高中数学必修五全部学案

【高二数学学案】

§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理

一、1、基础知识 设∆ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是∆ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。

②==

B R

a

A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。

（3）三角形中常见结论：

①A+B+C= 。②a <⇔b 。 ③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。 ④2

sin B

A += ，=+)sin(

B A ，)(2sin B A += 。 2、课堂小练

（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定

（2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ）

A 、4

B 、24

C 、34

D 、54 （3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ∆： （1）已知ο

30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。

例2、在ABC ∆中，C

B C

B A cos cos sin sin sin ++=

，试判断ABC ∆的形状。

三、练习 1、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

2、在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求

C

B

A sin sin sin 2-的值。

四、课后练习 1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos =

B 、A c

C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =

D 、A c C a sin sin =

2、在ABC ∆中，ο

120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）

A 、

35 B 、53 C 、73 D 、7

5 3、在ABC ∆中，已知ο

60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）

A 、24

B 、34

C 、64

D 、3

32

4、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ）

A 、45°或135°

B 、135°

C 、45°

D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A 、ο

30,16,8===A b a ，有两解 B 、ο

60,20,18===B c b ，有一解

C 、ο

90,2,5===A b a ，无解

D 、ο

150,25,30===A b a ，有一解

6、已知ABC ∆中，ο

ο

45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）

A 、310+

B 、)13(10-

C 、)13(10+

D 、310

7、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 2

2

=，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角或等腰三角形

8、在ABC ∆中，C=2B ，则B

B

sin 3sin 等于（ ）

A 、a b

B 、b a

C 、c a

D 、a

c

9、在ABC ∆中，已知ο

45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值

范围是（ ） A 、2

B 、x >22

C 、2

D 、0

10、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为5

3

。该三角形的面积为14，则这两边分别为（ ） A 、3和5

B 、4和6

C 、5和7

D 、6和8

11、在ABC ∆中，若ο

60,32,2=∠==B b a ，则c= ，=∠C 。

12、在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于

13、在ABC ∆中，ο

30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于 。 14、若ABC ∆三个角A 、B 、C 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 。 15、已知ABC ∆中，c AB a BC ==,，且

b

b

c B A

-=2tan tan ，求A 。 16、已知在ABC ∆中，A=45°，2,6==BC AB ，求其他边和角。

17、在ABC ∆中若C=3B ，求

b

c

的取值范围。

18、已知方程0cos )cos (2

=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且a 、b 为ABC ∆的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判定此三角形的形状。

五、课后反思

1.12 余弦定理 时间：

一、基础填空

1、余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的 减去这两边与

它们的 的 的 的 倍，即 a 2= ，b 2= ，c 2= 。 2、余弦定理的推论：

=A cos ，=B cos ，=C cos 。

3、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：、 （1）已知三边，求 ；

（2）已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。

4、ABC S ∆= = = 。

二、典型例题 例1、ABC ∆中，已知ο

30,33,3===B c b ，求角A 、角C 和边a 。

练习1：已知ABC ∆中，)13(:6:2::+=c b a ，求 ABC ∆的各角度数。