高一三角函数习题(含答案)
高一三角函数习题(含
答案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.将－300o化为弧度为（ ）
A．－43； B．－53； C．－76； D．－74；
2.如果点)cos2,cos(sinP位于第三象限，那么角所在象限是（ ）
Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．下列选项中叙述正确的是 （ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．终边不同的角同一三角函数值不相等
4．下列函数中为偶函数的是（ ）
A．sin||yx B．2sinyx C．sinyx D．sin1yx
5已知函数sin()yAxB的一部分图象如右图所示，如果
0,0,||2A
，则（ ）
A.4A B.1
C.6 D.4B
6．函数3sin(2)6yx的单调递减区间（ ）
A5,1212kk()kZ B．511,1212kk()kZ
C．,36kk()kZ D．2,63kk()kZ
7．已知是三角形的一个内角,且32cossin,则这个三角形( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等
腰直角三角形
8．)2cos()2sin(21等于 （ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
9．若角的终边落在直线y=2x上，则sin的值为（ ）
A. 15 B. 55 C. 255 D. 12
3
10．函数y=cos2x –3cosx+2的最小值是 （ ）
A．2 B．0 C．41 D．6
11．如果在第三象限，则
2
必定在 （
）
A．第一或第二象限B．第一或第三象限 C．第三或第四象限D．第二或
第四象
12．已知函数)sin(xAy在同一周期内，当3x时有最大值2，当x=0时
有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）
A．xy23sin2 B．)23sin(2xy C．
)23sin(2xy
D．xy3sin21
14、已知角α的终边经过点P(3，3)，则与α终边相同的角的集合是______
13．1tan、2tan、3tan的大小顺序是
14．函数lg1tanyx的定义域是 ．
16．函数
sin(2)6yx
的单调递减区间是 。
17．已知角终边上一点P（－4，3），求
)29sin()211cos()sin()2cos(
的值
18.已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的 一段图象(如图)所示.
①求函数的解析式；
②求这个函数的单调区间.
19．已知43tan，求2coscossin2的值。
20.利用“五点法”画出函数)621sin(xy在长度为一个周期的闭区间的简图
（2）并说明该
函数图象可由y=sinx（xR）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的。（8
分）
答案
1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C
13{x|x=2kπ＋
6
π
，k∈Z}
14. tan1
16[,],63kkkZ
17.∵角终边上一点P（－4，3）43tanxy
∴h
sinsinsincos
tan
3
4
18（1）解、先列表，后描点并画图
621x 0 2 2
3
2
x
3 32 35 38 3
11
y 0 1 0 -1 0
(2)把y=sinx的图象上所有的点向左平移6个单位长度，得到)6sin(xy的图
象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
)621sin(xy
的图象。
或把y=sinx的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
xy
2
1
sin
的图象。再把所得图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到
)3(21sinxy，即)621sin(xy
的图象。
19.222222cossincoscossin)cos(sin2coscossin2
=222222tan11tantan2cossincoscossinsin2
=2522169114389)43(11)43()43(222
20. 1.,23)(21minmaxyyA23.56,65)3(22bT易知
代入得将点)0,2(,23)56sin(23xy,1,||)(10112kZkk则又
.23)109sin(23.109xy
2.xkkxkkxk5622.3356735221095622令令
6
).(235335232109Zkkxkk
)](235,6735[Zkkk
是单调递增区间，
.)](
235,33
5[是单调递减区间Zkkk
专题23 三角函数(基础测评卷)高一数学单元复习(人教A版2019必修第一册)含答案
章末检测（五) 三角函数 基础卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·四川成都外国语学校高一开学考试（理））若1sin 44p a æö+=ç÷èø，则sin 2a =（ ）A ．78B ．78-C ．34D ．34-【答案】B【解析】设4b pa =+，则1sin 4b =，4pa b =-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148p a b b b æö=-=-=-=-ç÷èø.故选：B2．（2020·浙江绍兴一中高三）若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2p éùêúëû上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x p éùÎêúëû，令sin [0,1]t x =Î，则()()22211[0,1]24a ah t t at b t b t æö=-+++=--+++Îç÷èø，【答案】C【解析】q 是第二象限角，即22,2k k k Z pp q p p +<<+Î，422k k pqpp p +<<+，2q在第一、三象限，又1cos022q=-<，∴2q 是第三象限角，∴23sin 1cos 222q q =--=-，∴222sin cos 2sin cos1sin 22222cos1cos 2cos 2sin 222qq q qq qq q q+--=+-+cos sin1222222cos2sin22q qqq-===-．故选：C ．5．（2020·山西高一期中）函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø在区间[0,]p 上的零点个数为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】令()cos 206f x x p æö=+=ç÷èø，解得2()62x k k Z p p p +=+Î，即()62k x k Z p p =+Î.∵[0,]x p Î，∴0k =，6x p=；1k =，23x p =.故选D.6．（2020·全国高一课时练习）如果1|cos |5q =，532p q p <<，那么sin 2q的值为（ ）A ．105-B ．105C ．155-D ．155【答案】C【解析】由532pq p <<可知q 是第二象限角，1cos 5q \=-，53422p q p <<Q，2q \为第三象限角，1cos 15sin 225q q -\=-=-.故选：C 7．（2020·湖南高二期末（理））已知函数()()2sin 210()6f x x p w w =-->在区间,124p p éùêúëû内单调递增，则w 的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D【解析】令22,2,622x k k k Z pp p w p p éù-Î-++Îêúëû，又函数在,124x p p éùÎêúëû单增，故有26626222k k k Z p pp p w pw p p p -+ïì-³ïïÎíï-£î+，，解得212,443k k Z k w w ³-+ìïÎí£+ïî，又0>w ，当0k =时w 取到最大值43故选：D8．（2020·重庆市育才中学高一月考）已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ）A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（ ）A ．76p-是第三象限角B ．若圆心角为3p的扇形的弧长为p ，则该扇形面积为32p C ．若角a 的终边过点()3,4P -，则3cos 5a =-D ．若角a 为锐角，则角2a 为钝角【答案】BC 【解析】选项A ：76p -终边与56p相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r pp =\=，扇形面积为13322pp ´´=，所以B 正确；选项C ：角a 的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5a =-，所以C 正确； 选项D ：角a 为锐角时，0<<,02pa a p <<，所以D 不正确，故选:BC2．（2020·山东高三其他）若将函数()cos 212f x x p æö=+ç÷èø的图象向左平移8p个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为pB ．()g x 在区间0,2p éùêúëû上单调递减C ．12x p=不是函数()g x 图象的对称轴D ．()g x 在,66p p éù-êúëû上的最小值为12-【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x p p p éùæöæö=++=+ç÷ç÷êúèøèøëû．()g x 的最小正周期为p ，选项A 正确；当0,2x p éùÎêúëû时，42,333x p p p éù+Îêúëû 时，故()g x 在0,2p éùêúëû上有增有减，选项B 错误；012g p æö=ç÷èø，故12x p=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x p p éùÎ-êúëû时，220,33x p p éù+Îêúëû，且当2233x p p +=，即6x p =时，()g x 取最小值12-，D正确．故选：ACD3．（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的周期是2pB ．函数()f x 的值域是0,2éùëûC ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称D ．函数()f x 在3,24p p æöç÷èø上递增【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æöæöæö+=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，【解析】由函数图像可知：22362T p pp =-=，则222T p p w p===，所以不选A,当2536212x pp p +==时，1y =-\()5322122k k Z p p j p ´+=+Î，解得：()223k k j p p =+ÎZ ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x p p p p p p æöæöæöæö=++=++=+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.而5cos 2cos(2)66x x p pæö+=--ç÷èø，故选：BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2016·上海市控江中学高三开学考试）函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是p ，则实数a =________【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a p p ==，解得1a =±.故答案为：±114．（2020·广东高二期中）已知角a 的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2pa +=__________.【答案】2425-【解析】因为角a 的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55a a ==-，所以4324sin 22sin cos 25525a a a æö=×=´´-=-ç÷èø，所以324cos(2)sin 2225p a a +==-，故答案为：2425-15．（2016·湖南高一学业考试）若sin 5cos a a =，则tan a =____________.【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos aa a==.故答案为：5.16．（2020·浙江高一期末）已知a 为锐角，3cos(),65pa +=则cos()3p a -=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65pa +=且2663p p p a <+<，∴)in(4s 65p a +=；∵()()326ppp a a -=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665p p p p a a a -=-+=+=.故答案为：45.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2020·天津静海一中高一期末）（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f p p a a a p a p a æö-+ç÷èø=æö-++ç÷èø，求3f p æöç÷èø；（2）若tan 2a =，求224sin 3sin cos 5cos a a a a --的值；（3）求()sin 5013tan10°°+的值；（4）已知3cos 65p a æö-=ç÷èø，求2sin 3p a æö-ç÷èø．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f a a a a a a -´-==，代入3p a =可得1cos 332f p p æö==ç÷èø.故答案为12.（2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos a a a aa a a a a a----=+224tan 3tan 5tan 1a a a --=+，把tan 2a =代入，则原式44325141´-´-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos103sin10sin5013tan10sin50sin50cos10cos10°°°°°°°°°°+++=×=×cos 40sin 40sin801cos102cos102°°°°°===故答案为12.（4）令6x pa =-，则6xpa =-22sin sin sin 3632x x p pp p a æöæöæö-=--=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø3sin cos 25x x p æö=-+=-=-ç÷èø.解题中应注意角与角之间的关系.18．（2020·全国高三期中（理））已知函数()sin (0)f x x w w =>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数.（1）求w ；（2）当210,8x éùÎêúëû时，求sin cos x x w w +的取值范围.【解析】（1）因为函数()sin f x x w =的图像关于直线94x =对称．则9()42k k Z p w p =+Î，所以42()9k k Z p p w +=Î． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022pw <´…，即04pw <…，当20,9k p w ==满足题意，当1k -…或1,k w …不满足题意．故29pw =．（2）设()sin cos g x x x w w =+，则()2sin 4g x x p w æö=+ç÷èø，由（1）得2()2sin 94g x x pp æö=+ç÷èø，因为210,8x éùÎêúëû，则25,9446x p p p p éù+Îêúëû，所以21sin ,1942x p p æöéù+Îç÷êúèøëû．故2(),22g x éùÎêúëû．所以sin cos x x w w +取值范围是2,22éùêúëû．19．（2020·贵州高一期末）已知函数()()(2sin 03)x x f pw w =+>的最小正周期为p ，将()f x 的图象向右平移6p个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g æö=ç÷èø，且4b c +=，求ABC V 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T pp w==，2w =，()2sin(2)3f x x p=+.将()f x 的图象向右平移6p个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2sin )]12sin 22)1[3(6x y x pp ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A p <<，所以26A p=，3A p =.22222cos()31633a b c bc b c bc bc p=+-=+-=-.因为2()44b c bc +£=，所以04bc <£.所以416316bc £-<，即2416a £<，24a £<.所以[6,8)l a b c =++Î.20．（2020·全国高一课时练习）已知函数cos 2(0)6y a b x b p æö=-+>ç÷èø的最大值为2，最小值为12-.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx p æö=--ç÷èø的最小值，并求出对应的x 的集合.【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x p æö+Î-ç÷èø，∵0b >，∴0b -<.∴max min3,21,2y b a y b a ì=+=ïïíï=-+=-ïî∴1,21.a b ì=ïíï=î（2）由（1）知()2sin 3g x x p æö=--ç÷èø，∵sin [1,1]3x p æö-Î-ç÷èø，（1）求w ，j 及图中0x （2）设()()cos g x f x =-w p \=；又()00sin 16f x x p p æö=+=-ç÷èø，且0706x -<<，∴062x ppp +=-，得023x =-，综上所述:w p =，6π=j ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x x p p p p æö=-=+-ç÷èøsin cos cos sin cos 66x x x p pp p p =+-31sin cos sin 226x x x p p p p æö=-=-ç÷èø，∵12,2x éùÎ--êúëû，∴132663x p p pp -£-£-，所以当362x ppp -=-时，()max 1g x =;当263x pp p -=-，()min 32g x =-.22．（2020·上海华师大二附中高一期中）已知(),0,a b p Î，并且()7sin 52cos 2p a p b æö-=+ç÷èø，()()3cos 2cos a p b -=-+，求,a b 的值.【解析】()7sin 52cos sin 2sin 2p a p b a bæö-=+\=ç÷èøQ ()()3cos 2cos 3cos 2cos a p b a b-=-+\=Q 平方相加得22212sin 3cos 2cos ,cos 22a a a a +=\==±因为()0,a p Î，所以3,44p pa =当4pa =时，3cos (0,)26p b b p b =Î\=Q 当34p a =时，35cos (0,)26pb b p b =-Î\=Q 因此4pa =，6πβ=或34pa =，56p b =。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(48)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题）1.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在x=−π6时取最大值，在x=π3时取最小值，则以下各式：①f(0)=0；② f(π2)=0；③ f(2π3)=1可能成立的个数是( )A．0B．1C．2D．32.在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边与单位圆交于点P（P不在坐标轴上），过点P作x轴的垂线，垂足为M，则△POM面积的最大值为( )A．18B．15C．14D．123.对于集合{a1,a2,⋯,a n}和常数a0，定义：ω=sin2(a1−a0)+sin2(a2−a0)+⋯+sin2(a n−a0)n为集合{a1,a2,⋯,a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为( )A．12B．13C．14D．与a0有关的一个值4.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )A．sin(A+B)+sinC B．cos(B+C)−cosAC．tan A+B2⋅tan C2D．cos B+C2⋅1cos A25.已知函数f(x)=cos(sinx)，g(x)＝sin(cosx)，则下列说法正确的是( )A．f(x)与g(x)的定义域都是[−1,1]B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)的值域为[cos1,1]，g(x)的值域为[−sin1,sin1]D．f(x)与g(x)都不是周期函数6.已知cosα1+sinα=√3，则cosα1−sinα的值等于( )A．√33B．−√33C．√3D．−√37. 当 x =θ 时，函数 f (x )=3sinx +2cosx 取得最小值，则 cosθ= ( ) A ．3√1313B ． −3√1313C ．2√1313D ． −2√13138. 设 tanα=12，cos (π+β)=−45，β∈(0,π)，则 tan (2α−β) 的值为 ( ) A ． −724B ． −524C ．524D ．7249. 函数 f (x )=2cosx (x ∈[−π,π]) 的图象大致为A ．B ．C ．D ．10. 将函数 y =sin2x 的图象向左平移 φ(φ>0) 个单位长度，得到的图象关于直线 x =π12对称，则 φ 的最小值为 ( ) A ． π12B ． π4C ． π6D ． π3二、填空题（共6题） 11. 已知 f (x )=ax+sin(π2x)x−2x 在 x ∈(0,1) 上恰有一个零点，则正实数 a 的取值范围为 ．12. 若实数 x ，y 满足 2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，则 xy 的最小值为 ．13. 三角方程 2sin (x +π6)=−√3 在区间 [0,2π] 上的解集为 ．14. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm ，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A ，B 两点的距离 d (cm ) 表示成 t (s ) 的函数，则 d = ，其中 t ∈[0,60]．15. 已知 θ∈(0,2π)，且 sinθ，cosθ 是方程 x 2−kx +k +1=0 的两个实数根，则实数 k = ，θ=．16.海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小时）的变化规律为y=0.8sinωx+2(ω∈R)，其中0≤x≤π；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度ω为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是．①若ω=π，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；6②若ω=π，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；6③若ω=1，货船于x=1时进入港口后，立即进行货物卸载，则x=π时，船底离海底的距2离最大；④若ω=1，货船于x=1时进入港口后，立即进行货物卸载，则x=2π时，船底离海底的距3离最大．三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x−1．)的值；(1) 求f(π4(2) 求函数f(x)的单调递增区间．18.在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=100⋅[Acos(ωn+2)+k]来刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1,12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数；ω>0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1) 试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；(2) 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．19. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (x,y ) 绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 Pʹ(xʹ,yʹ)．(1) 试证明点的旋转坐标公式：{xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ.(2) 设 θ∈(0,2π)，点 P (0,−1) 绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 P 1，点 P 1 再绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 P 2，且直线 P 1P 2 的斜率 k =−1，求角 θ 的值； (3) 试证明方程 x 2+√3xy =6 的曲线 C 是双曲线，并求其焦点坐标．20. 函数 f (x )=sin (tanωx )，其中 ω≠0．(1) 讨论 f (x ) 的奇偶性；(2) ω=1 时，求证：f (x ) 的最小正周期是 π；(3) ω∈(1.50,1.57)，当函数 f (x ) 的图象与 g (x )=12(x +1x ) 的图象有交点时，求满足条件的ω 的个数，说明理由．21. 已知 f (x )=2x 2−3x +1，g (x )=ksin (x −π6)(k ≠0)．(1) 若对任意 x 1∈[0,3]，总存在 x 2∈[0,3]，使 f (x 1)=g (x 2)，求实数 k 的取值范围． (2) 若方程 f (sinx )+sinx −a =0 在 [0,11π6] 上恰有两个解，求实数 a 的取值范围．22. 已知一扇形的圆心角为 α(α>0)，所在圆的半径为 R ．若扇形的周长为 20 cm ，当扇形的圆心角α 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】C【解析】如图所示，根据题意，设 P 的坐标为 (cosθ,sinθ)，其中点 P 不在坐标轴上． 则 ∣OM ∣=∣cosθ∣，∣MP ∣=∣sinθ∣， 则 S △POM =12×∣OM ∣×∣MP ∣=∣sinθcosθ∣2=∣sin2θ∣4≤14，即 △POM 面积的最大值为 14，故选C ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】A【解析】集合 {π2,5π6,7π6} 相对 a 0 的“正弦方差”ω=sin 2(π2−a 0)+sin 2(5π6−a 0)+sin 2(7π6−a 0)3=cos 2a 0+sin 2(π6+a 0)+sin 2(π6−a 0)3=cos 2a 0+(12cosa 0+√32sina 0)2+(12cosa 0−√32sina 0)23=cos 2a 0+12cos 2a 0+32sin 2a 03=32(sin 2a 0+cos 2a 0)3=12.【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦4. 【答案】C【解析】因为 A +B +C =π，所以A+B 2=π2−C2，所以 tan A+B 2=sin(π2−C 2)cos(π2−C 2)=1tanC 2，所以 tanA+B 2⋅tan C2=1．【知识点】诱导公式5. 【答案】C【解析】A ．f (x ) 与 g (x ) 的定义域都是 R ，故A 错误，B ．f (−x )=cos(sin (−x ))=cos (−sinx )=cos (sinx )=f (x )，则 f (x ) 是偶函数，故B 错误，C ．因为 −1≤sinx ≤1，−1≤cosx ≤1，所以 f (x ) 的值域为 [cos1,1]，g (x ) 的值域 [−sin1,sin1]，故C 正确，D ．f (x +2π)=cos(sin (x +2π))=cos (sinx )=f (x ) 则 f (x ) 是周期函数，故D 错误． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】A【解析】因为 cosα1+sinα⋅cosα1−sinα=cos 2α1−sin 2α=cos 2αcos 2α=1， 且cosα1+sinα=√3，所以 cosα1−sinα=√33． 【知识点】同角三角函数的基本关系7. 【答案】D【解析】 f (x )=3sinx +2cosx =√13(sinx √13+cosx ⋅√13)，令 cosφ=√13，sinφ=√13，则 f (x )=√13sin (x +φ)，由于当 x =θ 时，函数取得最小值，所以 θ+φ=−π2+2kπ(k ∈Z )，于是 θ=−π2−φ+2kπ(k ∈Z )，故 cosθ=cos (−π2−φ+2kπ)=−sinφ=√13=−2√1313． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】二倍角公式、两角和与差的正切9. 【答案】C【知识点】指数函数及其性质、函数的图象、余弦函数的图象10. 【答案】C【解析】由题意，将函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到图象的解析式为y=sin2(x+φ)=sin(2x+2φ)，因为y=sin(2x+2φ)的图象关于直线x=π12对称，所以2×π12+2φ=π2+kπ(k∈Z)，所以φ=π6+kπ2(k∈Z)，又φ>0，则φ的最小值为π6．故选C．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】(0,1)【解析】依题意，方程ax+sin(π2x)x−2x=0在(0,1)上仅有一个解，即sin(π2x)=2x2−ax（a>0）在(0,1)上仅有一个实数根，亦即函数g(x)=sin(π2x)和ℎ(x)=2x2−ax的图象在(0,1)上只有一个公共点，而ℎ(x)=2x2−ax必经过原点，且其对称轴为x=a4>0，由图可得当ℎ(1)>g(1)时符合题意，即2−a>1，解得a<1，又因为a>0，所以0<a<1．【知识点】零点的存在性定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 14【解析】因为 2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1， 所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故 2cos 2(x +y −1)=(x−y+1)2+1x−y+1=(x −y +1)+1x−y+1，由基本不等式可得 (x −y +1)+1x−y+1≥2，或 (x −y +1)+1x−y+1≤−2， 所以 2cos 2(x +y −1)≥2，由三角函数的有界性可得 2cos 2(x +y −1)=2， 故 cos 2(x +y −1)=1，即 cos (x +y −1)=±1，此时 x −y +1=1，即 x =y ． 所以 x +y −1=kπ，k ∈Z ，故 x +y =2x =kπ+1，解得 x =kπ+12，故 xy =x ⋅x =(kπ+12)2，当 k =0 时，xy 的最小值 14．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、均值不等式的应用13. 【答案】 {7π6,3π2}【解析】依据题意，得：sin (x +π6)=−√32， 故 x +π6=4π3或 5π3，即 x =7π6或 3π2．于是原方程的解集为 {7π6,3π2}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】10sin πt60【解析】如图，设 ∠AOB =θ,θ∈[0,π]，由垂径定理，得 d =2×5sin θ2=10sin θ2．因为 θ={πt30,t ∈[0,30],2π−πt 30,t ∈(30,60], 所以 d ={10sin πt60,t ∈[0,30],10sin (π−πt60),t ∈(30,60],化简即得d =10sin πt 60,t ∈[0,60].【知识点】任意角的三角函数定义15. 【答案】 −1 ； π 或 3π2【解析】依题意有 sinθ+cosθ=k, ⋯⋯① sinθcosθ=k +1. ⋯⋯②又因为 (sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ， 所以 k 2−2k −3=0． 解得 k =3 或 k =−1． 因为 ∣sinθcosθ∣=∣k +1∣≤1， 所以 k =−1．代入①②，得 {sinθ+cosθ=−1,sinθcosθ=0.解得 {sinθ=0,cosθ=−1 或 {sinθ=−1,cosθ=0.又因为 θ∈(0,2π)， 所以 θ=π 或3π2．【知识点】同角三角函数的基本关系16. 【答案】①④【知识点】三角函数模型的应用三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) f(π4)=2sinπ4cosπ4+2(cosπ4)2−1=2×√22×√22+2×(√22)2−1= 1.(2) f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4).令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z．【知识点】二倍角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，T=2πω=12⇒ω=π6；由规律②可知，f(n)max=f(8)=100A+100k，f(n)min=f(2)=−100A+100k．f(8)−f(2)=200A=400⇒A=2；又当n=2时，f(2)=−100×2+100k=100，所以，k=3．综上可得，f(n)=200cos(π6n+2)+300符合条件．(2) 由条件，200cos(π6n+2)+300>400，可得cos(π6n+2)>12⇒2kπ−π3<π6n+2<2kπ+π3,k∈Z⇒6π(2kπ−π3−2)<n<6π(2kπ+π3−2),k∈Z⇒12k−2−12π<n<12k+2−12π,k∈Z.因为n∈[1,12]，n∈N∗，所以当k=1时，6.18<n<10.18，故n=7,8,9,10．即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．【知识点】三角函数模型的应用19. 【答案】(1) 设将x轴正半轴绕坐标原点O旋转角α至点OP，OP=r，则，由任意角的三角比定义，有 {x =rcosα,y =rsinα, 和 {xʹ=rcos (θ+α),yʹ=rsin (θ+α),所以，{xʹ=rcosαcosθ−rsinαsinθ,yʹ=rsinαcosθ+rcosαsinθ.将 {x =rcosα,y =rsinα,代入，得 {xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ.(2) 方法 1：设点 P 1，P 2 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，由点的旋转坐标公式，有 {x 1=sinθ,y 1=−cosθ, 与 {x 2=sin2θ,y 2=−cos2θ.由直线 P 1P 2 的斜率 k =−1，得 −cos2θ+cosθsin2θ−sinθ=−1，sin2θ−cos2θ=sinθ−cosθ， 所以 sin (2θ−π4)=sin (θ−π4)，所以 2θ−π4=2kπ+(θ−π4)，或 2θ−π4+θ−π4=2kπ+π，k ∈Z ， 所以 θ=2kπ 或 θ=23kπ+π2，k ∈Z ． 因为 θ∈(0,2π)， 所以 θ=π2,7π6,11π6．方法 2：由三角比的定义，可得点设点 P 1 的坐标分别为 (cos (θ−π2),sin (θ−π2))， 即 (sinθ,−cosθ)；同理可得 P 2 的坐标为 (sin2θ,−cos2θ)，以下与解法 1 相同．(3) 设 P (x,y ) 为方程 x 2+√3xy =1 的曲线上任意一点，将点 P (x,y ) 绕坐标原点 O 旋转角θ 至点 Pʹ(xʹ,yʹ)． 则，{xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ,可解得 {x =xʹcosθ+yʹsinθ,y =−xʹsinθ+yʹcosθ. ⋯⋯①注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．将①代入方程，得 (xʹcosθ+yʹsinθ)2+√3(xʹcosθ+yʹsinθ)(−xʹsinθ+yʹcosθ)=6， 整理，得 (cos 2θ−√3sinθcosθ)xʹ2+(sin 2θ+√3sinθcosθ)yʹ2+(sin2θ+√3cos2θ)xʹyʹ=6． 令 sin2θ+√3cos2θ=0，可解得 sin (2θ+π3)=0，θ=−π6 是该方程的解，所以，将方程 x 2+√3xy =1 的曲线按顺时针旋转 π6，所得曲线 Cʹ 的方程为：xʹ24−yʹ212=1．故，曲线 Cʹ 是以 F 1ʹ(−4,0) 和 F 2ʹ(4,0) 为焦点的双曲线． 又因为双曲线 Cʹ 是由曲线 C 绕坐标原点 O 旋转而得到的， 所以曲线 C 也是双曲线．将点 F 2ʹ(4,0) 按逆时针旋转 π6，得到点 F 2(2√3,2)，所以，双曲线 C 的焦点坐标为 F 1(−2√3,−2) 与 F 2(2√3,2)． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) 由 ωx ≠kx +π2 得 x ≠2k+12ωπ，k ∈Z ，所以函数 f (x )=sin (tanωx ) 的定义域为 {x ∣∣ x ≠2k+12ωπ,k ∈Z}． 所以定义域关于原点对称．f (−x )=sin [tanω(−x )]=sin (−tanωx )=−sin (tanωx )=−f (x )．所以函数 f (x )=sin (tanωx ) 是 {x ∣∣ x ≠2k+12ωπ,k ∈Z} 上的奇函数．(2) ω=1，f (x )=sin (tanωx )．函数 f (x ) 是周期函数，且 π 是它的一个周期．因为 f (x +π)=sin [tan (x +π)]=sin (tanx )=f (x )， 所以函数 f (x ) 是周期函数，且 π 是它的一个周期假设 T 0 是函数 f (x )=sin (tanx ) 的最小正周期，且 0<T 0<π．那么对任意实数 x ，都有 f (x +T 0)=sin [tan (x +T 0)]=sin (tanx )=f (x ) 成立， 取 x =0，则 sin (tanT 0)=0，所以 tanT 0=kπ，k ∈Z (∗)． （法一）取 x =T 0，则 sin (tan2T 0)=sin (tanT 0)， 所以 sin (2tanT 01−tan 2T 0)=sin (tanT 0)，把 (∗) 式代入上式，得 sin (2kπ1−k 2π2)=0， 所以2kπ1−k 2π2=nπ，k,n ∈Z ，得2k 1−k 2π2=n ，k,n ∈Z ．k ≠0 时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能 k =0， 但由 0<T 0<π，tanT 0=kπ，k ∈Z 知 k ≠0， 所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期． （法二）取 x 的一个特殊值 x =π3，左边=sin [tan (π3+T)]=sin (tan π3+tanT1−tan π3⋅tanT)=sin (√3+kπ1−√3kπ,右边=sin (tan π3)=sin √3，左右两边不等． 所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期．（法三）假设 T 0 是函数 f (x )=sin (tanx ) 的最小正周期，且 0<T 0<π， 即 f (x +T 0)=f (x ) 成立，取 x 0=π2−T 0，所以 x 0∈(−π2,π2)， 那么 f (x 0+T 0)=f (x 0) 有意义，但是 x 0+T 0=π2，显然是无意义的， 所以假设错误，故 π 是 f (x ) 的最小正周期．(3) 因为 x >0，12(x +1x )≥12×2√x ⋅1x =1 且 f (x )=sin (tanωx )≤1， 由 f (x )=sin (tanωx )=g (x )=12(x +1x) 成立，当且仅当 x =1 成立．sin (tanω)=1，得 tanω=2kπ+π2，所以 ω=arctan (2kπ+π2)+nπ，k,n ∈Z ． 因为 ω∈(1.50,1.57)，所以只能 n =0，得 ω=arctan (2kπ+π2)，k ∈Z ， 得 ω=tan (2kπ+π2) 是 k 的递增函数． 当 k <0 时，ω=arctan (2kπ+π2)<arctan (−3π2)<0，不符合；当 k =0 时，ω=arctan π2≈1.00∉(1.50,1.57)； 当 k =1 时，ω=arctan 5π2≈1.44∉(1.50,1.57)； 当 k =2 时，ω=arctan 9π2≈1.5001∈(1.50,1.57)； 当 k =3 时，ω=arctan13π2≈1.52∈(1.50,1.57)； 当 k =199 时，ω=arctan 797π2≈1.5699∈(1.50,1.57)； 当 k =200 时，ω=arctan801π2≈1.570001546∉(1.50,1.57)；当 k >200 时，ω>1.570001546∉(1.50,1.57)，无解． 故满足条件的 ω 的个数有 198 个．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的奇偶性21. 【答案】(1) k>10．或1<B≤5}．(2) a∈{a∣ a=12【知识点】函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】设扇形的弧长为l，则l+2R=20，即l=20−2R(0<R<10)，所以扇形的面积lRS=12(20−2R)R=12=−R2+10R=−(R−5)2+25.所以当R=5cm时，S有最大值25cm2，=2rad．此时l=10cm，α=lR因此，当α=2rad时，这个扇形的面积最大．【知识点】弧度制。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(14)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.函数f(x)=sin2x，x∈R的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.已知cotα=2，tan(α−β)=−25，则tan(β−2α)的值是( )A．14B．−112C．18D．−183.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A．5B．6C．8D．104.已知函数f(x)=asin2x−√3cos2x的图象关于直线x=−π12对称，若f(x1)⋅f(x2)=−4，则a∣∣x1−x2∣的最小值为( )A．π4B．π2C．πD．2π5.若函数f(x)=asin2x−bcos2x在x=π6处有最小值−2，则常数a，b的值是( ) A．a=−1，b=√3B．a=1，b=−√3C．a=√3，b=−1D．a=−√3，b=16.函数y=2sin(2x+π3)的图象的一条对称轴方程可以是( )A．x=0B．x=π2C．x=π12D．x=π67.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，且f(−x)= f(x)，则( )A．f(x)在(0,π2)单调递减B．f(x)在(π4,3π4)单调递减C．f(x)在(0,π2)单调递增D．f(x)在(π4,3π4)单调递增8.若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα的值为( )A．2√55B．√55C．−√55D．−2√559.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π210.函数y=cos2x−sin2x(0<x<π2)的值域为( ) A．(−1,1)B．[−√2,√2] C．[−√2,1]D．(−1,√2]二、填空题（共6题）11.化简sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ的值为．12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，f(x1)=−2，f(x2)=0且∣x1−x2∣的最小值等于π，则ω=．13.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−2√55，则y=．14.将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；15.如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB=20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．,x∈R)的部分图象，则y=f(x)函数16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2解析式为．三、解答题（共6题）．17.已知α∈(0,π)，cosα=−13−α)的值；(1) 求cos(π4(2) 求sin(2π3+2α)的值．18.设函数f(x)=lg(1−cos2x)+cos(x+θ)，θ∈[0,π2)．(1) 讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 设θ>0，解关于x的不等式f(π4+x)−f(3π4−x)<0．19.已知角α的终边上有一点P，OP=3√10，且tanα=−13(π2<α<π)，求点P的坐标．20.已知锐角α，β，且tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α；(2) tan(2α−β)．21.已知等腰三角形底角的正弦值为45，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值．22.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素β：(1) 60∘；(2) −75∘；(3) −824∘30ʹ；(4) 475∘；(5) 90∘；(6) 270∘；(7) 180∘；(8) 0∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】两角和与差的正切3. 【答案】C【解析】由图可知 −3+k =2，所以 k =5， 所以 y =3sin (π6x +φ)+5，所以 y max =3+5=8． 【知识点】三角函数模型的应用4. 【答案】B【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)， f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12 时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1， φ−π6=π2或32π， φ=23π或53π， 而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π，cosφ=√a 2+3=cos 53π，解得 a =1，f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2， 最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T2=2π2ω=π2， 于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2． 综上，选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−2tan2θ【解析】sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ=sinθ−sin2θ−sinθ−sin2θ1−sin2θ=−2sin2θcos2θ=−2tan2θ.【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−8【解析】P(4,y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ=√16+y2，又sinθ=−2√55，所以√16+y2=−2√55，解得y=−8．【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】π6；2π3；−π3；−π6；−10π9；π；3π4；−5π12；3π2；0【知识点】弧度制15. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线， 设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ， 则 PD =20cosθsinθ km ，又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ)km ，则 y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ),设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2，则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】 y =2sin(2x +π3)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 sin 2α+cos 2α=1，cosα=−13， 所以 sin 2α=89， 又因为 α∈(0,π)， 所以 sinα=2√23．又因为 cos (π4−α)=cos π4cosα+sin π4sinα=√22⋅(−13)+√22⋅2√23=4−√26．(2) 因为 sinα=2√23，cosα=−13，所以 sin2α=2sinα⋅cosα=−4√29，cos2α=cos 2α−sin 2α=−79， sin (2π3+2α)=sin2π3⋅cos2α+cos2π3⋅sin2α=√32⋅−79+−12⋅−4√29=4√2−7√318． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦、两角和与差的正弦18. 【答案】(1) 根据对数有意义，得 1−cos2x >0， 所以 cos2x ≠1，x ≠kπ(k ∈Z ) 定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有 f (−x )=f (x )，lg [1−cos2(−x )]+cos (−x +θ)=log (1−cos2x )+cos (x +θ)cos (−x +θ)=cos (x +θ)， 展开整理得 2sinxsinθ=0 对一切 x ≠kπ(k ∈Z ) 恒成立， 因为 θ∈[0,π2)， 所以 θ=0，当函数是奇函数，那么任意定义域内 x 0 有 f (x 0)+f (−x 0)=0， 例如 x 0=π4，f (π4)+f (−π4)=0，f (−π4)=lg (1−cos (−π2))+cos (−π4+θ)=cos (−π4+θ)，f (π4)=lg (1−cos π2)+cos (π4+θ)=cos (π4+θ)，f (π4)+f (−π4)=0，推得 cosθ=0，显然这样 θ∈(0,π2) 是不存在的， 所以当 θ∈(0,π2) 时既不是奇函数又不是偶函数，说明假命题只能举反例．(2) f (π4+x)−f (3π4−x)<0 代入得 lg [1−cos2(π4+x)]+cos (π4+x +θ)−lg [1−cos2(3π4−x)]−cos (3π4−x +θ)<0，lg (1+sin2x )+cos (π4+x +θ)−lg (1+sin2x )−cos (3π4−x +θ)<0，化简 cos (π4+x −θ)+cos (π4+x +θ)<0，展开整理得 2cos (x +π4)cosθ<0， 因为 θ∈(0,π2)，所以 cosθ>0， 所以 cos (x +π4)<0，所以 { cos (x +π4)<0,π4+x ≠k 1π,3π4−x ≠k 2π, k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以不等式解集为 (2mπ+π4,2mπ+3π4)∪(2mπ+3π4,2mπ+5π4)，m ∈Z ．【知识点】函数的奇偶性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】设点 P 的坐标为 (x,y )．因为π2<α<π，所以 x <0，y >0．由题意，得 {x 2+y 2=(3√10)2,y x=−13,x <0,y >0.解方程组，得 x =−9，y =3，即点 P 的坐标为 (−9,3)．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】(1) 因为 tanα=2， 所以 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】设底角为 B ，顶角为 A ，则 A =π−2B ，而 sinB =45，则 sinA =sin (π−2B )=sin2B =2425，cosA =725，tanA =247．【知识点】二倍角公式22. 【答案】(1) {β∣ β=60∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−300∘，60∘．(2) {β∣ β=−75∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−75∘，285∘．(3) {β∣β=−824∘30ʹ+k ⋅360∘,k ∈Z )，−104∘30ʹ，255∘30ʹ．(4) {β∣ β=475∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−245∘，115∘．(5) {β∣ β=90∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−270∘，90∘．(6) {β∣ β=270∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−90∘，270∘．(7) {β∣ β=180∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−180∘，180∘．(8) {β∣ β=k ⋅360∘,k ∈Z }，−360∘，0∘．【知识点】任意角的概念。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(41)
人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 将函数 f (x )=sin2xcosθ+2cos 2xsinθ−sinθ(−π2<θ<π2) 的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位长度后得到函数 g (x ) 的图象，若 f (x )，g (x ) 的图象都经过点 P (0,√32)，则 φ 的值可以是( ) A ．5π3B ．5π6C ． π2D ． π62. 已知 cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ=45，α 是第四象限角，则 tan (α−π4) 等于 ( )A ． −7B ． −17C ． 17D ． 73. 已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)（其中 A >0，ω>0，∣φ∣<π）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是 ( )A ． f (x )=2sin (2x +π6) B ．函数 f (x ) 的最小正周期为 πC ．函数 f (x ) 的图象关于点 (−π12,0) 对称D．函数f(x)的图象关于x=π2直线对称4.cos24∘cos36∘−sin24∘sin36∘的值为( )A．0B．12C．√32D．−125.cos20∘+cos60∘+cos100∘+cos140∘的值为( )A．−12B．12C．√32D．√226.已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=( )A．−2√55B．2√55C．−√55D．√557.函数y=cos(k4x+π3)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )A．10B．11C．12D．138.设函数f(x)=12sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω>0，∣φ∣<π．若f(5π8)=12，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )A．ω=13，φ=−11π24B．ω=23，φ=π12C．ω=13，φ=7π24D．ω=23，φ=−11π129.已知sinα+cosα=−3√55，则sin2α的值为( )A．−25B．25C．−45D．4510.若一弓形的弧所对的圆心角是π3，弓形的弦长是2cm，则弓形的面积是( )A．(2π3−√3)cm2B．(4π3−√3)cm2C．(2π3−√32)cm2D．(π3−√32)cm2二、填空题（共6题）11. 已知 α 为第四象限角，那么 α2的终边在 ；α3的终边在 ；2α 的终边在 ．12. 函数 y =3−2cos (x +π4) 的最大值为 ，此时 x = ．13. 函数 f (x )=∣∣∣cosx−sinx cosx cosx ∣∣∣的图象相邻的两对称轴之间的距离是 ．14. 如图，A ，B 为某市的两个旅游中心，海岸线 l 可看做一条直线，且与 AB 所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以 AB 为直径的半圆上选定一点 P ，修建 PA ，PB ，PQ 三段公路，其中 PQ ⊥l ，AB =20 km ，两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，公路 PA 和 PB 段的造价均为 6 千万元/km ，公路 PQ 段的造价为 5 千万元/km ，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为 千万．15. 若函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 的最小正周期为 π，将 y =f (x ) 的图象向左平移 π6 个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值为 ．16. 函数 y =tan2x 的最小正周期为 ．三、解答题（共6题） 17. 已知函数 f (x )=(1+1tanx)sin 2x −2sin (x +π4)⋅sin (x −π4)． (1) 若 tanα=2，求 f (α) 的值． (2) 若 x ∈[π12,π2)，求函数 f (x ) 的值域．18. 判断下列函数的奇偶性．(1) y =−2sin2x ； (2) y =∣sinx∣；(3) y =3cosx +1； (4) y =tanx −1．19. 已知函数 f (x )=−x 2+mx +1，g (x )=2sin (ωx +π6)．(1) 若函数 y =f (x )+2x 为偶函数，求实数 m 的值；(2) 若 ω>0，g (x )≤g (2π3)，且函数 g (x ) 在 [0,π2] 上是单调函数，求实数 ω 的值； (3) 若 ω=1，若当 x 1∈[1,2] 时，总有 x 2∈[0,π]，使得 g (x 2)=f (x 1)，求实数 m 的取值范围．20. 已知 tanα，tanβ 是方程 x 2−3x −3=0 的两个实数根，求 sin (2α+2β) 的值．21. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 的一段图象如图所示．(1) 求 f (x ) 的解析式．(2) 求 f (x ) 的单调增区间，并指出 f (x ) 的最大值及取到最大值时 x 的集合． (3) 把 f (x ) 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．22. 已知 cosα=−13，α∈(π2,π)．(1) 求 sinα，tanα 的值； (2) 求 sin2α 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】易得f (x )=sin2xcosθ+2cos 2xsinθ−sinθ=sin2xcosθ+cos2xsinθ=sin (2x +θ), 因为函数 f (x ) 的图象过点 P (0,√32)，−π2<θ<π2，所以 θ=π3，所以 f (x )=sin (2x +π3)．根据題意，得 ⋅g (x )=sin [2(x −φ)+π3]， 所以 sin (π3−2φ)=√32， 所以 φ 可以为5π6．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】A【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦3. 【答案】D【解析】由题意 A =2，最小正周期为 T =4×(2π3−5π12)=π，B 正确； 所以 ω=2ππ=2，又 2sin (2×2π3+φ)=−2，φ+4π3=2kπ+3π2,k ∈Z ，又 ∣φ∣<π，所以 φ=π6，所以 f (x )=2sin (2x +π6)，A 正确； f (−π12)=2sin [2×(−π12)+π6]=0，所以 (−π12,0) 是 f (x ) 的一个对称中心，C 正确．f(π2)=2sin(2×π2+π6)=−1≠±2，D错．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【知识点】两角和与差的余弦5. 【答案】B【解析】原式=(cos20∘+cos140∘)+cos100∘+cos60∘=2cos80∘cos60∘+cos100∘+cos60∘=cos80∘−cos80∘+cos60∘=12.【知识点】积化和差与和差化积公式6. 【答案】D【解析】因为α∈(π4,π)，若sin2α=45=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1，所以tanα=2或tanα=12（不合题意，舍去），故α∈(π4,π2)，则cosα=1secα=√1+tan2α=√55．故选D．【知识点】二倍角公式7. 【答案】D【解析】T=2πk4=8πk≤2，所以k≥4π，又k∈N∗，所以k最小为13．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【知识点】二倍角公式10. 【答案】A【解析】由已知得弓形弧所对应的扇形的半径为2cm，则S扇=12×π3×22=2π3(cm2)，故S弓=2π3−√3×2×12=(2π3−√3)(cm2)．【知识点】弧度制二、填空题（共6题）11. 【答案】第二或第四象限；第二、第三或第四象限；第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上【解析】由于α为第四象限角，所以270∘+k⋅360∘<α<360∘+k⋅360∘(k∈Z)．（1）135∘+k⋅180∘<α2<180∘+k⋅180∘(k∈Z)，当k=2n时，135∘+2n⋅180∘<α2<180∘+2n⋅180∘(n∈Z)，α2的终边在第二象限．当k=2n+1时，135∘+(2n+1)⋅180∘<α2<180∘+(2n+1)⋅180∘(n∈Z)，即315∘+2n⋅180∘<α2<360∘+2n⋅180∘(n∈Z)，α2的终边在第四象限．所以α2的终边在第二或第四象限．（2）90∘+k⋅120∘<α3<120∘+k⋅120∘(k∈Z)，当k=3n时，90∘+n⋅360∘<α3<120∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第二象限．当k=3n+1时，210∘+n⋅360∘<α3<240∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第三象限．当k=3n+2时，330∘+n⋅360∘<α3<360∘+n⋅360∘(n∈Z)，α3的终边在第四象限．所以α3的终边在第二、第三或第四象限．（3）540∘+2k⋅360∘<2α<720∘+2k⋅360∘(k∈Z)，180∘+(2k+1)⋅360∘<2α<360∘+(2k+1)⋅360∘(k∈Z)，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上．【知识点】任意角的概念12. 【答案】5；3π4+2kπ(k∈Z)【解析】函数y=3−2cos(x+π4)的最大值为3+2=5，此时x+π4=π+2kπ，k∈Z，即x=3π4+2kπ(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 π2【解析】函数f (x )=∣∣∣cosx −sinx cosx cosx ∣∣∣=cos 2x +sinxcosx=cos2x+12+sin2x2=√22sin (2x +π4)+12,所以函数的最小正周期为 π， 所以函数 f (x )=∣∣∣cosx−sinx cosx cosx ∣∣∣的图象相邻的两对称轴之间的距离是 π2．【知识点】二阶行列式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线，设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ，则 PD =20cosθsinθ km ， 又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ) km ，则 y =6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ)， 设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2， 则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222． 【知识点】三角函数模型的应用15. 【答案】 π6【解析】因为函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 的最小正周期为 π， 所以 ω=2，所以 f (x )=sin (2x +φ)，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位后，可得y=sin(2x+π3+φ)的图象，因为所得图象关于y轴对称，所以π3+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ+π6，k∈Z，所以φ的最小正值为π6．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换16. 【答案】π2【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+π4)cos(x+π4)=1−cos2x2+12sin2x+sin(2x+π2)=12+12(sin2x−cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2，得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45，cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=−35．所以f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35．(2) 由（1），得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=√22sin(2x+π4)+12．由x∈[π12,π2)，得2x+π4∈[5π12,5π4)，所以−√22<sin(2x+π4)≤1，所以0<f(x)≤√2+12，所以函数f(x)的值域是(0,√2+12]．【知识点】二倍角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 奇函数． (2) 偶函数． (3) 偶函数． (4) 非奇非偶函数．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正切函数的性质、正弦函数的性质、余弦函数的性质19. 【答案】(1) 设 ℎ(x )=f (x )+2x ，则 ℎ(x )=−x 2+(m +2)x +1 由于 ℎ(x ) 是偶函数，所以对任意 x ∈R ，ℎ(−x )=ℎ(x ) 成立． 即 −(−x )2+(m +2)(−x )+1=−x 2+(m +2)x +1 恒成立． 即 2(m +2)x =0 恒成立，所以 m +2=0，解得 m =−2． 所以所求实数 m 的值是 m =−2．(2) 由 g (x )≤g (2π3) 得2π3⋅ω+π6=2kπ+π2，k ∈Z ，即 ω=3k +12(k ∈Z )．当 x ∈[0,π2] 时，ωx +π6∈[π6,ωπ2+π6](ω>0)，因为 y =sinx 在区间 [π6,π2] 的单调递增，所以 ωπ2+π6≤π2，再由题设得 0<ω<23，所以 ω=12．(3) 设函数 f (x ) 在 [1,2] 上的值域为 A ，g (x ) 在 [0,π] 上的值域为 B ， 由题意和子集的定义，得 A ⊆B ． 当 x ∈[0,π] 时，x +π6∈[π6,7π6]，g (x )∈[−1,2]．所以当 x ∈[1,2] 时，不等式 −1≤−x 2+mx +1≤2 恒成立． 由 m ≤x +1x ，x ∈[1,2] 恒成立，得 m ≤2； 由 m ≥x −2x ，x ∈[1,2] 恒成立，得 m ≥1．综上，实数 m 的取值范围为 [1,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的奇偶性20. 【答案】 2425．【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】(1) 由函数的图象可得 A =3，34T =34×2πω=4π−π4，解得 ω=25， 再根据五点法作图可得 25×π4+φ=2kπ，k ∈Z ，由 ∣φ∣<π2，则令 k =0，所以 φ=−π10，所以 f (x )=3sin (25x −π10)．(2) 令 2kπ−π2≤25x −π10≤2kπ+π2，k ∈Z ， 求得 5kπ−π≤x ≤5kπ+3π2，故函数的增区间 [5kπ−π,5kπ+3π2]，k ∈Z ， 函数的最大值为 3，此时，25x −π10=2kπ+π2，即 x =5kπ+3π2，k ∈Z ，即 f (x ) 的最大值为 3，及取到最大值时 x 的集合为 {x ∣∣ x =5kπ+3π2,k ∈Z}． (3) 设把 f (x )=3sin (25x −π10) 的图象向左少平移 m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数，则由 25(x +m )−π10=25x +π2，求得 m =32π， 把函数 f (x )=3sin (25x −π10) 的图象向左平移 32π 个单位，可得 y =3sin (25x +π2)=3cos 25x 的图象．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 因为 cosα=−13，且 α∈(π2,π)， 所以 sinα=√1−cos 2α=2√23， tanα=sinαcosα=2√23−13=−2√2；(2) sin2α=2sinαcosα=2×2√23×(−13)=−4√29．【知识点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(7)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为C，下列结论中正确的是( ) A．函数f(x)的最小正周期是2πB．函数f(x)在区间(−π12,π2)上是增函数C．图象C可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π3个单位得到D．图象C关于点(π6,0)对称2.cos330∘=( )A．12B．−12C．√32D．−√323.把−11π4表示成θ+2kπ（k∈Z）的形式，使∣θ∣最小的θ的值是( )A．−3π4B．−π4C．π4D．3π44.已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα=35，那么cos2β的值为( )A．725B．1825C．−725D．−18255.把−1125∘化为2kπ+α(k∈Z，0≤α<2π)的形式是()A．−6π−π4B．−6π+7π4C．−8π−π4D．−8π+7π46.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间t（秒）满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2，则( )A．ω=152π，A=3B．ω=2π15，A=3C．ω=2π15，A=5D．ω=152π，A=57.sin215∘−cos215∘=( )A．12B．√32C．−√32D．−128.已知集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5}，则A∩B为( )A．{1,2,3,4,5}B．{1,3,5} C．{1,4}D．{1,3}9.已知cos(α−π6)+sinα=4√35，则sin(α+7π6)的值是( )A．−2√35B．2√35C．45D．−4510.cos480∘等于( )A．−12B．12C．−√32D．√32二、填空题（共6题）11.tan20∘+4sin20∘=．12.若角α的终边过点(−1,2)，则tanα=．13.∣∣∣cos20∘sin20∘−cos70∘sin70∘∣∣∣=．14.关于函数y=tan x2的说法正确的是．（填所有正确答案的序号）①在(0,π2)上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为{x∣ x≠π4+kπ2,k∈Z}．15.若cos(π6−α)=√33，则cos(5π6+α)=．16.如果α∈(π2,π)，且sinα=45，那么sin(α+π4)+cos(α+π4)=．三、解答题（共6题）17.化简．(1) 2cos2θ−11−2sin2θ；(2) sinαcosα(tanα+1tanα)．18.指出下列各角终边所在的象限：(1) 825∘；(2) −1630∘；(3) 1170∘．19.角α终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称（a≠0，b≠0），角β终边上的点Q与点A关于直线y=x对称，求sinαcosβ+tanαtanβ+1cosαsinβ的值．20.求函数y=tan3x的定义域．21.用弧度表示终边落在阴影部分内（包括边界）的角θ的集合．22.已知函数f(x)=sin(π4+x)⋅sin(π4−x)．(1) 求f(x)的单调递减区间；(2) 设α是锐角，且sin(α−π4)=12，求f(α)的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】根据函数 f (x )=sin (2x −π3) 的周期为2π2=π，可得A 错误；在区间 (−π12,π2) 上，2x −π3∈(−π2,2π3)，故 f (x ) 没有单调性，故B 错误；把函数 g (x )=sin2x 的图象向右平移 π3 个单位，可得 y =sin (2x −2π3) 的图象，故C 错误；令 x =π6，可得 f (x )=sin (2x −π3)=0，图象 C 关于点 (π6,0) 对称，故D 正确． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】C【解析】 cos330∘=cos (360∘−30∘)=cos (−30∘)=cos30∘=√32，故选：C ． 【知识点】诱导公式3. 【答案】A【解析】因为 −11π4=−2π−3π4，所以 −11π4与 −3π4是终边相同的角，且此时 ∣∣−3π4∣∣=3π4是最小的．【知识点】弧度制4. 【答案】A【解析】由已知条件得 sin [(α−β)−α]=35，所以 sinβ=−35，所以 cos2β=1−2sin 2β=1−2×925=725．【知识点】二倍角公式5. 【答案】D【解析】【分析】根据角的性质2k π+α直接化解即可． 【解析】解：∵−1125∘=−3×2π−π4 =−4×2π+7π4=−8π+7π4故选：D．【点评】考查了角的性质，属于基础题．【知识点】弧度制6. 【答案】B【解析】由题意知A=3，ω=2π×460=2π15．【知识点】三角函数模型的应用7. 【答案】C【知识点】二倍角公式8. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【解析】由cos(α−π6)+sinα=4√35，可得√32cosα+12sinα+sinα=4√35，即32sinα+√32cosα=4√35，所以√3sin(α+π6)=4√35，sin(α+π6)=45，所以sin(α+7π6)=−sin(α+π6)=−45．【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦10. 【答案】A【解析】由诱导公式得cos480∘=cos(540∘−60∘)=cos(180∘−60∘)=−cos60∘=−12．【知识点】诱导公式二、填空题（共6题）11. 【答案】√3【解析】原式=sin20∘cos20∘+4sin20∘=sin20∘+2sin40∘cos20∘=sin20∘+2sin(60∘−20∘)cos20∘=sin20∘+√3cos20∘−sin20∘cos20∘=√3cos20∘cos20∘=√3.【知识点】两角和与差的正弦12. 【答案】−2【解析】根据正切函数定义：tanα=2−1=−2．【知识点】任意角的三角函数定义13. 【答案】1【知识点】二阶行列式、两角和与差的正弦14. 【答案】①②【解析】令x∈(0,π2)，则x2∈(0,π4)，所以y=tan x2在(0,π2)上单调递增，①正确；tan(−x2)=−tan x2，故y=tan x2为奇函数，②正确；T=πω=2π，③不正确；由x2≠π2+kπ，k∈Z，得x≠π+2kπ，k∈Z，④不正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】−√33【知识点】诱导公式16. 【答案】−3√25【知识点】两角和与差的余弦、两角和与差的正弦三、解答题（共6题）17. 【答案】(1)2cos2θ−11−2sin2θ=2(1−sin2α)−11−2sin2α=1−2sin2α1−2sin2α= 1.(2)sinαcosα(tanα+1tanα)=sinαcosαtanα+sinαcosαcosαsinα=sin2α+cos2α= 1.【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】(1) 825∘=360∘×2+105∘，故825∘与105∘的终边相同，即825∘的终边在第二象限．(2) −1630∘=360∘×(−5)+170∘，故−1630∘与170∘的终边相同，即−1630∘的终边在第二象限．(3) 1170∘=360∘×3+90∘，故1170∘与90∘的终边相同，即1170∘的终边在y轴的正半轴，不属于任何象限．【知识点】任意角的概念19. 【答案】P(a,−b)，Q(b,a)，则sinα=√a2+b2，cosα=√a2+b2，tanα=−ba，sinβ=√a2+b2，cosβ=√a2+b2，tanβ=ab，代入得原式=0．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】{x≠π6+kπ3,k∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】如题图，330∘角的终边与−30∘角的终边相同，将−30∘化为弧度，即−π6，而75∘=75×π180=5π12，所以终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合为{θ∣∣2kπ−π6≤θ≤2kπ+5π12,k∈Z}．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)=sin(π4+x)cos(π4+x)=12sin(π2+2x)=12cos2x.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)得kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+π2](k∈Z)．(2) 因为α是锐角，且sin(α−π4)=12，所以α−π4=π6，所以α=5π12，所以f(α)=12cos2α=12cos5π6=−√34．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(33)
人教A 版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=sin (2x −π3) 与 g (x )=cos (x +π4) 都在区间 (a,b )(0<a <b <π) 上单调递减，则 b −a 的最大值为 ( ) A ． π6B ． π3C ． π2D ． 5π122. 函数 y =log 12sin (2x +π4) 的单调递减区间为 ( )A ． (kπ−3π8,kπ+π8](k ∈Z )B ． (kπ+π8,kπ+3π8](k ∈Z )C ． (kπ−π4,kπ](k ∈Z ) D ． (kπ−π8,kπ+π8](k ∈Z )3. 已知 sinφ=−35，且 ∣φ∣<π2，则 tanφ= ( ) A ． −43B ． 43C ． −34D ． 344. 已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0) 的图象与直线 y =b (0<b <A ) 的三个相邻交点的横坐标依次是 1，2，4，下列区间是函数 f (x ) 单调递增区间的是 ( ) A ． [0,3]B ． [32,3]C ． [3,6]D ． [3,92]5. 已知函数 f (x )=sin (2x +3π2)(x ∈R )，下列结论错误的是 ( )A ．函数 f (x ) 的最小正周期为 πB ．函数 f (x ) 是偶函数C ．函数 f (x ) 的图象关于直线 x =π4 对称D ．函数 f (x ) 在区间 [0,π2] 上单调递增6. 已知 32π<α<2π，cot (π2+α)=34，则 cos (α−34π) 的值是 ( ) A ． √210B ． −√210C ． 710√2D ． −710√27. 若将函数 y =2sin2x 的图象向左平移 π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 ( )A ． x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ． x =kπ2+π6(k ∈Z ) C ． x =kπ2−π12(k ∈Z ) D ． x =kπ2+π12(k ∈Z )8. 使函数 f (x )=sin (2x +φ)+√3cos (2x +φ) 为奇函数，且在 [0,π4] 上是减函数的 φ 的一个值是 ( ) A ． π3B ．2π3C ．4π3D ．5π39. 要得到函数 y =2sin2x 的图象，只需把函数 y =4sin (x +π6)cos (x +π6) 的图象 ( )A ．向左平移 π3 个单位 B ．向右平移 π3 个单位 C ．向左平移 π6 个单位D ．向右平移 π6 个单位10. 已知定义在 R 上的函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣≤π2) 在 [1,2] 上有且仅有 3 个零点，其图象关于点 (14,0) 和直线 x =−14对称，给出下列结论：① f (12)=√22； ②函数 f (x ) 在 [0,1] 上有且仅有 3 个极值点； ③函数 f (x ) 在 (−32,−54) 上单调递增； ④函数 f (x ) 的最小正周期是 2． 其中所有正确结论的编号是 ( ) A ．②③ B ．①④ C ．②③④ D ．①②二、填空题（共6题）11.已知函数f(x)=5sin(2x−π4)(x∈R)，对于下列说法：①要得到g(x)=5sin2x的图象，只需将f(x)的图象向左平移π4个单位长度即可；② y=f(x)的图象关于直线x=38π对称；③ y=f(x)在[−π,π]内的单调递减区间为[3π8,7π8]；④ y=f(x+5π8)为奇函数．则上述说法正确的是（填入所有正确说法的序号）．12.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．13.若实数x，y满足2cos2(x+y−1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，则xy的最小值为．14.设α为第二象限角，若sinα+cosα=√33，则cos2α=．15.在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图象，以下两个结论是正确的：①偶函数f(x)在区间[a,b]（a<b）上的取值范围与在区间[−b,−a]上的取值范围是相同的；②周期函数f(x)在一个周期内的取值范围也就是f(x)在定义域上的值域，由此可求函g(x)=2∣sinx∣+19∣cosx∣的值域为．16.设函数f(x)=3sin(ωx+π6)，ω>0，x∈(−∞,+∞)，且以π2为最小正周期．若f(α4+π12)=95，则sinα的值为．三、解答题（共6题）17.对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f(x)单调递增，f(0)=0，f(T)=4π．(1) 验证ℎ(x)=x+sin x3是以6π为余弦周期的余弦周期函数；(2) 设a<b，证明对任意c∈[f(a),f(b)]，存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=c；(3) 证明：“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解”的充要条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在[T,2T]上的解”，并证明对任意x∈[0,T]都有f(x+T)=f(x)+f(T)．18.已知sinα+cosα=15(0<α<π)，求：(1) sinα−cosα．(2) tanα．(3) sin3α−cos3α．19.一个函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．(1) 判断f1(x)=√x，f2(x)=x，f3(x)=x2中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；(2) 如果g(x)是定义在R上的周期函数，且值域为(0,+∞)，证明g(x)不是“三角形函数”；(3) 若函数F(x)=sinx，x∈(0,A)是“三角形函数”，求A的最大值．（可以利用公式sinx+siny=2sin x+y2cos x−y2）20.已知函数f(x)=√2cos(x+π4)，x∈R．(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域；(2) 若θ∈(0,π2)，且f(θ)=12，求sin2θ的值．21.已知二次函数f(x)=ax2+x．(1) 若f(sinx)(x∈R)的最大值为54，求实数a的值；(2) 对于任意的x∈R，总有∣f(sinxcosx)∣≤1．求实数a的取值范围．22.求下列函数的单调递减区间．(1) y=sinx+√3cosx；(2) y=2cos(π4−x)；(3) y=2cos2x−2√3sinxcosx．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】对于函数f(x)，令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则5π12≤x≤11π12；对于函数g(x)，令2kπ≤x+π4≤π+2kπ(k∈Z)，解得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则0<x≤3π4.易得当函数f(x)与g(x)均在区间(a,b)（0<a<b<π）上单调递减时，b的最大值为3π4，a的最小值为5π12，所以b−a的最大值为3π4−5π12=π3.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】D【解析】函数y=log12sin(2x+π4)的单调递减区间满足：{sin(2x+π4)>0,2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,则2kπ<2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，据此可得：kπ−π8<x≤kπ+π8(k∈Z)，故函数y=log12sin(2x+π4)的单调递减区间为(kπ−π8,kπ+π8](k∈Z)．【知识点】函数的单调性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】C【解析】因为∣φ∣<π2，所以cosφ>0．因为sinφ=−35，所以cosφ=√1−sin2φ=45，则tanφ=sinφcosφ=−34．故选C．【知识点】同角三角函数的基本关系4. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】C【解析】函数f(x)的最小正周期T=2πω=2π2=π，A正确；f(x)=sin(2x+3π2)=−cos2x，易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)=−cos2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x=π4不对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在[0,π2]上单调递增，D正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【知识点】两角和与差的余弦7. 【答案】B【解析】将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π6)，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)得：x=kπ2+π6(k∈Z)，即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π3)，由于f(x)是奇函数，所以 φ+π3=kπ(k ∈Z )，由于 [0,π4] 上是减函数，所以 φ+π3=π 时 f (x )=−2sin2x 满足条件，所以 φ=2π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】A【解析】曲线关于点 (−14,0) 对称，所以：14ω+φ=k 1π，k 1∈Z, ⋯⋯①又因为其图象关于直线 x =14对称，所以：−14ω+φ=k 2π+π2，k 2∈Z, ⋯⋯②由 ①② 可得：ω=[2(k 1−k 2)−1]=π，即 ω=(2n −1)π，n ∈Z, ⋯⋯③ 因为数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣≤π2) 在 [1,2] 上有且仅有 3 个零点， 所以2πω≤2−1<4πω(ω>0)，即 2π≤ω<4π, ⋯⋯④由 ③④ 可得 ω=3π； 因为 f (14)=0， 所以3π4+φ=kπ，又 ∣φ∣≤π2， 所以 φ=π4，所以 f (x )=sin (3πx +π4)，所以易知 f (12)=−√22，所以①错误； 令 3πx 0+π4=π2+kπ，则 x 0=k3+112(k ∈Z )， 令 0≤k3+112≤1，则可取 k =0,1,2，所以x0=112,512,34，所以②正确；令−π2+2kπ≤3πx+π4≤π2+2kπ⇒−14+23k≤x≤112+23k，k∈Z，当k=−2时，[−1912,−54]为f(x)的一个递增区间，而(−32,−54)⫋[−1912,−54]，所以f(x)在(−32,−54)上单调递增，③正确；因为f(x)=sin(3πx+π4)，所以T=2π3π=23，④错误．综上所述，其中正确的结论为②③．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】②④【解析】①要得到g(x)=5sin2x的图象，应将f(x)=5sin(2x−π4)=5sin[2(x−π8)]的图象向左平移π8个单位长度，所以该说法错误．②令2x−π4=π2+kx，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，所以直线x=3π8是图象y=f(x)的一条对称轴，该说法正确．③令π2+2kπ≤2x−π4≤3π2+2kx，k∈Z，解得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ，k∈Z，因为x∈[−π,π]，所以f(x)在定义域内的单调递减区间为[3π8,7π8]和[−5π8,−π8]，所以该说法错误．④ y=f(x+5π8)=5sin[2(x+5π8)−π4]=−5sin2x是奇函数，所以该说法正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】2π3【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换13. 【答案】14【解析】因为 2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1， 所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故 2cos 2(x +y −1)=(x−y+1)2+1x−y+1=(x −y +1)+1x−y+1，由基本不等式可得 (x −y +1)+1x−y+1≥2，或 (x −y +1)+1x−y+1≤−2，所以 2cos 2(x +y −1)≥2，由三角函数的有界性可得 2cos 2(x +y −1)=2， 故 cos 2(x +y −1)=1，即 cos (x +y −1)=±1，此时 x −y +1=1，即 x =y ． 所以 x +y −1=kπ，k ∈Z ，故 x +y =2x =kπ+1，解得 x =kπ+12，故 xy =x ⋅x =(kπ+12)2，当 k =0 时，xy 的最小值 14．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、均值不等式的应用14. 【答案】 −√53【知识点】二倍角公式15. 【答案】 [2,√365]【解析】因为 g (x )=2∣sinx ∣+19∣cosx ∣ 的周期为 π，且为偶函数，则由题意可得：g (x )=2∣sinx ∣+19∣cosx ∣ 的值域即为 ℎ(x )=2sinx +19cosx ，x ∈[0,π2] 的值域， 又 ℎ(x )=2sinx +19cosx =√365sin (x +φ)，(sinφ=√365cosφ=√365)，又因为 x ∈[0,π2]， 所以 x +φ∈[φ,π2+φ]， 则当 sin (x +φ)=1 时，函数 ℎ(x ) 取最大值 √365，又 √365sinφ=√365√365=19，√365sin (π2+φ)=√365cosφ=√365√365=2，则函数 ℎ(x ) 最小值为 2， 即函数 ℎ(x ) 的值域为 [2,√365]，即函数 g (x )=2∣sinx ∣+19∣cosx ∣ 的值域为 [2,√365]， 故答案为：[2,√365]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】±45【解析】因为f(x)的最小正周期为π2，ω>0，所以ω=2ππ2=4，所以f(x)=3sin(4x+π6)，由f(α4+π12)=3sin(α+π3+π6)=3cosα=95，所以cosα=35，所以sinα=±√1−cos2α=±45．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 易见ℎ(x)=x+sin x3的定义域为R，对任意x∈R，ℎ(x+6π)=x+6π+sin x+6π3=h(x)+6π，所以cosℎ(x+6π)=cos(ℎ(x)+6π)=cosℎ(x)，即ℎ(x)是以6π为余弦周期的余弦周期函数．(2) 由于f(x)的值域为R，所以对任意c∈[f(a),f(b)]，c都是一个函数值，即有x0∈R，使得f(x0)=c．若x0<a，则由f(x)单调递增得到c=f(x0)<f(a)，与c∈[f(a),f(b)]矛盾，所以x0≥a．同理可证x0≤b．故存在x0∈[a,b]使得f(x0)=c．(3) 若u0为cosf(x)=1在[0,T]上的解，则cosf(u0)=1，且u0+T∈[T,2T]，cosf(u0+T)=cosf(u0)=1，即u0+T为方程cosf(x)=1在[T,2T]上的解．同理，若u0+T为方程cosf(x)=1在[T,2T]上的解，则u0为该方程在[0,T]上的解．以下证明最后一部分结论．由（2）所证知存在0=x0<x1<x2<x3<x4=T，使得f(x i)=iπ，i=0,1,2,3,4．而[x i,x i+1]是函数cosf(x)的单调区间，i=0,1,2,3．与之前类似地可以证明：u0是cosf(x)=−1在[0,T]上的解当且仅当u0+T是cosf(x)=−1在[T,2T]上的解．从而cosf(x)=±1在[0,T]与[T,2T]上的解的个数相同．故 f (x i +T )=f (x i )+4π，i =0,1,2,3,4．对于 x ∈[0,x i ]，f (x )∈[0,π]，f (x +T )∈[4π,5π]，而 cosf (x +T )=cosf (x )，故 f (x +T )=f (x )+4π=f (x )+f (T )． 类似地，当 x ∈[x i ,x i+1]，i =1,2,3 时，有 f (x +T )=f (x )+f (T )． 结论成立．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】(1) 因为 sinα+cosα=15，所以两边平方，得 2sinαcosα=−2425， (sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925，又 sinα+cosα=15<1，0<α<π， 所以 α∈(π2,π)，所以 sinα>0，cosα<0， 所以 sinα−cosα=75．(2) 由（1）知 {sinα−cosα=75,sinα+cosα=15,解得 sinα=45，cosα=−35， 所以 tanα=−43．(3)sin 3α−cos 3α=(sinα−cosα)(sin 2α+sinαcosα+cos 2α)=75⋅(1−1225)=91125.【知识点】同角三角函数的基本关系19. 【答案】(1) f 1(x )，f 2(x ) 是“三角形函数”，f 3(x ) 不是“三角形函数”， 任给三角形，设它的三边长分别为 a ，b ，c ，则 a +b >c ， 不妨假设 a ≤c ，b ≤c ，由于 √a +√b >√a +b >√c >0， 所以 f 1(x )，f 2(x ) 是“三角形函数”，对于 f 3(x )，3，3，5 可作为一个三角形的三边长，但 32+32<52， 所以不存在以 32，32，52 为三边长，故 f 3(x ) 不是“三角形函数”．(2) 设T>0为g(x)的一个周期，由于其值域为(0,+∞)，所以，存在n>m>0，使得g(m)=1，g(n)=2，取正整数λ>n−mT，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，但g(λT+m)=1，g(λT+m)=1，g(n)=2不能作为任何一个三角形的三边长，故g(x)不是“三角形函数”．(3) A的最大值为5π6．一方面，若A>5π6，下证F(x)不是“三角形函数”．取π2,5π6,5π6∈(0,A)，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但sinπ2=1，sin5π6=12，sin5π6=12不能作为任何一个三角形的三边长，故F(x)不是“三角形函数”．另一方面，以下证明A=5π6时，F(x)是“三角形函数”．对任意三角形的三边长a，b，c，若a,b,c∈(0,5π6)，则分类讨论如下：① a+b+c≥2π，此时a≥2π−b−c>2π−5π6−5π6=π3，同理，b,c>π3，所以a,b,c∈(π3,5π6)，故sina，sinb，sinc∈(12,1]，sina+sinb>12+12=1≥sinc，同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长．② a+b+c<2π，此时，a+b2+c2≤π，可得如下两种情况：a+b 2≤π2时，由于a+b>c，所以，0<c2<a+b2≤π2，由sinx在(0,π2]上的单调性可得0<sin c2<sin a+b2≤1；a+b 2>π2时，0<c2<π−a+b2<π2，同样，由sinx在(0,π2)上的单调性可得0<sin c2<sin a+b2<1；总之，0<sin c2<sin a+b2≤1，又由∣a−b∣<c<5π6及余弦函数在(0,π)上单调递减，得cos a−b2=cos∣a−b∣2>cos c2>cos5π12>0，所以sina+sinb=2sin a+b2cos a−b2>2sin c2cos c2=sinc，同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长，故A=5π6时，F(x)是“三角形函数”．综上，A的最大值为5π6．【知识点】函数的周期性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) 因为f(x)=√2cos(x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为2π，因为x∈R，cos(x+π4)∈[−1,1]，所以√2cos(x+π4)∈[−√2,√2]，所以函数f(x)的值城为[−√2,√2]．(2) 解法1：因为f(θ)=12，所以√2cos(θ+π4)=12，所以cos(θ+π4)=√24，所以sin2θ=−cos(π2+2θ)=1−2cos2(θ+π4)=1−2×(√24)2=34．解法2：因为f(θ)=12，所以√2cos(θ+π4)=12，所以√2(cosθcosπ4−sinθsinπ4)=12，所以cosθ−sinθ=12，两边平方得cos2θ−2cosθsinθ+sin2θ=14，所以sin2θ=34．【知识点】两角和与差的正弦、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式21. 【答案】(1) 二次函数中a≠0，设s=sinx，x∈R，所以s∈[−1,1]，若f(sinx)(x∈R)的最大值为54，即关于S的二次函数g(s)=as2+s在区间上s∈[−1,1]有最大值54，由二次函数图象性质可知此最大值只能是g(−1)，g(1)，g(−12a)之一，若g(−1)=−a−1=54⇒a=−94，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=29∈[−1,1]，函数在区间上最大值在顶点处取得，不是g(−1)，不合题意；若g(1)=a+1=54⇒a=14，此时二次函数开口向上且对称轴s=−12a=−2<−1，最大值是g(1)，符合题意；若g(−12a )=54⇒a=−15，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=52∉[−1,1]，并不在顶点处有最大值，不符合题意，综上所述a=14．(2) 因为对于任意的x∈R，总有∣f(sinxcosx)∣≤1，令t=sinxcosx=12sin2x∈[−1,1]，则命题转化为∀t∈[−12,12]，不等式∣f(t)∣≤1恒成立，①当 t =0 时，f (t )=0 使 ∣f (t )∣≤1 成立； ②当 t ≠0 时，有 {a ≤1t 2−1t =(1t −12)2−14,a ≥−1t2−1t=−(1t+12)2+14.对于任意的 t ∈[−12,0)∪(0,12] 恒成立， 因为 t ∈[−12,0)∪(0,12]，所以 1t ≥2 或 1t ≤−2，则 (1t −12)2−14≥2，故要使①式成立，则有 a ≤2， 又 −(1t +12)2+14≤−2，故要使②式成立，则有 a ≥−2， 由题设知 a ≠0，综上，a ∈[−2,0)∪(0,2] 为所求．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 递减区间 [2kπ+π6,2kπ+76π]，k ∈Z ．(2) 递减区间 [2kπ+π4,2kπ+54π]，k ∈Z ． (3) 递减区间 [kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（ ）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（ ） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线 （1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角 所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解； （2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---； （2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可； （2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<； 对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<； 对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<； 对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>； 故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.sin2cos3tan4的值为( )A．0B．负数C．正数D．不存在2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)的值等于( )A．√2B．2+2√2C．√2+2D．√2−23.已知f(x)=sinx−cosx，则f(π12)的值是( )A．−√62B．12C．−√22D．√224.在直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=3x上，则sin(3π2−2θ)=( )A．45B．−45C．−35D．125.sin750∘的值为( )A．−√32B．√32C．−12D．126.若tan28∘tan32∘=m，则tan28∘+tan32∘=( )A．√3m B．√3(1−m)C．√3(m−1)D．√3(m+1)7.已知函数f(x)=cosx−∣sinx∣，那么下列命题中假命题是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)在[−π,0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在[−π,0]上是增函数8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，若f(m)≤f(x)≤f(π12)对任意实数x恒成立，且∣∣m−π12∣∣的最小值为π2，则φ等于( )A．π6B．π4C．π3D．2π39.已知sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=( )A．14B．34C．−14D．−1210.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A．[kπ−14,kπ+34]，k∈Z B．[2kπ−14,2kπ+34]，k∈ZC．[k−14,k+34]，k∈Z D．[2k−14,2k+34]，k∈Z二、填空题（共6题）11.已知ω>0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2√3，则ω=．12.若2sin(α+π6)=3cosα，则tanα=；cos2α=．13.cos(−α)tan(7π+α)sin(π+α)=．14.若函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，∣φ∣<π2，x∈R，两相邻的对称轴的距离为π2，f(π6)为最大值，则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．15.cos(−2π3)=．16.使函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称的θ=．三、解答题（共6题）17.请回答：(1) 已知θ是第四象限角，试判断tan(sinθ)⋅tan(cosθ)的符号；(2) 若sin(cosθ)⋅cos(sinθ)>0，试判断角θ的终边的位置．18.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？(1) y=∣sinx∣；(2) y=1−cos2x；(3) y=−3sin2x；(4) y=1+2tanx．19.已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α−1．20.对于集合A={θ1,θ2,⋯,θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合A 相对θ0的“余弦方差”．(1) 若集合A={π3,π4}，θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；(2) 求证：集合A={π3,2π3,π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，并求此定值；(3) 若集合A={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，求出α，β．21.已知函数y=3tan(xa −π3)+b，x∈[0,π3]是增函数，值域为[−2√3,0]，求a，b的值．22.已知函数f(x)=√2sin2x+√2cos2x，x∈R．(1) 求f(3π8)的值；(2) 求f(x)的最小正周期；(3) 求f(x)的最大值及取得最大值的x的集合．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 π2<2<3<π<4<32π， 所以 sin2>0，cos3<0，tan4>0， 所以 sin2cos3tan4<0． 【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】A【解析】由图可知 A =2，φ=2kπ，k ∈Z ，T =8，所以 2πω=8，即 ω=π4，所以 f (x )=2sin π4x ．因为周期为 8，且 f (1)+f (2)+⋯+f (8)=0，所以 f (1)+f (2)+⋯+f (2017)=f (1)=2sin π4=√2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】C【解析】因为 f (x )=sinx −cosx =√2sin (x −π4)， 所以 f (π12)=√2sin (π12−π4)=√2sin (−π6)=−√22． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为角 θ 终边落在直线 y =3x 上， 所以 tanθ=3，cos 2θ=110，所以 sin (3π2−2θ)=−cos2θ=−(2cos 2θ−1)=45．【知识点】二倍角公式5. 【答案】D【解析】 sin750∘=sin (2×360∘+30∘)=sin30∘=12． 【知识点】诱导公式6. 【答案】B【解析】tan28∘+tan32∘=tan(28∘+32∘)(1−tan28∘tan32∘) =tan60∘(1−tan28∘tan32∘)=√3(1−m).【知识点】两角和与差的正切7. 【答案】D【解析】对于A，函数f(x)=cosx−∣sinx∣，定义域为R，且满足f(−x)=cos(−x)−∣sin(−x)∣=cosx−∣sinx∣=f(x)，所以f(x)为定义域R上的偶函数，A正确；对于B，x∈[−π,0]时，sinx≤0，f(x)=cosx−∣sinx∣=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上恰有一个零点是−π4，B正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数，C正确；对于D，x∈[−π,0]时，f(x)=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上先减后增，D错误．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=sin(3π+π6−x)+sin2[−π2−(π6−x)]=−sin(π6−x)+cos2(π6−x)=−sin(π6−x)+1−sin2(π6−x)=−12+1−(12)2=14.故选：A．【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式10. 【答案】D【解析】由题图可得函数的周期为2×(54−14)=2，所以2πω=2，解得ω=π，所以f(x)=cos(πx+φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，解得φ=π4，故f(x)=cos(πx+π4)，令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，可得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[2k−14,2k+34]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】π2【解析】易知函数y=sinx和y=cosx的图象的交点坐标为(π4+2k1π,√22)，(5π4+2k2π,−√22)，k1,k2∈Z，因为ω>0，所以函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点坐标为(1ω(π4+2k1π),√2)，(1ω(5π4+2k2π),−√2)，k1,k2∈Z，取其中三点A(π4ω,√2)，B(5π4ω,−√2)，C(π4ω+2πω,√2)，从而∣AB∣2=(πω)2+(2√2)2=(πω)2+8，∣AC∣2=(2πω)2．（i）当(2πω)2≥(πω)2+8，即0<ω≤√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AB∣，依题意得(πω)2+8=(2√3)2，解得ω=π2，显然π2∈(0,√64π]，故ω=π2符合题意；（ii）当(2πω)2<(πω)2+8，即ω>√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AC∣，依题意得2πω=2√3，解得ω=√3，而√3∉(√64π,+∞)，故ω=√3不符合题意．综上所述，ω=π2．【知识点】正弦函数的图象、余弦函数的图象12. 【答案】2√33；−17【解析】因为2sin(α+π6)=3cosα，所以2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=3cosα，所以√3sinα+cosα=3cosα，所以√3sinα=2cosα，所以tanα=2√33，又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=47．所以cos2α=1−2sin2α=1−2×47=−17．【知识点】二倍角公式13. 【答案】−1【知识点】诱导公式14. 【答案】[0,π6]和[2π3,π]【解析】由已知T2=π2，解得T=π，所以ω=2，又f(π6)为最大值，可得φ=π6+2kπ，k∈Z，由∣φ∣<π2得φ=π6，所以函数f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，当k=0时，x∈[−π3,π6]，当k=1时，x∈[2π3,7π6]，所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】−12【知识点】诱导公式16. 【答案】kπ5+π10,k∈Z【解析】因为函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称，所以f(−x)=f(x)恒成立．所以3sin(−2x+5θ)=3sin(2x+5θ)，所以sin(−2x+5θ)=sin(2x+5θ)，所以−2x+5θ=2x+5θ+2kπ（舍去）或−2x+5θ+2x+5θ=2kπ+π(k∈Z)，即10θ=2kπ+π，故θ=kπ5+π10(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为θ是第四象限角，所以−1<sinθ<0，0<cosθ<1，则sinθ可看作第四象限角，cosθ可看作第一象限角，所以tan(sinθ)<0，tan(cosθ)>0，所以tan(sinθ)⋅tan(cosθ)<0．(2) 因为−π2<−1≤sinθ≤1<π2，所以cos(sinθ)>0，要使sin(cosθ)⋅cos(sinθ>0)，则必有sin(cosθ)>0，又因为−π2<−1≤cosθ≤1<π2，所以0<cosθ≤1，所以θ为第一、四象限角或角θ终边在x轴的非负半轴上．【知识点】任意角的三角函数定义18. 【答案】(1) 偶函数．(2) 偶函数．(3) 奇函数．(4) 非奇非偶函数．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】由tan2α=2tan2β+1，可得tan2β=12(tan2α−1)，即sin2βcos2β=12(sin2αcos2α−1)，故有sin2β1−sin2β=12×(sin2α1−sin2α−1)=12×2sin2α−11−sin2α.整理得sin 2β1−sin2β=sin2α−121−sin2α，即sin2β(1−sin2α)=(1−sin2β)(sin2α−12)，展开化简，得12sin2β=sin2α−12，即sin2β=2sin2α−1．【知识点】同角三角函数的基本关系20. 【答案】(1) 依题意：μ=cos2(π3−0)+cos2(π4−0)2=14+122=38．(2) 由“余弦方差”定义得：μ=cos2(π3−θ0)+cos2(2π3−θ0)+cos2(π−θ0)3，则分子=(cosπ3cosθ0+sinπ3sinθ0)2+(cos2π3cosθ0+sin2π3sinθ0)2+(cosπcosθ0+sinπsinθ0)2=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos2θ0=12cos2θ0+32sin2θ0+cos2θ0=32.所以 μ=323=12为定值，与 θ0 的取值无关．(3) μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3，分子=(cos π4cosθ0+sin π4sinθ0)2+(cosαcosθ0+sinαsinθ0)2+(cosβcosθ0+sinβsinθ0)2=(12cos 2θ0+12sin 2θ0+sinθ0cosθ0)+(cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+2sinθ0cosθ0sinαcosα)+(cos 2βcos 2θ0=(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0=1+cos2θ02(12+cos 2α+cos 2β)+1−cos2θ02(12+sin 2α+sin 2β)+12(1+sin2α+sin2β)sin2θ0=cos2θ02(cos 2α+cos 2β−sin 2α−sin 2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α=cos2θ02(cos2α+cos2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α+sin 2β)=32+12sin2θ0⋅(1+sin2α+sin2β)+12cos2θ0⋅(cos2α+cos2β).要使 μ 是一个与 θ0 无关的定值，则 {cos2α+cos2β=0,1+sin2α+sin2β=0,因为 cos2α=−cos2β，所以 2α 与 2β 终边关于 y 轴对称或关于原点对称． 又 sin2α+sin2β=−1，得 2α 与 2β 终边只能关于 y 轴对称， 所以 {sin2α=sin2β=−12,cos2α=−cos2β.又 α∈[0,π)，β∈[π,2π)， 则当 2α=76π 时，2β=236π；当 2α=116π 时，2β=196π．所以 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π． 故 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π 时，相对任何常数 θ0“余弦方差”是一个与 θ0 无关的定值．【知识点】任意角的三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数的基本关系21. 【答案】a =2，b =√3【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) f (3π8)=√2×√22−√2×√22=0.(2) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以最小正周期为T=2π2=π．(3) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以当2x+π4=2kπ+π2(k∈Z)时，即x=kπ+π8(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为2，f(x)取得最大值的x的集合为{x∣ x=kπ+π8(k∈Z)}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质11。
高一三角函数习题含答案
三角函数1.记cos(80)k-︒=,那么tan100︒=( )A.21kk-B. -21kk-C.21kk-D. -21kk-2. cos300︒=( )(A)32-(B)-12(C)12(D)33. 将函数()sin()f x xωϕ=+的图像向左平移2π个单位。
假设所得图象与原图象重合，那么ω的值不可能等于( )A.4B.6C.8D.124. 动点(),A x y在圆221x y+=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
时间0t=时，点A的坐标是13(,)2，那么当012t≤≤时，动点A的纵坐标y关于t〔单位：秒〕的函数的单调递增区间是( )A、[]0,1B、[]1,7C、[]7,12D、[]0,1和[]7,125.函数f(x)= 3sin(),24xx Rπ-∈的最小正周期为( )A.2πB.πC.2πD.4π6.函数2sin sin1y x x=+-的值域为( )A．[1,1]-B．5[,1]4--C．5[,1]4-D．5[1,]4-7.如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数sin2y x=，sin()6y xπ=+，sin()3y xπ=-的图像如下。
结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是( )8.设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，那么ω的最小值是( )〔A 〕23 (B)43 (C)32(D)39.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0〔2，-2〕，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )10.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )〔A 〕向左平移4π个长度单位 〔B 〕向右平移4π个长度单位〔C 〕向左平移2π个长度单位 〔D 〕向右平移2π个长度单位11.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得图像的函数解析式是( ) 〔A 〕sin(2)10y x π=-〔B 〕sin(2)5y x π=-〔C 〕1sin()210y x π=- 〔D 〕1sin()220y x π=-12.5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点( ) (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变13．设)(t f y =是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=14．函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的局部图象如下图，那么( )A. ω=1 ϕ=6π B. ω=1 ϕ=- 6π C.ω=2 ϕ= 6π D.ω=2 ϕ= -6π15.假设函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω= ( )A ．3B ．2C ．32 D ．2316.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．917.函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，假设()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，那么()f x 的单调递增区间是( ) 〔A 〕[,]()36k k k Z ππππ-+∈〔B 〕[,]()2k k k Z πππ+∈〔C 〕2[,]()63k k k Z ππππ++∈〔D 〕[,]()2k k k Z πππ-∈ 18.函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如下图，2()23f π=-，那么(0)f =( ) 〔A 〕23- (B) 23 (C)－12 (D) 1219.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为( ) 〔A 〕6π〔B 〕4π〔C 〕3π (D) 2π20.函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误的选项是．．．．．．( ) A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 21.a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是〔〕三角函数1.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= BA.21k k -B. -21k k- C.21k k - D. -21k k - 2. cos300︒=C (A)32-(B)-12 (C)12 (D) 310. 将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。
高一数学三角函数经典题目(含答案)
16、（1）若 ，求 ；（2）若，求的值．(3)若1tan 2α=,且04πα<<,求函数22cos ()cos sin sin f ααααα=-的最小值17（2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222sin 2ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
1．若ααα则且,0cos 02sin <>是 （ ）A ．第二象限角B ．第一或第三象限角C ．第三象限角D ．第二或第三象限角2．已知0tan .sin >θθ，那么角θ是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第一或第四象限 3.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3）7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |图4—1C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 14．函数y=2sin(2x -4π)的一个单调递减区间是 （ ）A ．]87,83[ππB ．]83,8[ππ-C ．]45,43[ππD ．]4,4[ππ- 15．函数)||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象如右，则函数的解析式是（ ） A ．)652sin(2π-=x yB ．)652sin(2π+=x y C ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y16．函数sin()y A x ω=+∅的部分图像如图所示，则其解析式可以是 （ ）A ．3sin(2)3y x π=+B ．3sin(2)3y x π=-+C ．13sin()212y x π=+D ．13sin()212y x π=-+17．函数y ＝sin （2x +3π）的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是（ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移12πD ．向右平移12π18．将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A ．))(1252sin(R x x y ∈+=πB ．))(1252sin(R x x y ∈+=πC ．))(122sin(R x x y ∈-=πD ．))(2452sin(R x x y ∈+=π14．（蒲中）已知函数f(x)=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f(x)=0有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x ∈R ，有1≤f(x)≤417，求a 的取值范围。