2018年高考理科数学统计100题(含答案解析)
概率与统计(解答题)——(2018-2022)高考真题汇编

概率与统计(解答题)——大数据之五年(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)数学考试注意事项:1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释(共31题;共350分)1.(15分)在某地区进行流行病调查,随机调查了100名某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据频率分布直方图.(1)(5分)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)(5分)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率;(3)(5分)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%,从该地区任选一人,若此人年龄位于区间[40,50),求此人患该种疾病的概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率,精确到0.0001)【答案】(1)解:平均年龄x̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+ 55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁)(2)解:设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种族病},则由条件概率公式,得P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014【解析】【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出;(2)设A= {一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A)即可解出;(3)根据条件概率公式即可求出.2.(10分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)(5分)求甲学校获得冠军的概率;(2)(5分)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.【答案】(1)解:设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.16+0.16+ 0.24+0.04=0.6.(2)解:依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以,P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13【解析】【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目,利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出;(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.3.(10分)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:附: K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), (1)(5分)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)(5分)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?【答案】(1)解:由表中数据可知,A 共有班次240+20=260次,准点班次有240次,设A 家公司长途客车准点事件为M , 则 P(M)=240260=1213; 则A 家公司长途客车准点的概率为1213;B 共有班次210+30=240次,准点班次有210次, 设B 家公司长途客车准点事件为N , 则 P(N)=210240=78. B 家公司长途客车准点的概率为 78 .(2)解:列联表K 2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 500×(240×30−210×20)260×240×450×50≈3.205>2.706 ,根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;(2)根据表格中数据及公式计算K2,再利用临界值表比较即可得结论.4.(15分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:并计算得∑x i2i=1=0.038,∑y i2i=1=1.6158,∑x i y ii=1=0.2474.附:相关系数r=∑(x i−x̅)ni=1(y−y̅)√∑(x i−x̅)2ni=1∑(y i−y̅)2ni=1√1.896≈1.377.(1)(5分)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)(5分)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)(5分)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.【答案】(1)解:样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x̅=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y̅=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m3(2)解:r=∑(x i−x̅)10i=1(y−y̅)√∑i=1(x i−x̅)2∑i=1(y i−y̅)2=∑10i=1i i̅̅√∑10i=1i2̅2∑10i=1i2̅2=√(0.038−10×0.06)(1.6158−10×0.39)=√0.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r≈0.97(3)解:设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,可得0.060.39=186Y,解之得Y=1209m3.则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3【解析】【分析】(1)计算出样本中10棵这种树木根部横截面积的平均值及10棵这种树木材积量平均值,即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)根据相关系数公式计算即可求得样本的相关系数值;(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值.5.(10分)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖,为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;(III)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)【答案】(I)由题意得:设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A:比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖,甲的比赛成绩达到9.50以上的有:9.80,9.70,9.55,9.54 四个,所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4;(II)X所有可能取值为0,1,2,3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则P(B)=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则P(C)=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4(III)甲的平均数:(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1= 9.479乙的平均数:(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数:(9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差:S2=[(9.8−9.479)2+⋯+(9.25−9.479)2]÷10=0.172乙的方差:S2=[(9.78−9.457)2+⋯+(9.23−9.457)2]÷6=0.0329丙的方差:S2=[(9.85−9.465)2+⋯+(9.16−9.465)2]÷4=0.086在校运动会铅球比赛中,乙获得冠军的概率估计值最大.【解析】【分析】(1)根据古典概型概率公式计算即可;(2)由题意X 的可能取值为0,1,2,3,先分别求得甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率,再分别求取X取值的相应概率,由此得分布列和数学期望;(3)根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.6.(10分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:附:K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(1)(5分)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)(5分)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B∣A)P(B̅∣A)与P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(i)证明:R=P(A∣B)P(A̅∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A∣B̅);(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A∣B̅)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】(1)K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.625所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)用局部估计总体(i) R=P(B∣A)P(B̅∣A)÷P(B∣A̅)P(B̅∣A̅)=P(B∣A)⋅P(B̅∣A̅)P(B̅∣A)⋅P(B∣A̅)=P(AB)P(A)⋅P(B̅A̅)P(A̅)P(B̅A)P(A)⋅P(BA̅)P(A̅)=P(AB)⋅P(B̅A̅)P(B̅A)⋅P(BA̅̅̅̅̅)=P(AB)P(B)⋅P(B̅A̅)P(B̅)P(B̅A)P(B̅)⋅P(BA̅)P(B)=P(A∣B)⋅P(A̅∣B̅)P(A̅∣B)⋅P(A∣B̅)(ii) P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100,P(A∣B̅)=P(A̅B̅)P(B̅)=n(A̅B̅)n(B̅)=90100P(A∣B)=P(A̅B)P(B)=n(A̅B)n(B)=60100,P(A∣B̅)=P(AB̅)P(B̅)=n(AB̅)n(B̅)=10100R=40×9060×10=6故R的估计值为6【解析】【分析】(1)代入数据,求得K2,再对出表格,即可得结论;(2)(ⅰ)根据新定义,结合条件概率的计算公式,即可证明;(ⅰ)由条件概率的计算公式分别求得P(A∣B),P(A∣B̅),P(A∣B),P(A∣B̅),再代入R,求解即可.7.(15分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p i(i=0,1,2,3).(1)(5分)已知p=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)(5分)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p 1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)(5分)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【答案】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1−1)x+p0,因为p3+p2+p1+p0=1,故f(x)=p3x3+p2x2−(p2+p0+p3)x+p0,若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0.f′(x)=3p3x2+2p2x−(p2+p+p3),因为f′(0)=−(p2+p0+p3)<0,f′(1)=p2+2p3−p0≤0,故f′(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2,且x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0;x∈(x1,x2)时,f′(x)<0;故f(x)在(−∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)为增函数且f(1)=0,而当x∈(0,x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上为减函数,故f(x)>f(x2)=f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,若x2>1,因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,综上,若E(X)≤1,则p=1.若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0.此时f′(0)=−(p2+p0+p3)<0,f′(1)=p2+2p3−p0>0,故f′(x)有两个不同零点x3,x4,且x3<0<x4<1,且x∈(−∞,x3)∪(x4,+∞)时,f′(x)>0;x∈(x3,x4)时,f′(x)<0;故f(x)在(−∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且p<1.所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,此时p<1,故当E(X)>1时,p<1.(3)每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.【解析】【分析】(1)利用公式计算可得E(X).(2)利用导数讨论函数的单调性,结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.8.(10分)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)(5分)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(2)(5分)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).【答案】(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次;所以总检测次数为20次;②由题意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1−111=1011,则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011;(2)由题意,Y可以取25,30,设两名感染者在同一组的概率为p,P(Y=25)=p,P(Y=30)=1−p,则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p,若p=211时,E(X)=E(Y);若p>211时,E(X)>E(Y);若p<211时,E(X)<E(Y).【解析】【分析】(1)①根据“k合1检测法”,结合随机抽样的定义求解即可;②根据“k合1检测法”,以及对立事件的概率,结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可;(2)根据“k合1检测法”,以及对立事件的概率,结合离散型随机变量的期望求解即可. 9.(10分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)(5分)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)(5分)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附: K 2=n(ad−bc)2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )【答案】(1)(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是: 150200=34乙机床生产的产品中一级品的频率是:120200=35(2)由于 K 2=400+(150×80−50×120)2270×130×200×200=40039≈10.256>6.635所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
概率与统计综合问题-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习

概率与统计综合问题高考频度:★★★★★ 难易程度:★★★★☆(2017北京卷理)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.学@(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)(2)由图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========.所以ξ的分布列为ξ0 1 2P162316故ξ的期望121 ()0121636Eξ=⨯+⨯+⨯=.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.【解题必备】求分布列的三种方法:学!(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列;(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列;(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.1.某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.(1)求甲队队员跳高成绩的中位数;(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次,用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各层应抽取多少人?(3)若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.2.为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在20:00~22:00时间段的休闲方式与性别的关系,随机调查了该社区80人,得到下面的数据表:(1)根据以上数据,能否有99%的把握认为“在20:00~22:00时间段居民的休闲方式与性别有关系”?(2)将此样本的频率估计为总体的概率,在该社区的所有男性中随机调查3人,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X,求X的数学期望和方差.附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8281.【答案】(1)177 cm;(2)抽取合格2人,不合格3人;(3)X的分布列见解析,2 ()3 E X=.【解析】(1)由茎叶图可知,甲队队员的跳高成绩(单位:cm)分别为157,168,169,173,175,176,178,181, 182,184,186,191,所以甲队队员跳高成绩的中位数为177 cm.(2)由茎叶图可知,“合格”与“不合格”的运动员分别有12人和18人,若用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则应抽取“合格”的运动员2人,“不合格”的运动员3人.因此,X 的分布列如下:X 0 1 2P1433 1633 111∴14161222()012333311333E X =⨯+⨯+⨯==. 2.【答案】(1)有99%的把握认为“在20:00~22:00时间段居民的休闲方式与性别有关”;(2)()E X =55,()212D X =. 【解析】(1)根据样本提供的2×2列联表得: 2280(10101050)808.889 6.635602020609K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99%的把握认为“在20:00~22:00时间段居民的休闲方式与性别有关”.(2)由题意得:5~(3,)6X B,且3315()C,0,1,2,36()(6)k k kP X k k-===,所以55()3,62E X=⨯=515()36612D X=⨯⨯=.学¥【名师点睛】本题主要考查独立性检验及其应用、二项分布的期望与方差,考查了分析问题与解决问题的能力.其中使用统计量2K作2×2列联表的独立性检验的步骤是:①检查2×2列联表中的数据是否符合要求;②由公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++计算2K的值;③将2K的值与临界值表中的数据进行对比.另外需要注意回归分析也常在高考中出现.。
2018年高考理科数学推理与证明100题(含答案解析)

2018年高考理科数学推理与证明100题(含答案解析)一、选择题(本题共30道小题,每小题0分,共0分)1..甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1、2、3、4、5号房间,现已知:(1)甲与乙不是邻居;(2)乙的房号比丁小;(3)丙住的房是双数;(4)甲的房号比戊大3.根据上述条件,丁住的房号是().A.2号B.3号C.4号D.5号2.用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”.该表由若干数字组成,从第二行起,每一行的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行今有一个数,则这个数为()A.2017×22016B.2017×22014C.2016×22017D.2016×220184.定义为n个正数p1,p2,…p n的“均倒数”.若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为,又,则=( )A .B .C .D .5.观察按下列顺序排序的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A .9(n+1)+n=10n+9B .9(n ﹣1)+n=10n ﹣9C .9n+(n ﹣1)=10n ﹣1D .9(n ﹣1)+(n ﹣1)=10n ﹣106.一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,类比此方法,若一个三棱锥的体积V=2,表面积S=3,则该三棱锥内切球的体积为( )A .81πB .16πC .D .7.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠,四人约定分配方案:四人先抽签排序①②③④,再由①号提出分配方案,四人表决,至少要有半数的赞成票才算通过,若通过就按此方案分配,否则提出方案的①号淘汰,不再参与分配,接下来由②号提出分配方案,三人表决…,依此类推.假设:1.四人都守信用,愿赌服输;2.提出分配方案的人一定会赞成自己的方案;3.四人都会最大限度争取个人利益.易知若①②都淘汰,则③号的最佳分配方案(能通过且对提出方案者最有利)是(10,0)(表示③、④号分配珍珠数分别是10和0).问①号的最佳分配方案是( ) A .(4,2,2,2) B .(9,0,1,0)C .(8,0,1,1)D .(7,0,1,2) 8.用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a 是实数,所以a 的绝对值大于0”,你认为这个推理( )A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .是正确的9.某计算器有两个数据输入口M 1,M 2一个数据输出口N ,当M 1,M 2分别输入正整数1时,输出口N 输出2,当M 1输入正整数m 1,M 2输入正整数m 2时,N 的输出是n ;当M 1输入正整数m 1,M 2输入正整数m 2+1时,N 的输出是n+5;当M 1输入正整数m 1+1,MM 2输入正整数m 2时,N 的输出是n+4.则当M 1输入60,M 2输入50时,N 的输出是( ) A .494 B .492 C .485 D .483 10.一次猜奖游戏中,1,2,3,4四扇门里摆放了a,b,c,d四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说:1号门里是b,3号门里是c;乙同学说:2号门里是b,3号门里是d;丙同学说:4号门里是b,2号门里是c;丁同学说:4号门里是a,3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半,那么4号门里是()A.a B.b C.c D.d11.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A.3 B.5 C.D.12.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为.若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A. B.2 C.3 D.13.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起,他们除懂本国语言外,每天还会说其他三国语言的一种,有一种语言是三人都会说的,但没有一种语言人人都懂,现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩都能自由交谈;②四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;③甲、乙、丙、丁交谈时,找不到共同语言沟通;④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他都能做翻译.针对他们懂的语言正确的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.70年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数N,并且按照以下的规律进行变生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论N是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说,是无法逃出--循环,永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这落入底部的421种运算,自然数27经过十步运算得到的数为 ( )A.142B.71 C.214 D.10715.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
2018年高考数学 黄金100题系列 第18题 几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)文

第18题 几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)I .理论基础·解题原理 (I )对勾函数 一、对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xbax y 的函数,叫做对勾函数. 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的图象与性质1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时,ab xbax x b ax 22=⋅≥+(当且仅当x b ax =,即a b x =时取等号). 当0<x 时,ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+(当且仅当x b ax -=-,即abx -=时取等号). 函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞)∞+. 3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称,)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=,则对勾函数为奇函数. 4.单调性 由于2)(x b a x f -=',令0)(>'x f ,解得a b x -<或a b x >,令0)(>'x f ,解得0<<-x ab或ab x <<0,所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数,在)0,(a b -上为减函数,在),0(a b 上为减函数,在),(+∞ab上为增函数. 5.渐近线当0>x 时,0>+x b ax ,当0<x 时,0<+xbax ,说明函数的的图象在第一、第三象限. 当0>x 时,xbx b ax x f >+=)(,说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方,当0<x 时,ax xbax x f <+=)(,说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时,xx x f 1)(+=,函数图象如下图所示:(II )绝对值函数一、绝对值函数的定义:形如b ax y +=的函数,叫做绝对值函数.含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类:1.形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到;2.形如()fx 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0x <的情况可以根据对称性得到;3.函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究. 二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质 1.定义域:R ; 2.值域:),0[+∞;33.单调性:函数)(x f 在)(a b-∞-,上为减函数,在),(+∞-ab上为增函数. 特别0,1==b a 时,x x f =)(,图象如下图所示(III )取整函数 取整函数的定义若x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数][)(x x f =叫做取整函数.举例如下:,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等.IV .题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上,可以是选择题或填空题,也可以是解答题,难度较大,往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系,主要考查函数的性质的应用等. 【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域,在定义域内研究函数的相关性质.最好先画出函数的图象,利用数形结合思想,解决相应问题. 【易错指导】注意定义域先行原则,必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题. V .举一反三·触类旁通 考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知1()1f x x x=+-,()2f a =,则()f a -=( ) A .4- B .2- C .1- D .3- 【答案】A【解析】∵1()1f x x x =+-,∴xx x f 11)(+=+,令1)()(+=x f x F ,则)(x F 为奇函数,则)()(x F x F -=-,所以1)(1)(--=+-x f x f ,有4222)()(-=--=--=-a f a f ,故选A .考点:函数值、函数的奇偶性.【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是( ) A .51(,]8-∞ B .(,3]-∞ C .51[,)8+∞ D .[3,)+∞ 【答案】C考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性. 【例3】【2017山西四校联考】若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间(1,2)上有零点,则)(x f 在下列区间上单调递增的是A .(]1,-∞-B . ()0,1-C .()1,0D .()+∞,2 【解析】01)(2=-='xb x f ,b x =2,显然0>b ,函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间(1,2)上有零点,41<<b ,)(x f 为增函数,只需b x xb x x b x f ≥≥-=-='2222,01)(,故选D . 【名师点睛】1.要结合图象,理解对勾函数的各种性质,单调性,对称性,奇偶性等. 2.通过对勾函数的研究,要明确均值不等式的使用条件.3.对渐近线的认识,应进一步加深,我们可以理解为,函数图象无限靠近直线,且总在直线的一侧.【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()12,1,2{ 12,1,2x x x x x f x x ->=-≤函数()()g x f x m =-,则下列说法错误的是( ) A .若32m ≤-,则函数()g x 无零点 B .若32m >-,则函数()g x 有零点5C .若3322m -<≤,则函数()g x 有一个零点 D .若32m >,则函数()g x 有两个零点 【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象如图所示:观察可知:当32m =-时,函数()g x 有一个零点,故A 错误.故选A . 【跟踪练习】 1.若函数()4f x x x=+,则下列结论正确的是( ) ()()()()4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,A f x B f x C f x D f x +∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2.关于函数()21lg ||f x x x +=有下列命题:(1)其图象关于y 轴对称;(2)函数f (x )在(0,)+∞上单调递增,在(,0)-∞上单调递减; (3)函数f (x )的最小值为lg 2;(4)函数f (x )在(1,0),(2,)-+∞上单调递增; (5)函数f (x )无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是( )【解析】注意函数的定义域为0x ≠.如图:所以在(0,)+∞上,g (x )在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增.所以由复合函数单调性可知,f (x ) 在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增.由函数对称性,f (x ) 在(1,0)-上递增,在(,1)-∞-上递减,所以(2)不正确,(4)正确.又因为,函数g (x )的最小值为2,所以f (x )的最小值为lg2,所以(3)正确,(5)不正确. 3.函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】54.求函数3()f x x x=+在下列条件下的值域: (1)()(,0)0,x ∈-∞+∞;(2)(2,3]x ∈【解析】(1)当x>0时,由均值不等式,有3x x +≥=7当3x x=时,即x = 当x<0时,有33[()]x x x x+=--+≤--所以函数的值域为:()-∞-⋃∞,5.已知函数()af x x x=+其中常数a>0. (1)证明:函数f(x)在上是减函数,在)+∞ 上是增函数; (2)利用(1)的结论,求函数20y x x=+(x ∈[4,6])的值域; (3)借助(1)的结论,试指出函数27()1xg x x x-=++ 的单调区间,不必证明. 【解析】(1)2111x y x x x ==++.15121(1,2](2,][,)1252x x x x x∈∴+∈∴∈+,所以值域为:2[,2)5(2)解:23223x x y x x x ++==++.2(1,2]x x x∈∴+∈,所以值域为:[3+. (3)55(1)111y x x x x =+=-++--,所以值域为:1,)+∞. 考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围是 ( )A .(),0-∞B .()0,1C .()1,+∞D .()0,+∞ 【答案】C【解析】当0a =时,方程无解;当0a <时,2x <-,方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =-++=∆>=<+,即至多一解;当0a >时,2x >-,当0x ≥时方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =+-=∆>=-<+,即必有一解;当20x -<<时方程21211,210,0,012ax ax ax x x a x a=-++=∆>=>⇒>+,因此1a >有三个不同的实数解,选C . 【例6】已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则3122341()x x x x x ++的取值范围是( ) A .(1,)-+∞ B .(]1,1- C .(,1)-∞ D .[)1,1- 【答案】B9【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1{2,1x x f x x x x+<=+≥,设a R ∈,若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是__________. 【答案】[]2,2-【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01],上的最大值记为()g a . 当a = 时,()g a 的值最小.【答案】3-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-.②当0a =时,2()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-.③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示.【例9】函数x x g 2log )(= )21(>x ,关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,11则实数m 的取值范围为 . 【答案】3423m -<≤-【例10】【2018广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ (1)证明:函数()f x 是偶函数;(2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像(草图),并写出函数的值域;(3)在同一坐标系中画出直线2y x =+,观察图像写出不等式()2f x x >+的解集. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3){|02}x x x 或.【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性,首先要考查函数的定义域,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,当函数的定义域关于原点对称式, 根据f(-x)与f(x)的关系,判断函数f(x)为奇偶性;再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号,化为分段函数,画出函数图象;根据图象解不等式,这是一种数形结合思想. 试题解析:(1)依题可得: ()f x 的定义域为R()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-= ∴ ()f x 是偶函数(2)()()2(1){2112(1)xx f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知,函数的值域为[)2,+∞ (3)由函数图象知,不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】1.【2018浙江台州模拟】函数{}()min 2f x x =-,其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩,若动直线y m=与函数()y f x =的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别123,,x x x ,则123x x x ⋅⋅的最大值为( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】D由m x x =-=-2222,得m x -=22,02>-m 由m x x =-=-2233,得23+=m x ,02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ,当且仅当224m m -=,13即2=m 时取到等号,故答案为D .考点:1、函数图象的应用;2、基本不等式的应用. 2.【2018北京西城区模拟】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤(1)如果(1)3f =,那么实数a =___;(2)如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点,那么实数a 的取值范围是___. 【答案】2-或4;(1,3]-【解析】由题意()113,f a =-= ,解得2a =-或4a =; 第二问如图:考点:1.分段函数值;2.函数的零点. 3.设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数) (1)a =2时,讨论函数)(x f 的单调性;(2)若a >-2,函数)(x f 的最小值为2,求a 的值.【解析】(1)2=a 时,11222222)(222<≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ,结合图像知,函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞,减区间为]1,(-∞;(2)2222)(22ax a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=,12,2->∴->a a ,结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2,解得a =3符合题意;当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24)2(2==a a f ,无解; 综上,a =3.考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图(其中[]x 表示不超过x 的最大整数),则输出的S 值为A .5B .7C .9D .12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D . 周期函数 【答案】D15考点:函数的周期性.【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称,以他的名字“高斯”命名的成果达110个,设,用表示不超过的最大整数,并用表示的非负纯小数,则称为高斯函数,已知数列满足:,则__________.【答案】考点:归纳推理、数列的递推公式及新定义问题. 【跟踪练习】1.【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数,符号表示“不超过的最大整数”,在数轴上,当是整数,就是,当不是整数时,是点左侧的第一个整数点,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss )函数.如.求的值为( )A .0B .-2C .-1D .1 【答案】C 【解析】=−2,−2<<−1,=−1,=0,=1,1<<2,=2,由“取整函数”的定义可得,=−2−2−1+0+1+1+2=−1.故选:C .点睛:正确理解高斯(Gauss )函数的概念是解题的关键,表示“不超过的最大整数”,首先小于等于此实数,并且其为最大的整数,条件想全面.2.【2018江苏南京模拟】函数[]y x =称为高斯函数,又称取整函数,对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数,则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 . 【答案】}{0,1,2,33.【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ,令[]x 为不大于x 的最大整数,则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数.若数列{}n a 满足()4n na f =()n +∈N ,且数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4n S 等于 . 【答案】22n n - 【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========,244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-.考向5 取整函数与函数的零点【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点,则a 的取值范围是 .【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由f (x )=0得a xx =][,令g (x )=x x ][(x>0),作出g (x )的图象,利用数形结合即可得到a的取值范围.由f (x )=0得a xx =][;令g (x )=x x ][,(x>0),则当0<x <1,[x]=0,此时g (x )=0,当1≤x <2,[x]=1,此时g (x )=x 1,此时1)(21≤<x g ;17当2≤x<3,[x]=2,此时g (x )=x 2,此时1)(32≤<x g ; 当3≤x<4,[x]=3,此时g (x )=x 3,此时1)(43≤<x g ;当4≤x<5,[x]=4,此时g (x )=x 4,此时1)(54≤<x g ;作出g (x )的函数的图象,要使函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点,即函数g (x )的图象与直线y=a 有且只有三个零点,由图象可知:5443≤<a .故答案为:5443≤<a . 考点:函数的零点与方程根的关系.【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈,符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点,则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x >0,此时[x]≥0;若[x]=0,则[]0x x=,若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x +++<,<,且[][]1x x +随着[x]的增大而增大.若x <0,此时[x]<0;若﹣1≤x<0,则[]1x x≥,若x <-1,因为[x]≤x<-1;[x]≤x<[x]+1,故[x][x][x]11a x [x]1[x]1++<,<, 且[][]1x x +随着[x]的增大而增大.又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值.所以为使函数[x]f x a x =-()有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3.若[x]=1,有121≤<a 若[x]=2,有132≤<a 若[x]=3,有143≤<a 若[x]=4,有154≤<a 若[x]=-1,有a >1;若[x]=-2,有1≤a<2;若[x]=-3,有231<≤a 若[x]=-4,有341<≤a ,综上所述,5443<<a 或2334<<a .故选:B .考点:函数零点的判定定理. 【跟踪练习】1.【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也称高斯函数),[]x 表示不超过x 的最大整数.例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-.设函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 ( )A .{}0B .{}1,0-C .{}1,0,1-D .{}2,0- 【答案】B2.某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =(其中[]x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A .510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B .410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C .310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D .10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】根据题意,当16x =时1y =,所以选项,A B 不正确,当17x =时2y =,所以D 不正确,故选C .193.【2018浙江浙大附中模拟】对于实数x ,][x 称为取整函数或高斯函数,亦即][x 是不超过x 的最大整数.例如:2]3.2[=.直角坐标平面内,若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ,则 22y x +的取值范围是 . 【答案】(1,5)[10,20)【解析】解:由[x-1]2+[y-1]2=4,得 [x-1]=±2, [y-1]=0 或 [x-1]=0, [y-1]=±2 然后得到可行域x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方.AO 2=1,BO 2=5此时x 2+y 2∈[1,5).CO 2=10,DO 2=20,此时x 2+y 2∈[10,20).所以x 2+y 2∈[1,5)∪[10,20).。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列10-3含答案

(时间:40分钟)1.若错误!n展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x2的系数为( )A.-21 B.-35C.35 D.21答案C解析由已知得2n=128,n=7,所以T r+1=C r7x2(7-r)·错误!r=C错误!(-1)r x14-3r,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为C4,7(-1)4=35,故选C。
2.若C错误!+3C错误!+32C错误!+…+3n-2C错误!+3n-1=85,则n =( )A.6 B.5C.4 D.3答案C解析C1,n+3C2,n+…+3n-2C错误!+3n-1=错误!=85,解得n =4。
3.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为( )A.21 B.35C.45 D.28答案B解析∵T r+1=C错误!(3x)r=3r C错误!x r,由已知得35C错误!=36C错误!,即C5,n=3C错误!,∴n=7,因此,x4的二项式系数为C错误!=35,选B.4.使错误!n(n∈N*)展开式中含有常数项的n的最小值是()A.3 B.4C.5 D.6答案C解析T k+1=C错误!(x2)n-k错误!k=错误!C错误!x2n-5k,令2n-5k=0,得n=错误!k,所以n的最小值是5。
5.(x2+x+1)(x-1)6的展开式中x4的系数是( )A.-10 B.-5C.5 D.10答案D解析x2C4,6x2(-1)4+x C错误!x3(-1)3+C错误!x4(-1)2=10x4,所以x4的系数为10,选D.6.错误!6展开式中不含x的项的系数为________.答案-20解析错误!6展开式中不含x的项为C错误!(xy)3·错误!3=-20y3,故不含x的项的系数为-20。
7.若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是________.答案125解析令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=-2。
高考理科数学大题规范满分练 六

大题规范满分练(六)统计与概率综合问题1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f,求f的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p)(0<p<1).令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的所有产品作检验.2.(2018·临沂模拟)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)来解决下列问题:频率分布表(1)求出a,b,x的值.(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【解析】(1)由题意可知,=,解得b=0.04;所以[80,90)内的频数为2×2=4, 所以样本容量n==50,a=50-8-20-4-2=16;又[60,70)内的频率为=0.32,所以x==0.032.(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为:所以E(ξ)=0×+1×+2×=.3.(2018·衡水模拟)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标.(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=≈11.95;②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 5.【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①因为Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,所以P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)≈0.682 7,所以Z落在(14.55,38.45)内的概率约是0.682 7.②根据题意得X~B4,,P(X=0)=4=;P(X=1)=4=;P(X=2)=4=;P(X=3)=4=;P(X=4)=4=.所以X的分布列为所以E(X)=4×=2.。
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编25-统计(含解析)

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编25-统计(含解析)一、单选题1.(2022·全国·统考高考真题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2.(2022·全国·统考高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C .甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D .乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63.(2022·北京·统考高考真题)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系,其中T 表示温度,单位是K ;P 表示压强,单位是bar .下列结论中正确的是( )A .当220T =,1026P =时,二氧化碳处于液态B .当270T =,128P =时,二氧化碳处于气态C .当300T =,9987P =时,二氧化碳处于超临界状态D .当360T =,729P =时,二氧化碳处于超临界状态4.(2022·天津·统考高考真题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A .8B .12C .16D .185.(2021·全国·高考真题)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( ) A .该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B .该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C .估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D .估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间6.(2021·天津·统考高考真题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[)66,70、[)70,74、、[]94,98,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是( )A .20B .40C .64D .807.(2020·全国·统考高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A .y a bx =+ B .2y a bx =+ C .e x y a b =+D .ln y a b x =+8.(2020·全国·统考高考真题)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A .14230.1,0.4p p p p ====B .14230.4,0.1p p p p ====C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====9.(2020·全国·统考高考真题)设一组样本数据x 1,x 2,…,xn 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10xn 的方差为( ) A .0.01B .0.1C .1D .1010.(2020·天津·统考高考真题)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A .10B .18C .20D .3611.(2019·全国·高考真题)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A .中位数 B .平均数 C .方差D .极差12.(2018·全国·高考真题)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半13.(2019·全国·高考真题)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生二、多选题14.(2021·全国·统考高考真题)有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( ) A .两组样本数据的样本平均数相同 B .两组样本数据的样本中位数相同 C .两组样本数据的样本标准差相同 D .两组样本数据的样本极差相同15.(2021·全国·统考高考真题)下列统计量中,能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A .样本12,,,n x x x 的标准差 B .样本12,,,n x x x 的中位数 C .样本12,,,n x x x 的极差D .样本12,,,n x x x 的平均数16.(2020·海南·高考真题)我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B .这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;三、填空题17.(2020·江苏·统考高考真题)已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4,则a 的值是_____.18.(2020·山东·统考高考真题)某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况,从编号为001,002,…480的480个专卖店销售数据中,采用系统抽样的方法抽取一个样本,若样本中的个体编号依次为005,021,…则样本中的最后一个个体编号是______. 19.(2019·全国·高考真题)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 20.(2018·全国·高考真题)某公司有大量客户,且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________.21.(2019·江苏·高考真题)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.四、解答题22.(2022·全国·统考高考真题)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:2m )和材积量(单位:3m ),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量i y0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数i ii=122i ii=1i=1(, 1.896 1.377)()()()nn nx x y yrx x y y--=≈--∑∑∑.23.(2022·全国·统考高考真题)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).24.(2022·北京·统考高考真题)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到950m .以上(含950m .)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m ): 甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25; 乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23; 丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X 的数学期望E (X );(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)25.(2021·全国·统考高考真题)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ,样本方差分别记为21s 和22s .(1)求x ,y ,21s ,22s ;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则不认为有显著提高).26.(2020·全国·统考高考真题)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?27.(2019·全国·统考高考真题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成,A B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:P C的估计值记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到()为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中,a b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).28.(2018·全国·高考真题)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,29.(2018·全国·高考真题)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,17)建立模型①:ˆ30.413.5yt =-+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,,7)建立模型②:ˆ9917.5yt =+. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.30.(2019·全国·高考真题)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [0.20,0)- [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)企业数 2 24 53 14 7(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 748.602.31.(2018·全国·高考真题)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:3m )和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数 151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于30.35m 的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)32.(2018·天津·高考真题)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (I )应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II )若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i )用X 表示抽取的3人中睡眠不足..的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望; (ii )设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.33.(2019·北京·高考真题)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:(Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.34.(2018·天津·高考真题)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.35.(2019·天津·高考真题)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A B C D E F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随,,,,,机抽取2人接受采访.员工项目 A B C D E F子女教育○○×○×○(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.参考答案:1.B【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差的概念,逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错;讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错. 故选:B. 2.C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【详解】对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=,A 选项结论正确.对于B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>,B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<, C 选项结论错误.对于D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>, D 选项结论正确. 故选:C 3.D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =,1026P =时,lg 3P >,此时二氧化碳处于固态,故A 错误. 当270T =,128P =时,2lg 3P <<,此时二氧化碳处于液态,故B 错误.当300T =,9987P =时,lg P 与4非常接近,故此时二氧化碳处于固态,对应的是非超临界状态,故C 错误.当360T =,729P =时,因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态,故D 正确. 故选:D 4.B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数,进而求出第三组的总人数,从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯=50,所以第三组人数为50×0.36=18, 有疗效的人数为18-6=12. 故选:B. 5.C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元),超过6.5万元,故C 错误. 综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 6.D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知,评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选:D. 7.D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近, 因此,最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选:D.【点睛】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题. 8.B【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于D 选项,该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此,B 选项这一组的标准差最大. 故选:B.【点睛】本题考查标准差的大小比较,考查方差公式的应用,考查计算能力,属于基础题. 9.C【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系,即得结果. 【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=,的方差是数据(1,2,,)i x i n =,的方差的2a 倍,所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选:C【点睛】本题考查方差,考查基本分析求解能力,属基础题. 10.B【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为:()6.25 5.000.020.225+⨯=,则区间[)5.43,5.47内零件的个数为:800.22518⨯=. 故选:B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用,属于中等题. 11.A【分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤.则①原始中位数为5x ,去掉最低分1x ,最高分9x ,后剩余2348x x x x ≤≤≤,中位数仍为5x ,∴A 正确.②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++,后来平均数234817x x x x x '=+++()平均数受极端值影响较大,∴x 与x '不一定相同,B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知,C 不正确.④原极差91=x -x ,后来极差82=x -x 可能相等可能变小,D 不正确. 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.12.A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为2M ,之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关系,从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ,而新农村建设后的收入为2M ,则新农村建设前种植收入为0.6M ,而新农村建设后的种植收入为0.74M ,所以种植收入增加了,所以A 项不正确;新农村建设前其他收入我0.04M ,新农村建设后其他收入为0.1M ,故增加了一倍以上,所以B 项正确;新农村建设前,养殖收入为0.3M ,新农村建设后为0.6M ,所以增加了一倍,所以C 项正确; 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>,所以超过了经济收入的一半,所以D 正确; 故选A.点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即可得结果. 13.C【分析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案. 【详解】详解:由已知将1000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ,公差10d =, 所以610n a n =+()n *∈N ,若8610n =+,则15n =,不合题意;若200610n =+,则19.4n =,不合题意;若616610n =+,则61n =,符合题意;若815610n =+,则80.9n =,不合题意.故选C . 【点睛】本题主要考查系统抽样. 14.CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =,即可判断正误;根据中位数、极差的定义,结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A :()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠,故平均数不相同,错误;B :若第一组中位数为i x ,则第二组的中位数为i i y x c =+,显然不相同,错误;C :()()()()D y D x D c D x =+=,故方差相同,正确;D :由极差的定义知:若第一组的极差为max min x x -,则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-,故极差相同,正确;故选:CD 15.AC【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度; 由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势; 由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度; 由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势; 故选:AC. 16.CD【分析】注意到折线图中有递减部分,可判定A 错误;注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小,可判定B 错误;根据图象,结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A 错误;由图可知,第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B 错误; 由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C 正确; 由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解,考查理解能力,识图能力,推理能力,难点在于指数增量的理解与观测,属中档题. 17.2【分析】根据平均数的公式进行求解即可. 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=,即2a =.。
历年高考理科数学真题汇编+答案解析(1):集合、复数、框图、简单逻辑、推理、平面向量、不等式与线性规划

7.(2017 全国 I 卷理 3)设有下面四个命题
p1
:若复数
z
满足
1 z
R
,则
z
R
;
C. 3 i
D. 3 i
-4-
p2 :若复数 z 满足 z2 R ,则 z R ; p3 :若复数 z1, z2 满足 z1z2 R ,则 z1 z2 ; p4 :若复数 z R ,则 z R .
|
c
|2
4a
2
4
5a
b
5b 2
9
,∴ |
c
|
3
.
∵ a c 2a2
5a
b=2
,∴
cos
a , c
|aa||cc|
=
2 3
.
2
【答案】
3
4.(2018 全国 I 卷理 6)在△ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 EB
A.
3 4
AB
1 4
AC
B.
1 4
3)2 3 ,
22
∴当 x=0,y=
3
时,
PA
(PB
PC )
取得最小值
3
.
2
2
【答案】B
9.(2017 全国 III 卷理 12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆
9. (2017 全国 III 卷理 1)已知集合 A= (x, y│) x2 y2 1 ,B= (x, y│) y x ,则 A B 中元素的个数
为 A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】方法一:联立方程组
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2018年高考理科数学统计精选100题(含答案解析)一、选择题(本题共25道小题)1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对应数据:根据上表可得回归方程yˆ=9.4x+9.1,那么表中m的值为()A.27.9 B.25.5 C.26.9 D.262.【题文】为顺应“网络微时代”对“微文化”的需求,某公司设计人员充分借助智能手机触摸屏的优势,针对当代人内心的童趣及强烈的角色感,依托科技手段,开发了一款休闲智力游戏,使人们利用零散时间就能顺手玩上几分钟,深受广大手游爱好者的喜欢。
目前该游戏的全球下载量超过7亿次,为这家原来仅有12名员工、一度濒临破产的公司在两年时间里赚进5 000万欧元,完成了“华丽转身”,创造了移动游戏领域的神话。
结合材料,请运用所学《经济生活》相关知识分析该公司华丽转身的主要原因。
(12分) 【答案】①制定正确的经营战略。
该公司顺应了“网络微时代”时代潮流,抓住人们对“微文化”需要的发展机遇,加快了本公司的发展。
②企业要提高自助创新能力,依靠科技进步,形成自己的竞争优势。
该公司抓住消费者心理,依托触摸屏的优势充分开发手游,最终创造佳绩。
③该企业充分利用国内国外两个市场、两种资源,提高企业的经济效益。
④企业应关注影响消费水平的因素,研究消费者的消费心理,满足消费者的需求。
【解析】本题考查经济生活的相关知识,知识指向明确,考查企业的经营与发展,旨在考查学生调动和运用知识的能力。
回答本题要注意从材料中找出关键词,然后用所学知识加以分析即可。
顺应网络微时代对微文化的需求,体现了该公司制定了正确的经营战略;依托科技手段体现了该公司提高自助创新能力,依靠科技进步,形成自己的竞争优势;一度濒临破产的公司在两年时间里赚进5 000万欧元体现了该公司开拓国外市场,充分利用国内国外两个市场、两种资源,提高企业的经济效益;针对当代人内心的童趣及强烈的角色感体现了该公司关注影响消费水平的因素,研究消费者的消费心理,满足消费者的需求。
【考点定位】企业的经营与发展【名师点睛】公司经营成功的主要因素①制定正确的经营战略(长远的、总体的策略)。
一个企业,只有战略定位准确,才能顺应时代发展的潮流,抓住机遇,加快发展,为企业插上腾飞的翅膀。
反之,一个企业在战略定位上不准,那么,就会遭受挫折,甚至导致破产。
③诚信经营,树立良好的信誉和企业形象。
企业的信誉和形象作为一种无形资产是经过长期的努力形成的。
它渗透在企业经营和管理的每一个环节,通过新产品和服务在市场上形成本企业的竞争优势。
公司是否诚信经营,关系到企业成败。
企业如果通过不正当手段谋取利益,不会真正取得成功,违法者还要受到法律的制裁。
④面向市场,坚持以质取胜、市场多元化战略。
⑤公司抓住时机做好兼并和强强联合。
⑥遵循市场规律,坚持引进来、走出去相结合。
贯彻科学发展观、转变经济发展方式,坚持经济效益、社会效益、环境效益的统一。
【标题】山东师范大学附属中学2017届高三上学期第二次模拟考试政治试题【结束】3.右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图像,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图像,给出下列结论:①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好;②二班成绩不够稳定,波动程度较大;③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,但在稳步提升.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.34.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个二位号码中选取,小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为()5.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下A.y=﹣0.7x+5.20 B.y=﹣0.7x+4.25 C.y=﹣0.7x+6.25 D.y=﹣0.7x+5.25 6.根据如下样本数据,得到回归方程=bx+a,则()0 D.a<0,b<07.一个样本容量为8的样本数据,它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{a n},若a3=5,且a1,a2,a5成等比数列,则此样本数据的中位数是()A.6 B.7 C.8 D.98.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:甲 7 8 10 9 8 8 6乙 9 10 7 8 7 7 8则下列判断正确的是()A.甲射击的平均成绩比乙好B.乙射击的平均成绩比甲好C.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差9.已知变量x,y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1,则m的值为()A.2.9 B.3.1 C.3.5 D.3.810.某高中共有2000名学生,其中各年级男生、女生的人数如表所示,已知在全校学生中随机抽取1人,抽到高二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则在高三年级中应抽取的学生人数是()11.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.169石B.192石C.1367石D.1164石12.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.169石B.192石C.1367石D.1164石13.下列四个命题:①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;②某只股票经历了l0个跌停(每次跌停,即下跌l0%)后需再经过10个涨停(每次涨停,即上涨10%)就可以回到原来的净值;③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n,本次期末考试两级部;数学平均分分别是a、b,则这两个级部的数学平均分为.④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从001到800进行编号,已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组00l~016中随机抽到的学生编号是007.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个14.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系;那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5% 的可能性使得推判出现错误D.以上三种说法都不正确15.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图,图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1,A2,…A14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是()A.8 B.9 C.10 D.1116.某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示:根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+,依次估计如果时的支出为()A.4.5亿元B.4.4亿元C.4.3亿元D.4.2亿元17.在考试测评中,常用难度曲线图来检测题目的质量,一般来说,全卷得分高的学生,在某道题目上的答对率也应较高,如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图,第1、2问满分均为6分,图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度,则下列说法正确的是()A.此题没有考生得12分B.此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差18.已知两个随机变量x,y之间的相关关系如表所示:=x+,则大致可以判断()A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0 19.某学校有2500名学生,其中高一1000人,高二900人,高三600人,为了了解学生的身体健康状况,采用分层抽样的方法,若从本校学生中抽取100人,从高一和高二抽取样本数分别为,且直线与以为圆心的圆交于两点,且,则圆的方程为()A. B.C. D.20.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m e,众数为m0,平均值为,则()A.m e=m0=B.m e=m0<C.m e<m0<D.m0<m e<21.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=3022.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,有人送来米1494石,检验发现米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为()A.17石B.166石C.387石D.1310石23.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B.17 C.18 D.1924.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产成本y(万元)有如下几组样本数据:的斜率为0.8,则当该产品的生产成本是6.7万元时,其相应的产量约是()A.8 B.8.5 C.9 D.9.525.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:A.a=45,c=15 B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(本题共28道小题,每小题0分,共0分)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ,2s ,3s ,则它们的大小关系为___________(用“ ”连接).甲频率乙O频率丙27.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[100,110),[110,120),[120,130)三组内的学生中,用分层抽样的方法选取28人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应.为28.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下4个分.数的方差为29.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成五组:每一组[13,14);第二组[14,15),…,第五组[17,18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是.30.某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品,三种产品产量之比为1:3:5,现用分层抽样的方法抽得容量为n的样本进行质量检测,已知抽得乙种型号的产品12件,则n=.31.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为.32.将高三(1)班参加体检的36名学生,编号为:1,2,3,…,36,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生,则样本中剩余一名学生的编号是.33.如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图,则估计此工厂工人生产能力的平均值为34.某学校为了调查学生的学习情况,由每班随机抽取5名学生进行调查,若(1)班有50名学生,将每一学生编号从01到50止.请从随机数表的第3行第6列(下表为随机数表的前5行)开始,依次向右,直到取足样本,则抽取样本的号码是.03 47 4373 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 9597 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 7316 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 1012 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30.35.某校为了解高中学生的阅读情况,拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查,已知该校有高一学生600人,高二学生400人,高三学生200人,则应从高一学生抽取的人数为.36.下列命题中,正确的命题有.①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;③用相关指数R2来刻画回归效果,R2越接近0,说明模型的拟合效果越好;④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第一组中用抽签法确定的号码为6号.37.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为.38.已知一组数据x1,x2,…x n的方差为3,若数据ax1+b,ax2+b,…,ax n+b(a,b∈R)的方差为12,则a的所有的值为.39.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示:“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人,则n的值为.40.一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数是.41.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,,那么这组数据的方差s2可能的最大值是.42.设样本数据x1,x2,…,x2017的方差是4,若y i=2x i﹣1(i=1,2,…,2017),则y1,y2,…y2017的方差为.43.已知一组正数x1,x2,x3的方差s2=(x12+x22+x32﹣12),则数据x1+1,x2+1,x3+1的平均数为.44.某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组,共有成员120人,其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人.现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况,则在足球兴趣小组中应抽取人.45.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:(参考公式==, =﹣,,表示样本均值)则y对x的线性回归方程为.46.某单位有老人20人,中年人120人,青年人100人,现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本,已知青年人抽取的人数为10人,则n=.47.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为.48.从高三年级随机抽取200名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图.由图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为.49.为了确定学生的答卷时间,需要确定回答每道题所用的时间,为此进行了5次实验,根据收集到的数据,如表所示:(参考公式:()()()127niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-)50.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 51.现有1000根某品种的棉花纤维,从中随机抽取50根,纤维长度(单位:mm )的数据分组及各组的频数如表,据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm 的根数是 . 纤维长度 频数 [22.5,25.5) 3 [25.5,28.5) 8 [28.5,31.5) 9 [31.5,34.5) 11 [34.5,37.5) 10 [37.5,40.5) 5 [40.5,43.5] 4 52.一组数据共40个,分为6组,第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6,第5组的频率为0.1,则第6组的频数为 . 53.某校有男教师80人,女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会,若抽到男教师12人,则x= .三、解答题(本题共47道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,第8题0分,第9题0分,第10题0分,第11题0分,第12题0分,第13题0分,第14题0分,第15题0分,第16题0分,第17题0分,第18题0分,第19题0分,第20题0分,第21题0分,第22题0分,第23题0分,第24题0分,第25题0分,第26题0分,第27题0分,第28题0分,第29题0分,第30题0分,第31题0分,第32题0分,第33题0分,第34题0分,第35题0分,第36题0分,第37题0分,第38题0分,第39题0分,第40题0分,第41题0分,第42题0分,第43题0分,第44题0分,第45题0分,第46题0分,第47题0分,共0分)54.右面茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.(1)如果x=6,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;(2)如果x=7,从学习次数大于7的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率.55.某班高三期中考试后,对考生的数学成绩进行统计(考生成绩均不低于90分,满分150分),将成绩按如下方式分成六组,第一组[90,100)、第二组[100,110)…第六组[140,150].得到频率分布直方图如图所示,若第四、五、六组的人数依次成等差数列,且第六组有2人(Ⅰ)请补充完整频率分布直方图;(Ⅱ)现从成绩在[130,150]的学生中任选两人参加校数学竞赛,求恰有一人成绩在[130,140]内的概率.56.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布图如图所示,下表是年龄的频率分布表.1,2,3组人数分别是多少?(2)在(1)的条件下,从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动,X 表示第3组中抽取的人数,求X 的分布列和期望值.57.(12分)某校高三共有男生600名,从所有高三男生中随机抽取40名测量身高(单位:cm )作为样本,得到频率分布表与频率分布直方图(部分)如表:1212(Ⅱ)试估计身高不低于180cm 的该校高三男生人数,并说明理由;(Ⅲ)从抽取的身高不低于185cm 的男生中任取2名参加选拔性测试,已知至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为119,求抽取身高不低于185cm 的男生人数.58.某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x (°C)与该小卖部的这种饮料销量y (杯),得到如下数据:(Ⅱ)请根据所给五组数据,求出y关于x的线性回归方程=x+;(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温7(°C),请预测该奶茶店这种饮料的销量.(参考公式: =, =﹣)59.某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图,据此解答下列问题:(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数;(2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高.60.自主招生,是高校选拔录取工作改革的重要环节,通过高考自主招生笔试和面试之后,可以得到相应的高考降分政策;某高中高一学生共有1000人,其中城填初中毕业生750名(称为“城填生“),农村初中毕业生250人(称为“农村生“);为了摸清学生是否愿意参加自主招生,以便安排自主招生培训,拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查;(1)试完成下列2×2联表,并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关.20分,对于这5道题,考生“高富帅”完全会答的有3道,不完全会的有2道,不完全会的每道题她得分S的概率满足:SKIPIF 1<0,假设解答各题之间没有影响.①对于一道不完全会的题,求“高富帅”得分的均值E(s);②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望.参考数据:K2=(其中n=a+b+c+d)61.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.62.某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:”如下:(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.63.华为推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:女性用户:(1)如果评分不低于70分,就表示该用户对手机“认可”,否则就表示“不认可”,完成下列22⨯列联表,并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关:附:2()()()()()n a d b c K a b c d a c b d +-+=++++(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和数学期望. 64.对某地区儿童的身高与体重的一组数据,我们用两种模型①y=bx+a ,②y=ce dx拟合,得到回归方程分别为,,作残差分析,如表:(Ⅱ)根据残差比较模型①,②的拟合效果,决定选择哪个模型;(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据,应剔除,剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程. (结果保留到小数点后两位)附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…(x n ,y n ),其回归直线y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.65.专家研究表明,PM2.5是霾的主要成份,在研究PM2.5形成原因时,某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO2、NO2、CO、O2等物质的相关关系.下图是某地某月PM2.5与CO和O2相关性的散点图.(Ⅰ)根据上面散点图,请你就CO,O2对PM2.5的影响关系做出初步评价;(Ⅱ)根据有关规定,当CO排放量低于100μg/m2时CO排放量达标,反之为CO排放量超标;当PM2.5值大于200μg/m2时雾霾严重,反之雾霾不严重.根据PM2.5与CO相关性的散点图填写好下面2×2列联表,并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”:排放量分别是60,120,180时,某路口的交通流量(单位:万辆)一次是800,600,200,而在一个月内,CO排放量是60,120,180的概率一次是p,,q(),求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围.附:K2=.66.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)67.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(Ⅰ)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率.68.自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造(每半年为一个生产周期),从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本,用茎叶图表示如图所示,已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内(含±5)的产品为优质品,与中位数误差在±15范围内(含±15)的产品为合格品(不包括优质品),与中位数误差超过±15的产品为次品.企业生产一件优质品可获利润20元,生产一件合格品可获利润10元,生产一件次品要亏损10元.(Ⅰ)求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望;(Ⅱ)是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”.。