分解质因数

分解质因数

自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。

例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。

例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？

分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：

把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），

于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。

例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？

分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。

从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。

2×5×11=110，13；

2×5×13=130，11；

11×13=143，2×5=10。

所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。

例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？

分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。

因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3× (40)

被90909整除。

例4 求72有多少个不同的约数。

分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：

上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。

根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。

从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。

例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有

（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；

又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有

（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。

例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。

分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。

因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；

对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，

32×2=18，32×5=45，52×2=50。

所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。

练习11

1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的

长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？

2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。

爷孙两人今年的年龄各是多少岁？

3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20

之间，那么有多少种分法？

4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得

的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？

5.举例回答下面各问题：

（1）两个质数的和仍是质数吗？

（2）两个质数的积能是质数吗？

（3）两个合数的和仍是合数吗？

（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？

（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？

6.求不大于100的约数最多的自然数。

7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是

不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。

第十五讲：分解质因数

专题分析：

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。

练习一：

1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18。一共有多少种不同分

法？

思路：只要把18分解质因数即可。

2、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人，有哪几种分法？

3、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发？

4、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数各是多少？

练习二：

1、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

思路：先把15120分解质因数，通过观察计算，可得到答案。

2、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。

3、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？

4、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少？

练习三：

1、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

思路：先将它们分别分解质因数，通过观察，共含有8个2、6个3、2个5、2个7和2个11。因为要把它们分成两组，且乘积相等，则一组中应有4个2、3个3、1个5、1个7和1个11。

2、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，bc＝35，c×a＝42。求a×b×c是多少？

3、把40、4

4、4

5、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。

4、把30、33、42、52、6

5、6

6、6

7、7

8、105九个数分成三组，使每组的数的乘积相等，写出这三组数。

练习四：

1、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

思路：把539分解质因数为539＝7×7×11，如果每人植7棵，则有76人，如果每人植11棵，则有48人。如果每人植49棵，则有10人。

2、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。求有多少个同学？

3、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？

4、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个？

练习五：

1、下面的算式里，（）里数字各不相同，求这四个数字。

（）（）×（）（）＝1995

思路：依然是分解质因数，1995＝3×5×7×19，可以用两组数35和57、21和95，但是（）里数字各不相同，所以只选21和95。这四个数的和是17。