高中物理竞赛—静电场
高中物理竞赛—静电场 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
真空中的静电场
基 本 要 求
一、 理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间
的联系。
二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定
理的重要意义及其应用。
三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。
内 容 提 要
一、 真空中的库仑定律
)(412210
r
r q q r
F ?
=
πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。
二、电场和电场强度
电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。
电场强度的定义式
0q F E =
点电荷场强公式
)(4120
r
r q r E ??=
πε
1
场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。
几种常见带电体的场强
1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强
a
λE 02πε=
2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强
2εσE =
方向垂直于带电平面。
3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布
r
04r E r Q πε=
4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布
r 04R Q πε= r>R 时，02 04r E r Q πε= 三、电通量 高斯定理 2 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。 电场强度通量 ???=s e d ΦS E 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ε 0倍。 ε∑??= ?内 S S q d S E 3 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性 环路定理 静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理 0=??l E d 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系 A a →b = (W b W a ) 4 q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所做的功。 ????=?=-b a b a b a d q d W W l E l F 0 电势能 选标准点（势能零点），且取W 标=0，q 0在电场中某点a 的电势能为 ??=标 0a a d q W l E 即q 0自a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有。 电势差 a 、b 两点的电势差即把单位正电荷自a →b 过程中电场力做的功。 ??=-= -b a b a b a d q W W U U l E 0 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标准点”过程中电场力做的功。 ??== 标0 a a a d q W U l E 5 点电荷电势公式 r q U 04πε= 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系 电势梯度 等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 U grad -=E 或 U -?=E 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求 场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强；3. 已知或求出电势分布U后，再由U = E求场强。熟练掌握求解静电场 - grad 场强的这三种方法是学好电磁学的关键。 1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主要步骤如下： 6 7 ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为 02 41r E ??= r dq d πε ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 02041 r E E ? ?==r dq d πε 选择适当的坐标系，把矢量积分?=E E d 化为分量积分式，如取直角坐标系，则E x =?d E x ，E y =?d E y ，E z =?d E z 。 ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。 ④进行积分求得E x 、E y 、E z ，再求出E 。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳）所组成。如无限大均匀的带电直圆柱 体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。 2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； 8 ③求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布U后，由U E求场强 = -? 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例1长l厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为λ的电荷。求： （1）在导线的延长线上与导线一端B相距R处P 点的场强； 10 解 （1）如图8—1（a ）所示，取A 点为坐标原点，向右为x 轴正方向。直导线上任一dx 线元到A 点距离为x ，其电场强度为 2 0)(41 R x l dx dE +-= λπε 而各段在P 处产生场强方向相同（沿x 轴正方向），故总场强为 ) 1 1(4)(41) (41000 2 l R R λR x l λR x l dx dE E l l P +-=+-?= +-==??πεπελπε 方向沿x 轴正方向。 （2）若以导线AB 中心为坐标原点，如图8—1（b ）所示。dx 线元在Q 点产生的电场为 11 ) (41220R x dx dE '+= λπε（方向如图所示） 由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消。在Q 点的场强为 ?? -'+' ? '+? = =2 2122220 )()(41cos l l Q R x R R x dx dE E λπεθ 2 22 202 023220)(2)(42l l x R R x R R x dx R +''?'='+'= ?πελπελ ()[] 2 12 2021 4l R R l +'? '= πελ 方向沿y 轴正方向。 当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为 )2/(0R E '=πελ。 例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中θ为半径R 与x 轴所成的夹角，λ 0为 图8—2 dE y dE 12 一常数，如图8—2所示，试求环心O 处的电场强度。 解 在θ处取电荷元，其电量为 dl dq 0λ=θθλd R sin 0= 它在O 点处产生的场强为 2 04R dq dE πε= R d 00 4sin πεθθλ= 在 x 、y 轴上的两个分量 θcos dE dE x -=， θsin dE dE y -= ?=- =πθθθπελ0 00 0cos sin 4d R E x R d R E y 0002 008sin 4ελθθπελπ- =-=? 所以 j i E y x E E +=j R λ00 8ε- = 例3 利用带电量为Q 、半径为R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式( ) 2 3 2 204x R Qx E += πε推导一半径 为R 、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一 13 点的场强，并进一步推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。 解 设盘心O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图8—3所示，在任意半径r 处取一宽为dr 的圆环，其电量 rdr dq πσ2= ( ) 2 3 2 204x r xdq dE += πε ()2 32202x r rdr x +? = εσ ()??+= =R x r rdr x dE E 02 32202εσ R x r x 02201 2????????+-=εσ??? ? ????+-=220 1 12x R x x εσ 当 R →∞时，即为“无限大”带电平面 220 εσ εσ±== x x E x 14 例4 如图8—4所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度ρ = kx (0≤x ≤a )， k 为一正值常数。求： （1）板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小； （2）板内任一点M 的电场强度； （3）场强最小的点在何处。 解 （1）在x 处取厚为dx 的平板，此平板带电量 S dx dq ?=ρ 电荷面密度为 dx S dq ρσ== 则 02εσ=dE 0 2ερdx = 02εkxdx = ?=a dx kx E 00 2ε024εka = （2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向 dx kx E a ?=00 12ε024εkx = 图8—4 x 15 M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向 dx kx E a x ?=0 22ε() 0224εx a k -= 所以 () 0220244εεx a k kx E --=() 220 24a x k -=ε （3）E = 0 时场强最小，即0222=-a x 2a x = 例5 如图8—5所示，圆锥体底面半径为R ，高为H ，均匀带电，电荷体密度为ρ，求顶点A 处的场强。 解 在离顶点A 为x 处选厚为dx 的薄圆盘，此圆盘半径为r 。由图知 R H r x = 即 x H R r = 此薄圆盘的带电量 dx r dV dq 2ρπρ== 电荷面密度 σ=电量/面积=dx r dx r ρπρπ=2 2 利用例3均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果 A 图8—5 16 ??? ? ??+-= 220112R x x x E εσ 可得此薄圆盘在A 点的场强 ??? ? ??+-= 22012R r x dE εσ ( ) d x R H H 220 12 +-= ερ dx R H H E H ??? ? ? ?+-=? 220 012ερ ??? ? ? ?+-= 220 12H R H H ερ 此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。 例6 半径为R 、长为τ的均匀带电圆柱体，电荷体密度为0ρ，求圆柱体轴线上O 点的场强。设O 点离圆柱体近端的距离为b ，如图8—6所示。 解 用积分法求解这题目时，如取 点电荷为积分元，则要用三重积分。但是我们取圆盘为 17 积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。 如图8—6取坐标，距O 点的距离y 处，一厚度为dy 的圆盘在O 点产生的场强的大小 dE = 02εσ = dE ]1[22y R y +- 方向与Y 轴相反，式中σ是厚度为dy 的圆盘上的电荷面密度，σ和圆柱体的电荷密度0ρ的关系 =σ2 20R dy R ππρ=dy 0ρ 所以有 dE =?=dE ? +b b dy τερ002]1[22y R y +- = ?+-τ ερb b dy 02? ++τερb b y R ydy 2 002 = 2ερ [-τ+ ++22)(b R τ22b R +] 18 例7 如图8—7（a ）所示，在XY 平面内有与Y 轴平行、位于x= a/2和x=- a/2处的两条无限长平行的均匀带电细 -λ，线，电荷密度分别为λ和求Z 轴上任一点的电场强 度。 图8—7 解 过Z 轴上任一点(0，0，z )分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图8—7（b ）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 )/(210r E πε±=-+ （a ）