心在x 轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 25)5(22=+-y x18．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C 。
则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为_____02=-+y x __19. 直线xcos θ＋y ＋m=0的倾斜角范围是_____30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ________ 20．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为___23________试卷 Ⅱ一．填空题（每题4分，共12分）21.设P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则 x －1 2＋ y －1 2的最小值为__ 26－2_____22．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__ x 2＝2|y |＋1_____23．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m ，且l ⊥n ”的____充分不必要_____ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24.直线l 经过点P (2，－5)，且到点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P (2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)，即kx －y －2k －5＝0∴A (3，－2)到直线l 的距离为d 1＝|k ·3－ －2 －2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B (－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k · －1 －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12. 化简得k 2＋18k ＋17＝0解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.25．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角；(3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．解：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，∴OE ∥平面AB 1C 1.(2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°(3)设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22，∴S △AA 1B 1＝7.∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. 26.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。