数列极限数学归纳法上

【考点梳理】

一、 考试内容

1•数列，等差数列及其通项公式，等差数列前 n 项和公式。

2•等比数列及其通项公式，等比数列前 n 项和公式。

3•数列的极限及其四则运算。 4•数学归纳法及其应用。 二、 考试要求

1•理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出 数列的前n 项和。

2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够应用这些知

识解决一些问题。

3•理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够运用这些知 识解决一些问题。

4•了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于 1的无穷等

比数列前n 项和的极限。

5•了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。 三、 考点简析 1•数列及相关知识关系表

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2•作用地位 (1)

数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集 {1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数

n 的“一次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次

函数”。等比数列可看作自然数 n 的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加 深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和 解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

(2) 数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高 等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的 全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这 部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法， 同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定

的作用。

(3) 数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的 数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种 数学思

数列扱限

1——诫学归纳法

想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论

证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

(4)数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。

3•等差数列

(1)定义：a n+i —a n=d(常数d为公差)

(2)通项公式：a n=a i+(n —1)d

(3)前n项和公式：S n=n(a i啦=门a i+凹d

2 2

(4)通项公式推广：a n=a m+(n —m)d

4•等差数列｛a n｝的一些性质

(1)对于任意正整数n,都有a n+i 一a n=a2一a1

(2)｛a n｝的通项公式：a n= (a2 —a1) n+(2a1—a2)

(3)对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有a p+a q=a r+a s

(4)对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有a p+a r=2a q

(5)对于任意正整数n>1，有2a n=a n-计a n+1

(6)对于任意非零实数b,若数列｛ba n｝是等差数列，则数列｛a n｝也是等差数列

(7)已知数列｛b n｝是等差数列，则｛a n土b n｝也是等差数列

(8)｛a2n｝, ｛a2n-1｝, ｛a3n｝, ｛a3n-1｝, ｛a3n-2｝等都是等差数列

(9)S3m=3 ( S2m一S m)

(10)右S n=S m(m 丰 n),贝V S m+n=O

(11)若S p=q,S q=p，则S p+q=—(p+q)(p 丰 q)

(12)S n=an2 3 4 5 6+bn，反之亦成立

5•等比数列

(1)定义: =q(常数q为公比)

a n

(2)通项公式：a n=a1q n—1

(3)前n项和公式

na1 q 1

n= aM1 q n)

S

1 q q 1

特别注意q=1时，S n=na1这一特殊情况。

(4)通项公式推广：a n=a m • q n—m

6•等比数列｛a n｝的一些性质

2对于任意正整数p、q、r、s,只要满足p+q=r+s，贝U a p •a q=a r • a s

3对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则a p • a r=a q2

4对任意正整数n>1,有a n2=a n —1 • a n+1

5对于任意非零实数b,｛ba n｝也是等比数列

6已知｛a n｝、｛b n｝是等比数列，则｛a n b n｝也是等比数列

(1)对于任意正整数n,均有a

n 1 32

(7) 如果a n >0，则{log a a n }是等差数列

(8) 数列{log a a n }成等差数列，则a n 成等比数列

(9) {a 2n } , {a 2n -1} , {a 3n - 1} , {a 3n -2} , {a 3n }等都是等比数列 7•数列极限 (1) 极限的定义“£ — N ” (2) 极限的四则运算 若 lim a n =A ， lim b n =B ，则

n

n

lim (a n 土 b n )= n

lim a n ± lim b n =A ± B

n

n

lim n

(a n •

b n )

=lim a n • lim n n b n =A • B

lim n (a n /b n )= lim a n / lim b n = n n

A (

B 工

0)

B

(3)

两个重要极限

m c = 1

c 0 ①lir

c 0

不存在

|r

其中 p,q € N,a °M 0,

0。

(4) 无穷递缩等比数列各项和公式

a 1

S= lim S n = 一 (|q|<1) n

1 q 应用：化循环小数为分数。 8•递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系

a n+k =f(a n+k -1,a n+k -2,…,a n )称为数列的递归关系。由递

归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的

数列{2n 1}即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种: (1) 归纳、猜想、数学归纳法证明。 (2) 迭代法。

(3) 代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

②lim n

r n =

不存在

|r | 1或r

中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。 式的极限。

由①我们可以得到多项式除多项

a 。

lim

n

a °n p

a 〔n p 1

b 0n q

b 1 n q 1

电=

a

q

b o

0 不存在