高三第一次合模拟考试1

高三第一次合模拟考试

理科数学答案

ABDACB BBACDC （注：11题4,e >∴D 选项也不对，此题无答案。建议：任意选项均

可给分） 13. 2; 14.

; 15.8; 16.[]1,3 17.解：（Ⅰ）证明：

1131

33()222

=-=-n n n a a a …….3分 12

11=-

=a b 31=∴+n n b b ，所以数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分

（Ⅱ）解：由（1）知，

3-=n n b ，由

1n n b m b ++≤-得13131

n n m -+≤-，即()

3331n

m +≤-，…9分设()

3331=

-n n c ，所以数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ， 1∴≥m …….12分

18解：（Ⅰ）平均数为

500.051500.12500.153500.34500.155500.26500.05370?+?+?+?+?+?+?=

………….4分

（Ⅱ）X 的所有取值为0,1,2,3,4． ……….5分

由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且

1~4,4X B ?? ???

4413()(0,1,2,3,4)44-????==?= ? ???

??k

k P X k C k

所以0

4181

(0)C (1)4

256

P X ==?-=

， 134

1110827

(1)C (1)4425664P X ==??-==， 2224

115427

(2)C ()(1)44256128P X ==?-==， 3314

11123

(3)C ()(1)4425664P X ==?-==， 4404

111

(4)C ()(1)44256

P X ==?-=．

以随机变量X 的分布列为：

0 1 2 3

4 P

81256 2764 27128 364

256

……………………….10分

所以X 的数学期望1

()414

E X =?

=．…….12分 19.（Ⅰ）证明：四边形ABCD 是菱形，

BD AC ∴⊥.

⊥AE 平面ABCD ,BD ?平面ABCD

BD AE ∴⊥. ?=AC AE A ,

BD ∴⊥平面ACFE .………….4分

（Ⅱ）解：如图以O 为原点，,OA OB 为,x y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系.则

(0,3,0),(0,3,0),(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a -->，(1,0,)=-OF a .…………6分

设平面EDB 的法向量为(,,)=n x y z ，则有

??=???=??n OB n OE ，即

y x z ?=??+=??令1z =，

(2,0,1)

=-n .…………8分

由题意o

2||2

sin 45|cos ,|2||||

?=<>==

+OF n OF n OF n a 解得3a =或13

-. 由0>a ，得3=a .…….12分

20. 解：

（Ⅰ）由题意得22222,

2122 1.a b c c

a a b

?=+?

?=???

?+=??解得 2.1,3.a b c ?=?=??

=?所以C 的方程为2214x y +=.

…….4分

（Ⅱ）存在0x .当04x =时符合题意. 当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.

设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22

(1),1.4

y k x x y =-??

?+=??

所以A x ,B x 满足2224(1)4x k x +-=,即2222

(41)8440k x k x k +-+-=.

所以222222

(8)4(41)(44)0,8,4144

.41A B A B k k k k x x k k x x k ?

??=-++>?

+=?+?

?-=?+?

………8分不妨设1A x >>B x ，

因为||||A B d PB d PA ?-?

00||1||||1|]A B B A x x x x x x -?---?-

00(1)()2]0A B A B x x x x x x =-+++=

从而220022

8(1)8(1)

204141

x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=，即04x =. 综上，04=x 时符合题意.…….12分

21.解：（Ⅰ）'()2x

f x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+，解得，1,2a b e ==-．…….4分（

Ⅱ

）

法

：

由

（

Ⅰ

）

知

，

[]2(),'()21210,0,1x x f x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，

故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．

法2：由（Ⅰ）知，2

(),'()2,''()2x

f x e x f x e x f x e =-∴=-=-，

'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，

所以，()f x 在

[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．…….7分

（Ⅲ）因为(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线

方程为(2)1y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线

(2)1y e x =-+的上方．

下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．

设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x x

g x e x e g x e =---=-，由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<，所以，存在()00,1x ∈，使得'()0g x =，所以，当()

()00,1,x x ∈+∞时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <，

故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增．又2

(0)(1)0,()(2)10x

g g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．

故

(2)1

,0x e e x x x x

+--≥>．由（Ⅱ）知，1x

e x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．

所以，

(2)1

ln 1x e e x x x x

+--≥≥+．即

(2)1

ln 1x e e x x x

+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+，即(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．…….12分

22. 解：（Ⅰ）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B .

因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+，

所以2222

''2'2A M B M OA OM +=+.

从而222222

''''AM BM AA A M BB B M +=+++2

2('')AA OA OM =++.

故22222()AM BM r m +=+……5分

（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，

所以22AM CM BM DM EM FM r m ?=?=?=-.

因为2222

AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=??? 所以2222

2()

AM BM r m CM DM r m

++=-. 又因为3=r m ，所以

+=AM BM CM DM ．…………….10分

23.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ. 圆C 的普通方程分别是2

(2)4x y +-=，所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为???==,

,sin 4αθαρ和???==.,

8sin αθαρ

所以αsin 4||=OP ，

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④

2．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是( )

A．1B．2C．3D．4

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )

A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3

7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆

8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；

(2)求出侧视图的面积．

1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )

A．23B．3C.3D．4

2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面

ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平

面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为

.若M，N分别是线段DE，CE

上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．

3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．

(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；

(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；

(3)求该多面体的表面积．

[答题栏]

A级1._________2._________3._________4._________5

._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________

答案

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)

A级

1．A2.A3.C4.B

5．选B由斜二测画法知B正确．

6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1

×2×3＝4＋ 3.

7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③

8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53

答案：53

9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.

答案：2＋22

10．解：图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，

侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，

OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，

∵OE ＝1

2BC ＝2，SO ＝3，

∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.

12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝

42－? ??

??23×32×232

＝12＝23，

∴S △VBC ＝1

×23×23＝6.

B 级

1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.

2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于

2－? ??

??222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2

2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3

3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此

时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.

答案：3

3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：

(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.

∵OE ?平面A1C1C ，A1C ?平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.

(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2

，

S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2

2，

S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积

S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2

8＝5a2.

高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系

1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．当0＜k ＜1

2时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )

A.85

B.32 C ．4D ．8

4．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)

5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )

A ．－2

B ．－1

C.1

D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )

A ．3x ＋y ＋4＝0

B ．3x －y ＋4＝0

C ．x ＋3y －8＝0

D ．x －3y －4＝0

7．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．

8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．

9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．

10．(·舟山模拟)

已知1a ＋1

b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离

的最小值．

11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．

12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；

(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．

1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2

，这样的点P 的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．23

3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答题栏]

A 级

1._________

2._________

3._________

4.________

_5.__________6._________

B 级

1.______

2.______

7.__________8.__________9.__________ 答案

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)

A 级

1．C2.B3.B4.B

5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3，即y ＝12x ＋32，其斜率是12，

由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.

6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7

＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.

7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－1

答案：－1

8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.

答案：0,1,2

9．解析：由题意得，点到直线的距离为

|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|

≤3，即

|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．

答案：[0,10]

10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝

a ＋2

b 5＝1

5(a ＋2b)? ????1a ＋1b ＝

????3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝

2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋210

. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，

由????? y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，

解得A ?

?3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；

由?

y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，

解得B ?

?3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.

∵|AB|＝2， ∴

? ????53k ＋42＋? ??

??5k 3k ＋42＝2，整理，得7k2－48k －7＝0，解得k1＝7或k2＝－17

因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.

12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．

∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－y

x ′－x ×3＝－1.①

又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②

由①②得?????

x ′＝－4x ＋3y －9

，③ y ′＝3x ＋4y ＋3

.④

(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，

∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．

(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为

－4x ＋3y －9

5－

3x ＋4y ＋3

5－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.

B 级

1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2

，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．

2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32

＝2，所以m2＋n2的最小值为4.

3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，

则kBB ′·kl ＝－1，即3·b －4a ＝－1.

则a ＋3b －12＝0.①

又由于线段BB ′的中点坐标为? ??

??a 2，

b ＋42，且在直线l 上，

则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②

解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4

，即2x ＋y －9＝0.

解?

3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得?

x ＝2，

y ＝5，

即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．