三年级应用题还原问题

还原问题

知识结构

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．

二、解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．

方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．

关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

重难点

（1）还原法的知识点

（2）画图在解题过程中的应用

例题精讲

【例 1】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天

柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气

就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走

一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴

的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然

后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都

没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不

劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长1倍，樵夫第三次

回来，交付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着

想，最后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有24个钱，第二次交给神仙后有24212

÷=（个）钱，从桥上回来后有：122436

÷=（个）钱，

+=（个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩：36218第一次从桥上回来后有：182442

÷=（个）钱．

+=（个）钱，所以樵夫一开始有：42221

【答案】21个

【巩固】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”

财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给

了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？

【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可．推算过程可列

表如下：

所以原来有31个铜板．

【答案】31个

【例 2】货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。

结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了

然。根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一

半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；

用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原

有煤多少吨。

（1）剩余煤的吨数是：（吨）

（2）现有煤的一半是：（吨）

（3）现有煤的吨数是：（吨）

（4）原有煤的一半是：（吨）

（5）原有煤的吨数是：（吨）

答：货场原来有煤1700吨。

【答案】1700吨

【巩固】 工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修

了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长 米。

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】可逆思想方法，2008年，陈省身杯

【解析】 如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：()143020262108⎡⎤+-⨯+⨯=⎣⎦（米）

。

【答案】108米

12002600÷=60050650+=65021300⨯=1300450850-=85021700⨯

=

【例 3】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡

着了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多一条鱼。这三个人至少钓到__________条鱼。

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第12题

【解析】 根据题意画图分析如下：

当1=a 时，2317⇒=+=b b ，无法被2整除

当2=a 时，317+=a ，无法被2整除

当3=a 时，()3125=+÷=b a ，()3128=+÷=c b ∴ 三人至少钓得()38125条⨯+=

【答案】25条

【巩固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份

又一枚；剩下的再四等分又剩一枚.问：原来至少有多少枚棋子？

【考点】单个变量的还原问题

【难度】4星 【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到第三次分之前有1415⨯+=(枚)，

第二次分之前有54+121⨯=(枚)，第一次分之前有214+1=85⨯(枚).所以原来至少有85枚棋子.

【答案】85枚

【例 4】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的13，第三口则喝了剩下的14，第四口再喝剩下的15，第五口喝了剩下的16．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

【考点】单个变量的还原问题

【难度】4星 【题型】解答